2024年高考數(shù)學一輪復習（新高考版） 常用邏輯用語

§1.2常用邏輯用語

【考試要求】i.理解充分條件、必要條件、充要條件的意義；理解判定定理與充分條件、性質

定理與必要條件、數(shù)學定義與充要條件的關系.2.理解全稱量詞和存在量詞的意義，能正確對

兩種命題進行否定.

■落實主干知識

【知識梳理】

1.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則一是〃的充分條件,q是P的必要條件

p是q的充分不必要條件p=q且q/p

p是q的必要不充分條件p#q且

p是q的充要條件p3q

p是q的既不充分也不必要條件p今q且q/p

2.全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞：短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“R”表

示.

⑵存在量詞：短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號

“3”表示.

3.全稱量詞命題和存在量詞命題

名稱全稱量詞命題存在量詞命題

結構對M中任意一個x,p(x)成立存在M中的元素x,p(x)成立

簡記Vx￡。魚)

否定3x^M,女弟p(x)

【常用結論】

1.充分、必要條件與對應集合之間的關系

設4={x|p(x)},B={x\q{x)}.

(1)若p是q的充分條件，則AQ8;

(2)若p是q的充分不必要條件，則AB；

(3)若p是q的必要不充分條件，則2A；

(4)若p是q的充要條件，則A=A

2.含有一個量詞命題的否定規(guī)律是“改變量詞，否定結論”.

3.命題p與p的否定的真假性相反.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確（請在括號中打“J”或“X”）

（l）p是q的充分不必要條件等價于q是p的必要不充分條件.（J）

（2）“三角形的內角和為180?！笔侨Q量詞命題.（V）

（3）已知集合A,B,的充要條件是A=8（V）

（4）命題“mxGR,sin^+cos5V”是真命題.（X）

【教材改編題】

1.命題“VxdR,eX-l,x”的否定是（）

A.三尤GR,e*—INxB.\/xGR,e*—IWx

C.3x^R,e^-l<xD.V尤GR,e*—l<x

答案C

解析由題意得命題“VxGR,e，一INX”的否定是“mxGR,.

2.（多選）下列命題中為真命題的是（）

A.X/xGR,x2>。B.VA-^R,—KsinxWl

C.Bx￡R,2*<0D.tanx=2

答案BD

解析當x=0時，記=0,所以A選項錯誤；

當尤GR時，一IWsin尤W1,所以B選項正確；

因為2》>0,所以C選項錯誤；

因為函數(shù)y=tanxeR,所以D選項正確.

3.若“尤>3”是“龍〉機”的必要不充分條件，則機的取值范圍是.

答案（3,+°°）

解析因為“x>3”是“x>m”的必要不充分條件，

所以（租，+8）是（3,+8）的真子集，

由圖可知m>3.

3mx

■探究核心題型

題型一充分、必要條件的判定

例1（1）（2023?淮北模擬）"a>b>0”是“齊1”的（）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由a>b>0,得齊1,反之不成立，

如a=-2,b=—l,滿足方>1,但是不滿足。>fc>0,

故是隹1”的充分不必要條件.

⑵(2021.全國甲卷)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,前〃項和為斗.設甲:q>0,乙:｛SJ是遞增數(shù)列,

則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案B

解析當ai<0,q>l時，斯=硒"工0,此時數(shù)列⑹｝單調遞減，所以甲不是乙的充分條件.當

數(shù)列｛S“｝單調遞增時,有S“+i—5“=斯+1=削">0,若*0,則g">0(〃CN*),即g>0；若s<0,

則q〃<0(〃GN*),不存在.所以甲是乙的必要條件.

思維升華充分條件、必要條件的兩種判定方法

(1)定義法：根據(jù)〃今4,q今,進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

(2)集合法：根據(jù)p,q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉及參數(shù)范圍

的推斷問題.

跟蹤訓練1(1)(2022?長春模擬)=忸|"是％與力共線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析因為仙|cos解b)=\a\\b\,

所以cos(a,b)=1,

因為〈a,b)￡[0,兀],

所以〈a,b)=0,

所以〃與力共線，

當Q與萬共線時，〈a,b〉=0或〈。，b〉=兀，

所以a?5=|。||例cos〈a,b)=|。||例或〃仍=|a||5|cos〈a,b}=—\a\\b\,

所以aa-b^\a\\b\"是“a與》共線”的充分不必要條件.

⑵(多選)已知幕函數(shù)段)=(4〃z—l)嚴，則下列選項中，能使得加)》S)成立的一個充分不必要

條件是()

11,,

-cr>b2

A.0<a<TbB.

C.Ina>lnbD.2a>2b

答案AC

解析由題設知4機一1=1,可得〃7=/，故於)=5，

所以，要使//b),則,即a>b》O.

0<-<^<=>47>Z?0,A符合題意；

Ina>lnb^a>b>0,C符合題意；

B,D選項中a,b均有可能為負數(shù)，B,D不符合題意.

題型二充分、必要條件的應用

例2在①AU8=8；②“xGA”是“xGB”的充分條件；③“XG[RA”是“尤6}2”的必

要條件這三個條件中任選一個，補充到本題第(2)問的橫線處，求解下列問題.

問題：已知集合4={也?工W。+2},8={x|(x+l)(x—3)<0}.

(1)當a=2時，求AC8；

(2)若,求實數(shù)a的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

解(1)由(x+l)(x—3)<0,

解得一l<x<3,

所以B—{x|(x+l)(x—3)<0}={x|—l<x<3},

當a=2時，A={x|2W尤W4},

所以ACB={x[2Wx<3}.

[a>—1,

(2)若選①AU2=3,則AGB,所以，解得一即a《(一1,1)；

[a+2<3,

若選②"xGA”是“xGB”的充分條件，則所以":1'解得一1<加1,

[。+2<3,

即aG(—1,1)；

(a>—1,

若選③是的必要條件，則A匚B,所以,.解得一ka<l,即

[a+2<3,

ae（-l,l）.

思維升華求參數(shù)問題的解題策略

（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出

關于參數(shù)的不等式（或不等式組）求解.

（2）要注意區(qū)間端點值的檢驗.

跟蹤訓練2（2023?宜昌模擬）已知集合4=a一2<xW3},8={x|f—2m;+療一1<0}.

（1）若加=2,求集合ACB；

（2）已知p：x^A,q：x?B,是否存在實數(shù)使p是q的必要不充分條件，若存在實數(shù)

求出機的取值范圍；若不存在，請說明理由.

解（1）由機=2及％2—2〃a+蘇—1<0,

得x2—4x+3<0,解得

所以8={x[l<x<3},

又4={尤-|2<xW3},

所以AnB={x[l<x<3}.

（2）由x2—1<0,

得[x—（m-1）][x~（m+1）]<0,

所以m—1,

所以B={x\m—\<x<m~\~1}.

由p是q的必要不充分條件，

得集合3是集合A的真子集，

-1》一2,

所以'一lWmW2（兩端等號不會同時取得），

十1W3

所以機的取值范圍為[—1,2].

題型三全稱量詞與存在量詞

命題點1含量詞命題的否定

例3（2022?漳州模擬）命題“VaGR,%2—辦+1=0有實數(shù)解”的否定是（）

A.VaER,一"+1=0無實數(shù)解

B.m（zGR,A2—or+l=0無實數(shù)解

C.VaER,%2—中+1W0有實數(shù)解

D.f—辦+lWO有實數(shù)解

答案B

解析因為全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，

所以“VaGR,x2—以+1=0有實數(shù)解”的否定是“m.GR,x2—ox+l=0無實數(shù)解”.

命題點2含量詞命題真假的判斷

例4（多選X2023?沈陽模擬）下列命題中為真命題的是（）

A.3%ER,'

B.對于VxdR,“GN*且w>l,都有爐i=x

C.X/xCR,ln(x—1)22。

D.Inx^x~1

答案AD

解析當時，0<^<l,故A項是真命題；

當〃為偶數(shù)，且x<0時，—x,故B項是假命題；

當x=l時，ln(x—Ip無意義，故C項是假命題；

當％=1時，ln%2x—l,故D項是真命題.

命題點3含量詞命題的應用

jrTT

例5若Txe［一去卦sin”是假命題，則實數(shù)機的最大值為()

B.一］C?坐D.一半

答案D

jrjr

解析因為'Txe［一升sin尤</'是假命題，

TT7T

所以—Q,2，機Wsinx”是真命題，

兀兀_

即mWsin%對于一?g恒成立，所以加W(sin%)min,

TTJT

因為y=sinx在一］,Q上單調遞增，

所以x=一1時，尸sinx最小，其最小值為尸sin(一§=—sin畀一坐，

所以mW—半，所以實數(shù)機的最大值為一半.

思維升華含量詞命題的解題策略

(1)判定全稱量詞命題是真命題，需證明都成立；要判定存在量詞命題是真命題，只要找到一

個成立即可.當一個命題的真假不易判定時，可以先判斷其否定的真假.

(2)由命題真假求參數(shù)的范圍，一是直接由命題的真假求參數(shù)的范圍；二是可利用等價命題求

參數(shù)的范圍.

跟蹤訓練3(1)已知命題p：3neN,/22及+5,則㈱〃為()

A.層22〃+5

B.層W2〃+5

C.VneN,rr<2n+5

D.*=2"+5

答案C

解析由存在量詞命題的否定可知，㈱p為VwCN,層<2w+5.所以C正確，A,B,D錯誤.

(2)(多選)下列命題是真命題的是()

A.V尤GR,-x2—1<0

B.X/〃ez,Sm￡Z,nm—m

C.所有圓的圓心到其切線的距離都等于半徑

13

D.存在實數(shù)無，使得/_；*+3=寧

答案ABC

解析V尤GR,一fwo,所以一X2—1<0,故A項是真命題；

當7〃=0時，=恒成立,故B項是真命題；

任何一個圓的圓心到切線的距離都等于半徑，故C項是真命題；

因為x2—2x+3=(x—1A+2N2,

113

所以._h+3號號故D項是假命題.

(3)若命題“mxGR,^2+(a-l)x+l<0,,的否定是假命題，則實數(shù)CZ的取值范圍是.

答案(一8,—1)U(3,+°°)

解析命題"ElxGR,x2+(a—l)x+l<0"的否定是假命題，

則命題“mxGR,d+m—Dx+lcO”是真命題，

即zf=(a-l)2-4>0,

解得a>3或a<-l,

故實數(shù)a的取值范圍是(一8,-1)U(3,+8).

課時精練

應基礎保分練

1.(2023?上饒模擬)”/>2021”是“0>2022”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若0>2022,因為2022>2021,故爐>2021,

故”/>2022”可以推出“/>2021”，

取/=2021.5,則滿足爐>2021,但f>2022不成立，

所以“r>2021”不能推出“/>2022”,

所以“P>2021”是“P>2022”的必要不充分條件.

2.已知命題p：mxGQ,使得超N,則女弟0為（）

A.VKQ,都有點NB.3^Q,使得x^N

C.VxEQ,都有尤GND.SxeQ,使得x^N

答案C

解析因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，

所以由p：E3x￡Q,使得XEN,

得女弟p：VxeQ,都有xGN.

3.已知命題：“VxGR,方程/+4x+a=0有解”是真命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.。<4B.

C.a>4D.a24

答案B

解析“VxGR,方程f+4x+a=0有解”是真命題，

故/=16—4420,解得aW4.

4.（2023?武漢模擬）已知a,b是兩條不重合的直線，a為一個平面，且a_La,則"6_La"是

aa//b"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案C

解析當b_La時，結合a_La,可得a〃6,充分性滿足；

當a〃6時，結合a_La,可得6_l_a,必要性滿足.

故"La”是“a〃b”的充要條件.

5.命題“\/1WXW2,f—aWO”為真命題的一個充分不必要條件是（）

A.aN4B.a25

C.aW4D.aW5

答案B

解析因為命題“VlWxW2,x2—?！?”是真命題，

所以a2%2恒成立，

所以a》4,

結合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是a\5.

6.（多選）下列命題是真命題的是（）

A.所有的素數(shù)都是奇數(shù)

B.有一個實數(shù)x,使V+2無+3=0

C."a=『是"sina=sinP”成立的充分不必要條件

D.命題“三尤GR,x+2W0”的否定是x+2>0”

答案CD

解析2是一個素數(shù)，但2是偶數(shù)，所以A是假命題；

對于方程d+2x+3=0,其中1=22—4X3=—8<0,

所以不存在實數(shù)，使得/+2x+3=0成立，所以B是假命題；

由a=￡0sina=sin/?,但由sina=sin￡不能得到a=§,故"a=g'是"sina=sin0”成立

的充分不必要條件，所以C是真命題；

根據(jù)全稱量詞命題與存在量詞命題的關系，可得命題“mxGR,x+2W0”的否定是“V

尤GR,尤+2>0”,所以D是真命題.

7.（多選）若“mxd（0,2）,使得2x2—&+1<0成立”是假命題，則實數(shù)％可能的值是（）

A.1B.2^/2C.3D.3噌

答案AB

解析由題意可知，命題“VxG（0,2）,2f—lx+1'O成立"是真命題，

所以入W2/+1,可得入W2x+%

當xe（0,2）時，由基本不等式可得

2xJ=2A/2,

當且僅當工=坐時，等號成立，

所以2W2P.

8.南北朝時期的偉大科學家祖曬在數(shù)學上有突出貢獻，他在實踐的基礎上提出祖曬原理：“幕

勢既同，則積不容異”.其含義是：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個

平行平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相

等.如圖，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體的體積分別為力,正，被平行于這兩個平面

的任意平面截得的兩個截面面積分別為Sl，S2,則“S1，必不總相等”是“口，匕不相等”

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析命題：如果“Si,S2不總相等”，那么“％,驗不相等”的等價命題是：如果“力,

V相等"，那么US1,S2總相等”.

根據(jù)祖晅原理，當兩個截面的面積Si,S2總相等時，這兩個幾何體的體積V1,匕相等，所以

逆命題為真，故是必要條件；

當兩個三棱臺，一正一反的放在兩個平面之間時，此時體積相等，但截得截面面積未必相等，

故是不充分條件，所以“Si,S2不總相等”是“Vl,L不相等”的必要不充分條件.

9.命題"Vxe（o,：）,sinxccosx"的否定是.

答案三尤6（0,DsinxNcosx

解析因為"sinx<cosx"的否定是"sin尤2cos尤"，

所以“Vxd（。,習，sinv<cos尤”的否定是"三七已（0,孑），sinxNcosx",

10.使得“2*>4”成立的一個充分條件是.

答案x<一1（答案不唯一）

解析由于4工=2巴故2*>21V等價于x>2x,

解得x<0,

使得“2￡>4，”成立的一個充分條件只需為集合{x|x<0}的子集即可.

11.已知命題"mxG{x|-2<r<3},使得等式2元一%=0成立”是假命題，則實數(shù)機的取值范

圍是.

答案（一8,-4]U[6,+°°）

解析若原命題為真命題，則mxG{x[-2<尤<3},

使得m=2x成立，則一4<MZ<6；

故若原命題為假命題，

則實數(shù)機的取值范圍為（-8,-4]U[6,+8）.

12.已知a：1或無>一切，八x<2或x》4,若a是￡的必要條件，則實數(shù)機的取值范

圍是?

答案出+8）

解析設A=[x\x<2m~1或x>—m],B={x\x<2或124},

若。是￡的必要條件，則

當2/"—1>一機，即〃>孑時，此時A=R,BCA成立；

1[2m—122,

當2m—1W—m,即m時，若3CA,此時彳無解.

J[―m<4,

綜上，m>y

R綜合提升練

13.（多選）若“VxGM,|x|>x"為真命題，“Bx^M,x>3”為假命題，則集合M可以是（）

A.（-8,-5）B.（-3,-1]

C.（3,+8）D.[0,3]

答案AB

解析V3x^M,尤>3為假命題，

尤W3為真命題，

可得MC（—8,3],

又VxGM,|x|>x為真命題，

可得