湖南省邵陽市2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省邵陽市2024屆高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)滿足：，其中是虛數(shù)單位，則的值為（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗，，．故選：B．2.已知全集，集合，，如圖所示，則圖中陰影部分表示的集合是（）A. B. C. D.或〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以圖中陰影部分表示的集合或.故選：D.3.“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，則的圖象為：可知在上單調(diào)遞增；若，則的圖象為：可知在上單調(diào)遞減；綜上所述：“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的充要條件.故選：C．4.下列函數(shù)對(duì)于任意，都有成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗滿足，則函數(shù)為上凸函數(shù)，對(duì)于A，的圖象是上凸的，符合題意；對(duì)于B，的圖象是下凸的，不符合題意；對(duì)于C，的圖象是下凸的，不符合題意；對(duì)于D，的圖象是下凸的，不符合題意；故選：A5.已知曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線也相切，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B. C.1 D.0或1〖答案〗C〖解析〗，，所以曲線在點(diǎn)處的切線為：，即．聯(lián)立與，得，依題意可知，所以或1．當(dāng)時(shí)，不是拋物線，舍去．故選：C.6.甲、乙兩個(gè)工廠代加工同一種零件，甲加工的次品率為，乙加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙工廠加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，任取一個(gè)零件，如果取到的零件是次品，則它是乙工廠加工的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)事件“任取一個(gè)零件，取到的零件是次品”，“任取一個(gè)零件，來自甲工廠”，“任取一個(gè)零件，來自乙工廠”，由題意得，，，．因?yàn)?，所以．故選：D．7.已知雙曲線的焦點(diǎn)在圓上，且圓與直線有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可得：，則，由直線與圓有公共點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，所以，由離心率．故選：B．8.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．若對(duì)任意，有，則下列說法正確的是（）A.不為周期函數(shù) B.的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．由，得．令，則，由，得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，所以，即，則可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故為周期函數(shù)，且周期為8，，所以，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．又，則，所以，由得：，故為周期函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤．由，兩邊求導(dǎo)得：，由得：，令得：，利用的周期為8，則，C選項(xiàng)正確．故選：C．二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的有（）A.若角的終邊過點(diǎn)，則角的集合是B.若，則C若，則D.若扇形的周長為，圓心角為，則此扇形的半徑是〖答案〗ABC〖解析〗因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，為第一象限角，所以由三角函數(shù)的定義知，所以角的終邊與終邊相同，所以角的集合是，故A選項(xiàng)正確；因?yàn)椋訠選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以C選項(xiàng)正確；設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，因?yàn)樯刃嗡鶎?duì)的弧長為，所以扇形周長為，故，所以D選項(xiàng)不正確．故選：ABC.10.如圖所示，點(diǎn)為正方體形木料上底面的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)，使平面C.不存在點(diǎn)，使平面D.經(jīng)過點(diǎn)在上底面上畫一條直線與垂直，若與直線重合，則點(diǎn)為上底面中心〖答案〗AD〖解析〗三棱錐中，底面的面積為定值，由平面平面可知，平面上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等，則可得三棱錐的體積為定值．故A選項(xiàng)正確；在正方體中，，平面，且，所以平面，若存在點(diǎn)使得平面，則與重合或平行，顯然這樣的點(diǎn)不存在，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；在正方體中，，平面，平面，所以平面，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，為，則存在點(diǎn)使得平面，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)檎襟w中，平面，由題可得平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，平面，則．當(dāng)與重合時(shí)，．在正方形中，則可得為與的交點(diǎn)，即為上底面的中心，故D選項(xiàng)正確．故選：AD.11.英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，，某數(shù)學(xué)興趣小組在研究該公式時(shí)，提出了如下猜想，其中正確的有（）A. B.（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）C. D.當(dāng)時(shí)，〖答案〗BD〖解析〗由，，則有，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤．由，則，又（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位），故B選項(xiàng)正確．，，則有，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，令，則，，所以在上為增函數(shù)，則，所以在上為增函數(shù)，則，故當(dāng)時(shí)，恒成立，即．故D選項(xiàng)正確．故選：BD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是______．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗由的展開式的通項(xiàng)得：，令，得，故．13.宋朝詩人王镃在《蜻蜓》中寫到：“輕綃剪翅約秋霜，點(diǎn)水低飛戀野塘”，描繪了蜻蜓點(diǎn)水的情形，蜻蜓點(diǎn)水會(huì)使平靜的水面形成水波紋，截取其中一段水波紋，其形狀可近似于用函數(shù)的圖象來描述，如圖所示，則______．〖答案〗〖解析〗由題知：，，，即，又，，故，即．14.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且，則______；若，，，，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由及正弦定理，得，由余弦定理可知，又，．，，由余弦定理得，，與的夾角的余弦值為．又，，且，，，.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）由，得，令，得，解得．所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）令，解得或．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表所示：0200單調(diào)遞減1單調(diào)遞增單調(diào)遞減由函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，得方程有且僅有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有三個(gè)交點(diǎn)．顯然，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以由上表可知，的極小值為，的極大值為，故．16.如圖所示，四棱錐中，平面，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接，取的中點(diǎn)，連接，則.又，，四邊形為平行四邊形，，，即，又平面，平面，，又，平面，平面，平面，又平面，.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，依題意得，，，，則，，，.設(shè)平面法向量為，則取，得，．.設(shè)直線與平面所成角為，則有.直線與平面所成角的正弦值為.17.如圖所示，已知點(diǎn)，軸于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）點(diǎn)是上不同的兩點(diǎn)，關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，記直線與軸的交點(diǎn)為，直線與軸的交點(diǎn)為．當(dāng)為等邊三角形，且時(shí)，求點(diǎn)到直線的距離的取值范圍．解：（1）設(shè)，則．直線的方程為，，．，．，，化簡得，其中．即的方程為：．（2）拋物線的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在上，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)也在拋物線的圖象上．設(shè)直線的方程為，，，則．聯(lián)立方程得：，整理得．，，．設(shè)，則，．三點(diǎn)共線，，．即，又，．．點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，等邊三角形，，直線的斜率，．由，得．，，又，，則點(diǎn)到直線的距離．設(shè)，則，且，故．在上單調(diào)遞減，．即點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是18.某市開展“安全隨我行”活動(dòng)，交警部門在某個(gè)交通路口增設(shè)電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續(xù)10日騎電動(dòng)摩托車未佩戴頭盔的人數(shù)與天數(shù)的情況，對(duì)統(tǒng)計(jì)得到的樣本數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.5.58.71.930138579.75表中，.（1）依據(jù)散點(diǎn)圖推斷，與哪一個(gè)更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)與天數(shù)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）依據(jù)（1）的結(jié)果和上表中的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的回歸方程.（3）為了解佩戴頭盔情況與性別的關(guān)聯(lián)性，交警對(duì)該路口騎電動(dòng)摩托車市民進(jìn)行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：性別佩戴頭盔合計(jì)不佩戴佩戴女性81220男性14620合計(jì)221840依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民騎電動(dòng)摩托車佩戴頭盔與性別有關(guān)聯(lián)？參考公式：，，，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）依據(jù)散點(diǎn)圖可以判斷，更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)與天數(shù)的回歸方程類型.（2）由，得，依題意得，，所以，即.（3）零假設(shè)：市民佩戴頭盔與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到：，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民佩戴頭盔與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.10.19.已知數(shù)列，，函數(shù)，其中，均為實(shí)數(shù)．（1）若，，，，，（ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：