2024年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題：菱形的存在性問題（學(xué)生版+解析）

專題12菱形的存在性問題

一、知識導(dǎo)航

作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；

(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

(3)四邊都相等的四邊形是菱形.

坐標(biāo)系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法.和平行四邊形相比，菱形多一個“對角線互相垂直”

或“鄰邊相等”，但這兩者其實是等價的，故若四邊形ABC。是菱形，則其4個點坐標(biāo)需滿足：

xA+xc=xB+xD

《XA-XB)。+(1A-y?。=J(1c—無B，+(《c

考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等.

即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點坐標(biāo)的3個等式，

故菱形存在性問題點坐標(biāo)最多可以有3個未知量，與矩形相同.

因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個動點，多則有3個動點，可細分如下兩大類題型：

(1)2個定點+1個半動點+1個全動點

(2)1個定點+3個半動點

解決問題的方法也可有如下兩種：

思路1:先平四，再菱形

設(shè)點坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=2+ZT(AC、80為對角線)，再結(jié)合一組鄰邊相等，得

到方程組.

思路2:先等腰，再菱形

在構(gòu)成菱形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個點，

再確定第4個點.

1.看個例子：

如圖，在坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)(1,1),8點坐標(biāo)為(5,4),點C在x軸上，點。在平面中，求。點坐標(biāo)，使

得以A、B、C、。為頂點的四邊形是菱形.

八y

B

A

思路1：先平四，再菱形

設(shè)C點坐標(biāo)為(m,0),。點坐標(biāo)為(p,q).

(1)當(dāng)A5為對角線時，由題意得：(A3和CD互相平分及AO3C)

[39

一

rm=o

1+5=m+p

<l+4=0+q,解得：｝P=-

o

2以=(機-『+)2

(m-I)+(0-5(0-4q=5

(2)當(dāng)AC為對角線時，由題意得：(AC和BD互相平分及BA=BC)

1+m=5+pm=21m=8

<1+0=4+^,解得：<p=-2或<p=4

(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=—3

(3)當(dāng)AD為對角線時，由題意得：

1+p=5+mm=l+2^6m-\-2^6

解得：，癡或，。=

<l+q=4+0,0=5+25-2#

y

0\/X

思路2:先等腰，再菱形

先求點C,點C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定C,再

確定。點.

（1）當(dāng)AB=AC時，

C點坐標(biāo)為（1+2#,0）,對應(yīng)。點坐標(biāo)為（5+2幾,3）;

C點坐標(biāo)為（1-2底0）,對應(yīng)。點坐標(biāo)為（5-2瓜3）.

（2）當(dāng)8A=BC時，

C點坐標(biāo)為（8,0）,對應(yīng)。點坐標(biāo)為（4,-3）;

C點坐標(biāo)為（2,0）,對應(yīng)。點坐標(biāo)為（-2,-3）.

（3）AC=BC時，

C點坐標(biāo)為。點坐標(biāo)為11，5）.

///一一”'、、、、

//、、X

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C'、、0*X外一;/C/Ocx

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D*'、々

以上只是兩種簡單的處理方法，對于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便的方法.

二、典例精析

如圖，拋物線y=尤+c與無軸交于A、8兩點，與y軸交于C點，。4=2,OC=6,連接AC和BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M是y軸上的動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N,使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？

若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)拋物線：y=x2-x-6;

(2)先考慮M點位置，即由A、C、M三點構(gòu)成的三角形是等腰三角形:

①當(dāng)CA=CM時，

即CM=CA=2-JlO,M點坐標(biāo)為(0,-6—2函)、(0,-6+2函),

對應(yīng)N點坐標(biāo)為(-2,-2710)(-2,2A/10).

②當(dāng)AC=AM時，

即A九f=AC=2jiU,M點坐標(biāo)為(0,6),

對應(yīng)N點坐標(biāo)為(2,0).

③當(dāng)MA=MC時，

勾股定理可求得M點坐標(biāo)為10,-gj,

對應(yīng)N點坐標(biāo)為1-2,-g).

綜上，N點坐標(biāo)為卜2,-29)、［2,29)、(2,0)、J-2,-y

如下圖依次從左到右.

三、中考真題演練

1.（2023?西藏?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=-*+法+0與％軸交于A（-3,0）,以1,0）兩點,

（3）如圖乙，點尸為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、。兩點使以點A,C,P,。為頂點的四邊形是菱形?

若存在，求出尸、。兩點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

4.(2023?湖南?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aY+x+c經(jīng)過點A(-2,0)和點3(4,0),

且與直線=交于￡＞、E兩點(點。在點E的右側(cè))，點M為直線/上的一動點，設(shè)點"的橫坐標(biāo)為

(1)求拋物線的解析式.

⑶拋物線與V軸交于點C,點R為平面直角坐標(biāo)系上一點，若以昆C、M、R為頂點的四邊形是菱形，請

求出所有滿足條件的點R的坐標(biāo).

5.(2023?四川廣安?中考真題)如圖，二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象交x軸于點AB,交V軸于點C,點、B

的坐標(biāo)為(L0),對稱軸是直線點尸是x軸上一動點，PMLx軸，交直線AC于點以，交拋物線于

(1)求這個二次函數(shù)的解析式.

⑶若點P在x軸上運動，則在V軸上是否存在點Q,使以〃、N、C、。為頂點的四邊形是菱形？若存在,

請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.(2023?重慶?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=*+班+2過點(1,3),且交x軸于點A(TO),

B兩點,交y軸于點C.

(1)求拋物線的表達式；

(2)點P是直線8C上方拋物線上的一動點，過點尸作PDL3C于點。，過點P作y軸的平行線交直線3C于

點E,求△PDE周長的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

(3)在(2)中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移6個單位長度，點M為平

移后的拋物線的對稱軸上一點.在平面內(nèi)確定一點M使得以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形，寫

出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

7.(2023?四川達州?中考真題)如圖，拋物線尸療+反+c過點弱(一1,0),3(3,0),C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

⑶若點M是拋物線對稱軸上一動點，點N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，是否存在以3C為邊，點、B、C、M、N為頂

點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

專題12菱形的存在性問題

一、知識導(dǎo)航

作為一種特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；

(2)對甭線互相垂直的平行四邊形是菱形；

(3)四邊都相等的四邊形是菱形.

坐標(biāo)系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法.和平行四邊形相比，菱形多一個“對角線互相垂直”

或“鄰邊相等”，但這兩者其實是等價的，故若四邊形ABC。是菱形，則其4個點坐標(biāo)需滿足：

xA+xc=xB+xD

[g-/丫+(%-%『=-/+(先-%『

考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等.

即根據(jù)菱形的圖形性質(zhì)，我們可以列出關(guān)于點坐標(biāo)的3個等式，

故菱形存在性問題點坐標(biāo)最多可以有3個未知量，與矩形相同.

因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個動點，多則有3個動點，可細分如下兩大類題型：

(1)2個定點+1個半動點+1個全動點

(2)1個定點+3個半動點

解決問題的方法也可有如下兩種：

思路1:先平四，再菱形

設(shè)點坐標(biāo)，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=8+。"(AC、8。為對角線)，再結(jié)合一組鄰邊相等，得

到方程組.

思路2:先等腰，再菱形

在構(gòu)成菱形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先確定第3個點，

再確定第4個點.

2.看個例子：

如圖，在坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)(1,1),8點坐標(biāo)為(5,4),點C在x軸上，點。在平面中，求。點坐標(biāo)，使

得以A、B、C、。為頂點的四邊形是菱形.

八y

B

A

思路1：先平四，再菱形

設(shè)C點坐標(biāo)為(m,0),。點坐標(biāo)為(p,q).

(1)當(dāng)A5為對角線時，由題意得：(A3和CD互相平分及AO3C)

[39

一

rm=o

1+5=m+p

<l+4=0+q,解得：｝P=-

o

2以=(機-『+)2

(m-I)+(0-5(0-4q=5

(2)當(dāng)AC為對角線時，由題意得：(AC和BD互相平分及BA=BC)

1+m=5+pm=21m=8

<1+0=4+^,解得：<p=-2或<p=4

(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=—3

(3)當(dāng)AD為對角線時，由題意得：

1+p=5+mm=l+2^6m-\-2^6

解得：，癡或，。=

<l+q=4+0,0=5+25-2#

y

0\/X

思路2:先等腰，再菱形

先求點C,點C滿足由A、B、C構(gòu)成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方法先確定C,再

確定。點.

（1）當(dāng)AB=AC時，

C點坐標(biāo)為（1+2#,0）,對應(yīng)。點坐標(biāo)為（5+2幾,3）;

C點坐標(biāo)為（1-2底0）,對應(yīng)。點坐標(biāo)為（5-2瓜3）.

（2）當(dāng)8A=BC時，

C點坐標(biāo)為（8,0）,對應(yīng)。點坐標(biāo)為（4,-3）;

C點坐標(biāo)為（2,0）,對應(yīng)。點坐標(biāo)為（-2,-3）.

（3）AC=BC時，

C點坐標(biāo)為。點坐標(biāo)為11，5）.

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以上只是兩種簡單的處理方法，對于一些較復(fù)雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更為簡便的方法.

二、典例精析

如圖，拋物線y=尤+c與無軸交于A、8兩點，與y軸交于C點，。4=2,OC=6,連接AC和BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點M是y軸上的動點，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點N,使以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？

若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)拋物線：y=x2-x-6;

(2)先考慮M點位置，即由A、C、M三點構(gòu)成的三角形是等腰三角形:

①當(dāng)CA=CM時，

即CM=CA=2-JlO,M點坐標(biāo)為(0,-6—2函)、(0,-6+2函),

對應(yīng)N點坐標(biāo)為(-2,-2710)(-2,2A/10).

②當(dāng)AC=AM時，

即A九f=AC=2jiU,M點坐標(biāo)為(0,6),

對應(yīng)N點坐標(biāo)為(2,0).

③當(dāng)MA=MC時，

勾股定理可求得M點坐標(biāo)為10,-gj,

對應(yīng)N點坐標(biāo)為1-2,-g).

綜上，N點坐標(biāo)為卜2,-29)、［2,29)、(2,0)、J-2,-y

如下圖依次從左到右.

三、中考真題演練

1.（2023?西藏?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=-*+法+0與％軸交于A（-3,0）,以1,0）兩點,

（3）如圖乙，點尸為拋物線對稱軸上一點，是否存在P、。兩點使以點A,C,P,。為頂點的四邊形是菱形?

若存在，求出尸、。兩點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

【分析】（1）將A（—3,0）,3（1,0）代入＞=--+法+,,求出6,c,即可得出答案；

（3）拋物線y=-/-2x+3的對稱軸為直線x=-l,設(shè)P（-lj）,Q（〃/,〃），求出AC'.AP2=r+4,

PC2^t2-6t+10,分三種情況：以AP為對角線或以AC為對角線或以CP為對角線.

【詳解】（1）解：（1）VA（-3,0）,3（1,0）兩點在拋物線上，

.fo=-（-3）2-3Z?+c

[0=-l2+Z?+c

仿=-2

解得，.，

，拋物線的解析式為：y=-x2-2%+3；

(3)存在，理由如下：

拋物線、=-犬-2a+3的對稱軸為：直線x=-1,

設(shè)尸(-1J),Q{m,n),

'：A(-3,0),C(0,3),

則AC2=(—3)2+32=18,

?lP2=(-l+3)2+r2=/2+4,

PC2=(-l)2+(/-3)2=r2-6r+10,

?.?以A、C、P、。為頂點的四邊形是菱形，

，分三種情況：以AP為對角線或以AC為對角線或以CP為對角線,

當(dāng)以AP為對角線時，則CP=C4,如圖1,

圖I

“-6/+10=18,

解得：t=3±yfn，

：.^(-1,3-717)(-1,3+A/17)

?.?四邊形ACPQ是菱形，

，”與CQ互相垂直平分，即AP與CQ的中點重合,

當(dāng)耳11,3_a)時，

,機+0-3-1〃+30+3—J17

彳-22

解得：m=-4,n=-\/17,

當(dāng)弘-L3+&7)時，

(nt+0—3-1〃+30+3+J17

彳-22

解得：m=-4,n=Vl7",

以AC為對角線時，則尸C=AP,如圖2,

6/+10=/+4,

解得：/=1,

???/?(-口)，

???四邊形A尸。。是菱形，

???AC與尸?；ハ啻怪逼椒?，即AC與CQ中點重合,

.m-1-3+0n+10+3

??—，—■,

2222

解得：m=-2,n=2,

23(-2,2)；

當(dāng)以CP為對角線時，則AP=AC,如圖3,

圖3

產(chǎn)+4=18,

解得：r=±V14，

”-1,砌用-1,_舊，

???四邊形ACQP是菱形，

；?AQ與CP互相垂直平分，即A。與CP的中點重合,

,-3+m_0-1〃+03±^4

??----------,----=-------,

2222

解得：m=2,n=3±V14

.-.e4（2,3+V14）,（25（2,3-714）,

綜上所述，符合條件的點P、Q的坐標(biāo)為：P（-1，3-Vi7）,0（-4,-a）或4-1,3+拒），Q（-4,JI7）或

P（-M）,Q（-2,2）或尸（-1,亞），e（2,3+5/14）^P（-l,-Vi4）,Q（2,3-舊）

2.（2023.遼寧錦州.中考真題）如圖,拋物線y=-岳2+6X+C交x軸于點A（T,0）和一交?軸于點

頂點為O.

備用圖

（1）求拋物線的表達式;

（3）在（2）的條件下，若點歹是對稱軸上一點，點H是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在

點G,使以E,F,G,H為頂點的四邊形是菱形，且N￡FG=60。，如果存在，請直接寫出點G的坐標(biāo);

如果不存在，請說明理由.

【詳解】（1）解：：拋物線、=一氐2+bx+c經(jīng)過點人（一I,。），C（0,3A/3）,

-y/3-b+c=06=2白

廠，解得

c=3^3c=3\[3

拋物線的表達式為：y=S+2瓜+3后.

720532

（）解：存在，點的坐標(biāo)為或

3G3，-9-3，-9-

如下圖，連接CG,DG,

,/四邊形EFGH是菱形，NEFG=60°,

???EF=FG=GH=EG,

?：/EFG=60。,

???_EFG是等邊三角形.

???/FEG=60。，EF=FG,

V￡(2,373),C(0,3⑹,D(1,4V3),

:?CE=2,CD=J(4g—3?+12=2,DE=J(46—3南+(2—以=2,點。與點E關(guān)于對稱軸x=l對

稱，

：.CE=CD=DE,DF?CE,

**?ADCE是等邊三角形，NEDF=《NCDE,

???NCED=NFEG=NCDE=60。,

；.NCED+NCEF=NFEG+NCEF即NDEF=NCEG,ZEDF=30°,

:.ACEG%ADEF.

：.ZECG=ZEDF=30°.

直線CG的表達式為：y=_3+3B

3

1-A拒

與拋物線表達式聯(lián)立得

y=—\/3x2+2A/3X+3^/5

同理可證：.￡FG是等邊三角形，△OCE是等邊三角形，\DGE^\CFE.

：.DG=CF,

■:CF=FE,GE=FE,

：.DG=GE.

：.ACDG沿ACEG.

：.ZDCG=ZECG=30°.

，直線CG的表達式為：y=*+3G

kA也

與拋物線表達式聯(lián)立得

丫=-瓜2+2屈+34

點G坐標(biāo)為

3.（2023?四川雅安?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線＞=尤2+桁+。過點4（0,2）,對稱軸是直線

x=2,

（1）求此拋物線的函數(shù)表達式及頂點M的坐標(biāo)；

（3）已知點E在拋物線的對稱軸上，點。的坐標(biāo)為（L-1）,是否存在點R使以點A,D,E,E為頂點的四

邊形為菱形？若存在，請直接寫出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【詳解】（1）解：由題意可得：

所以拋物線的函數(shù)表達式為y=f-4x+2；

當(dāng)x=2時，y=22-4x2+2=-2,則頂點M的坐標(biāo)為（2,-2）.

（3）解：存在點尸，使以點A,D,E,尸為頂點的四邊形為菱形

①如圖：線段AO作為菱形的邊，

當(dāng)AE為菱形的對角線時，作關(guān)于直線x=l的對稱線段交x=2于E,連接AE,作點E關(guān)于AE的對稱點

F,即ADEF為菱形，由對稱性可得F的坐標(biāo)為。,5）,故存在點足使以點A,D,E,尸為頂點的四邊形為

菱形，此時尸（L5）.

設(shè)E（2,e）,F（x,y）,

x=2+le=2+#e=2-

則＜2+y=e-l解得:x=3或＜x=3

4+（e-2）2=1+9y=-1+#y=—l一在

/.43,-l+指）或*3,-1-指）

②線段AD作為菱形的對角線時,

如圖：設(shè)E（2,e）

:菱形AEZ"7,

/.他=OE,AD的中點G的坐標(biāo)為［J,；）,點G是所的中點,

???7（0-2）2+（2-e）2=J（1一2『+（T_e）2,解得e=l,

設(shè)p（"〃）,

m+2_1

m=-l

則有:II，解得:

n+1_1n=0

FF

/.F（-1,O）.

綜上，當(dāng)歹（1,5）或*TO）或*3,-1+而）或網(wǎng)3,-1-n）時，以點A,D,E,尸為頂點的四邊形為菱形.

4.（2023?湖南?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=aY+x+c經(jīng)過點A（-2,0）和點3（4,0）,

且與直線/：V=-x-l交于。、E兩點（點。在點E的右側(cè)），點M為直線/上的一動點，設(shè)點拉的橫坐標(biāo)為

（1）求拋物線的解析式.

（3）拋物線與V軸交于點C,點R為平面直角坐標(biāo)系上一點，若以氏C、M、R為頂點的四邊形是菱形，請

求出所有滿足條件的點R的坐標(biāo).

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；

（3）根據(jù)題意，分別求得BC,BM2,CM2,①當(dāng)BC為對角線時，MB=CM,②當(dāng)BC為邊時，分■BM=BC,

BC=MC,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】(1)解：???拋物線丫=加+尤+c經(jīng)過點4(-2,0)和點3(4,0),

.J4Q-2+C=0

[16Q+4+C=0'

解得：,

拋物線解析式為：y=-^x2+x+4；

（3）:拋物線與V軸交于點C,

y=+尤+4,當(dāng)x=0時，y=4,即C（0,4）,

VB（4,0）,M（/,-r-l）

BC="2+42=40，

BM2=（4-?）2+（-r-l）2=2r-6?+17,C”=〃+?+5）2=2/+I。,+25,

①當(dāng)BC為對角線時，MB=CM,

2/-6f+17=2/+10t+25

V8C,MR的中點重合,

R——=4

丫2

解得:

②當(dāng)8C為邊時，

當(dāng)四邊形3MRC為菱形，BM=BC

解得：或公凈,

22

,-5-739

—1=------------

2

由CM,皮?的中點重合,

6+4=1+0

&+4=y+。

或?

號+。二/4…二/4

-5+炳

2

或＜

3-739

R

2

或R個絲T

當(dāng)BC=MC時；

如圖所示，即四邊形CM/S是菱形,

上班/3一病-5+7393+V39一屈一5

尺點為或

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問題，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的性

質(zhì)，細心的計算是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?四川廣安?中考真題）如圖，二次函數(shù)>=爐+法+。的圖象交x軸于點AB,交V軸于點C,點、B

的坐標(biāo)為（L0）,對稱軸是直線尸-1,點尸是x軸上一動點，PMLx軸，交直線AC于點以，交拋物線于

點N.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式.

(3)若點P在無軸上運動，則在y軸上是否存在點。，使以〃、N、C、。為頂點的四邊形是菱形？若存在,

請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)先根據(jù)二次函數(shù)對稱軸公式求出6=2,再把3(1,0)代入二次函數(shù)解析式中進行求解即可；

(3)分如圖3-1,圖3-2,圖3-3,圖3-4,圖3-5,圖3-6所示，MC為對角線和邊，利用菱形的性質(zhì)進行

列式求解即可.

【詳解】(1)解：；二次函數(shù)尸無2+Zzx+c的對稱軸為直線尤=-1,

：.b=2,

???二次函數(shù)經(jīng)過點3(1,0),

I2+Z?+c=0>即l+2+c=。，

c=—3f

???二次函數(shù)解析式為y=/+2%—3；

(2)解：?.?二次函數(shù)經(jīng)過點3(1,0),且對稱軸為直線x=-1,

/.A(-3,0),

，AB=4,

?二次函數(shù)y=x2+2x-3與y軸交于點C,

：.C(0,-3),

OC=3；

設(shè)直線AC的解析式為y=丘+加,

-3左+Z/=0

b'=—3

[[bk'==--\3'

?,?直線AC的解析式為y=-%-3,

設(shè)P（帆0）,則M（帆—相—3）,N{m,m2+2m—3）,

MN=—m—3—（m2+2m—3）=—m2—3m；

S=-ABOC=-x4x3=6,

ABRC22

??S四邊形ABCN=S2ABC+SAACN

=^/\ABC+^AAMN+S/\CMN

=-APMN+-OPMN+6

22

=—x3（一加2-3根）+6

375

?，.當(dāng)加=一片時，S四邊形MCN最大，最大值為—，

2o

,此時點尸的坐標(biāo)為

(3)解：設(shè)P(〃%0),則M(利-加一3),N(m,m2+2m-3),

:PAf_Lx軸，

軸，即MN〃C。，

：.MN、CQ是以M、N、C、Q為頂點的菱形的邊;

如圖3-1所示，當(dāng)MC為對角線時，

9

：OA=OC=3f

???_AOC是等腰直角三角形,

???NACO=45。，

?：QM=QCf

：.ZQMC=ZQCM=45°,

：.ZMQC=90°f

??.NCJ_y軸,即NC〃無軸,

.??點。與點N關(guān)于拋物線對稱軸對稱,

.,.點N的坐標(biāo)為（一2,-3）,

???2(0,-1)；

如圖3-2所示，當(dāng)A/C為邊時，則MN=CM,

CM—dm2+-3）-（_3）]2=—yflm,MN=m2+2m—3—（—m—3）=m2+3m

m2+3m=-y/2m，

解得機=-3-夜或加=。（舍去），

CQ=CM=-V2m=372+2,

A2（0,372-1）；

如圖3-3所示，當(dāng)為邊時，則MN=。欣，

同理可得CM=-"n,

—m2—3m=—y[2m，

解得加=0一3或加=0（舍去）,

???CQ=CM=-yf2m=372-2,

Q（O,-1-3四）

同理可得m2+3m=y/2m，

解得加=衣-3（舍去）或m=0（舍去）;

?:CQ=MQ,

：.ZQCM=ZQMC=45°,

NMQC=90。，

/.M2Ay軸，

，NC_Ly軸，這與題意相矛盾，

，此種情形不存在

如圖3-6所示，當(dāng)MC為對角線時，設(shè)MC,QN交于S,

Av

】。

圖3-6

腦V〃y軸,

，ZNMC=180°-ZMCO=135°,

NQ1CM,

：.ZNSM=90°,這與三角形內(nèi)角和為180度矛盾,

此種情況不存在;

綜上所述，-1）或Q（0,372-1）或Q（0,-1-30）.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，菱形的性質(zhì)，勾股定理，求二次函數(shù)解析

式等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?重慶?中考真題）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=加+樂+2過點（1,3）,且交無軸于點A（-l,0）,

⑴求拋物線的表達式;

（2）點P是直線3c上方拋物線上的一動點，過點尸作PDJL3C于點。，過點P作y軸的平行線交直線BC于

點E,求△PDE周長的最大值及此時點P的坐標(biāo);

⑶在（2）中△自按周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移下個單位長度，點M為平

移后的拋物線的對稱軸上一點.在平面內(nèi)確定一點N,使得以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形，寫

出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

13

［答案］⑴無+,元+2

(2)△PDE周長的最大值6*1°,此時點P(2,3)

(3)以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形時N［-1,|)或g,手或;，-之

【分析】(1)把。,3)、4(—1,0)代入yX+for+2計算即可;

DPE周長PE4

(2)延長PE交x軸于尸，可得NDEP=NBCO,進而得到DPEOBC,萬而林=就’求出山的

最大值即可;

(3)先求出平移后的解析式，再設(shè)出N的坐標(biāo)，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定計算即可.

3=Q+0+2

【詳解】(1)把(1,3)、A(—l,0)代入丫=辦2+"+2得,

0=。一。+2

1

a=——

7

解得，

b=-

I2

13

???拋物線的表達式為y=尤+2；

:過點尸作PDL3C于點D,過點尸作y軸的平行線交直線BC于點E,

：.ZDEP=ZBCO,ZPDE=ZCOB=90°,

A_DPEOBC,

.DPE周長PE

"02c周長一"BC'

：.OPE■周長=——OBC周長，

BC

當(dāng)PE最大時APDE周長的最大

1Q

V拋物線的表達式為y=-1x2+|x+2,

???3(4,0),

「?直線3c解析式為y=-；l+2,BC=y/oc2+OB2=2^j5

■^尸(根,-3■m2+5機+2],貝u石(機,-5m+2]

PE=--m2+—m+2-|m+2|=--m2+2m=-—(m-2^+2,

22{2)22V7

???當(dāng)機=2時?石=2最大，此時P(2,3)

止OC周長為OC+