2024年電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)題考試

高等數(shù)學(xué)(1)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(一)

第一章函數(shù)

1.理解函數(shù)的概念；駕馭函數(shù)y=/(x)中符號(hào)/()的含義；了解函數(shù)的兩要素；會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值；會(huì)推斷

兩個(gè)函數(shù)是否相等。

兩個(gè)函數(shù)相等的充分必要條件是定義域相等且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同。

2.了解函數(shù)的主要性質(zhì)，即單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。

若對(duì)隨意x,有了(_%)=/(%),則/(%)稱為偶函數(shù)，偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱。

若對(duì)隨意x,有/(-x)=-/(%),則/(x)稱為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

駕馭奇偶函數(shù)的判別方法。

駕馭單調(diào)函數(shù)、有界函數(shù)及周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)。

3.嫻熟駕馭基本初等函數(shù)的解析表達(dá)式、定義域、主要性質(zhì)和圖形。

基本初等函數(shù)是指以下幾種類型：

①常數(shù)函數(shù)：y=c

②幕函數(shù)：y=xa(。為實(shí)數(shù))

③指數(shù)函數(shù)：y^ax(a>O,awl)

④對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logax(a>0,a*1)

⑤三角函數(shù)：sinx,cosx,tanx,cotx

⑥反三角函數(shù)：arcsinx,arccosx,arctanx

4.了解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念，會(huì)把一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解成較簡(jiǎn)潔的函數(shù)。

如函數(shù)

、,_arctair(l+x)

y-c

可以分解丁=0",u=v2,v=arctanw,w=l+x=分解后的函數(shù)前三個(gè)都是基本初等函數(shù)，而第四個(gè)函數(shù)是常數(shù)

函數(shù)和募函數(shù)的和。

5.會(huì)列簡(jiǎn)潔的應(yīng)用問題的函數(shù)關(guān)系式。

例題選解

一、填空題

2

1.設(shè)y(l)=%+71+x(%>0),則于(x)=o

X

解：設(shè)/=!，則1=工，得

Xt

小11~11+717F

故/(》)=匕里逵。

X

2.函數(shù)f(x)=-1—+J三的定義域是________。

ln(x-2)

解：對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng)，要求x—2>0且ln(x—2)。0,即尤>2且x23；對(duì)函數(shù)的其次項(xiàng)，要求5—xN0,即％<5。

取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?2,3)U(3,5］。

3.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,1］,則/(Inx)的定義域是o

解：要使/'(Inx)有意義，必需使OWlnxWl,由此得了(Inx)定義域?yàn)椋踠,e］。

Jr2-0

4.函數(shù)y=—~-的定義域?yàn)?/p>

-x-3

」*'3成立，解不等式方程組，得出<x>3或x<-3

解：要使y=一9有意義,必需滿意工2—920且x—3>0,即

x—3x>3x〉3

故得出函數(shù)的定義域?yàn)?-8,-3]u(3,+00)。

5.設(shè)/⑴，+Q',則函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱。

解：/(X)的定義域?yàn)?一8,+8),且有

￡〃dX+dXdX+ClX￡

/(T)=2=—^―==于3

即/'(x)是偶函數(shù)，故圖形關(guān)于y軸對(duì)稱。

二、單項(xiàng)選擇題

1.下列各對(duì)函數(shù)中，()是相同的。

A./(x)=7^,g(%)=%;B./(x)=Inx2,g(x)=21nx；

2

3x—1

C.f(x)=Inx,g(x)=31nx；D.f(x)=-----,g(x)=x-1

x+1

解：A中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，了=|x|wx,B,D三個(gè)選項(xiàng)中的每對(duì)函數(shù)的定義域都不同，所以AB,D都不是

正確的選項(xiàng)；而選項(xiàng)C中的函數(shù)定義域相等，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，故選項(xiàng)C正確。

2.設(shè)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?—8,+8),則函數(shù)/(x)一/(—X)的圖形關(guān)于()對(duì)稱。

A.y=x；B.無軸；C.y軸；D.坐標(biāo)原點(diǎn)

解:^F(x)=f(x)-f(-x),則對(duì)隨意x有

/(一%)=/(-尤)一/(—(一%))=/(—無)一于3=-(/(%)-/(一%))=—/(%)

即歹(%)是奇函數(shù)，故圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。選項(xiàng)D正確。

3.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)x)是().

A.單調(diào)減函數(shù)；B.有界函數(shù)；

C.偶函數(shù)；D.周期函數(shù)

解:A,B,D三個(gè)選項(xiàng)都不肯定滿意。

設(shè)尸(X)=/(X)X),則對(duì)隨意尤有

F(-x)=/(-%)-/(-(-%))=f(-x)-f(x)=f(x)-f(-x)=F(x)

即尸(x)是偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確。

ax-1

4.函數(shù)/(x)=x------(a〉0,awl)()

ax+1

A.是奇函數(shù);B.是偶函數(shù);

C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù);D.是非奇非偶函數(shù)。

解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。

/(-x)=(r)X=JQ"=4=/3

a-x+\a-xd+ax)ax+1

所以B正確。

5.若函數(shù)/■(X+L)=%2+J7,貝|/(X)=()

XX

A./；B.%2—2；

C.(x—I)2；D.%2—1o

解：因?yàn)?H——=x2+2H---2=(XH—)2—2

11

所以/(%+-)=(九+-)92—2

XX

則/(%)=%2—2,故選項(xiàng)B正確。

其次章極限與連續(xù)

1.知道數(shù)列極限的“￡—N"定義；了解函數(shù)極限的描述性定義。

2.理解無窮小量的概念；了解無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)及其與無窮大量的關(guān)系；知道無窮小量的比較。

無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)主要有:

①有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和是無窮小量；

②有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量；

③無窮小量和有界變量的乘積是無窮小量。

3.嫻熟駕馭極限的計(jì)算方法：包括極限的四則運(yùn)算法則，消去極限式中的不定因子，利用無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)，有理

化根式，兩個(gè)重要極限，函數(shù)的連續(xù)性等方法。

求極限有幾種典型的類型______________

「Jo2+%"—ar(V6/2+%"—+a)1

(1)lim----------------=lim---------------/--------------=——

a°X、2。xk^cr+xk+a)2a

x+ax+b(x-x)(x-x)

(2)lim------------=lim---------0----------x=%一西

殉x-殉

x-x-x0x-xQ

0n<m

(3)nm--------------；-----------------------=<——n—m

mm

box+b,x-+??-+bm_{x+bmbQ

oon>m

4.嫻熟駕馭兩個(gè)重要極限：

「sinx、

lim------=1

zOx

lim(l+-)x=e(或lim(l+%)x=e)

xf00%Xf0

重要極限的一般形式：

「sina(%)

lim----------二I1

1-^―

lim(1+——產(chǎn))=e(或lim(l+g(x))^(x)=e)

f(%)fcof(x)g(x)->0

利用兩個(gè)重要極限求極限，往往須要作適當(dāng)?shù)淖儞Q，將所求極限的函數(shù)變形為重要極限或重要極限的擴(kuò)展形式，再利

用重要極限的結(jié)論和極限的四則運(yùn)算法則，如

sinx「sinx

lim—

「sinx_1x->0_1

lim--------XX

%-。sin3%3)3sin3%3sin3%3

lim

3xx->03x

22-

21+22

lim[(l+-)]2

X—>00Xe

lim(-——>=lim——3

%-oo%一[1

1----

_X_x—>00—JQ

5.理解函數(shù)連續(xù)性的定義；會(huì)推斷函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性；會(huì)求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間；了解函數(shù)間斷點(diǎn)的概念；會(huì)對(duì)函數(shù)的

間斷點(diǎn)進(jìn)行分類。

間斷點(diǎn)的分類：

已知點(diǎn)x=%是的間斷點(diǎn)，

若“X）在點(diǎn)X=Xo的左、右極限都存在，則x=x0稱為/（X）的第一類間斷點(diǎn)；

若/（X）在點(diǎn)X=%0的左、右極限有一個(gè)不存在，則X=/稱為/'（X）的其次類間斷點(diǎn)。

6.理解連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）及復(fù)合仍是連續(xù)函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)的結(jié)論，知道閉區(qū)

間上連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)結(jié)論。

典型例題解析

一、填空題

2.1

xsin—

L極限lim-----=___________o

%，osinx

2.1

xsin—[1

解：lim------=lim(xsin----)=limxsin--limX=0x1=0

%-。sinx%-。xsinx%-。xsinx

留意：limxsin-=0(無窮小量乘以有界變量等于無窮小量)

%

X111cinV

lim——=lim「一=——；—=-=1,其中l(wèi)im——=1是第一個(gè)重要極限。

3sin%sinxsmx1%一。%

----vlim----

x%-。x

.￡n

2.函數(shù)f(x)=\XSm~》<，勺間斷點(diǎn)是彳=?

x+1x>0

解：由/(x)是分段函數(shù)，l=0是/(%)的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在x=0處的連續(xù)性。

因?yàn)閘imxsin—=0lim(x+1)=1/(0)=1

x->0-xx->0+

所以函數(shù)/'(x)在x=0處是間斷的，

又/(x)在(-00,0)和(0,+00)都是連續(xù)的，故函數(shù)的間斷點(diǎn)是1=0。

3.4.5.6.設(shè)/(x)=--3x+2,則/[/'(%)]=o

解：/''(%)=2x—3,故

=(2x-3)2-3(2x—3)+2=4/_18x+20

7.函數(shù)y=ln(l+/)的單調(diào)增加區(qū)間是。

二、單項(xiàng)選擇題

1.函數(shù)/（x）=xsin，在點(diǎn)x=0處（）.

x

A.有定義且有極限；B.無定義但有極限；

C.有定義但無極限；D.無定義且無極限

解：“X）在點(diǎn)x=0處沒有定義，但

limxsin—=0（無窮小量x有界變量=無窮小量）

故選項(xiàng)B正確。

2.下列函數(shù)在指定的改變過程中，（）是無窮小量。

1sinx、

A.ex,(%foo)；B.----,(%—8);

x

Vx+1—1/

C.ln(l+x),(xf1)；D.--------,(X―>0)

x

解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以

「sinx八

lim----=0

%—8x

而A,C,D三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為①故選項(xiàng)B正確。

三、計(jì)算應(yīng)用題

1.計(jì)算下列極限:

⑴lim\-3X+2(2)lim(江%+^3)r

%—2%2+4x-12fOx-l

(1)1°(2%+3)5y/1—x—1

⑶lim(4)lim---------

12(%-2)15%-。sin3%

x~—3x+2(x-l)(x-2)_x-1

解：(Dv

x2+4x-12(x-2)(x+6)x+6

「％?—3%+2x—1

lim----------二lim-----

%-2x+4x-122%+68

r/x-l\1

=lim(----)lim—J=T—，

〃foox—lgx+3n->oo3VQ-p

(1+;)X+

Xn—>00%

⑶題目所給極限式分子的最高次項(xiàng)為

x10-(2x)5=32/5

分母的最高次項(xiàng)為12%15,由此得

(%-1)10(2%+3)5328

lim------------...=—二—

…12(%-2)15123

(4)當(dāng)x-0時(shí)，分子、分母的極限均為0,所以不能用極限的除法法則。求解時(shí)先有理化根式在利用除法法則和第一

個(gè)重要極限計(jì)算。

(A/1—x—1)(V1—x+1)1-x-l

lim=lim

Xf0sin3%一。sin3x(71-x-1)%-osin3x(vl-x+1)

=lim-------,X----3x111

=——limlim^=——x—=—

…sin3x(71-x+1)3x一°sin3%vl-x+1326

2.設(shè)函數(shù)

.17

xsm—+/?%<0

x

JW=<ax=0

sinx

x>0

x

問(1)。力為何值時(shí)，/(%)在％=0處有極限存在？

(2)6為何值時(shí)，/(%)在％=0處連續(xù)？

解：(1)要了(%)在l=。處有極限存在，即要lim/(x)=lim/(x)成立。

九f0-x->0+

因?yàn)閘im/(%)=lim(xsin—+Z?)=b

x->0-%—(Fx

lim/(%)=lim包^=1

x->0+x->0+X

所以，當(dāng)6=1時(shí)，有l(wèi)im/a)=lim/(x)成立，即Z?=l時(shí)，函數(shù)在尤=0處有極限存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極

x->0xf

限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時(shí)。可以取隨意值。

(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是

lim/(%)=lim/(%)=/(x0)

X-X-

于是有b=l=/(O)=Q，即Q=b=l時(shí)函數(shù)在％=0處連續(xù)。

第三章導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)與微分這一章是我們課程的學(xué)習(xí)重點(diǎn)之一。在學(xué)習(xí)的時(shí)候要側(cè)重以下幾點(diǎn)：

1.理解導(dǎo)數(shù)的概念；了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；會(huì)求曲線的切線和法線；會(huì)用定義計(jì)算簡(jiǎn)潔函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；知道可導(dǎo)與連續(xù)

的關(guān)系。

/(%)在點(diǎn)X=/處可導(dǎo)是指極限

/(x0+Ax)-/(%0)

-Ax

存在，且該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是這個(gè)極限的值。導(dǎo)數(shù)的定義式還可寫成極限

一/("(.

f。x-x0

函數(shù)/■(%)在點(diǎn)X=X。處的導(dǎo)數(shù)((%)的幾何意義是曲線y=/(x)上點(diǎn)(/,/(與))處切線的斜率。

曲線y=/(x)在點(diǎn)(x0,/(%))處的切線方程為

y=/'(Xo)(x-Xo)+/(%)

函數(shù)y=/(x)在/點(diǎn)可導(dǎo)，則在/點(diǎn)連續(xù)。反之則不然，函數(shù)y=/(x)在/點(diǎn)連續(xù)，在X。點(diǎn)不肯定可導(dǎo)。

2.了解微分的概念；知道一階微分形式不變性。

3.熟記導(dǎo)數(shù)基本公式，嫻熟駕馭下列求導(dǎo)方法

(1)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

(3)隱函數(shù)求導(dǎo)方法

(4)對(duì)數(shù)求導(dǎo)方法

(5)參數(shù)表示的函數(shù)的求導(dǎo)法

正確的采納求導(dǎo)方法有助于我們的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，如

一般當(dāng)函數(shù)表達(dá)式中有乘除關(guān)系或根式時(shí)，求導(dǎo)時(shí)采納取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,

(X-D2

例如函數(shù)y='J，求y'。

Vx

在求導(dǎo)時(shí)干脆用導(dǎo)數(shù)的除法法則是可以的，但是計(jì)算時(shí)會(huì)麻煩一些，而且簡(jiǎn)潔出錯(cuò)。假如我們把函數(shù)先進(jìn)行變形，即

_d)2%?—2%+13j_1

y=~JT=—2尤5+尤5

再用導(dǎo)數(shù)的加法法則計(jì)算其導(dǎo)數(shù)，于是有

z3-2--1-

y=-x-x2_L2

-22X

這樣計(jì)算不但簡(jiǎn)潔而且不易出錯(cuò)。

又例如函數(shù)

明顯干脆求導(dǎo)比較麻煩，可采納取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，將上式兩端取對(duì)數(shù)得

Iny=^-ln(x+l)-jln(x-2)

兩端求導(dǎo)得

y^=_L]

y2(x+1)3(x-2)

整理后便可得

,Jx+1x-8

y=----------------

6(X2-X-2)

若函數(shù)由參數(shù)方程

x=w。)

<

y=(p(t)

的形式給出，則有導(dǎo)數(shù)公式

dy_/'⑺

d%9'⑺

能夠嫻熟地利用導(dǎo)數(shù)基本公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能夠利用隱函數(shù)求導(dǎo)法,

取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法，參數(shù)表示的函數(shù)的求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

4.嫻熟駕馭微分運(yùn)算法則

微分四則運(yùn)算法則與導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則類似

d(〃±v)=du±dv

d(w-v)=vdu+udv

I”vdu-udv八、

d(一):——z

VV

一階微分形式的不變性

dy=y'xdx=y'u-u'xdx=y'udu

微分的計(jì)算可以歸結(jié)為導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，但要留意它們之間的不同之處，即函數(shù)的微分等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量微分的乘

積。

6.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；會(huì)求顯函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。

函數(shù)的高階高數(shù)即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。由此要求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)就要先求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。要求函數(shù)的"階導(dǎo)數(shù)就要

先求函數(shù)的〃-1階導(dǎo)數(shù)。

第三章導(dǎo)數(shù)與微分典型例題選解

一、填空題

1.設(shè)函數(shù)/(%)在x=0鄰近有定義，且八0)=0,r(0)=1,則lim&=__________o

1。X

解：lim=lim"X)-/(。)=廣⑼=]

X—0X1。x-0

故應(yīng)填lo

2.曲線y=4在點(diǎn)(1,1)處切線的斜率是__________。

Yx

解：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線/(X)在x=x0處切線的斜率是/(%)，即為函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，于是

1-1—1

y'=——x2,yf(l)=——x2=——

222

X=1

故應(yīng)填-

2

3.設(shè)/(刈=--4x+5,則/[/'(x)]=。

解：f'(x)=2x-4,故

=(2x-4)2-4(2x—4)+5=4--24x+37

故應(yīng)填4——24X+37

二、單項(xiàng)選擇題

1.設(shè)函數(shù)/(x)=，，則lim—/⑵=()o

X-2

A.2x；B.2；C.4；D不存在

解：因?yàn)閘im/S)—/Q)=/(2),且/(x)=/,

a2X-2

所以/'(2)=2乩=2=4,即C正確。

2?設(shè);■(1)=%，貝U/'(x)=(

X

111

A.一；B.---；D.

xx

解:先要求出了(X),再求/'(X)。

因?yàn)?d)=x=5，由此得/(乃=工，所以/(x)=d)'=—二

XXXX

X

即選項(xiàng)D正確。

3.設(shè)函數(shù)/(%)=(%+l)x(x—1)(%—2),則/'(0)=().

A.O；B.1；

C.2；D.-2

解：因?yàn)?'(無)=尤(尤一l)(x-2)+(x+l)(x-l)(x-2)+(尤+1)尤(％-2)+(尤+l)x(x-l),其中的三項(xiàng)當(dāng)龍=0時(shí)為0,所

以

/,(0)=(0+1)(0-1)(0-2)=2

故選項(xiàng)C正確。

4.曲線y=x-e"在點(diǎn)()處的切線斜率等于0。

A.(0,1)；B.(l,0);C.(0,-l)；D.(-l,0)

解：y'=l—e。令y'=0得％=0。而y(0)=—1,故選項(xiàng)C正確。

5.y=sin/,貝y'=()?

A.cos%2；B.-cosx2；C.2xcosx2；D,-2xcosx2

解：V=cosx??(/)，=2xcosx?

故選項(xiàng)C正確。

三、計(jì)算應(yīng)用題

1.設(shè)y=12112%+2向"，求dy1二

X~2

解：⑴由導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

/=—二—+cosx-2sinAta2

cos-2x

由此得

c.兀

,7ITsin一

dy\_冗=(------+cos—?22In2)dx=2dx

x=2cosn2

2?設(shè)y=/(e")e"x),其中/'(x)為可微函數(shù)，求y'。

解y'="e)]'e〃x)+/e)[e"力'

=/'(eX)[e」'e"x)+/(ex)e"x)"(x)]'

=r(e-a)+F(e')e"x)尸(x)

=e/1f(eW+F(e，)r(x)]

求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要先搞清函數(shù)的復(fù)合構(gòu)成，即復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，特殊要分清復(fù)合函

數(shù)的復(fù)合層次，然后由外層起先，逐層運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，一層一層求導(dǎo)，關(guān)鍵是不要遺漏，最終化簡(jiǎn)。

3.設(shè)函數(shù)丁=犬%)由方程xy+e>=ln±確定，求電。

ydx

解：方法一：等式兩端對(duì)x求導(dǎo)得

整理得

y，=yZ—

Jx2y+xyeyv+x

方法二：由一階微分形式不變性和微分法則，原式兩端求微分得

左端=d(%y+e，)=d(孫)+d(e,)=ydx+jrdy+e，dy

右端=d(ln與=)d(n=匕^^

y%y%y

由此得

iydix+xvdty+eyydy丁=讓-----x-d--y--------

Xy

整理得

2

dy=y-xy

dxx2y+xyey+x

4.設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程

t2

X=一

<2

y=l-t

確定，求-O

dx

解：由參數(shù)求導(dǎo)法

曳=乂=」=」

f

dxxt2rt

~2

5.設(shè)y=(1+%2)arctan%,求y"。

解yr=2xarctanx+(l+x2)—=2xarctanx+1

2%

y"=(2xarctanx+1)'=2arctanxH-------

l+x~

第四章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用典型例題

一、填空題

1.函數(shù)y=ln(l——)的單調(diào)增加區(qū)間是.

解：y=一一，當(dāng)無>0時(shí)y'<0.故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間是(—00,0).

1+X-

InV

2.極限lim——=______.

Xf11-X

解:由洛必達(dá)法則

1

Inx(Inx)'x?

lrim-----=lim---------=lirm—=-1

11一x(1-x)'1i-1

3.函數(shù)于(x)=g(e*+e-r)的微小值點(diǎn)為o

解：/(%)=；?_尸)，令/''⑴=。，解得駐點(diǎn)x=0,又x<0時(shí)，/,(x)<0；%>0時(shí)，/'(x)>0,所以x=0

是函數(shù)/(x)=g(e*+ef)的微小值點(diǎn)。

二、單選題

1.函數(shù)＞=1+1在區(qū)間［—2,2］上是（）

A）單調(diào)增加B）單調(diào)削減

C）先單調(diào)增加再單調(diào)削減D）先單調(diào)削減再單調(diào)增加

解：選擇D

y'=2x,當(dāng)尤＜0時(shí)，/,（%）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，/'（x）＞0；所以在區(qū)間［—2,2］上函數(shù)y=/+1先單調(diào)削減再單調(diào)增

加。

2.若函數(shù)y=/（x）滿意條件（），則在（。為）內(nèi)至少存在一點(diǎn)。（a＜』＜與，使得

/?=咎」3

b-a

成立。

A）在（a,。）內(nèi)連續(xù)；B）在（a,。）內(nèi)可導(dǎo)；

C）在（a,。）內(nèi)連續(xù)，在（a,。）內(nèi)可導(dǎo);D）在［a,團(tuán)內(nèi)連續(xù)，在（a,份內(nèi)可導(dǎo)。

解：選擇D。

由拉格朗日定理?xiàng)l件，函數(shù)/（x）在［a,團(tuán)內(nèi)連續(xù)，在（a,。）內(nèi)可導(dǎo)，所以選擇D正確。

3.滿意方程/'（x）=0的點(diǎn)是函數(shù)y=/（x）的（）。

A）極值點(diǎn)B）拐點(diǎn)

C）駐點(diǎn)D）間斷點(diǎn)

解：選擇C。

依駐點(diǎn)定義，函數(shù)的駐點(diǎn)是使函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。

4.設(shè)函數(shù)/（＞）在（凡。）內(nèi)連續(xù)，/^（。力），且尸（%）=/"（/）=0,則函數(shù)在x=x0處（）。

A）取得極大值B）取得微小值

C）肯定有拐點(diǎn)（/,/（%））D）可能有極值，也可能有拐點(diǎn)

解：選擇D

函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零，說明與可能是函數(shù)的極值點(diǎn)；函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)為零，說明與可能是函數(shù)的拐點(diǎn)，所以選擇D。

三、解答題

1.計(jì)算題

求函數(shù)y=x—ln（l+x）的單調(diào)區(qū)間。

解：函數(shù)y=x—ln（l+x）的定義區(qū)間為（一1,+8）,由于

令歹=0,解得％=0,這樣可以將定義區(qū)間分成（—1,0）和（0,+oo）兩個(gè)區(qū)間來探討。當(dāng)—1〈無＜0時(shí)，y'＜0；當(dāng)

0＜x＜+oo是，y'＞0o

由此得出，函數(shù)y=x—ln（l+x）在（―1,0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0,+oo）內(nèi)單調(diào)增加。

2.應(yīng)用題

欲做一個(gè)底為正方形，容積為108立方米的長(zhǎng)方體開口容器，怎樣做法所用材料最省？

解：設(shè)底邊邊長(zhǎng)為x,高為h,所用材料為y

且萬=io8,/z=萼

X

y=x2+4xh

2/1082432

=x+4x——=尤+

XX

c-4322--432

=2%+2=

X2X2

令y'=0得2(/—216)=0=>x=6,

且因?yàn)橛?gt;6,y'>0;x<6,y'<0,所以x=6,y=108為最小值.此時(shí)h=3。

于是以6米為底邊長(zhǎng)，3米為高做長(zhǎng)方體容器用料最省。

3.證明題：當(dāng)x>1時(shí)，證明不等式

e”>xe

證設(shè)函數(shù)/(x)=lnx,因?yàn)?'(X)在(0,+oo)上連續(xù)可導(dǎo)，所以/(x)在工x］上滿意拉格朗日中值定理?xiàng)l件，有公式可

得

“龍)-/⑴=r(c)a-1)

其中1<C(尤，即

lnx-lnl=—(x-1)

c

又由于c>l,有!<1

C

故有l(wèi)nx<x-1

兩邊同時(shí)取以e為底的指數(shù)，有

T

e

即x<—

e

所以當(dāng)x>l時(shí)，有不等式

er>xe

成立.

第5章學(xué)習(xí)輔導(dǎo)(2)

典型例題解析

一、填空題

1.曲線在隨意一點(diǎn)處的切線斜率為2x,且曲線過點(diǎn)(2,5),則曲線方程為__________o

解：\lx^x=x2+c,即曲線方程為>=/+。。將點(diǎn)(2,5)代入得°=1,所求曲線方程為

y=爐+1

2.已知函數(shù)/(%)的一個(gè)原函數(shù)是arctan/,則/(%)=。

2x

2

解：/(%)=(arctanx)'=----r

1+x

,，/、，2x、，2(1+X4)-8X42-6X4

J(%)一4~)—4、2-4、2

1+x(1+x)(1+x)

3.已知尸(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，那么Jf(ax+b)dx=。

解：用湊微分法

ff(ax+b)dx=—f于(ax+b)d(ax)=—［于(ax+Z?)d(ox+b)

Ja」aJ

=—fdF(ax+b)=—F(ax+b)+c

aJa

二、單項(xiàng)選擇題

1?設(shè)j/(%)盤=%+C,則/(x)=()。

A.lnx+1；B.Inx；

C.x；D.xlnx

解：因

Y

/(%)=(xlnx)r=lnx+—=lnx+l

X

故選項(xiàng)A正確.

2.設(shè)E(x)是/(x)的一個(gè)原函數(shù)，則等式()成立。

A.-^-(j/(x)d.x)=F(%)；B.jF'(x)dx=f(x)+c；

cJc，(x)dx=R=)；D.g(jV(x)dx)=/(x)

解：正確的等式關(guān)系是

/(x)d.x)=/(%)

jF'(x)dx=F(x)+c

故選項(xiàng)D正確.

3.設(shè)方(%)是/(%)的一個(gè)原函數(shù)，貝！J]獷(1—%2)心；=()o

A.F(1—%2)+c；B.—F(\—%2)+c；

17

C.--F(1-X2)+C；D.F(X)+C

解：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得

[-|F(l-x2)r=-l/(l-x2)(l-x2y

=號(hào)(1_/丫=VQ-l)

故選項(xiàng)C正確.

三、計(jì)算題

1.計(jì)算下列積分:

解：⑴利用第一換元法

⑵利用其次換元法，設(shè)x=sin，，dx=c0sd

71-X2,rCOS^-COSZ,r1-sin21

dt=

SIDt

=-cott-t+c=-+arcsinx+c

x

2.計(jì)算下列積分：

(1)jarcsinxdx(2)

解：⑴利用分部積分法

jarcsinxdx=xarcsinx-jxd(arcsinx)=xarcsinx-j/」dx

,J71-x2

=xarcsinx+f-,d(l-x2)

J271^

=xarcsinx+71-x2+c

⑵利用分部積分法

=fln%d(--)=f—d(lnx)

Jx'xxJx

Inxr11Inx1

=-----FI——dx=---------FC

XJXXX

常等檄考(1)第上，本學(xué)司輔導(dǎo)

綜合練習(xí)題

(一)單項(xiàng)選擇題

(1).下列式子中，正確的是()。

「2

A.￡f(x)dx=0Bf(^x)dx=^f(x)dx

C