2024高考數(shù)學模擬卷2（19題結(jié)構(gòu)）解析版

2024高考數(shù)學模擬卷02

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

絕密☆啟用前

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.某校為了提高學生的安全意識，組織高一年級全體學生進行安全知識競賽答題活動，隨機抽取8人的得

分作為樣本，分數(shù)從低到高依次為:84,85,87,87,90,a,b,99,若這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為94,

則利用樣本估計此次競賽的平均分約為（）

A.85B.86C.90D.95

【答案】C

【分析】根據(jù)百分位數(shù)以及平均數(shù)的計算即可求解.

【詳解】由于8x75%=6,所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第六個和第七個數(shù)的平均數(shù)，

故。；匕=94,故。+6=188,

故選：C

z—1

2.若復數(shù)z滿足（l+i）z=5i—z,則f=（）

A.3B.2C.1D.V2

【答案】D

【分析】先求出復數(shù)z的代數(shù)形式，再根據(jù)復數(shù)的除法運算及復數(shù)的模的計算公式即可得解.

【詳解】由(l+i)z=5i—z,得(2+i)z=5i,

所以Z喂5M2T)

=l+2i

(2+i)(2-i)

z—12i2i(l-i)

所以—7二1.一?、=l+i,

Z—11+1(1+1)(1-1)

所以二1=g=0.

z-l

故選：D.

3.已知數(shù)列｛叫為等比數(shù)列，且4=1,旬=16,設(shè)等差數(shù)列出｝的前"項和為S,,,若仇=生，則既=（）

A.—36或36B.-36C.18D.36

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得爐=4,繼而求得々=生的值，利用等差數(shù)列前"項和公式進行計算

即可.

【詳解】數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,且4=1,“9=16,

則￡=/=16,則/=4,

則a=%==4,

貝=9仇=36,

故選：D.

4.p:m=2,q:（〃w：+y）5的展開式中fy3項的系數(shù)等于40,則。是4的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【分析】結(jié)合二項式定理展開式通式的對應關(guān)系求出加，再由充分、必要條件判斷即可.

【詳解】（如+4的展開式中含/丁項為C；（%）2y3=（73山3,

故=40,解得m=±2,

故“m=2”是"m=±2”的充分不必要條件.

故選：A

11Q

5.若〃，匕都是正數(shù)，且必=1,則丁+7r+'7的最小值為（）

2a2ba+b

A.4B.8C.4A/3D.472

【答案】A

【分析】將而=1代入，利用基本不等式直接求解即可得出結(jié)論.

【詳解】若6都是正數(shù)，且必=1

.118ba8a+b8、。\a+b8-.

2a2ba+b22a+b2a+bV2a+b

當且僅當a+b=4時等號成立，

故選:A.

6.英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A,3存在如下關(guān)系：

P（川聯(lián)駕齡.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05,現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該

試劑的準確率為95%,即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報

率為0.5%,即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的

一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（）

.495八995〃10r21

A.------B.------C.—D.—

100010001122

【答案】c

【分析】利用條件概率，結(jié)合全概率公式與貝葉斯公式即可得解.

【詳解】依題意，設(shè)用該試劑檢測呈現(xiàn)陽性為事件B,被檢測者患病為事件A,未患病為事件了，

則P（3|A）=0.95,P（A）=0.05,P（B|A）=0.005,P（A）=0.95,

故尸⑻=0.95x0.05+0.005x0.95=0.05225,

則所求概率為P（A|B）=露=，常⑷0.95x0,0510

005225F

故選：C.

7.在,ABC中，已知tanA+tan5+tanAtan_B=l,則cos2C+sinC的值為()

A.—B.-立C.72D.-V2

22

【答案】A

【分析】利用和角的正切公式求出C,再代入計算即得.

【詳解】在ABC中，A+B^90,否貝！ItanAtanB=tanAtan(90-A)=包工.‘皿9°——義-包1A.CQS,

cosAcos(90-A)cosAsmA

tanA+tanB=O,A+B=180,矛盾，并且有tanAtan5wl,

tanA+tanB+tanAtanB=1?>tan(A+B)(l-tanAtanB)=l-tanAtanB,

jr3冗

因此tan(A+8)=1,而OVA+3VTI,貝(]A+3=—,C=—,

44

所以cos2C+sinC=cos—+sin—=.

242

故選：A

8.已知四面體A3CD,ABC是邊長為6的正三角形，DA=DB=26,二面角O-AB-C的大小為gn,

則四面體A5cD的外接球的表面積為()

A.40兀B.52兀C.72兀D.84兀

【答案】B

【分析】

畫出圖形，找出外接球球心的位置，利用OD=OC=廠以及圖形幾何關(guān)系表示出相應的線段長度，結(jié)合勾股

定理列方程求出外接球半徑即可得解.

【詳解】如圖,

取AB中點E,連接CE,￡>E,因為ABC是邊長為6的正三角形，DA=DB=2也,

則由三線合一可知A3，CE,ABIDE,

2

所以二面角O—AB—C的平面角為/。即=]71,

取三角形A3C的外心設(shè)外接球的球心為。，則平面A3C,

S.OA=OB=OC=OD=r,其中廠為四面體A5CD外接球的半徑，

過點。作DG垂直平面ABC,垂足為點G,由對稱性可知點G必定落在的延長線上面,

由幾何關(guān)系，設(shè)DBnX,

而由正弦定理邊角互換得G。=1X=273,

2sm60

選而0iE=CE-C0i=6x與-26=布,

由勾股定理得。石==Vs，

從而EG=OE-cos（7r-NCEr））=OE-cos；=V^,DG=DEsin（7t-ZCED）=DEsin^=-,

所以0。1=2=]_工，OF=O、G=當,

解得x=g,r=而,

所以由OD=OC=廠得，<

所以四面體ABCD的外接球的表面積為4兀產(chǎn)=52兀.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)換二面角D-AB-C的大小為［兀，并求出外接球半徑，由此即可順利

得解.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

19

9.已知集合4={》|—eN,xeN},8={尤|/-6x<7},則()

X+1

A.AnB={1,2,3,5}B.AuB=(-l,7)u{ll}

C.12?{x-yAyeB}D.3acA,{y|y=lg(x?-ax+叫=R

【答案】BCD

【分析】求出集合A,B,根據(jù)集合的運算即可判斷A,B；結(jié)合x-y<12,可判斷C；由

{yb=lg(x2-?x+9)}=R,結(jié)合判別式，可求得a的范圍，即可判斷D.

19

【詳解】由題意得4={%1--GN,XGN}={0,1,2,3,5,11},B={X|X2-6X<7}=(-1,7),

x+1

故Ac3={0,l,2,3,5},AuB=(-l,7)u{ll},A錯誤，B正確；

由于尤故無一y1)=12,貝！|12名{x-y|xe,C正確；

若{y［y=lg(J—依+9)}=R,貝!|/一6+9能取至［］所有的正數(shù),

BPtz2-36>0,貝!|。26或aV-6,

即A,y=lg（無2-依+9）｝=R,D正確,

故選：BCD

10.已知函數(shù)/（x）=sin]0x+￡）+cos0x（0>O）的最小正周期為2,則（）

A.。=兀B.曲線y=/（x）關(guān)于直線尤=。對稱

O

C.〃尤）的最大值為2D.〃尤）在區(qū)間上單調(diào)遞增

【答案】AB

【分析】

借助三角恒等變換公式將原函數(shù)化為正弦型函數(shù)后，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得.

[詳解]/（x）=sin+3]+cosmx--sina）x+—cosa）x+cosaix

=^-sin^x+—cos^x=V3sinf^x+—，

22L3J

對A：由的最小正周期為2,故臼=2,即。=兀，故A正確；

G）

對B：當x時，兀x，+g=g,由x=g是函數(shù)y=sin尤的對稱軸,

66322

故曲線y=/（x）關(guān)于直線尤=，對稱，故B正確；

對C：又sin"酢卜1川，故“詛-五行故C錯誤；

,、”「11]-?！肛?兀

對D：當一不彳時，7Lr+TG，

_ZZJ366_

7T5冗

由不是函數(shù)丫=5m》的單調(diào)遞增區(qū)間，

00

故一）」不是函數(shù)〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯誤.

故選：AB.

H.費馬原理是幾何光學中的一條重要定理，由此定理可以推導出圓錐曲線的一些性質(zhì)，例如，若點A是

22

雙曲線C（用，鳥為C的兩個焦點）上的一點，則C在點A處的切線平分/耳44.己知雙曲線c：土-匕=1的

84

左、右焦點分別為片,B，直線/為C在其上一點4（4班,2百）處的切線，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.C的一條漸近線與直線岳-y+3=0相互垂直

B.若點B在直線/上，且與8,A8,則|。邳=2夜（。為坐標原點）

C.直線/的方程為若x-返y-4=0

D.延長AF,交C于點P,則的內(nèi)切圓圓心在直線彳=速上

3

【答案】ABD

【分析】根據(jù)雙曲線方程即可求出漸近線可判斷A,由角平分線性質(zhì)可得G點坐標，求出直線/方程可判

斷C,設(shè)出B點坐標由條件可判斷B,假設(shè)片的內(nèi)切圓圓心在直線x=上，由內(nèi)心性質(zhì)可判斷D.

3

【詳解】選項A：雙曲線C:右-f=1的一條漸近線方程為y=與岳-y+3=0相互垂直，故A正

842

確；

選項BC：因為〃=2后,6=2,所以c=20，丹卜2石,0）,耳（2班,0）,

所以|淚=J（4指+2石『+（2灼2=8垃,|A閶=4夜,

y/15

/77<2八、

直線/：y=—x......-,即班尤-&y-2=0,故C錯誤，

513J

（h后-2

設(shè)2項吃一,則_飛__5,化簡得：x=-百,

【代J命=二而二一無

所以3卜上，-君），則|OB|=2及，故B正確；

選項D：=小/11百=半'直線Ag：丫=平卜-2@,

化簡得：7/_40氐+144=0

撞

"12732后岳

所以尸~39~

一2拒E

7

所以直線尸［:>=-等卜+26卜

2^3IL什。*士心48r

因為△4尸片的內(nèi)切圓圓心在直線直線/：y=-x--—上，若又在直線工=空上上,

533

(4J32垂、

則內(nèi)切圓圓心為周一，，一圓心到直線和：岳x-3y-6君=0的距離為:

I33J

F*3爭一6囪,同,

J15+915

圓心到直線咫：屏x+39y+6石=0的距離為:

后口以拶+6石

4而，即4=4,

d=

2V15+39215

羋，*］為用的內(nèi)切圓

所以點「望4百，三2至一、也在乙針書的角平分線上，即點

I33J

圓心，圓心在直線x=逋上，故D正確;

3

故選：ABD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：充分利用角平分線的性質(zhì)得出G點坐標，根據(jù)直線垂直關(guān)系及點到直線距離公式可

判斷各項.

第n卷

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知。為坐標原點，A(l,0),B為圓”:(x-2y+y2=i上一點且在第一象限，|A6|=1,則直線。3的

方程為.

【答案】y=—x

-3

【分析】數(shù)形結(jié)合求得直線02的傾斜角，進而即可求得直線方程.

【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：

易知點A在圓M上，由可知，=

所以/區(qū)4M=60。，又因為41TAsI，所以N3Q4=30。，

則直線。8斜率左=tan3(T=也，故直線。3的方程為y=且無.故答案為：y=^x.

333

13.大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作注時介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同

學繪制的趙爽弦圖，其中四邊形ABCD,砂GH均為正方形，AD=AE^2,^FB-AH=.

【答案】16

【分析】建立直角坐標系，由數(shù)量積的坐標表示求解即可.

【詳解】以。為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，因為AD=AE=2,

所以--2,0),8(2,2)4(0,2)5(4,2),所以FB=(4,2),AH=(4,0),所以麗?加=16.故答案為：⑹

33x_Ql_l

14.函數(shù)〃x)=)e:nar1/>())的最小值是.

【答案】3

【分析】解法一：求函數(shù)“X)的導函數(shù)((x),再利用導數(shù)研究尸(x)的零點及零點兩側(cè)函數(shù)值的正負，由

此確定函數(shù)/'(x)的單調(diào)性，再求其最值可得.

解法二：利用切線放縮可得

【詳解】解法一：/'(%)=3吠+2彳；+3——2,

令g(x)=3x'e"+2x3e3x+31nx—2,

貝！Ig'(x)=9x4e3x+18x3e3x+6x2e3x+-,

x

當x>0時，g'(x)>0,

43%33x3+3hu3

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,g(x)=3xe+2xe+31nx-2=3xe"-+2e+31nx-2,

設(shè)/z(無)=31nx+3x,

因為//(尤)=31n尤+3x在(0,+ao)上單調(diào)遞增，

33

因為〃(1)=3>0,/7(e-)=-9+3e<0

存在不,使311Mo+3%=0,

且g(%o)=3x0+2+31nx0—2—31nx0+3x0—0,

故當x?0,x。)時,g(x)<0,即尸(x)<0,所以〃x)在區(qū)間(O,x0)單調(diào)遞減,

當x?x0,+s)時，g(x)>0,即用x)>0,所以在區(qū)間(對—)單調(diào)增,

所以［〃尤幾=〃尤。)=尤芳:小一1e3M+31叭311no131叫)=3

人()玉)尤o

解法二(最優(yōu)解)：設(shè)p(x)=e，—x-l,則p'(x)=e-l,

所以當X?YO,0)時,p(x)<0,p(x)單調(diào)遞減;當xw(O,E)時,p(x)>0,P(無)單調(diào)遞增；所以

p(x)>p(O)=O,即e*2x+l,當且僅當尤=0時,等號成立；

g、―/\x3e3l-31nx-le3x+31nA-31nx-l3A：+31nx+l-31nx-l0

所以/(%)=------------=--------------2-------------------=3，

xxx

當且僅當x+lnx=O時等號成立,

設(shè)s（x）=_r+lnx,可得s（x）單調(diào)遞增，又5卜一）=e--l<O,s⑴=1>0,

所以s（x）=0有解,所以"（X）L=3.

故答案為：3.

【點睛】方法點睛：解法一：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重

要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、

微積分相聯(lián)系.（2）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).（3）利用導數(shù)求函數(shù)

的最值（極值），解決生活中的優(yōu)化問題.（4）考查數(shù)形結(jié)合思想的應用.

解法二：常見的切線放縮有e'"+l,e"Nex,lnxWx-l,lnxJx.

e

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（13分）滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽

因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽

必分勝負，本局比賽結(jié)束后，負的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局比賽，來替換

負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽

的結(jié)果相互獨立.

⑴求前3局比賽甲都取勝的概率；

（2）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望.

【答案】⑴:

O

9

⑵分布列見解析，f

O

【分析】（1）利用獨立事件的概率乘法公式計算即得；

（2）列出隨機變量X的所有可能的值，分別求出每個值對應的概率，列出分布列，求出期望值.

【詳解】（1）因各局比賽的結(jié)果相互獨立，前3局比賽甲都獲勝，

則前3局甲都取勝的概率為P=4x4x：=J.

222a

（2）X的所有可能取值為0,1,2,3.

其中，X=0表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則尸（X=0）=gxg=；；

X=1表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸,

X=2表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸,

貝”(X=2)K4=，

X=3表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏,

所以X的分布列為

X0123

￡11

P

4288

故X的數(shù)學期望為E(X)=0X9+1X:+2X：+3X!=，

42ooo

16.(15分)如圖，四棱錐尸-ABCD的底面為矩形，平面PC。，平面ABC。，PCD是邊長為2等邊三角

形，8C=0，點E為8的中點，點〃為PE上一點(與點尸，E不重合).

(1)證明：AM±BD；

(2)當A”為何值時，直線AM與平面所成的角最大？

【答案】⑴證明見解析；

(2)2.

【分析】(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABCD,可得皮)，尸E,結(jié)合條件可得然

后利用線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得；

(2)利用坐標法，表示出平面的法向量，利用向量夾角公式結(jié)合基本不等式即得.

【詳解】(1)因為三角形PCD是等邊三角形，且E是DC中點，

所以PE1.CD,

又因為PEu平面尸C￡),平面PCDJ_平面ABCD,平面尸CD「平面ABCD=CD,

所以尸E_L平面ABCD,

又因為BDu面A5CD,

所以BDLPE,

e、，r-ZJZL/\U

因為￡>E=1,AD=&,A8=2，—=—,

所以RtEOAsRtDAB,ZDAE=ZABD,

IT

ff[]^ZBAE+ZABD=-,即

因為8￡>_LPE,AE尸石=瓦4￡匚平面24瓦尸￡'<=平面2鉆，

所以應>1平面巴4E,

又因為A"u平面B4E,

所以如_LAAf；

(2)設(shè)F是AB中點，以E為原點，E尸所在直線為x軸，EC所在直線為y軸，￡P(guān)所在直線為z軸建立空

間直角坐標系，

由已知得E（0,0,0）,A（后，-1,0）,8（點,1,0）,0（0,-1,0）,P（0,0,白）,

設(shè)M（0,0,機）（0<小<有），則AM=（-72,1,m）,BD=（一0,-2,0）,OM=（0,1,機）、

設(shè)平面BDM的法向量為n=（a,b,c）,

,n-BD=-s/2a-26=0

則n，

n?DM=b+me=0

令b=l,有〃=

設(shè)直線AM與平面BDM所成的角。,

所以sina=|cos（?AM）=n-AM

|??|.AM

當且僅當〃2=1時取等號，

當AM=2時，直線A"與平面SDA1所成角最大.

17.(15分)設(shè)函數(shù)/(無)=g依2+(i一元)e\

(1)當時，討論/(尤)的單調(diào)性；

(2)若xw［-2,2］時，函數(shù)/(無)的圖像與丫=二的圖像僅只有一個公共點，求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

⑵(l,2e)

【分析】(1)借助導數(shù)對。(0、。=1及0<。<1分類討論即可得；

x

(2)原問題可等價于方-2/=0即。=竺7PX在1-2,0)10,2］上無解，構(gòu)造函數(shù)g(x)=竺9p，借助導數(shù)研究即

XX

可得.

【詳解】(1)/(X)的定義域為R,f'(x)=ax-x&x=x{a-er),

①當a40時，a-e'<0,由/'(x)=x(q-e')>0,得尤<0,

由/''(x)=x(a-e")<。，得尤>0,

.?.當a<0時，/(尤)的在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,+刈上單調(diào)遞減,

②當。=1時，/,(x)=x(l-ex),八0)=0,

當xwO時，/(無)<0,/(')的區(qū)間(-8,入)上單調(diào)遞減，

③當0<°<1時，由尸(x)=x(a-eX)=0,得x=0或x=lna,且lna<0.

當x變化時，/'(%),/(尤)的變化情況如下表：

X(-00,Ina)(Ina,0)(0,+co)

/(X)—+—

f(x)遞減遞增遞減

綜上所述，當。W0時，Ax)的在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減;

當a=l時，/(X)在區(qū)間(-8,+◎上的單調(diào)遞減；

當0<.<1時，〃尤)在區(qū)間(In。,0)上的單調(diào)遞增，

在區(qū)間(-8,Ina)和(0,+8)上單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)若xe［-2,2］時，函數(shù)/⑴的圖像與〉=二的圖像僅只有一個公共點，

即關(guān)于x的方程g辦2+(l-x)e'=e',即x(ax-2e')=0在區(qū)間［-2,2］上僅只有一個解,

%=0是方程的解，且x=0時ox-2e"w0,

2ex

「?問題等價于"-2/=0即〃=竺在［-2,0)(0,2］上無解，

x

2ex

即曲線g(x)=±±(-2Wx<0或。vx《2)與直線y=Q無公共點，

g，(x)=2e'(：T),由，(x)=0得彳=1,

當-2?%<0或0<xW2時，X變化時，g'Q),gQ)的變化情況如下表:

X-2(-2,0)0(0,1)1(1,2)2

g'(x)——+

g(無)-e-2遞減，負值無意義遞減，正值極小值2e遞增，正值e2

且當x>0且％—>0時，g(x)—+00；當X<0且X—>0時，g(x)―—CO.

故。的取值范圍為(-e<,2e).

18.(17分)已知拋物線C：V=4x的焦點為F，在x軸上的截距為正數(shù)的直線/與C交于P,。兩點，直線PE

與C的另一個交點為R.

⑴若R1』J,求1P印

(2)過點R作C的切線若/I',則當一PQR的面積取得最小值時，求直線/的斜率.

【答案】⑴寧25

(2)±1

【分析】(1)由題意計算直線尸產(chǎn)的斜率，寫出直線P尸的方程，聯(lián)立拋物線計算交點坐標，由過焦點的焦

點弦長公式可得結(jié)果；

(2)設(shè)直線網(wǎng)的方程為：x=my+l,并設(shè)網(wǎng)0力),7?@，%)，聯(lián)立直線與拋物線方程可得韋達定理以及

弦長|依|,求出在點R處的切線斜率，寫出直線尸Q的方程，求解點。的坐標，以及點。到直線網(wǎng)的距離,

用點坐標8七,％)化簡計算，可求出面積最小時的力的值，從而求出治，可求出斜率.

【詳解】(1)由題意可知/(1,0),因為則直線PF的斜率為％=-g,

所以直線PF的方程為y=-1（%-1）,

y1=4x

聯(lián)立4Z、，可得4——17%+4=0,BP（4x-l）（x-4）=0,

y=一§（i）

解得七=；,々=4,當％2=4時，y=-4,則P（4,-4）,

25

故|「穴|=|再+巧+。|=1.

（2）設(shè)直線尸R的方程為x=my+l,并設(shè)/（七,%）水（斗％），

1丫2=4V

聯(lián)立）,消犬可得y2_4切_4=0,

[x=my+1

則「1%一+-=4”m，公=16布+16>0恒成立，

1%?%=T

|尸氏卜yjl+m21%-%|=Jl+/]（%+為『-4%，%

=yjl+m2yJ16m2+16=4（1+〃-）,

設(shè)過點R（*%）的切線方程為：y-y.=k（x-x4）,

y2=4%

聯(lián)立，/、，得外2_4>-4也+4%=。，

〔,一必=上@一匕）

因為△=（）,貝!J有16-4%（4%-4依4）=0,

2

因為R（z，%）在拋物線上，所以皿=4匕，代入求解可得上=一,

2

所以p。的直線方程為：y-%=—（X-%）,設(shè)。（%,%）,

y2=4x

聯(lián)立2,、，消去無可得丁―2”廣氣-8=0,

,一%=一（冗一七）

、）4

因為尸（七,為）在拋物線上，所以4=4九3,代入可得丁—2%y-貨-8=0,

16

%+%=2y4rTr*|-88￥”

則有所以%=------=-%—,不=芋+1+4,

%%4%

即紇%-；%普+3,

21.168

+/4-m-y------11

點。到直線質(zhì)的距離為「4￡3

a二

A/1+m2

4

為—一

國+與+4+%81■+§+4

%+一卜1

4%J4%2%-2

Jl+m2

yjl+m2

則c1Jx|P7?|-^x2%黃

PQR=~Xx4(l+療

yjl+m2

16

+￥

16

+7

當且僅當￡=3,普=±時，即丫3=±2時，等號成立,

為16%

所以當為=±2時，三角形PQR面積最小，

2

因為%?%=-4,所以％=-2或乂=2,此時/=一=±1.

y4

19.(17分)根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)z=f(羽y)在約束條件gQ,y)的可能極值點，首

先構(gòu)造出一個拉格朗日輔助函數(shù)L{x,y,A)=f(x,y)+Ag(x,y),其中幾為拉格朗日系數(shù).分別對L(x,y,2)中

的龍,部分求導，并使之為0,得到三個方程組，如下：

4(x,y,A)=fx(x,y)+Agx(x,y)=0

<Lv(x,y,2)=fy(x,y)+Agy(x,y)=0,解此方程組，得出解(蒼〉),就是二元函數(shù)z=/(x,y)在約束條件g(x,y)

/式x,y,X)=g(x,y)=0

的可能極值點.%，，的值代入到中即為極值.

補充說明：【例】求函數(shù)/(X,y)=/+孫+/關(guān)于變量X的導數(shù).即：將變量y當做常數(shù)，即：fx(x,y)=2x+y,

下標加上X,代表對自變量無進行求導.即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的4,4,〃表示分別對X,弘力進行求

導.

(1)求函數(shù)f(x,y)=x2y2+2孫+孫2關(guān)于變量y的導數(shù)并求當x=i處的導數(shù)值.

⑵利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實數(shù)羽V滿足g(x,y)=4/+/+孫-1=0,求/(x,y)=2x+y的最大值.

(3)①若羽V，z為實數(shù)，且％+y+z=l,證明：x2+y2+z2>1.

11

②設(shè)求2。9+—+------10tzc+25c9的最小值.

aba^a-b)

【答案】⑴力(羽丁)=2。+2%+29，