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文檔簡(jiǎn)介
直線與橢圓(二)
1.已知橢圓C:a+篇=的禺心率為?,左、右頂點(diǎn)分別是Ai,A2)
上頂點(diǎn)為3(0,b),△445的面積等于2.
(1)求橢圓C的方程;
⑵設(shè)點(diǎn)Q(l,0),尸(4,m),直線刑以2分別交橢圓C于點(diǎn)跖N,證明:M,
Q,N三點(diǎn)共線.
22
2.已知斜率為左的直線/與橢圓C:2+—=1交于A,3兩點(diǎn),線段AB的中
63
點(diǎn)、為M(n,m).
(1)若〃=1,m=—l,求人的值;
(2)若線段AB的垂直平分線交》軸于點(diǎn)尸(0,-1),且以為=4|PM,求直線/的
方程.
3.已知橢圓G:?+*l(a>b>0)的離心率為今且過(guò)點(diǎn)(3,1).
(1)求橢圓G的方程;
⑵斜率為1的直線/與橢圓G交于A,3兩點(diǎn),以A3為底邊作等腰三角形,頂
點(diǎn)為P(—3,2),求△必3的面積.
22
4.已知橢圓C:^+^=l(a>b>0),過(guò)左焦點(diǎn)網(wǎng)一圾0)作傾斜角為a的直線
/交橢圓C于A,3兩點(diǎn).當(dāng)直線/的傾斜角為三時(shí),\AF\=7\BF].
6
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn),求△043面積的最大值,并求此時(shí)直線I的方程.
參考答案
[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]
1.解:(1)由離心率為孚得,①
由△AuUB的面積為2得,ab=2.②
又。2=廬+°2,③
聯(lián)立①②③解得,a=2,b=l,
?,?橢圓C的方程為"+y2=l.
(2)1己點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為M(xi,yi),N(xi,yi).
2
又Ai(—2,0),.?.直線Rh的方程為y=詼(x+2),與橢圓方程土+V=1聯(lián)立并整
64
理得(川+9)x2+4m2x+4m2—36=0,
由—2+x尸黑得x尸號(hào)著,
代入直線以1的方程得V=恐
即“5
同理可得N(若,含
因?yàn)椤?1,0),所以麗=(三誓
Jm2+9/JVW+l'm2+l.
,9-3m2-2mm2-36m
由許?知,M,Q,N三點(diǎn)共線.
m2+lm2+lm2+9
直+歐=1,
2.解:(1)由題設(shè)623'作差可得
莖+也=1,
.63
以一好十/一羽(久幺+久3)(久4一式8)十(y/+yB)(y4—yB)一0
6363
^A-XB一2(以一功)
又XA+XB~2n—2,yA+yB=2m——2,故,,所以左=維但=±
33XA-XB2
(2)由題意,直線/斜率一定存在,直線/為y=k(x—ri)+m,
若k=0,直線/:y=加且M(0,m),-V3<m<V3,此時(shí)中垂線PM與y軸重
合,
與題設(shè)中,垂直平分線與y軸交于P(0,—J矛盾,不滿足題意;
若原0,由(1)知:金32=—2皿…),則左=維但=—2,
33x^—Xp2TH
則中垂線PM為y+]=M,6rwc-3ny~n=0,又M(〃,刈)在該直線上,
所以3機(jī)〃一〃=0,得〃=0或機(jī)=工,當(dāng)〃=0時(shí)%=0,不滿足題意,故加=工,
33
2
故k=~~~9即I:y=]一|九(九一〃),與橢圓方程聯(lián)立得—|n(x—n)j=6,
整理得
9(2+9/)f—18〃(2+9層)%+81/+36層一104=0,
81n4+36n2-104
所以XA-\-XB=2n,XAXB
9(2+9n2)
2
則|A5|=A/T+k2?+xB)—4XAXB
104-18?!2
=,4+9幾2?------而PM=
18+81n2
由網(wǎng)=4|PM,得(4+9安:北9哈=8〃2+弓,
解得九=±|,所以/:y=l±x.
綜上,直線/的方程為y=±x+l.
124
(2)設(shè)直線/的方程為y=x+m,
y=x+m,
聯(lián)立方程,
—+—=1,
124
消去y得4%2+6膽+3/-12=0,①
J=36m2-16(3m2-12)>0,即一4VmV4.
3m2-12
XAXBXAXB=
.\+=——2-4-,
3mi八m
**yA~\~yB=XA~\~XB~\~2m■——+2m=—.
22
設(shè)〃為A3的中點(diǎn),則〃(一誓,9,A3的中垂線的斜率上=—1,
:.AB的中垂線的方程為y—q=—(%+等),即x+y+y=O,
將P(—3,2)代入得m=2,
???直線I的方程為y=x+2,即x~y+2=0,
此時(shí)方程①為《爐+葭元=。,解得X4=—3,XB=O,
yA=-1,ys=2,
???A(—3,-1),B(0,2),
A|AB|=3V2,
又?.?點(diǎn)P到直線/的距離6/='~3^+2|=—,
V22
.?.△出3的面積為:X|AB|Xd忖X3奩x
4.解:(1)當(dāng)直線/的傾斜角為E時(shí),^=tan—,
663
又直線/過(guò)網(wǎng)一百,0),則直線/的方程為y=?(x+b),x=V3v-V3,
聯(lián)立Fl¥消去X,得(/+3。2?2—6/y+3〃一/。2=0,
+q'yN=殷廿,
則/=36/—4(3〃+層)?〃—〃2》2)=4〃2人2(屋+3Z?2—3),
1人2o1,2_〃262
設(shè)A(xi,yi),Bg,p),可得下第=3匕,,
因?yàn)橐杂?7|5年,所以yi=-7”,
將其代入y+y2=———V2=--——VI=————
八〃?叩3b2+a29?。?b2+a29尸3b2+a29
-b27b23b2-a2b2
3b2+a23b2+a23b2+a2
整理得16〃+3〃2—3〃2。2—〃4=0,
又b2=a2—c2=a2—3,
所以16(層-3)+3層一3〃(Q2—3)—〃4=o.
整理得o4一74+12=0,解得〃=4或次=3(舍去),
第2
所以官=次一3=4—3=1,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁+>2=1.
(2)由題意,顯然直線/不平行于x軸,設(shè)直線/的方程為x=/>一百,
聯(lián)立]""皆,消去x,得(/2+4)y2_2g/y_]=°,
I%2+4y2=4,
而/=12尸+4(尸+4)=16(尸+1)>0,
又A(xi,yi),3(x2,竺),則y1+"=普,yiy2=-^,
則M一”|=J
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