人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)下冊(cè)第03講 矩形（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（原卷版）

第03講矩形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①矩形的定義及其性質(zhì)②直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)③矩形的判定理解矩形的定義，掌握矩形的性質(zhì)并能夠熟練應(yīng)用。理解掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)并能夠熟練的應(yīng)用。掌握矩形的判定方法，能夠在題目中選擇合適方法判定矩形。知識(shí)點(diǎn)01矩形的定義及其性質(zhì)矩形的定義：有一個(gè)角是的平行四邊形是矩形。矩形的性質(zhì)：①矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質(zhì)。特殊性質(zhì)：②邊的特殊性：鄰邊。③角的特殊性：四個(gè)角都是。④對(duì)角線的特殊性：對(duì)角線。即對(duì)角線。即：ACBD，OAOBOCOD。由此可得：△OAB，△OBC，△OCD，△OAD均是。⑤面積：等于任意一組的乘積。⑥對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形?！炯磳W(xué)即練1】1．下列性質(zhì)中，矩形具有但平行四邊形不一定具有的是（）A．對(duì)邊相等 B．對(duì)角相等 C．對(duì)角線相等 D．對(duì)邊平行【即學(xué)即練2】2．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，E是AC的中點(diǎn)，∠AED＝120°，則AD長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．3【即學(xué)即練3】3．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，如果BO＝BE，那么∠BOE的度數(shù)為（）A．55° B．65° C．75° D．67.5°知識(shí)點(diǎn)02直角三角形斜邊上的中線直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)：由矩形的對(duì)角線的性質(zhì)可知：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的?！炯磳W(xué)即練1】4．如圖，嘉嘉利用刻度直尺（單位：cm）測(cè)量三角形紙片的尺寸，點(diǎn)B，C分別對(duì)應(yīng)刻度尺上的刻度2和8，D為BC的中點(diǎn)，若∠BAC＝90°，則AD的長(zhǎng)為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm知識(shí)點(diǎn)03矩形的判定直接判定：有三個(gè)角（四個(gè)角）是的四邊形是矩形。符號(hào)語(yǔ)言：∵∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠ADC∴四邊形ABCD是矩形利用平行四邊形判定：①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。符號(hào)語(yǔ)言：∵在?ABCD中，∠ABC=90°∴四邊形ABCD是矩形②對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。符號(hào)語(yǔ)言：∵在?ABCD中，AD=BC∴四邊形ABCD是矩形【即學(xué)即練1】5．在四邊形ABCD中，AC、BD交于點(diǎn)O，在下列條件中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD【即學(xué)即練2】6．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若四邊形AEBO是菱形，求證：四邊形ABCD是矩形．題型01利用矩形的性質(zhì)求線段或周長(zhǎng)【典例1】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF⊥AC交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F．已知AB＝4，△AOE的面積為5，則DE的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．3【變式1】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6cm，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，DE⊥AC，垂足為E，AE＝3CE，則BD的長(zhǎng)為（）A．6cm B． C．12cm D．【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，則AD的長(zhǎng)是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【變式3】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝30°，BD＝4，則矩形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．12 B．16 C． D．【變式4】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AB＝3，BC＝4，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．題型02利用矩形的性質(zhì)求角度【典例1】如圖，AC，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，∠AOB＝50°，則∠ACD的度數(shù)為（）A．50° B．55° C．60° D．65°【變式1】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE⊥BD交BD于點(diǎn)E，∠AOB＝110°，則∠DAE的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°【變式2】翻花繩是中國(guó)民間流傳的兒童游戲，在中國(guó)不同的地域，有不同的稱法，如線翻花、翻花鼓、挑繃繃、解股等等，如圖1是翻花繩的一種圖案，可以抽象成右圖，在矩形ABCD中，IJ∥KL，EF∥GH，∠1＝∠2＝30°，∠3的度數(shù)為（）A．30° B．45° C．50° D．60°【變式3】如圖，延長(zhǎng)矩形ABCD的邊CB至點(diǎn)E，使EB＝AC，連接DE，若∠BAC＝α，則∠E的度數(shù)是（）A． B． C．α﹣45° D．【變式4】如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，連接AE，過E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F，連接AF，若∠BAF＝α，則∠EFC的度數(shù)為（）A．α B．45°+ C．45°﹣ D．90°﹣α題型03利用矩形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)【典例1】在平面直角坐標(biāo)系中，若長(zhǎng)方形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，2），則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是．【變式1】如圖，四邊形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），點(diǎn)C在第二象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4）【變式2】在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形ABCD如圖所示，A（﹣6，2），B（2，2），C（2，﹣3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）A．（﹣6，3） B．（3，﹣6） C．（﹣6，﹣3） D．（﹣3，﹣6）【變式3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，B，D分別在y軸的正半軸和負(fù)半軸上．若BO＝DO＝4，∠ABO＝60°，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（） B．（﹣2，﹣2） C． D．【變式4】在平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形ABCD按如圖所示放置，O是AD的中點(diǎn)，且A、B、C的坐標(biāo)分別為（5，0），（5，4），（﹣5，4），點(diǎn)P是BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ODP是腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．題型04直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)．若BD＝8，則AD＝．【變式1】如圖，三位同學(xué)分別站在一個(gè)直角三角形的三個(gè)直角頂點(diǎn)處做投圈游戲，目標(biāo)物放在斜邊AB的中點(diǎn)E處，已知AB＝6m，則點(diǎn)C到點(diǎn)E的距離是（）A．6m B．2.5m C．4m D．3m【變式2】如圖，一架梯子AB斜靠在豎直墻上，點(diǎn)M為梯子AB的中點(diǎn)，當(dāng)梯子底端向左水平滑動(dòng)到CD位置時(shí)，滑動(dòng)過程中OM的變化規(guī)律是（）A．變小 B．不變 C．變大 D．先變小再變大【變式3】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，∠B＝30°，點(diǎn)E在BC上，且CE＝AC，則∠CDE的大小為．【變式4】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，CD是△ABC的中線，E是CD的中點(diǎn)，連接AE，BE，若AE⊥BE，垂足為E，則AC的長(zhǎng)為．【變式5】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于點(diǎn)F，BE⊥AC于點(diǎn)E，D為AB的中點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，則DM的長(zhǎng)為（）A．7 B．8 C． D．題型05矩形的判定與性質(zhì)【典例1】在四邊形ABCD中，AD∥BC，下列選項(xiàng)中，不能判定四邊形ABCD為矩形的是（）A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB∥CD且AC＝BD【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，連接AC，BD，相交于點(diǎn)O．請(qǐng)?jiān)黾右粋€(gè)條件，使得四邊形ABCD是矩形，增加的條件為（填一個(gè)即可）．【變式2】如圖，點(diǎn)O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE∥OD，過點(diǎn)D作DE∥AC，CE與DE相交于點(diǎn)E．求證：四邊形OCED是矩形．【變式3】如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是AB邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，∠ABC的平分線和外角∠ABD的平分線分別交MN于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：四邊形AEBF是矩形；（2）若∠ABC＝60°，AB＝6cm，求四邊形AEBF的面積．【變式4】如圖：在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）連接DE，交AC于點(diǎn)F，直接寫出DF與AB之間的關(guān)系為．【變式5】如圖，已知等腰△ABC，AB＝AC，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，AE是外角∠FAC的平分線，過點(diǎn)C作CE⊥AE，垂足為E．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）連接DE，若矩形ADCE的周長(zhǎng)是28，DE＝10，求四邊形ABDE的面積．1．矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線相等 B．對(duì)角線互相平分 C．對(duì)邊平行 D．對(duì)角相等2．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，OA＝OC，OB＝OD，添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．OA＝OB C．AB⊥AD D．∠ABO＝∠BAO3．如圖，將四根木條用釘子釘成一個(gè)矩形框架ABCD，然后向左扭動(dòng)框架，觀察所得四邊形的變化，下面判斷正確的是（）A．四邊形ABCD由矩形變?yōu)榱庑?B．對(duì)角線AC的長(zhǎng)度不變 C．四邊形ABCD的面積不變 D．四邊形ABCD的周長(zhǎng)不變4．矩形的兩條對(duì)角線的夾角為60度，對(duì)角線長(zhǎng)為15，則矩形的較短邊長(zhǎng)為（）A．12 B．10 C．7.5 D．55．下列性質(zhì)中，矩形不一定具有的是（）A．對(duì)角線相等 B．四個(gè)角都是是直角 C．對(duì)角線互相垂直 D．是軸對(duì)稱圖形6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，若AC的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)D，DC＝8，則BP的長(zhǎng)為（）A．8 B．6 C．4 D．27．如圖所示，O是矩形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)．若AB＝6，BC＝8，則△BOE的周長(zhǎng)為（）A．10 B．8+2 C．8+2 D．148．如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，若∠CAE＝15°，OA＝9，則BE的長(zhǎng)為（）A． B．9 C． D．129．如圖，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E為AB中點(diǎn)，∠ACD+∠BAC＝70°，則∠DEC的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°10．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），下列結(jié)論：①當(dāng)t＝4s時(shí)，四邊形ABMP為矩形；②當(dāng)t＝5s時(shí)，四邊形CDPM為平行四邊形；③當(dāng)CD＝PM時(shí)，t＝4或5s；④當(dāng)CD＝PM時(shí)，t＝4或6s．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11．如圖，公路AC與BC互相垂直，公路AB的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開．若測(cè)得AC的長(zhǎng)為6km，BC的長(zhǎng)為8km，則C，M兩點(diǎn)間的距離為km．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不與A和D重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E、F．求PE+PF＝．13．如圖，P是Rt△ABC的斜邊AC（不與點(diǎn)A、C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，分別作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，O是MN的中點(diǎn)，若AB＝5，BC＝12，當(dāng)點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BO的最小值是．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若AD＝6，則CP的長(zhǎng)為．15．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF∥BC，分別交AB，CD于點(diǎn)E、F，連接PB、PD，若AE＝2，PF＝9，則圖中陰影面積為．16．如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，點(diǎn)E在邊AD上，AE＝CF，連接BE．求證：四邊形BFDE是矩形．17．課本在線想一想我們知道，矩形的四個(gè)角都是直角．反過來，一個(gè)四邊形至少有幾個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形就是矩形呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并與同伴交流．定理：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．定理證明為了證明該定理，小麗同學(xué)畫出了圖形（如圖），寫出了“已知”，請(qǐng)你補(bǔ)出“求證”的內(nèi)容，并根據(jù)她的思路補(bǔ)全證明過程．已知：如圖，四邊形ABCD中