人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)下冊(cè)第10講 專(zhuān)題5 正方形中的三大模型（解析版）

第10講專(zhuān)題5正方形中的三大模型類(lèi)型一：正方形中的十字架模型類(lèi)型二：正方形中的半角（45°）模型類(lèi)型三：正方形中手拉手模型類(lèi)型一：正方形中的十字架模型1．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC邊的中點(diǎn)，AE的垂直平分線(xiàn)分別交AD，BC邊于點(diǎn)F，G，垂足為點(diǎn)H．若AB＝4，則GH的長(zhǎng)為．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BN∥GF交AD于點(diǎn)N，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝4，∴AD∥BC，AD＝AB＝CD＝4，∠BAN＝∠D＝90°，∴四邊形BGFN是平行四邊形，∴BN＝GF，∵AE⊥FG，BN∥GF，∴BN⊥AE，∴∠BNA+∠EAD＝90°，∵∠AED+∠EAD＝90°，∴∠BNA＝∠AED，在△AED和△BNA中，，∴△AED≌△BNA（AAS），∴AE＝BN＝FG，∵點(diǎn)E是DC邊的中點(diǎn)，∴DE＝CD＝2，∴AE＝＝＝2，∴FG＝2，∵H是AE的中點(diǎn)，∴AH＝AE＝，∵∠AHF＝∠D＝90°，∠FAH＝∠EAD，∴△AFH∽△AED，∴＝，即＝，∴FH＝，∴GH＝FG﹣FH＝2﹣＝，故答案為：．2．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，AB上，滿(mǎn)足DE＝AF，連接CE，DF，點(diǎn)P，Q分別是DF，CE的中點(diǎn)，連接PQ．若∠ADF＝α．則∠PQE可以用α表示為（）A．α B．45°﹣α C． D．3α﹣45°【解答】解：連接DQ，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠CDE＝90°，∵AF＝DE，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴DF＝CE，∠ADF＝∠DCE＝α，∵點(diǎn)P，Q分別是DF，CE的中點(diǎn)，∴PD＝DF＝DQ＝CE，∴∠DPQ＝∠DQP，∠CDQ＝α，∴∠PDQ＝90°﹣2α，∠DQE＝2α，∴∠PQD＝＝45°+α，∴∠PQE＝45°+α﹣2α＝45°﹣α，故選：B．3．如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，CE交DF于點(diǎn)G，連接AG．下列結(jié)論：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠EAG＝30°；④∠AGE＝∠CDF．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE與△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正確；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正確；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等邊三角形，∴∠EAG≠30°，故③錯(cuò)誤；∵CE⊥DF，∴∠EGD＝90°，延長(zhǎng)CE交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，如圖，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜邊的中線(xiàn)，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，∴∠AGE＝∠CDF．故④正確；故選：C．4．如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝DF，連接BE、AF，交于點(diǎn)G．（1）連接DG，則線(xiàn)段DG的最小值是；（2）取CG的中點(diǎn)H，連接DH，則線(xiàn)段DH的最小值是．【解答】解：（1）如圖，取AB的中點(diǎn)K，連接GK，DK，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AD＝AB＝1，∵點(diǎn)K是AB的中點(diǎn)，∴AK＝AB＝，在△BEA和△AFD中，，∴△BEA≌△AFD（SAS），∴∠EBA＝∠FAD，∵∠EBA+∠AEB＝90°，∴∠FAD+∠AEB＝90°，∴∠AGB＝90°，∵點(diǎn)K是AB的中點(diǎn)，∴GK＝AB＝，在Rt△ADK中，DK＝＝＝，∵DG≥DK﹣GK，∴DG的最小值＝﹣＝，故答案為：；（2）如圖，取AB的中點(diǎn)K，過(guò)點(diǎn)K作KN⊥CD于N，延長(zhǎng)CD至M，使DM＝CD，連接GK，MG，MK，則四邊形ADNK是矩形，∴KN＝AD＝1，DN＝AK＝，∴MN＝DN+DM＝+1＝，在Rt△MKN中，MK＝＝＝，∵M(jìn)G≥MK﹣GK，∴MG的最小值＝﹣＝，∵D、H分別是CM、CG的中點(diǎn)，∴DH＝MG＝×＝，即線(xiàn)段DH的最小值是，故答案為：．5．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)P作直線(xiàn)PD交BC于點(diǎn)E，過(guò)P作直線(xiàn)GH交AB、DC于G、H，且GH＝DE．若∠APD＝∠DEC，∠EDC＝15°．以下結(jié)論：①△ABP為等邊三角形；②PG＝PD③S△PBE＝PD2④BP＝PE+PG其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝AD，AD∥BC，∠BAD＝∠ADC＝∠DCE＝90°，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠APD＝∠DEC，∴∠ADE＝∠APD，∴AP＝AD，∴AP＝AB∵∠EDC＝15°，∴∠ADP＝90°﹣15°＝75°＝∠APD，∴∠DAP＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠BAP＝90°﹣30°＝60°，∴△ABP是等邊三角形；故①正確．②如圖，過(guò)點(diǎn)G作GK∥AD交CD于K，連接DG，則∠GKH＝∠ADC＝90°＝∠DKG，∴∠GKH＝∠DCE，∵∠BAD＝∠ADC＝∠DKG＝90°，∴四邊形ADKG是矩形，∴GK＝AD＝CD，∵GH＝DE，∴Rt△GHK≌Rt△DEC（HL），∴∠GHK＝∠DEC，∵∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠GHK+∠EDC＝90°，∴∠DPH＝90°，∴∠DPG＝180°﹣∠DPH＝90°，∵∠DPG+∠BAD＝180°，∴四邊形ADPG是圓內(nèi)接四邊形，∴∠DGP＝∠DAP＝30°，∴DG＝2PD，在Rt△DGP中，PG＝＝＝PD，故②正確；③如圖，過(guò)點(diǎn)P作PL⊥AD于L，交BC于J，過(guò)點(diǎn)E作EM⊥BP于M，則四邊形BALJ是矩形，∴AL＝BJ，∠BJP＝∠ALP＝90°，∵AP＝BP，∴Rt△APL≌Rt△BPJ（HL），∴PL＝PJ，在△PEJ和△PDL中，，∴△PEJ≌△PDL（ASA），∴PJ＝PD，∵EM⊥BP，∴∠BME＝∠PME＝90°，∵LJ∥AB∥CD，∴∠BPJ＝∠ABP＝60°，∠EPJ＝∠EDC＝15°，∴∠EPM＝∠BPJ﹣∠EPJ＝45°，∴△PEM是等腰直角三角形，∴PM＝EM＝PE＝PD，∵∠ABP＝60°，∴∠EBM＝30°，∴BE＝2ME＝PD，∴BM＝＝＝PD，∴BP＝BM+PM＝PD+PD＝PD，∴S△PBE＝BP?EM＝×PD?PD＝PD2，故③錯(cuò)誤；④過(guò)點(diǎn)B作BN⊥BP，交PG的延長(zhǎng)線(xiàn)于N，連接DG，∵∠GBN+∠GBP＝90°，∠GBP+∠EBP＝90°，∴∠GBN＝∠EBP，∵∠EBG+∠BGP+∠EPG+∠BEP＝360°，∴∠BGP+∠BEP＝360°﹣（∠EBG+∠EPG）＝180°，∵∠BGP+∠BGN＝180°，∴∠BGN＝∠BEP，由②知，∠DGP＝30°，∴∠GDP＝60°，∴∠ADG＝90°﹣60°﹣15°＝15°＝∠EDC，∴△DGA≌△DEC（ASA），∴AG＝CE，∴BG＝BE，∴△BGN≌△BEP（ASA），∴BN＝BP，GN＝PE，∴△BPN是等腰直角三角形，∴PN＝BP，∵PN＝PG+GN＝PE+PG，∴BP＝PE+PG，故④正確；故選：C．6．如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，CD上兩點(diǎn)，BE交AF于點(diǎn)G，且DE＝CF．（1）寫(xiě)出BE與AF之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接GD，試證明GD是∠EGF的角平分線(xiàn)，并求出GD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）BE＝AF，BE⊥AF，理由：四邊形ABCD是正方形，∴BA＝AD＝CD，∠BAE＝∠D＝90°，∵DE＝CF，∴AE＝DF，∴△BAE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DAF+∠AEB＝90°，∴∠BGA＝90°，∴BE⊥AF；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥AF于N，DM⊥BE交BE的延長(zhǎng)線(xiàn)于M，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，AF＝，∵S△ADF＝AD×FD＝AF×DN，∴DN＝，∵△BAE≌△ADF，∴S△BAE＝S△ADF，∵BE＝AF，∴AG＝DN，易證，△AEG≌△DEM（AAS），∴AG＝DM，∴DN＝DM，∵DM⊥BE，DN⊥AF，∴GD平分∠MGN，∴∠DGN＝∠MGN＝45°，∴△DGN是等腰直角三角形，∴GD＝DN＝．類(lèi)型二：正方形中的半角（45°）模型7．如圖，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四條邊都相等，四個(gè)內(nèi)角都是直角），DF＝2，則S△AEF＝（）A．6 B．12 C．15 D．30【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥AE，交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵AH⊥AE，∴∠HAE＝∠BAD＝90°，∴∠HAD＝∠BAE，在△ADH和△ABE中，，∴△ADH≌△ABE（ASA），∴BE＝HD，AH＝AE，∵∠EAF＝45°，∴∠HAF＝∠EAF＝45°，在△AFH和△AFE中，，∴△AFH≌△AFE（SAS），∴EF＝HF，∵DF＝2，∴CF＝4，∵EF2＝CE2+CF2，∴（2+BE）2＝16+（6﹣BE）2，∴BE＝3，∴HF＝HD+DF＝5，∵△AFH≌△AFE，∴S△AEF＝S△AFH＝×HF×AD＝×5×6＝15，故選：C．8．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，連接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，則∠FEC一定等于（）A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABG，如圖所示：則AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG，∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°﹣α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α，∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α，故選：A．9．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)作∠EAF＝45°，AE交BC于點(diǎn)E，AF交CD于點(diǎn)F，連接EF．若DF＝3，則BE的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解；如圖，把△ADF繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴△ADF≌△ABG，∴∠ADF＝∠ABG＝∠ABE＝90°，∴∠ABG+∠ABE＝180°，∴G、B、E三點(diǎn)共線(xiàn)，∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠EAB＝45°，∴∠BAG+∠EAB＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，在△EAG和△EAF中，，∴△EAG≌△EAF（SAS），∴GE＝FE，設(shè)BE＝x，∵CD＝6，DF＝3，∴CF＝3，則GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，∴EF＝3+x，∵∠C＝90°，∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，解得，x＝2，∴BE的長(zhǎng)為2．故選：A．10．已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)M、N分別在邊BC，CD上，連接AM，MN，AN，若∠MAN＝45°，BM＝2，則線(xiàn)段NC的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C． D．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)CB，使BE＝DN，∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為5的正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝5，∴∠ABE＝90°，在△ABE和△ADN中，，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴EB＝DN，MN＝EM，設(shè)CN＝x，則DN＝5﹣x，∴EB+BM＝MN＝7﹣x，在Rt△CMN中，MN2＝CM2+CN2，∴（7﹣x）2＝32+x2，解得x＝，∴CN＝，故選：D．11．在正方形ABCD中，E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°，若△ABE、△AEF、△ADF、△EFC的面積分別記為：S1、S2、S3、S4，則等式一定成立的是（）A．S1＝S3 B．S1+S3＝S2 C．S1+S3+S4＝S2 D．S3＝S4【解答】解：過(guò)A作AG⊥AF交CB延長(zhǎng)線(xiàn)于G，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°＝∠GAF，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠GAB＝∠FAD，∴△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，S△GAB＝S3，∵∠EAF＝45°，∠GAF＝90°，∴∠EAF＝∠GAE＝45°，∵AE＝AE，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴S1+S△GAB＝S2，∴S1+S3＝S2，故選：B．12．如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，且∠EAF＝45°．則以下結(jié)論：①AF平分∠EFD；②BE+DF＝EF；③△ECF的周長(zhǎng)為4；④△AEF的面積等于正方形ABCD的面積的一半．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【解答】解：如圖，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABM，∴AM＝AF，BM＝DF，∠MAB＝∠DAF，∠AMB＝∠AFD，∵∠EAF＝45°，∴∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠MAE＝∠EAF，在△MAE和△FAE中，，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴∠AFE＝∠AMB＝∠AFD，∴AF平分∠EFD，故①正確；∵△MAE≌△FAE，∴EF＝EM＝EB+BM＝BE+DF，故②正確；∵C△ECF＝CE+CF+EF＝CE+CF+DE+EF＝BC+DC＝2+2＝4，故③正確；∵△AEF面積＝△AME的面積，△AME的高AB一定，底不固定，故△AEF面積不能確定，故④錯(cuò)誤．綜上，①②③正確，共3個(gè)．故選：D．13．（1）我們知道，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都為直角．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，EF，并延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG＝DF，連接AG．若∠EAF＝45°，猜想BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠EAF＝45°時(shí)，試探究BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【解答】解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，在△ADF和△ABG中，，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF＝45°，在△AGE和△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF．故答案為：EF＝BE+DF；（2）EF＝BE﹣DF，理由如下：如圖2，在BC上截取BG＝DF，連接AG．∵四邊形ABCD為正方形，∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADF＝90°，∵BG＝DF，在△ADF和△ABG中，，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE+∠DAF＝45°，∴∠DAE+∠BAG＝45°，∴∠GAE＝∠EAF＝45°，在△AGE和△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣DF．14．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，試判斷BE、DF與EF三條線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出判斷結(jié)果：EF＝BE+DF．（2）如圖2：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線(xiàn)段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)說(shuō)明理由（提示：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)C，使DG＝BE，連結(jié)AG．）【解答】解：（1）結(jié)論：EF＝BE+DF．理由如下：如圖1，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABF′，∵∠EAF＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AEF′中，，∴△AEF≌△AEF′（SAS），∴EF＝EF′，又EF′＝BE+BF′＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案為：EF＝BE+DF；（2）結(jié)論：EF＝BE+DF成立．理由如下：如圖2中，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連結(jié)AG．∵∠B＝∠ADC＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵AB＝AD，∴△ABE≌△△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝∠EAF＝60°，∴∠FAG＝∠GAD+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝60°，∴∠FAE＝∠FAG，∵AF＝AF，∴△FAE≌△FAG（SAS），∴EF＝FG，∴EF＝FG＝DG+DF＝BE+DF．類(lèi)型三：正方形中的手拉手模型（多選）15．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．下列結(jié)論正確的有（）A．DE＝EF B．CE＝CF C．AC⊥CG D．BC＝CG【解答】解：過(guò)E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過(guò)E作EN⊥CD于N點(diǎn)，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，故A正確；∴矩形DEFG為正方形；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∴∠ACG＝90°，∴AC⊥CG，故C正確；當(dāng)DE⊥AC時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，∴CE不一定等于CF，故B錯(cuò)誤；∴不能得出△DCE與△GCF全等，CD不一定等于CG，即BC不一定等于CG，故D錯(cuò)誤；故選：AC．16．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，E為對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線(xiàn)BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG，下列結(jié)論中不正確的是（）A．矩形DEFG是正方形 B．∠CEF＝∠ADE C．CG平分∠DCH D．【解答】解：如圖，作EK⊥BC于點(diǎn)K，EL⊥CD于點(diǎn)L，則∠EKF＝∠ELD＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CB，AD＝CD，∠B＝∠ADC＝90°，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，∠DCA＝∠DAC＝45°，∴∠BCA＝∠DCA，∴EK＝EL，∵∠EKC＝∠ELC＝∠KCL＝90°，∴四邊形EKCL是矩形，∵四邊形DEFG是矩形，∴∠KEL＝∠FED＝90，∴∠FEK＝∠DEL＝90°﹣∠FEL，∴△FEK≌△DEL（ASA），∴DE＝FE，∴矩形DEFG是正方形，故A正確；∵∠EDG＝∠ADC＝90°，∴∠CDG＝∠ADE＝90°﹣∠CDE，∵CD＝AD，GD＝ED，∴△CDG≌△ADE（SAS），∴CG＝AE，∴CE+CG＝CE+AE＝AC，∵∠B＝90°，AB＝CB＝9，∴AC＝AB＝9，∴CE+CG＝9，故D正確；∵△CDG≌△ADE（SAS），∴∠DAE＝∠DCG＝45°，∴CG平分∠DCH，故C正確；∵∠ADE＝∠DEL＝∠FEK，≠∠CEF，∴∠CEF≠∠ADE，故B不正確，故選：B．17．如圖，正方形ABCO和正方形DEFO的頂點(diǎn)A，O，E在同一直線(xiàn)l上，且EF＝，AB＝3，給出下列結(jié)論：①∠COD＝45°；②AE＝6；③CF＝BD＝；④△COF的面積是．其中正確的結(jié)論為（）A．①③ B．①④ C．②③ D．①③④【解答】解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正確；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故錯(cuò)誤；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，則FG＝1，CF＝＝＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝＝＝2，故錯(cuò)誤；④△COF的面積S△COF＝×3×1＝，故正確；∴其中正確的結(jié)論為①④，故選：B．18．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝，點(diǎn)E為對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE．交射線(xiàn)BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①求證：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】①證明：過(guò)E作EM⊥BC于M點(diǎn)，過(guò)E作EN⊥CD于N點(diǎn)，如圖所示：∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四邊形EMCN為正方形，∵四邊形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG為正方形；②解：CE+CG的值為定值，理由如下：∵矩形DEFG為正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×2＝4，∴CE+CG＝4是定值．19．如圖1，已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點(diǎn)A，連接BE，DG．（1）請(qǐng)判斷BE與DG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系