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文檔簡介
中考數(shù)學一輪復習提高講義:新定義問題
知識梳理
新定義問題是一種新題型,指的是:給出新定義,提出新問題,要求學生認真地閱讀,現(xiàn)學現(xiàn)用,通過實
驗、探究、猜想、分析來解決問題.解決本類型題目的關(guān)鍵是理解定義的內(nèi)涵和外延.常見類型有:
⑴定義一種新數(shù);
(2)定義一種新運算;
(3)定義一種新法則;
(4)定義一種新圖形.
典型例題
例1
一個自然數(shù)a,若將其數(shù)字重新排列可得到一個新的自然數(shù)b,如果a恰好是b的3倍,我們稱a是一個“希望
數(shù)”.
⑴請舉例說明“希望數(shù)”一定存在.
(2)請你證明:如果a,b都是希望數(shù),則ab一定是729的倍數(shù).
分析(1)根據(jù)希望數(shù)的定義可知,428571=3x142857,故此數(shù)即為希望數(shù);
⑵由于a,b均為希望數(shù),所以存在一個由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p,使得a=3p并且a的數(shù)字和等于
P的數(shù)字和,根據(jù)整除的判別法可知a為3的倍數(shù),p為9的倍數(shù),再由a,b都是“希望數(shù)何知a,b都是27的倍數(shù),
設(shè)a=27%,b=27電(如,電為正整數(shù))代入ab即可得出答案.
解⑴因為428571=3x142857,
所以428571是一個“希望數(shù)”.
⑵因為a為“希望數(shù)”,依“希望數(shù)”定義知,存在一個由a的數(shù)字重新排列而成的自然數(shù)p,使得a=3p并且a
的數(shù)字和等于P的數(shù)字和.
因為a=3p和a為3的倍數(shù),但a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和,
所以由整除判別法,知p為3的倍數(shù),
所以p=3m,(m為正整數(shù)),
所以a=3xp=3x3m=9m,
所以a被9整除.
因為a的數(shù)字和等于p的數(shù)字和,
所以由被9整除的判別法可知p能被9整除,即p=9k(k為整數(shù)),所以p=3a=3x9k=27k
所以a是27的倍數(shù)
所以“希望數(shù)”一定能被27整除
因為a,b都是希望數(shù)1
所以a,b都是27的倍數(shù),即a=27nnb=27n2(ji1,處為正整數(shù)).
所以ab=(27ni)(27n2)
第1頁共9頁
=(27X27)(7iixn2)
=729711n2,
所以ab一定是729的倍數(shù)
例2
定義一種新運算“*”,其規(guī)則是a*b=早.根據(jù)定義解方程:-1*x=:.
Z4
分析根據(jù)題中的新定義,把要求方程的左邊變形為普通的方程,然后去分母,去括號,移項,合并同類項,
系數(shù)化為1,即可求出X的值.
解由題意得:普=;,
去分母得:2(-l+x)=x,
去括號得:-2+2x=x,
移項合并得:x=2.
例3
已知:(m-x>(-x)-(x+m)?(-n)=5x+x2-6對任意的有理數(shù)x都成立,求m(n-l)+n(m+l)的值.
分析利用多項式乘以多項式法則將等式的左邊展開并合并同類項,根據(jù)多項式相等的條件即可求出m,n的
值,再代入計算即可求解.
解(m-x)?(-x)-(x+m)?(-n)
=—mx+%2+nx+mn
=(—m+n)x+%?+mnf
因為(m-x>(-x)-(x+m).(-n)=5x+x2-6對任意的有理數(shù)x都成立,
所以-m+n=5及mn=-6,
原式二2mli+(-m+n)=-12+5=-7.
例4
b
對任意四個有理數(shù)a,b,c,d定義新運算:9\=ad-bc.
Icfll
⑴根據(jù)規(guī)則,計算「3=.;
第2頁共9頁
⑵已知|2%二4|=18,則x=.
IX1I
分析本題需看清這種運算的規(guī)則,將題中的式子轉(zhuǎn)化為計算題和一元一次方程,再通過計算求得值.
解⑴原式=3xl-2x5=-7;
⑵轉(zhuǎn)化為一元一次方程:2x-(-4)x=18,
可化為:2x+4x=18,6x=18;
即x=3.
例5
(1)證明:若四個有理數(shù)a,b,c,d滿足陪=-I廁n+^+n+靜勺最大值為2.
abed\a\\b\|c|\d\
(2)符號"P表示一種運算,它對一些數(shù)的運算結(jié)果如下:
①f⑴=0,f(2尸l,f(3尸2,f(4尸3,…
circle2f^)^2,鹿)=3,/g)=4,/g)=5,…
利用以上規(guī)律計算:募)-/(2013)=_.
(3)代數(shù)式|x+2|+|x-2|+|x+3|+|x」的最小值為一.
分析⑴由已知的等式得到abed為負值,由兩數(shù)相乘積的去符號法則得到a,b,c,d中有一個為負數(shù)或三個
為負數(shù),若四個字母中有一個為負數(shù),利用負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)、正數(shù)的絕對值等于它本身進行化簡,
求出所求式子的值;若有三個為負數(shù),同理化簡求出所求式子的值,比較即可得到所求式子的最大值;
(2)由已知的兩列等式得到規(guī)律:/(n)=n-l,/g)=上且n為正整數(shù),取"2008,分別代入相應(yīng)的運算中計
算,即可得到所求式子的值;
(3)分x<-3,-3<x<-2,-2<x<l,l<x<2,x>2五個范圍進行討論,從而判斷絕對值中代數(shù)式的正負,利用絕對值的代數(shù)
意義化簡,并分別求出所求式子的值,比較即可得到所求式子的最小值.
解⑴依題意也魯=-L得到|abcd|=-abcd,
abed
所以abedvO,即a,b,c,d中有一個為負或三個為負.
⑴當有一個為負,假設(shè)a<0時,則有|a|二-a,
此時言+比+三+等=-1+1+1+1=2,
若b<0或c<0或d<0時,同理得到言+9+3+9=2.
W網(wǎng)\c\\d\
(ii)當有三個為負時,假設(shè)a<0,b<0,c<0時,d>0,則有|a|=-a,|b|=-b,|c|二-c,|d|二d,
止匕時言+卷+=+告=-1-1-1+1=-2,
⑷網(wǎng)?\d\
若b<0,c<0,d<0或a<0,b<0,d<0時,同理得到言+卷+。+含=-2.
1?1網(wǎng)?\d\
綜上所述,原式的最大值是2.
(2)根據(jù)上述等式得到/(n)=n-l,/Q)=n(n為正整數(shù)),則/(募)—/(2014)=2014-2013=1.
(3)當x£3,原式=-x-2-x+2-x-3-x+l=-4x-2;
最小值=-4x(-3)-2=10;
當一3vxg-2,原式=-x-2-x+2+x+3-x+1=-2x+4;
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最小值=-2x(-2)+4=8;
當-2<x<1,原式=x+2-x+2+x+3-x+1=8;
當lSx/2,原式=x+2-x+2+x+3+x-l=2x+6;最小值=8;
當xN2,原式=x+2+x-2+x+3+x-1=4x+2,最小值=10.
綜上代數(shù)式x+2|+|x-2|+|x+3|+|x-l|6的最小值為8.
雙基訓練
S1+S2;…+s,
1.記%=的+a?+…+即,令Tn=稱為ai&2,…,a□這歹U數(shù)的“理想數(shù)已知,a2,...,a500的
“理想數(shù)”為2004那么8為4,...,a50。的“理想數(shù)”為____.
2.聞表示自然數(shù)A的約數(shù)的個數(shù)例如4有1,2,4三個約數(shù),可以表示成[[4]=3.計算:([18]+[22])-[7]=—.
3.規(guī)定新運算※:aXb=3a-2b.若xX(4X1)=7,則x=.
4.定義運算2”如下:對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為aAb.例如:4A6=(4,6)
+[4,6]=2+12=14.根據(jù)上面定義的運算,18A12=.
5.任何一個正整數(shù)都可以寫成兩個正整數(shù)相乘的形式,我們把兩個乘數(shù)的差的絕對值最小的一種分解(pWq)稱
為正整數(shù)的最佳分解,并定義一個新運算:F(n)=2例如:12=1x12=2x6=3x4,這時就有F(12)=:.則F(24)=—.
6.“華”“杯”“賽”三個字的四角號碼分別是“2440”“4199”和“3088”,將“華杯賽”的編碼取為244041993088,如果這
個編碼從左起的奇數(shù)位的數(shù)碼不變,偶數(shù)位的數(shù)碼改變?yōu)殛P(guān)于9的補碼,例如:0變9,1變8等,那么“華杯賽”
新的編碼是—.
7.已知:103=14,87=2,|i=1,根據(jù)這幾個算式找規(guī)律,如果“=1,那么x=__.
448
8.餐廳里有兩種餐桌,方桌可坐4人,圓桌可坐9人,若就餐人數(shù)剛好坐滿若干張方桌和圓桌,餐廳經(jīng)理就稱
此數(shù)為“發(fā)財數(shù)”,在1~100這100個數(shù)中,“發(fā)財數(shù)”有一個.
9.若定義一種新的運算為a*b=鼻,計算[(3*2)]*i
3.—CIDO
10.對于任意的兩個自然數(shù)a和b,規(guī)定新運算*:a*b=a(a+l)(a+2)...(a+b-l),其中a,b表示自然數(shù).如果(x*3)*2=3
660,求x的值.
1L若“!”是一種運算符號,并且1!1=1,2!=2xl=2,3!=3x2xl=6,4!=4x3x2xl=24,…求膽+99.
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12.“▽”表示一種新運算,它表示xPy=2,黑宙.求3V5的值
/xy(x+l)(y+8)
13.x,y表示兩個數(shù),規(guī)定新運算"口"及"△"如下:xciy=6x+5y,xAy=3xy.求(2口3)44的值.
14.有一個數(shù)學運算符號“O,使下列算式成立:紅《,沙}=總求高。韻勺值?
Z365y456742115
15.規(guī)定a十b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+)-l))(a,b均為自然數(shù),b>a).如果x十10=65,那么x的值
是多少?
16對于數(shù)a,b規(guī)定運算,▽”為aVb=(a+l)x(l一b)若等式(aDaN(a+l)=(a+l)V(aVa))成立,求a的值.
17.a表示順時針轉(zhuǎn)90°,b表示順時針轉(zhuǎn)180*表示逆時針轉(zhuǎn)90°,d表示不轉(zhuǎn),定義運算“&”表示“接著轉(zhuǎn)”.求a&
b,b&c,c&a.
18.法國的“小九九”從“一一得一”到“五五二十五”和我國的“小九九”是一樣的,后面的就改用手勢了.如圖24-1
(a)(b)所示,是用法國“小九九”計算8x9和6x7的兩個示例.
8x9=?6x7=?
左手A右手
?.?兩手伸出的手指數(shù)的和為7,?.?兩手伸出的手指數(shù)的和為3,
未伸出的手指數(shù)的積為2.未伸出的手指數(shù)的積為12,
.-.8x9=72..*.6x7=42.
、(8X9=10x(3M)+2x1=72),、(6x7=10x(l+2)Mx3=42),
(a)(b)
圖24-1
⑴用法國“小九九”計算7x8,左、右手依次伸出手指的個數(shù)是多少?
⑵設(shè)a、b都是大于5且小于10的整數(shù),請你說明用題中給出的規(guī)則計算axb的正確性?
第5頁共9頁
19.用{a用示表勺小數(shù)部分,[a]表示不超過a的最大整數(shù)例如:{0.3}=0.3,[0.3]=0;{4.5}=0.5,[4.5]=4.記f(x)=
需,請計算{嗚}“前{f(D},[f(l)]的值
20.閱讀下列材料,回答問題.
[材料1]乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù),即藍與、:互為倒數(shù),也就是說,(,a+b=x.則b+a=*
【材料2】乘法分配律:一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘,等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘,再把所得的積相加,
即(a+b)c=ac+bc.
利用上述材料,巧解下題:(一專)+d一卷+1一1).
能力提升
21.2010減去它的|,再減去剩余數(shù)的J,再減去剩余數(shù)的;,…,依此類推,一直到減去剩余數(shù)的焉,,則最
后剩余的數(shù)是().
11
A.—B.—C.2D.1
20101005
22.在正整數(shù)范圍內(nèi)定義一種“F”運算,對于任意正整數(shù)n,這種運算滿足:①當n為奇數(shù)時,結(jié)果為3n+5;②當
n為偶數(shù)時,結(jié)果為匹/2x(其中k是使各為奇數(shù)的正整數(shù)),并且運算重復進行.例如,當n=26時,部分運算過程如
下:
若n=449,則第449次“F運算”的結(jié)果是.
23.如有a#b新運算,a#b表示a,b中較大的數(shù)除以較小數(shù)后的余數(shù).例如;2#7=1,8#3=2,9#16=7,21#2=1.如(21#(21#
x))=5,則x可以是____(x小于50).
24.若自然數(shù)n使得作豎式加法n+(n+l)+(n+2)均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象,則稱n為“可連數(shù)”,例如32是“可連數(shù)”,因為
32+33+34不產(chǎn)生進位現(xiàn)象;23不是“可連數(shù)”,因為23+24+25產(chǎn)生了進位現(xiàn)象,那么小于200的“可連數(shù)”的個數(shù)為—
第6頁共9頁
25.已知x,y,z.為互不相等的正整數(shù),目打打}=1,則x+y+z三.
26.已知正整數(shù)n小于100,且滿足冏+冏+用=%其中X表示不超過x的最大整數(shù),這樣的正整數(shù)n有一
27.我們規(guī)定:符號“?!北硎具x擇兩數(shù)中較大數(shù)的運算,例如:503=305=5,符號“△”表示選擇兩數(shù)中較小數(shù)
的運算,例如:5A3=3A5=3,計算?的結(jié)果是多少?
(。,3匐+(百25)
28.國際統(tǒng)一書號ISBN由10個數(shù)字組成,前面9個數(shù)字分成3組,分別用來表示區(qū)域、出版社和書名,最后
一個數(shù)字則作為核檢之用.核檢碼可以根據(jù)前9個數(shù)字按照一定的順序算得.如:某書的書號是ISBN7-107-17543-2,它
的核檢碼的計算順序是:
①7x10+1x9+0x8+7x7+1x6+7x5+5x4+4x3+3x2=207;
②207+11=18........9;
③11-9=2.這里的2就是該書號的核檢碼.
依照上面的順序,求書號ISBN7-303-07618-口的核檢碼.
29.現(xiàn)定義一種新運算:a&=ab+a-b,如1(88=1x3+1-3=1.
⑴求(2)甑&6).
⑵新定義的運算滿足交換律嗎?試舉例說明.
30.小樂發(fā)明了一個魔術(shù)盒,當任意有理數(shù)對(a,b)放入盒中時,會得到一個新的有理數(shù):a3+3a2b+3ab2+
川.例如把(3,-2)放入其中,就會得到33+3X32X(-2)+3x3x(-2)2+(-2)3=19-18=1.
(1)現(xiàn)將有理數(shù)對(-2,3)放入盒中得到有理數(shù)m,再將有理數(shù)對(m,-7)放入盒中后,得到的有理數(shù)是多少?
(2)小樂先放入有理數(shù)對(2009,—2010),如果再放入有理數(shù)對(一2010,2009),那么兩次得到的有理數(shù)會相等嗎?請
你說明理由.
⑶在⑵中.你還能放入有理數(shù)對(-2009,—),(—,2009)使得得到的有理數(shù)也和得到的有理數(shù)相等.
⑷小樂先放入有理數(shù)對(m,n),請你放入有理數(shù)對(),讓得到的有理數(shù)與小樂得到的有理數(shù)相等.
拓展資源
31.已知(2%+I)5=ax5+bx4+ex3+dx2+ex+f,則a―b+c-d+e-f的值為().
A.-1B.lC.243D.-243
+1—4-[W])(取整符號團表示不超
32.在一列數(shù)xx,x2,x3,…中,已知Xi=1且當k>2時,.x0=x0-i
過實數(shù)a的最大整數(shù),例如[[2,6]=2,[0.2]=0),則x2014等于().
第7頁共9頁
A.lB.2C.3D.4
33.趙巖、徐婷婷、韓磊不但是同班同學,而且是非常要好的朋友,三個人的學習成績不相伯仲,且在整個年
級中都遙遙領(lǐng)先,高中畢業(yè)后三個人都如愿地考入自己心儀已久的大學.后來三個人應(yīng)母校邀請給全校學生作一次
報告.報告后三個人還出了一道數(shù)學題:有一種密碼把英文按字母分解,英文中的a,b,c,...,z26個字母(不論大小寫)依
X
2
次用1,2,3,...,26這26個自然數(shù)表示,并給出如下一個變換公式y(tǒng)=L+1中x為不超過26的正奇數(shù))(其中x
匕-]+13
為不超過26的正偶數(shù)),已知對于任意的實數(shù)x,記號岡表示不超過x的最大整數(shù);將英文字母轉(zhuǎn)化成密碼,如8T
[等]+13=17,即h變成q,再如11->[y]+1=6,即k變成f.他們給出下列一組密碼:etwcvcjwejncjwwcabqc
匕把它翻譯出來就是一句很好的臨別贈言.現(xiàn)在就請你把它翻譯出來,并簡單地寫出翻譯過程.
34.閱讀下列材料:
一般地,n個相同的因數(shù)a相乘,即aa.;a記作a”如2x2x2=23=8,此時,3叫作1個以2為底8的對數(shù),記
4
為log28(即log28=3).一般地,若a〃=b(a)O且a#l,b>0),則n叫作以a為底b的對數(shù),記為log。b(即log.b=n).如:3
=81,,則4叫作以3為底81的對數(shù),記為log381(即log381=4).
⑴計算以下各對數(shù)的值:
log2^=,2og216=log264=
(2)觀察(1)中三個數(shù)4,16,64之間滿足怎樣的關(guān)系式,log24,log216,log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式?
(3)由⑵的結(jié)果,你能歸納出一個一般性的結(jié)論嗎?
logoM+log4N=(a>0Ha#l,M>0,N>0);
(4)根據(jù)幕的運算法則an-am=廢+m以及對數(shù)的含義證明上述結(jié)論.
35.數(shù)學上,為了簡便,把1到n的連續(xù)n個自然數(shù)的乘積記作:n!,即n!=lx2x3x...x(n-l)xn,,將上述n個
自然數(shù)的和記作£之》,即£屋Lk=l+2+3+-+n則|^+£言容—£如汴=.
第8頁共9頁
211
1.20082.53.94.425.-6.2549489039817.-8.889.—10.3
一386
11.^—12.—013.32414.—15.2
9801003835
16.017.a&b=c,b&c=a,c&a=d.
18.(1)按照圖中示例可知:要計算7x8,左手應(yīng)伸出7-5=2個手指,右手應(yīng)伸出8-5=3個手指;
(2)按照圖中示例可知:要計算axb.左手應(yīng)伸出(a-5)個手指,未伸出的手指數(shù)為5-(a-5)=10-a;右手應(yīng)伸出(b-5)個手
指,未伸出的手指數(shù)為5-(b-5)=10-b,故兩手伸出的手指數(shù)的和為(a-5)+(b-5)=a+b-10,
未伸出的手指數(shù)的積為(10-a)x(l0-b)=100-10a-10b+axb,
根據(jù)題中的規(guī)則,axb的結(jié)果為10x(a+b-10)+(100-10a-10b+axb),
而10x(a+b-10)+(100-10a-10b+axb)=10a+
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