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文檔簡介
2025屆湖南省衡陽市衡陽縣六中高三3月份月考試卷數(shù)學試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,則的一條對稱軸是()A. B. C. D.2.一個袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個、黑球2個,現(xiàn)隨機等可能取出小球,當有放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為;當無放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為,則()A., B.,C., D.,3.已知函數(shù)的零點為m,若存在實數(shù)n使且,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.4.()A. B. C.1 D.5.在中,角、、所對的邊分別為、、,若,則()A. B. C. D.6.已知復數(shù)是正實數(shù),則實數(shù)的值為()A. B. C. D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.8.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長棱長為()A. B. C. D.9.數(shù)列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.710.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.6311.已知函數(shù),若,,,則a,b,c的大小關系是()A. B. C. D.12.已知角的頂點與坐標原點重合,始邊與軸的非負半軸重合,若點在角的終邊上,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.中,角的對邊分別為,且成等差數(shù)列,若,,則的面積為__________.14.已知,則__________.15.已知復數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復數(shù)的實部為____________.16.驗證碼就是將一串隨機產(chǎn)生的數(shù)字或符號,生成一幅圖片,圖片里加上一些干擾象素(防止),由用戶肉眼識別其中的驗證碼信息,輸入表單提交網(wǎng)站驗證,驗證成功后才能使用某項功能.很多網(wǎng)站利用驗證碼技術來防止惡意登錄,以提升網(wǎng)絡安全.在抗疫期間,某居民小區(qū)電子出入證的登錄驗證碼由0,1,2,…,9中的五個數(shù)字隨機組成.將中間數(shù)字最大,然后向兩邊對稱遞減的驗證碼稱為“鐘型驗證碼”(例如:如14532,12543),已知某人收到了一個“鐘型驗證碼”,則該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若對任意成立,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)如圖中,為的中點,,,.(1)求邊的長;(2)點在邊上,若是的角平分線,求的面積.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性并指出相應單調(diào)區(qū)間;(2)若,設是函數(shù)的兩個極值點,若,且恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.20.(12分)已知,函數(shù)有最小值7.(1)求的值;(2)設,,求證:.21.(12分)已知函數(shù),.(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在上的最小值和最大值.22.(10分)己知點,分別是橢圓的上頂點和左焦點,若與圓相切于點,且點是線段靠近點的三等分點.求橢圓的標準方程;直線與橢圓只有一個公共點,且點在第二象限,過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于,兩點,求面積的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
由題,得,由的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,可得最小正周期,從而求得,得到函數(shù)的解析式,又因為當時,,由此即可得到本題答案.【詳解】由題,得,因為的圖象與直線的兩個相鄰交點的距離等于,所以函數(shù)的最小正周期,則,所以,當時,,所以是函數(shù)的一條對稱軸,故選:D本題主要考查利用和差公式恒等變形,以及考查三角函數(shù)的周期性和對稱性.2.B【解析】
分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關系.【詳解】可能的取值為;可能的取值為,,,,故,.,,故,,故,.故選B.離散型隨機變量的分布列的計算,應先確定隨機變量所有可能的取值,再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率,然后利用公式計算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.3.D【解析】
易知單調(diào)遞增,由可得唯一零點,通過已知可求得,則問題轉(zhuǎn)化為使方程在區(qū)間上有解,化簡可得,借助對號函數(shù)即可解得實數(shù)a的取值范圍.【詳解】易知函數(shù)單調(diào)遞增且有惟一的零點為,所以,∴,問題轉(zhuǎn)化為:使方程在區(qū)間上有解,即在區(qū)間上有解,而根據(jù)“對勾函數(shù)”可知函數(shù)在區(qū)間的值域為,∴.故選D.本題考查了函數(shù)的零點問題,考查了方程有解問題,分離參數(shù)法及構造函數(shù)法的應用,考查了利用“對勾函數(shù)”求參數(shù)取值范圍問題,難度較難.4.A【解析】
利用復數(shù)的乘方和除法法則將復數(shù)化為一般形式,結合復數(shù)的模長公式可求得結果.【詳解】,,因此,.故選:A.本題考查復數(shù)模長的計算,同時也考查了復數(shù)的乘方和除法法則的應用,考查計算能力,屬于基礎題.5.D【解析】
利用余弦定理角化邊整理可得結果.【詳解】由余弦定理得:,整理可得:,.故選:.本題考查余弦定理邊角互化的應用,屬于基礎題.6.C【解析】
將復數(shù)化成標準形式,由題意可得實部大于零,虛部等于零,即可得到答案.【詳解】因為為正實數(shù),所以且,解得.故選:C本題考查復數(shù)的基本定義,屬基礎題.7.C【解析】
由程序語言依次計算,直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當n=2時,時,,此時輸出.故選:C本題考查由程序框圖計算輸出結果,屬于基礎題8.C【解析】
根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,,再求得其它的棱長比較下結論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長棱長為.故選:C本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.9.A【解析】
先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù),,可求出公差,即可求出.【詳解】數(shù)列滿足,則數(shù)列為等差數(shù)列,,,,,,,故選:.本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式的求法,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎題.10.B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時,則的最大值為15,故選B.考點:程序框圖.11.D【解析】
根據(jù)題意,求出函數(shù)的導數(shù),由函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系分析可得在上為增函數(shù),又由,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù),其導數(shù)函數(shù),則有在上恒成立,則在上為增函數(shù);又由,則;故選:.本題考查函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系,涉及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),屬于基礎題.12.D【解析】
由題知,又,代入計算可得.【詳解】由題知,又.故選:D本題主要考查了三角函數(shù)的定義,誘導公式,二倍角公式的應用求值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13..【解析】
由A,B,C成等差數(shù)列得出B=60°,利用正弦定理得進而得代入三角形的面積公式即可得出.【詳解】∵A,B,C成等差數(shù)列,∴A+C=2B,又A+B+C=180°,∴3B=180°,B=60°.故由正弦定理,故所以S△ABC,故答案為:本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),三角形的面積公式,考查正弦定理的應用,屬于基礎題.14.【解析】解:由題意可知:.15.【解析】
利用復數(shù)的概念與復數(shù)的除法運算計算即可得到答案.【詳解】,所以復數(shù)的實部為2.故答案為:2本題考查復數(shù)的除法運算,考查學生的基本計算能力,是一道基礎題.16.【解析】
首先判斷出中間號碼的所有可能取值,由此求得基本事件的總數(shù)以及中間數(shù)字是的事件數(shù),根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求概率.【詳解】根據(jù)“鐘型驗證碼”中間數(shù)字最大,然后向兩邊對稱遞減,所以中間的數(shù)字可能是.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.當中間是時,其它個數(shù)字可以是,選其中兩個排在左邊(排法唯一),另外兩個排在右邊(排法唯一),所以方法數(shù)有種.所以該驗證碼的中間數(shù)字是7的概率為.故答案為:本小題主要考查古典概型概率計算,考查分類加法計數(shù)原理、分類乘法計數(shù)原理的應用,考查運算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)把代入,利用零點分段討論法求解;(2)對任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解:(1)當時,不等式可化為.討論:①當時,,所以,所以;②當時,,所以,所以;③當時,,所以,所以.綜上,當時,不等式的解集為.(2)因為,所以.又因為,對任意成立,所以,所以或.故實數(shù)的取值范圍為.本題主要考查含有絕對值不等式的解法及恒成立問題,恒成立問題一般是轉(zhuǎn)化為最值問題求解,側重考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).18.(1)10;(2).【解析】
(1)由題意可得cos∠ADB=﹣cos∠ADC,由已知利用余弦定理可得:9+BD2﹣52+9+BD2﹣16=0,進而解得BC的值.(2)由(1)可知△ADC為直角三角形,可求S△ADC6,S△ABC=2S△ADC=12,利用角平分線的性質(zhì)可得,根據(jù)S△ABC=S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值.【詳解】(1)因為在邊上,所以,在和中由余弦定理,得,因為,,,,所以,所以,.所以邊的長為10.(2)由(1)知為直角三角形,所以,.因為是的角平分線,所以.所以,所以.即的面積為.本題主要考查了余弦定理,三角形的面積公式,角平分線的性質(zhì)在解三角形中的綜合應用,考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結合思想,屬于中檔題.19.(1)答案見解析(2)【解析】
(1)先對函數(shù)進行求導得,對分成和兩種情況討論,從而得到相應的單調(diào)區(qū)間;(2)對函數(shù)求導得,從而有,,,三個方程中利用得到.將不等式的左邊轉(zhuǎn)化成關于的函數(shù),再構造新函數(shù)利用導數(shù)研究函數(shù)的最小值,從而得到的取值范圍.【詳解】解:(1)由,,則,當時,則,故在上單調(diào)遞減;當時,令,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.綜上所述:當時,在上單調(diào)遞減;當時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)∵,,由得,∴,,∴∵∴解得.∴.設,則,∴在上單調(diào)遞減;當時,.∴,即所求的取值范圍為.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,考查分類討論思想和數(shù)形結合思想,求解雙元問題的常用思路是:通過換元或消元,將雙元問題轉(zhuǎn)化為單元問題,然后利用導數(shù)研究單變量函數(shù)的性質(zhì).20.(1).(2)見解析【解析】
(1)由絕對值三解不等式可得,所以當時,,即可求出參數(shù)的值;(2)由,可得,再利用基本不等式求出的最小值,即可得證;【詳解】解:(1)∵,∴當時,,解得.(2)∵,∴,∴,當且僅當,即,時,等號成立.∴.本題主要考查絕對值三角不等式及基本不等式的簡單應用,屬于中檔題.21.(Ⅰ);(Ⅱ)最小值和最大值.【解析】試題分析:(1)由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個復合角的三角函數(shù)式,再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計算公式,即可求得函數(shù)的最小正周期;(2)由(1)得函數(shù),分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性,可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.由已知,有的最小正周期.(2)∵在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),,,∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為.考點:1.兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式;2.三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性.22.;.【
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