高三數(shù)學一輪復習：直線與橢圓(二)專項訓練

直線與橢圓(二)

1.已知橢圓C：a+篇=的禺心率為?，左、右頂點分別是Ai,A2)

上頂點為3(0,b),△445的面積等于2.

(1)求橢圓C的方程；

⑵設點Q(l,0),尸(4,m),直線刑以2分別交橢圓C于點跖N,證明：M,

Q,N三點共線.

22

2.已知斜率為左的直線/與橢圓C：2+—=1交于A，3兩點，線段AB的中

63

點、為M(n,m).

(1)若〃=1,m=—l,求人的值；

(2)若線段AB的垂直平分線交》軸于點尸(0,-1),且以為=4|PM，求直線/的

方程.

3.已知橢圓G：?+*l(a>b>0)的離心率為今且過點(3,1).

(1)求橢圓G的方程；

⑵斜率為1的直線/與橢圓G交于A,3兩點，以A3為底邊作等腰三角形，頂

點為P(—3,2),求△必3的面積.

22

4.已知橢圓C：^+^=l(a>b>0),過左焦點網(wǎng)一圾0)作傾斜角為a的直線

/交橢圓C于A,3兩點.當直線/的傾斜角為三時，\AF\=7\BF].

6

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)點0為坐標原點，求△043面積的最大值，并求此時直線I的方程.

參考答案

[A組在基礎中考查學科功底]

1.解：(1)由離心率為孚得,①

由△AuUB的面積為2得，ab=2.②

又。2=廬+°2,③

聯(lián)立①②③解得，a=2,b=l,

?,?橢圓C的方程為"+y2=l.

(2)1己點N的坐標分別為M(xi,yi),N(xi,yi).

2

又Ai(—2,0),.?.直線Rh的方程為y=詼(x+2),與橢圓方程土+V=1聯(lián)立并整

64

理得(川+9)x2+4m2x+4m2—36=0,

由—2+x尸黑得x尸號著，

代入直線以1的方程得V=恐

即“5

同理可得N(若，含

因為。(1,0),所以麗=(三誓

Jm2+9/JVW+l'm2+l.

,9-3m2-2mm2-36m

由許?知，M,Q,N三點共線.

m2+lm2+lm2+9

直+歐=1,

2.解:(1)由題設623'作差可得

莖+也=1,

.63

以一好十/一羽(久幺+久3)(久4一式8)十(y/+yB)(y4—yB)一0

6363

^A-XB一2(以一功)

又XA+XB~2n—2,yA+yB=2m——2,故,,所以左=維但=±

33XA-XB2

(2)由題意，直線/斜率一定存在，直線/為y=k(x—ri)+m,

若k=0,直線/:y=加且M(0,m),-V3<m<V3,此時中垂線PM與y軸重

合，

與題設中，垂直平分線與y軸交于P(0,—J矛盾，不滿足題意；

若原0,由(1)知：金32=—2皿…),則左=維但=—2,

33x^—Xp2TH

則中垂線PM為y+]=M，6rwc-3ny~n=0,又M(〃，刈)在該直線上，

所以3機〃一〃=0,得〃=0或機=工，當〃=0時％=0,不滿足題意，故加=工，

33

2

故k=~~~9即I：y=]一|九(九一〃)，與橢圓方程聯(lián)立得—|n(x—n)j=6,

整理得

9(2+9/)f—18〃(2+9層)%+81/+36層一104=0,

81n4+36n2-104

所以XA-\-XB=2n,XAXB

9(2+9n2)

2

則|A5|=A/T+k2?+xB)—4XAXB

104-18?!2

=，4+9幾2?------而PM=

18+81n2

由網(wǎng)=4|PM,得(4+9安：北9哈=8〃2+弓,

解得九=±|,所以/:y=l±x.

綜上，直線/的方程為y=±x+l.

124

(2)設直線/的方程為y=x+m,

y=x+m,

聯(lián)立方程，

—+—=1,

124

消去y得4%2+6膽+3/-12=0,①

J=36m2-16(3m2-12)>0,即一4VmV4.

3m2-12

XAXBXAXB=

.\+=——2-4-，

3mi八m

**yA~\~yB=XA~\~XB~\~2m■——+2m=—.

22

設〃為A3的中點，則〃(一誓，9，A3的中垂線的斜率上=—1,

：.AB的中垂線的方程為y—q=—(%+等)，即x+y+y=O,

將P(—3,2)代入得m=2,

???直線I的方程為y=x+2,即x~y+2=0,

此時方程①為《爐+葭元=。，解得X4=—3,XB=O,

yA=-1,ys=2,

???A(—3,-1),B(0,2),

A|AB|=3V2,

又?.?點P到直線/的距離6/='~3^+2|=—,

V22

.?.△出3的面積為：X|AB|Xd忖X3奩x

4.解：（1）當直線/的傾斜角為E時，^=tan—,

663

又直線/過網(wǎng)一百，0）,則直線/的方程為y=?（x+b）,x=V3v-V3,

聯(lián)立Fl￥消去X,得（/+3。2?2—6/y+3〃一/。2=0,

+q'yN=殷廿，

則/=36/—4（3〃+層）?〃—〃2》2）=4〃2人2（屋+3Z?2—3）,

1人2o1,2_〃262

設A（xi,yi）,Bg,p）,可得下第=3匕，，

因為以用=7|5年,所以yi=-7”，

將其代入y+y2=———V2=--——VI=————

八〃?叩3b2+a29?。?b2+a29尸3b2+a29

-b27b23b2-a2b2

3b2+a23b2+a23b2+a2

整理得16〃+3〃2—3〃2。2—〃4=0,

又b2=a2—c2=a2—3,

所以16（層-3）+3層一3〃（Q2—3）—〃4=o.

整理得o4一74+12=0,解得〃=4或次=3（舍去），

第2

所以官=次一3=4—3=1,故橢圓C的標準方程為丁+>2=1.

（2）由題意，顯然直線/不平行于x軸，設直線/的方程為x=/>一百,

聯(lián)立]""皆，消去x,得（/2+4）y2_2g/y_]=°，

I%2+4y2=4,

而/=12尸+4（尸+4）=16（尸+1）＞0,

又A（xi,yi）,3（x2,竺），則y1+"=普，yiy2=-^,

則M一”|=J