2024年勾股定理知識點、經(jīng)典例題

知識點及例題知識點壹：勾股定理

假如直角三角形的兩直角邊長分別為：a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

要點詮釋：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方關(guān)系的定理。

（2）勾股定理只合用于直角三角形，而不合用于銳角三角形和鈍角三角。

（3）理解勾股定理的某些變式：

c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab

知識點二：用面積證明勾股定理

措施壹：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形。

圖（1）中，因此。

措施二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。

圖（2）中，因此。

措施三：將四個全等的直角三角形分別拼成如圖（3）—1和（3）—2所示的兩個形狀相似的正方形。

在（3）—1中，甲的面積=（大正方形面積）—（4個直角三角形面積）,

在（3）—2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）—（4個直角三角形面積）,

因此，甲的面積=乙和丙的面積和，即：.

措施四：如圖（4）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形。

，因此。

知識點三：勾股定理的作用

1．已知直角三角形的兩條邊長求第三邊；2．已知直角三角形的壹條邊，求另兩邊的關(guān)系；

3．用于證明平方關(guān)系的問題；4．運用勾股定理，作出長為的線段。2.在理解的基礎(chǔ)上熟悉下列勾股數(shù)

滿足不定方程x2+y2=z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以x,y,z為三邊長的三角形壹定是直角三角形。

熟悉下列勾股數(shù)，對解題是會有協(xié)助的：

①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．

假如(a,b,c)是勾股數(shù)，當(dāng)t>0時，以at,bt,ct為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形。經(jīng)典例題透析類型壹：勾股定理的直接使用方法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.

思緒點撥:寫解的過程中，壹定要先寫上在哪個直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。

解析：(1)在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

(2)在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

(3)在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=

總結(jié)升華：有某些題目的圖形較復(fù)雜，但中心思想還是化為直角三角形來處理。如：不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形的措施，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差或和。

舉壹反三

【變式】:如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長是多少?

【答案】∵∠ACD=90°

AD=13,CD=12

∴AC2=AD2－CD2

=132－122

=25

∴AC=5

又∵∠ABC=90°且BC=3

∴由勾股定理可得

AB2=AC2－BC2

=52－32

=16

∴AB=4

∴AB的長是4.

類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用

2、如圖，已知：在中，，，.求：BC的長.

思緒點撥：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，則有

，，再由勾股定理計算出AD、DC的長，進而求出BC的長.

解析：作于D，則因，

∴（的兩個銳角互余）

∴（在中，假如壹種銳角等于，

那么它所對的直角邊等于斜邊的二分之壹）.

根據(jù)勾股定理，在中，

.

根據(jù)勾股定理，在中，

.

∴.

總結(jié)升華：運用勾股定理計算線段的長，是勾股定理的壹種重要應(yīng)用.當(dāng)題目中沒有垂直條件時，也常常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理.

舉壹反三【變式1】如圖，已知：，，于P.求證：.

思緒點撥:圖中已經(jīng)有兩個直角三角形，不過還沒有以BP為邊的直角三角形.因此，我們考慮構(gòu)造壹種以BP為壹邊的直角三角形.因此連結(jié)BM.這樣，實際上就得到了4個直角三角形.那么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系.

解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在中，

.

而在中，則根據(jù)勾股定理有

.

∴

又∵（已知），

∴.

在中，根據(jù)勾股定理有

，

∴.

【變式2】已知：如圖，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。

分析：怎樣構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長AB、DC交于F，或延長AD、BC交于點E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選後兩種，深入根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡樸。

解析：延長AD、BC交于E。

∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。

∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。

∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。

∴S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB·BE-CD·DE=

類型三：勾股定理的實際應(yīng)用

（壹）用勾股定理求兩點之間的距離問題

3、如圖所示，在壹次夏令營活動中，小明從營地A點出發(fā)，沿北偏東60°方向走了抵達B點，然後再沿北偏西30°方向走了500m抵達目的地C點。

（1）求A、C兩點之間的距離。

（2）確定目的地C在營地A的什么方向。

思緒點撥：把實際問題中的角度轉(zhuǎn)化為圖形中的角度，運用勾股定理求解。

解析：（1）過B點作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

∴∠CBA=90°

即△ABC為直角三角形

由已知可得：BC=500m，AB=

由勾股定理可得：

因此

（2）在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m

∴∠CAB=30°

∵∠DAB=60°

∴∠DAC=30°

即點C在點A的北偏東30°的方向

總結(jié)升華：本題是壹道實際問題，從已知條件出發(fā)判斷出△ABC是直角三角形是處理問題的關(guān)鍵。本題波及平行線的性質(zhì)和勾股定理等知識。

舉壹反三

【變式】壹輛裝滿貨品的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?

【答案】由于廠門寬度與否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度與否不不小于CH．如圖所示，點D在離廠門中線0.8米處，且CD⊥ＡＢ，與地面交于H．

解：OC＝1米(大門寬度二分之壹)，

OD＝0.8米（卡車寬度二分之壹）

在Rt△OCD中，由勾股定理得：

CD＝＝＝０.６米，

CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．

因此高度上有0.4米的余量，因此卡車能通過廠門．

（二）用勾股定理求最短問題

4、國家電力總企業(yè)為了改善農(nóng)村用電電費過高的現(xiàn)實狀況，目前正在全國各地農(nóng)村進行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、B、C、D，且恰好位于壹種正方形的四個頂點，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)壹條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如圖實線部分．請你協(xié)助計算壹下，哪種架設(shè)方案最省電線．

思緒點撥：解答本題的思緒是：最省電線就是線路長最短，通過運用勾股定理計算線路長，然後進行比較，得出結(jié)論．

解析：設(shè)正方形的邊長為1，則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為

AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3

圖（3）中，在Rt△ABC中

同理

∴圖（3）中的路線長為

圖（4）中，延長EF交BC于H，則FH⊥BC，BH＝CH

由∠FBH＝及勾股定理得：

EA＝ED＝FB＝FC＝

∴EF＝1－2FH＝1－

∴此圖中總線路的長為4EA+EF＝

3＞2.828>2.732

∴圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線．

總結(jié)升華：在實際生產(chǎn)工作中，往往工程設(shè)計的方案比較多，需要運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識進行計算，比較從中選出最優(yōu)設(shè)計．本題運用勾股定理、等腰三角形的鑒定、全等三角形的性質(zhì)．

舉壹反三

【變式】如圖，壹圓柱體的底面周長為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．壹只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短旅程．

解：

如圖，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周長的二分之壹＝１０cm，根據(jù)勾股定理得

（提問：勾股定理）

∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

答：最短旅程約為１０．７７cm．

類型四：運用勾股定理作長為的線段

5、作長為、、的線段。

思緒點撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長就是，類似地可作。

作法：如圖所示

（1）作直角邊為1（單位長）的等腰直角△ACB，使AB為斜邊；

（2）以AB為壹條直角邊，作另壹直角邊為1的直角。斜邊為；

（3）順次這樣做下去，最終做到直角三角形，這樣斜邊、、、的長度就是

、、、。

總結(jié)升華：（1）以上作法根據(jù)勾股定理均可證明是對的的；（2）取單位長時可自定。壹般習(xí)常用國際原則的單位，如1cm、1m等，我們作圖時只要取定壹種長為單位即可。

舉壹反三【變式】在數(shù)軸上表達的點。

解析：可以把看作是直角三角形的斜邊，，

為了有助于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，

而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得此外兩邊分別是3和1。

作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，

以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點B即為。

類型五：逆命題與勾股定理逆定理

6、寫出下列原命題的逆命題并判斷與否對的

1．原命題：貓有四只腳．（對的）

2．原命題：對頂角相等（對的）

3．原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等．（對的）

4．原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等．（對的）

思緒點撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。

解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不對的）

2.逆命題：相等的角是對頂角（不對的）

3.逆命題：到線段兩端距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．（對的）

4.逆命題：到角兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上．（對的）

總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。

7、假如ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。

思緒點撥：要判斷ΔABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，處理問題。

解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。

∴a=3，b=4，c=5。

∵32+42=52,

∴a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。

舉壹反三【變式1】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。

【答案】：連結(jié)AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）

∴AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

【變式2】已知:△ABC的三邊分別為m2－n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC與否為直角三角形.

分析:本題是運用勾股定理的的逆定理，只要證明:a2+b2=c2即可

證明：

因此△ABC是直角三角形.

【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上壹點，且BF=AB。

請問FE與DE與否垂直?請闡明。

【答案】答：DE⊥EF。

證明：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,

∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；

DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。

連接DF（如圖）

DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。

∴DF2=EF2+DE2,

∴FE⊥DE。經(jīng)典例題精析

類型壹：勾股定理及其逆定理的基本使用方法

1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。

思緒點撥：在直角三角形中懂得兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進而求面積。

解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得：

（3x）2+（4x）2＝202

化簡得x2＝16；

∴直角三角形的面積＝×3x×4x＝6x2＝96

總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然後用勾股定理列方程（組）求解。

舉壹反三【變式1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。

【答案】如圖，等邊△ABC，作AD⊥BC于D

則：BD＝BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重疊）

∵AB＝AC＝BC＝2（等邊三角形各邊都相等）

∴BD＝1

在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3

∴AD＝

S△ABC＝BC·AD＝

注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為a。

【變式2】直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。

【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x，y，根據(jù)題意得：

由（1）得：x+y＝7，

（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49(3)

(3)－(2)，得：xy＝12

∴直角三角形的面積是xy＝×12＝6（cm2）

【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+1，n+2，n+3，求n。

思緒點撥：首先要確定斜邊（最長的邊）長n+3，然後運用勾股定理列方程求解。

解：此直角三角形的斜邊長為n+3，由勾股定理可得：

（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2

化簡得：n2＝4

∴n＝±2，但當(dāng)n＝－2時，n+1＝－1<0，∴n＝2

總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的狀況下，首先要先確定斜邊，直角邊。

【變式4】如下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40

解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷，

對數(shù)據(jù)較大的可以用c2＝a2+b2的變形：b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）來判斷。

例如：對于選擇D，

∵82≠（40+39）×（40－39），

∴以8，39，40為邊長不能構(gòu)成直角三角形。

同理可以判斷其他選項?！敬鸢浮浚篈

【變式5】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。

解：連結(jié)AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）

∴AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BC+AC·CD=36

類型二：勾股定理的應(yīng)用

2、如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且∠QPN＝30°，點A處有壹所中學(xué)，AP＝160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校與否會受到噪聲影響？請闡明理由，假如受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？

思緒點撥：（1）要判斷拖拉機的噪音與否影響學(xué)校A，實質(zhì)上是看A到公路的距離與否不不小于100m,不不小于100m則受影響，不小于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）規(guī)定出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是規(guī)定拖拉機對學(xué)校A的影響所行駛的旅程。因此必須找到拖拉機行至哪壹點開始影響學(xué)校，行至哪壹點後結(jié)束影響學(xué)校。

解析：作AB⊥MN，垂足為B。

在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，

∴AB＝AP＝80。（在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的二分之壹）

∵點A到直線MN的距離不不小于100m,

∴這所中學(xué)會受到噪聲的影響。

如圖，假設(shè)拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學(xué)校開始受到影響，那么AC＝100(m)，

由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。

同理，拖拉機行駛到點D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),

∴CD＝120(m)。

拖拉機行駛的速度為:18km/h＝5m/s

t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒。

總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的措施,若圖形缺乏直角條件,則可以通過作輔助垂線的措施,構(gòu)造直角三角形以便運用勾股定理。

舉壹反三【變式1】如圖學(xué)校有壹塊長方形花園，有很少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了壹條“路”。他們僅僅少走了__________步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。

解析：他們本來走的路為3+4＝7(m)

設(shè)走“捷徑”的路長為xm，則

故少走的路長為7－5＝2(m)

又由于2步為1m，因此他們僅僅少走了4步路?！敬鸢浮?

【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每壹種小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。

（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。

（2）圖中的平行四邊形ABCD具有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？

（3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。

【答案】（1）單位正三角形的高為，面積是。

（2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD具有24個單位正三角形，因此其面積。

（3）過A作AK⊥BC于點K（如圖所示），則在Rt△ACK中，，

，故

類型三：數(shù)學(xué)思想措施（壹）轉(zhuǎn)化的思想措施

我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來處理．

3、如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，