2024高等數(shù)學(xué)試題及答案

2024中南高?，F(xiàn)代遠(yuǎn)程效化課程考試復(fù)習(xí)題及參考答案

高等數(shù)學(xué)

一、填空題

1.設(shè)/(X)="""，則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱。

2.若y=(，貝!Jy(—)=____________.

x2+l0<x<22

2-1

xsin—

3.極限lim-----=_________o

%-osinx

「「x2+ax-\-b八皿7

4.已矢口lim-----二2,貝=______,b-_____。

12X2-X-2

1

5.已知X->0時(shí)，(1+。%2戶一1與cosx—l是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)。=

z

6.設(shè)好+z?=ye(—),其中0可微，則，=________o

ySy

7.設(shè)M=e'”2,其中z=z(%y)由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則

duI

”)=-------------°

1,32Z

8.設(shè)z=—/(xy)+y°(x+具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則---=__________________。

xoxoy

9.函數(shù)/(%,y)^xy-xy2-x2y的可能極值點(diǎn)為和。

2

10.設(shè)/(%,y)=/siny+(x-1)J|町|則f'y(1,0)=.

11.j%2sinIxdx=.

12.在區(qū)間［0,乃］上曲線y=cosx,y=sinx之間所圍圖形的面積為.

13.若feArd,x=—,貝!J左=_________o

Jo2

14.設(shè)D：/+V<1,則由估值不等式得<jj(爐+4y2+v)dxdy<

D

15.設(shè)。由y=x2,y=2x2,y=l,y=2圍成(x之0),則0/(羽在直角坐標(biāo)系下的

兩種積分次序?yàn)楹?

16.設(shè)。為04>41一％,0<%41,則JJf+y2jdxdy的極坐標(biāo)形式的二次積分為

D

001

17.設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則常數(shù)P的最大取值范圍是_______________________.

n=\n°

flX2X4X6,

18.x(l--H----------1—)dx=

Jo1!2!3!--------------------------

19.方程公+,辦=0的通解為

20.微分方程4y—20y'+25=0的通解為.

21.當(dāng)n=時(shí)，方程y'+p(x)y=q(x)yn為一階線性微分方程。

22.若4x4階矩陣A的行列式為|A|=3,A*是A的伴隨矩陣，則|A*|=.

(A0、

23.設(shè)A,*,與/*，“均可逆，則。=也可逆，且廠=.

10

24.設(shè)A』3H,且AX—E=3X，則*=__________.

|_23

一2-12

25.矩陣402的秩為.

0-33

26.向量a=(-1,0,3,-5),/3=(4,-2,0,1)淇?jī)?nèi)積為.

27.n階方陣A的列向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是.

28.給定向量組?=(11l),a2=(a0。,%=(132),,若區(qū),見(jiàn),%線性相關(guān)，

則a,6滿意關(guān)系式.

29.已知向量組⑴與由向量組(II)可相互線性表示，則r(I)與r(H)之間向量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系

是.

30向量7=(2J)T可以用a=(0,i)T與4=(1,3尸線性表示為.

31.方程組Ax=0有非零解是非齊次方程組AB=b有無(wú)窮組解的條件.

32.設(shè)A為mXn矩陣，非齊次線性方程組小=B有唯一解的充要條件是r(A)

r(A|Z>)=.

33.己知九元線性方程組AX=心有解，且r(A)〈”，則該方程組的一般解中自由未知量的個(gè)

數(shù)為.

34.設(shè)人是方陣A的一個(gè)特征值,則齊次線性方程組A)x=0的都是A的屬

于4的特征向量.

35若3階矩陣A的特征值為1,2,-3,則工的特征值為.

36.設(shè)A是n階方陣，|A|HO,A*為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣，若A有特征值；1°,則

(A*丫+2E必有特征值；I=.

37.分別為實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同特征值4，42所對(duì)應(yīng)的特征向量，則&與￡的內(nèi)積

(a,0)=.

38.二次型/(%15%2,%3,%4)=+x2x3的秩為.

，420、

39.矩陣A=242為正定矩陣，則;I的取值范圍是_______.

1021J

40.二次型=2x：+3x；+2xrx2+2%1退是正定的，則，的取值范圍是.

41.A、B、C代表三事務(wù)，事務(wù)“A、B、C至少有二個(gè)發(fā)生”可表示為.

42.事務(wù)A、B相互獨(dú)立，且知尸(A)=0.2,尸(5)=0.5則「(4B)=.

43.若隨機(jī)事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為p,則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為.

44.在相同條件下，對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊，假如每次射擊命中率為0.6,

那么擊中目標(biāo)k次的概率為(0<^<5).

45.設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},則P{X=3}=.

x0<x<1

46.設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為/(%)=<〃一%1<x<2,則〃=.

、0其它

47.若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

1~T~

11/163/16

2ab

且X,Y相互獨(dú)立，則常數(shù)Q=,b=

48.設(shè)X的分布密度為7(x),則y=x3的分布密度為.

49.二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為

則a與夕應(yīng)滿意的條件是,當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，a=.

50.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且X~N(l,2),y~N(0,l).令Z=-Y+2X+3,則

D(Z)=.

51.已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=1,E(X2)=4.令Y=2X—3,則

o(y)=.

二、單項(xiàng)選擇題

i.設(shè)y(x)=x+i,則/■(/■(%)+i)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

2.下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù).

A.y=(―)xB.y=Inx2C..=s—x口.y=

cosx

3.下列各對(duì)函數(shù)中，()中的兩個(gè)函數(shù)相等.

xln(l—x),ln(l-%)

A.y=—?^與一乙y=InX?與g=2Inx

C.y=-sin2%與g=cosxy=Jx(xT)與y=&J(xT)

4.設(shè)/(x)在x=x(j處間斷，則有()

(A)/(x)在x=/處肯定沒(méi)有意義；

(B)/(x0-0)*于(x+0);(即lim/(%)豐lim/(%))；

(C)不存在，或lim/(無(wú))=8；

X―X—^XQ

(D)若/(x)在x=/處有定義，則x-/時(shí)，/(x)—/(x())不是無(wú)窮小

1-71+2%

5.函數(shù)/Xx)=<在x=0處連續(xù)，貝隈=().

k,x=0

A.-2B.-1C.1D.2

。一n

6.若/(x)=----------,x=0為無(wú)窮間斷點(diǎn)，x=l為可去間斷點(diǎn)，則。=(

x(x-1)

(/)1(8)0(C)e(〃)。

7.函數(shù)ZMM'+V—2)+產(chǎn)了二手的定義域?yàn)?).

x2+y22x2+y24x2+y2>22<x2+y2<4

￡R)?Ur??

8.二重極限Hm，4,()

%-?ox+y

y-?0

…1

(A)等于0(B)等于1(C)等于；(D)不存在

2

9.利用變量替換—肯定可以把方程啜+噌"化為新的方程

().

(C)M@=Z

(A)u——二z⑻『(D)

dudv

dz

V——=Z

du

10.若/(x)=—/(—x),在(0,+oo)內(nèi)/'(%)>0,/''(期>0,則/(%)在(—8,0)內(nèi)().

(A)/,(x)<0,/"(x)<0;⑻/,(x)<0,/"(x)>0;

(O/'(x)>0,/"(x)<0,CD)/'(x)>0,/"(x)>0,

/(x)1

11.設(shè)/(x)在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且/'(0)=0,hrmJ=1,則在點(diǎn)尤=0處

^°2sin2-

2

f3().

?)不行導(dǎo)(8)可導(dǎo)，且/''(())H09取得極大值6取得微小值

12.設(shè)函數(shù)/(x),g(x)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且/'(x)g(x)—/(x)g'(x)＜0,

則當(dāng)。＜龍＜6時(shí)，有().

(/)f(.x)g(b)>f(b)g(x)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)

9f(.x)g(.x)>f(.b)g(b)(D)f(x)g(x)>f(a)g(a)

13.設(shè)/1(%)是連續(xù)函數(shù)且b(x)=f,/⑺公則F(x)=().

J.

(/)-e-xf(e-x)-f(x)(B)-e-，")+/(x)

(C)""0—/(x)(，)e-"0+/(x)

14.設(shè)/(x)在［1,2］上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且/⑴=l"(2)=l,J，(x心=-1

則Ji"'

(4)2(8)1(C)-1(D)-2

15.設(shè)/(x)在［a用上二階可導(dǎo)，且>0,/'(x)<0,7"(%)<0.記

Si=r/(x)dx邑=/S)S—a),S3=,"")+/(")(b—a),則有().

Ja2

(力)SivS2VS3(5)S2Vs3Vsi(C)S3<S1<S2(〃)SivS3VS2

00

16.設(shè)哥級(jí)數(shù)￡a〃（x-1）"在x=—1處收斂.則此級(jí)數(shù)在％=2處（）.

n-1

（A）肯定收斂（B）條件收斂

（C）發(fā)散（。）收斂性不能確定

17.下列命題中，正確的是（）.

00000000

⑷若級(jí)數(shù)、>卬與的一般項(xiàng)有％,<%<=1,2…)，則有、>”<??”

n-\n—1n—\n-1

co00

（B）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)?"滿意""21（〃=1，2/-）,則\>“發(fā)散

n=ln=l

007/

（。）若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則lim」立<1

Zt…un

00

（〃）若哥級(jí)數(shù)>的收斂半徑為火（0<7?<+8）,則limalI=H.

1…|a〃+i|

0000

18.設(shè)級(jí)數(shù)2（-1）"凡2"收斂，則級(jí)數(shù)X4（）.

n-1n=\

（Z）肯定收斂QB）條件收斂（C）發(fā)散QD）斂散性不確定

19.微分方程（九+?。ü?6）=公+4〉的通解是（）

(A)x+y+ln(x+y)=c;(B)x-y+ln(x+y)=c;

(C)x+y-ln(x+y)=c;(D)x-y-ln(x+y)=c.

20.設(shè)y=/(x)滿意微分方程y—5y，+5y=0,若/(/)<0,尸(與)=0,則函數(shù)73在

點(diǎn)/()

(A)取極大值；(B)取微小值；

(C)旁邊單調(diào)增加；(D)旁邊單調(diào)削減.

21.函數(shù)y=y(x)在點(diǎn)x處的增量滿意

Ay=+o(Ax)(Axt0)

1+X

且y(0)=〃，貝Uy(l)=(D)

冗冗

(A)2%;(B)TC\(C)>；(D)府.

22.若含有s個(gè)向量的向量組線性相關(guān)，且該向量組的秩為r,則必有().

(A)r=s(B)r>s(C)r=s+l(D)r<s

23.已知向量組。i=(L1/,0),%=(0,k,0,1),%=(2,2,0,1),%=(0,0,2,1)線性相關(guān),則

k=()

(A)-1(B)-2(C)0(D)1

24.向量組名,?，」,見(jiàn)線性相關(guān)的充分必要條件是()

(A)名,%,?，%中含有零向量

(B)名,的，中有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)重量成比例

(C)名,%，-，見(jiàn)中每一個(gè)向量都可由其余5-1個(gè)向量線性表示

(D)ax,a2,-,as中至少有一個(gè)向量可由其余s-l個(gè)向量線性表示

25.對(duì)于向量組(%人2,，，%),,因?yàn)?%+0(12++0%=0,所以四,(12，?，%是[].

(A)全為零向量；(B)線性相關(guān)；

(C)線性無(wú)關(guān)；(D)隨意.

26.設(shè)A,B均為n階矩陣，且48=0,則必有()

(A)A=O或8=0(B)|/|=0或㈤=0(C)A+B=O(D)|團(tuán)+㈤=0

27.若非齊次線性方程組4"*〃乂=6的()，那么該方程組無(wú)解.

A.秩(A)="B.秩(A)=?7

C.秩(A)牛秩(彳)D.秩(A)=秩(1)

-(1A2]

28.若線性方程組的增廣矩陣為A=,則當(dāng)2=()時(shí)線性方程組有無(wú)窮

[214J

多解。

A.1B.4C.2D.

2

29.設(shè)入=2是非奇異矩陣A的特征值,則（；A?）"有一個(gè)特征值是

()

￡

（A）(B)—(C)3(D)

t244

30.若二次型

了（甬,孫％）=（兀+1）才+（后一2）君+（左—3）君正定,則（)

(A)k>-l(B)k>l(C)k>2(D)k>3

(21

31.己知&=(1,4,1尸是矩陣A=121的特征向量，則上=（)

,112；

(A)1或2?(B)—1或—2（C）1或—2(D)—1或2

32.在隨機(jī)事務(wù)A,B,C中，A和B兩事務(wù)至少有一個(gè)發(fā)生而C事務(wù)不發(fā)生的隨機(jī)事務(wù)可表

示為（)

(A)ACBC(B)ABC(C)ABCABCABC(D)ABC

33.袋中有5個(gè)黑球,3個(gè)白球，大小相同，一次隨機(jī)地摸出4個(gè)球，其中恰有3個(gè)白球的

概率為（)

333

(A)(B)(C)C；(D)

81IIF

34.設(shè)A、B互為對(duì)立事務(wù)，且尸（A）>0,尸（5）>0,則下列各式中錯(cuò)誤的是（)

(A)P(B|A)=0(B)P(A|B)=O(C)P(AB)=O(D)P(A|B)=l

35.離散型隨機(jī)變量X的分布列為P{X=A}=孑=1,2,3,4.則。=（）

(A)0.05(B)0.1(C)0.2(D)0.25

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸（%）=4+,31'戊211蟲(chóng)-00<%<00,4為常數(shù)）則

36.

71

—且<X<H=(

)

3

(A)-(B)-(D)

63I

37.設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從N（〃,4）,則P{XW2+〃},的值（）

（A）隨〃增大而減小;（B）隨〃增大而增大;

（C）隨〃增大而不變;（D）隨〃削減而增大.

38.設(shè)隨機(jī)變量X~N(〃,/),則丫=封+匕聽(tīng)從()

(C)*￡)[

(A)(B)N(O,1)(D)N(a〃+4a2c■?)

39.對(duì)目標(biāo)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊，每次射擊的命中率相同，假如擊中次數(shù)的方差為0.72,則

每次射擊的命中率等于()

(A)0.1(B)0.2(C)0.3(D)0.4

1,,

-I.\x\<a

40.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(x)=:乃1片—",?！?,則E(X)=().

0|A-1>a

(A)-1(B)0(C)1(D)以上結(jié)論均不正確

三、解答題

(a,+2xx<0

1.設(shè)/(x)=1x=0,已知/(x)在x=。處連續(xù)可導(dǎo),

ln(Z?+x2)x>0

試確立a,b并求/,(%)

g2

2.設(shè)z=/(2x-y,ysinx),其中/(沅力)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求z

dxdy

3.設(shè)-+探討。，丫)在(0，0)

八羽刃一+y

[0,x2+y2=o

(1)偏導(dǎo)數(shù)是否存在。

(2).是否可微。

4.在過(guò)點(diǎn)P(l,3,6)的全部平面中，求一平面，使之與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍四面體的體

積最小.

71

5.f^xcos2xdx

Jo

6.jj|x2+/-4|d(T,其中。為圓域必+產(chǎn)<9。

7.設(shè)/'(x,y)在/<1上連續(xù)，求證：[I*/(x,y)dcr=^,(0,0)0

moR~產(chǎn)+久標(biāo)

證明D={(x,y)\x2+y2<R2]

8.求幕級(jí)數(shù)￡匚」（x-4）〃收斂區(qū)間及和函數(shù)S（x）：

〃=i〃

f1+y

9-求解y=3,y（l）=Q；

xy+xy

V71

10.求解盯'+xtan——y=0,y⑴=——.

x2

11.求解4y"+4y'+y=0滿意y（0）=2,y'（0）=0.

12.求解/-3y'+2y=2ex滿意y（0）=1,/（0）=-l;

13.設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程y〃+匆'+為=/的一個(gè)特解為y=e2x+Q+x）/,試確

定見(jiàn)￡,7,并求該方程的通解.

COSOC-since

14.計(jì)算下列行列式cosa

15.計(jì)算下列行列式5062

111

abc=(Q+6+C)(/?一〃)(c-4)(c-b)

16.證明：以3/C3

'1or

17.AX+E=A2+X,且A=020,求X.

J0L

..a11TZ?1]「67

18.已知矩陣,求常數(shù)a,b.

0b2

19.將向量B表示成四，a2，a3的線性組合：

(1)%=(1,1-1),?2=(1,2,1),=(0,0,1),P=(1,0-2)

20.問(wèn)入，N取何值時(shí)，齊次方程組

>X]+x2+x3=0

<X]+|iix2+x3=0

X]+2|U,X2+x3=0

有非零解？

21.設(shè)線性方程組

2/-x2+x3=1

<一X]—2%2+%3=-]

xl-3X2+2X3=c

試問(wèn)c為何值時(shí)，方程組有解？若方程組有解時(shí)，求一般解。

22.求一個(gè)正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型：

⑴f=2xf+3x|+3xj+4X2X3

23.某工人看管甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)器，在1小時(shí)內(nèi)，這3臺(tái)機(jī)器不需照管的概率分別為0.8,

0.9,0.6,設(shè)這三臺(tái)機(jī)器是否需照管是相互獨(dú)立的，求在1小時(shí)內(nèi)

(1)有機(jī)床須要工人照管的概率；(2)機(jī)床因無(wú)人照管而停工的概率.

A

24.設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為/(x)=---(-00<%<+oo)

1+x

求(1)常數(shù)A；(2)X的分布函數(shù)；.

25.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域0<x<1,V<x內(nèi)聽(tīng)從勻稱分布.求

(1)(X,Y)的聯(lián)合分布密度；

(2)X與Y的邊緣分布密度，并問(wèn)它們是否相互獨(dú)立？

26.設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為

fx(X)=[1,0,0<其%它<1A(y)=|oe,-yy,<yO>0

求隨機(jī)變量Z=X+Y的概率密度函數(shù).

27.一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X(以年計(jì))聽(tīng)從指數(shù)分布，密度函數(shù)為

1_1Y

-e*0<%

=<4

0x<0

為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換，若售出一臺(tái)設(shè)備，工

廠獲利100元，而調(diào)換一臺(tái)則損失200元.求工廠出售一臺(tái)設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.

28.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)聽(tīng)從正態(tài)分布，且X和Y分別聽(tīng)從正態(tài)分布N(l,32)

ivy

和N(0,4?),X與Y的相關(guān)系數(shù)夕*丫=一5，Z=§+5,求Z的數(shù)學(xué)期望E(Z)和方差

D(Z)；

參考答案

一、填空題

1.設(shè)/(x)=""/"，則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱。

解：/(X)的定義域?yàn)?-oo,+oo),且有

一、a—X+,aX)a—X+,aXaX+,a-X、

/(T)=---=="X)

即〃龍)是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于y軸對(duì)稱。

sinx-2<x<0

2.若y=<

x2+10<x<2

解：1+彳

x2sin—

3.極限lim---------=_________o

osinx

2-1

%sin—11

IYIV

解：lim---------=lim（冗sin---------）=limxsin—?lim------=0x1=0

%一。sin%％一。xsinxxsinx

留意：limxsin-=0（無(wú)窮小量乘以有界變量等于無(wú)窮小量）

.10x

X111einy

lim——=lim--=——；—=-=1,其中l(wèi)im——二1是第一個(gè)重要極限。

%f°sinxsinx「sin%1%

lim

x-----------x

「x2+ax-^-b八e,

4.已知lim----------=2,貝!J〃=_______,b=____。

%―2x—x—2

由所給極限存在知，4+2a+8=0,得b=-2a-4,又由

「x2+ax+b-x+a+2。+4一八一0

lim-...............=hm-------------=--------=2,知a=2,Z?=—8

12/一九一2—2x+13

5.已知時(shí)，（1+。%2尸一1與COSX—1是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)。=

1

(1+ax)3-1lax1

解.=lim

x->0%-o~,.2,.1

cosx-1—%2(1+CIX^卜+(1+Q%2)3+]32

7（）7

6.設(shè)+?2=丁°（一），其中0可微，則一二________

ySy

解2z—=cp+y(p''—

dy

dy2z-cp'

7.設(shè)u=exyz2,其中z=z(x,y)由%+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則

duI

瓦l(°』)=---------°

解—=^72+2>.-

dx?2￡dx

Szdzdz-1-yz

1+OH------\-yz+xy——=0,—=-----

dxdxdx1+xy

dux2cx-1-yz

——=eyz+2ze-y--------

dx1+xy

x=0,y=l時(shí)，z=-l

更=1

&(0.1)

1z

8.設(shè)z=—/(xy)+y°(x+y),/，e具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則---=__________________

xoxoy

解：

f(xy)+-f\xy)+y(p\x+y)

OXXX

。z—1>1>?>”

=-f(xy)+-f(xy)+yf(xy)+(p(x+y)+y(p(x+y)

oxoyxx

=yU(盯)+9'(x+y)]+9(x+y)

9.函數(shù)/(x,y)=xy-xy2-x1y的可能極值點(diǎn)為和

1

2x=—

fx=y-y-2xy=y(i-2x-y)=0x=0x=0x=l3

解

2y=0y=0

fy=x-2xy-x=x(\-x-2y)=0J=11

‘-2yl-2y-2x

九=-2y,Ax=l-2y-2x,f?=-2x,H=

1—2y—2x—2x

0-2-1

(0,0)H=不是，(0,1)H=不是

0-1

(1,0)H=不是

-2/3-1/3

H=負(fù)定，極大值（1,工）

-1/3-2/333

22

10.設(shè)/(x,y)=xsiny+(x-1)J|孫|則f'y(1,0)=

解：因?yàn)?(l,y)=siny,故=cos乂尸。=1

11.Jx2sin2xdx=.

解：原式=J%2d(_gcos2x)=~~%2cos2x+Jxcos2xtlx

=-g12cos2x+1xd(^sin2x)=~~x?cos2x+xsin2x-jsin2xdx

=--x2cos2x+—xsin2x+—cos2x+C.

224

12.在區(qū)間［0,1］上曲線y=cosx,y=sinx之間所圍圖形的面積為.

冗兀

解：A=|cos%-sinx|(ix=『(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx

4

冗

=(sinx+cosx)|J+(-cosx-sinA:)|Z=V2-1+1+V2=2V2.

4

13.若［eTkx6x=—,則左二_________o

Jo2

答案：..」=f+8e*ck=ekxA(~kx)

2J。z?—>+oo左J0

r1-kx\^11-kb1

=lim—e=---lim—e=一

Of”k10k"f+8kk

:?k=2

2

14.設(shè)D：/+V41,則由估值不等式得<jj(x+4y2+V)dxdy<

解f(x,y)=x2+4y2+l<4(x2+y2)+l,XD:x2+y2<l

=max"(尤,y)}=4xl+l=5,min{f(x,y)}=l

(x,y)eD(x,y)eD

由ma<JJf(x,y)db<Ma,a=SD=7r-l=TT

D

:.TC<1<5TC

15.設(shè)。由y=犬,丁=2丁,丁=l,y=2圍成(1之0),則JJ/(x,y)dcr在直角坐標(biāo)系下的

D

兩種積分次序?yàn)楹?

X1

解D：(X—型)=。什。2，DI<12~~,ojl'xw/

[i<y<2x2[??WyV2

I=/(x,y)dy+/(%,y)dy

l<y<2

D：（Y—型）,，=J：dy味“x,y)djc

16.設(shè)。為0<y<l—,則[[/（6+打公力的極坐標(biāo)形式的二次積分為

兀

0<0<~兀]

2

解:D：,/=j^deJjEe+cos。/(r)rdr

0<r<---------

sin0+cos0

81

17.設(shè)級(jí)數(shù)2工收斂，則常數(shù)P的最大取值范圍是.

n-1n

001

解：由2級(jí)數(shù)的斂散性知，僅當(dāng)2+p>l即p>-1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，其他情形均發(fā)

n-1n

散.

(,*11八]JX4X6、7

18.x(l------1----------1—)ax=

J。1!2!3!

解所以原積分

jxe~xdx=--^e~x2d(-x2)=--(^-1-1)

o2。22

19.方程i—=0的通7解r為7arcsinx+arcsii-y=-c;----

5

20.微分方程4y—20了+25=0的通解為〉=(臼+。2%)”二

21.當(dāng)n=時(shí)，方程y'+p(x)y=q{x)yn為一階線性微分方程。

解幾=0或1.

22.若4x4階矩陣A的行列式為|A|=3,A*是A的伴隨矩陣，則|A*|=.

答案：27

(A0、

23.設(shè)與層…均可逆，則。=也可逆，且L=.

uB

24.設(shè)A=1311且AX—E=3X，貝UX=__________.

|_23_

oJ_

答案：u2

10

-2-12

25.矩陣402的秩為.

0-33

解答：將矩陣化成階梯形，可知填寫(xiě)：2?

26.向量。=(-1,0,3,-5),13=(4,-2,0,1)淇?jī)?nèi)積為.

答案：—9

27.n階方陣A的列向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是.

答案：r=n，或|A|#0;

28.給定向量組織=(111),a2=(?0b\a3=(132),,若。［，/,見(jiàn)線性相關(guān)，

則。，6滿意關(guān)系式.

答案：a-26=0

29.已知向量組(I)與由向量組QD可相互線性表示，則r(I)與r(II)之間向量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系

是.

答案：相等;

30向量;|/=(2,1)T可以用a=(0,l)T與P=(1,3產(chǎn)線性表示為.

答案：y=—5a+26；

31.方程組Ax=O有非零解是非齊次方程組AB=b有無(wú)窮組解的條件.

答案：必要不充分；

32.設(shè)A為mXn矩陣，非齊次線性方程組Ax=》有唯一解的充要條件是r(A)

r(A\b)=.

答案：r(A)=r(A:/?)=n-

33.已知九元線性方程組AX=人有解，且r(A)<n,則該方程組的一般解中自由未知量的個(gè)

數(shù)為.

解答：n-r(A)

34.設(shè)人是方陣A的一個(gè)特征值，則齊次線性方程組(4E-A)x=O的都是A的屬

于即的特征向量.

答案：非零解；

35.若3階矩陣A的特征值為1,2,-3,則A-的特征值為.

答案：11-1；

'2'3

36.設(shè)A是n階方陣，|A|WO,A*為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣，若A有特征值;10,則

(A*丫+2E必有特征值；I=.

A

答案：(IWI,+2.

%

37.。月分別為實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同特征值4，九2所對(duì)應(yīng)的特征向量，則4與￡的內(nèi)積

(a,0)=.

答案：0

38.二次型/(%；,x2,x3,x4)=+x2x3的秩為.

答案：4.

，420、

39.矩陣A=242為正定矩陣，則2的取值范圍是______.

1021J

答案：—石<4<6

40.二次型/(七,々,％)=2x；+3x；+比；+2%了2+2下%是正定的，則f的取值范圍是.

3

答案：t>-

5

41.A、B、C代表三事務(wù)，事務(wù)“A、B、C至少有二個(gè)發(fā)生”可表示為4B+8C+AC.

42.事務(wù)A、B相互獨(dú)立，且知尸(A)=0.2,尸(3)=0.5則「(4