2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式（解析版）

第03講基本不等式（精講+精練）

目錄

第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）

第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

第三部分：課前自我評估測試

第四部分：典型例題剖析

高頻考點(diǎn)一：利用基本不等式求最值

①湊配法

②“1”的代入法

③二次與二次（一次）商式（換元法）

④條件等式求最值

高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式求參數(shù)值或取值范圍

高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式解決實(shí)際問題

高頻考點(diǎn)四：基本不等式等號不成立，優(yōu)先對鉤函數(shù)

第五部分：高考真題感悟

第六部分：第03講基本不等式（精練）

第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局

ftER),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號

bWR),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號

/基本不等式：版學(xué)

I(1)基本不等式成立的條件：。加，桓0.

I(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)取等號.

公I(xiàn)(3)其中平稱為正數(shù)。，b的算術(shù)平均數(shù)，通稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)

式

(2法+冬2(M>0)

⑴半演苫%ab

(3)麗若^￡睛:1rft>0)

已知x>0,則

(1)如果口是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=j?時(shí)，*+j?有最小值是2%

(篇記:秋定和最小).

(2)如果x+j是定值q,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=F時(shí)，疫有最大值是手

4

最

值(角記士和定積最大).

定G>-------------------------------------------------------

理

拼湊法即將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等

方法湊成和為定值或積為定值的形式

拼湊法的實(shí)質(zhì)是代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；

常(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；

用(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除,

方常數(shù)進(jìn)而構(gòu)造和或積為定值的形式；

法(4)利用基本不等式求解最值.

通常是考慮利用已知條件消去部分變量后,

消元法八湊出“和為常數(shù)”或"積為常數(shù)”

-------€>

第二部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

1、基本不等式（一正，二定，三相等，特別注意“一正”，“三相等”這兩類陷阱）

①如果?！?,b>0,J而V半，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)，等號成立.

②其中J而叫做正數(shù)。，b的幾何平均數(shù)；上/叫做正數(shù)。，b的算數(shù)平均數(shù).

2、兩個(gè)重要的不等式

①a?+b222ab（a,beR）當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí);等號成立.

②。6<（2芋）2（a,beR）當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)，等號成立.

3、利用基本不等式求最值

①已知x,y是正數(shù)，如果積沖等于定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和x+y有最小值2"；

S2

②已知x,y是正數(shù)，如果和x+y等于定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，積孫有最大值了；

4、常用技巧

利用基本不等式求最值的變形技巧一一湊、拆（分子次數(shù)高于分母次數(shù)）、除（分子次數(shù)低于分母次數(shù)）

）、代a的代入）、解（整體解）.

（J）湊：湊項(xiàng)，例：%+----=x-ci+------+a22+a=3（x〉a）；

、、x-ax-a

湊系數(shù)，例：x(l-2%)=l-2%(l-2x)<l-f2%+1-2%Y=lfo<x<l\

22I2J8(2)

②拆：例：^="2-4+4=x+2+^_=x—2+^—+422/+4=8(x〉2)；

x—2%—2x—2x—3

2%=2<iG>o)

③除：例：X2+11;

JiI-

X

④1的代入：例：已知。>O/〉O,a+b=l,求1+2的最小值.

ab

111I-7、八ba、A

解析：一+了=(z—+—)(a+^)-2+—+—>4.

ababab

⑤整體解：例：已知。，b是正數(shù)，且。匕=。+人+3,求a+b的最小值.

解析：>a+b+3,即1G+Z?）2-G+Z?）-3>O,解得

a+b>6（a+b<-2舍去）.

第三部分：課前自我評估測試

一、判

（7114

1.（2022?江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）當(dāng)xe0,7時(shí)，sinx+--的最小值為4（）

I2」sinx

【答案】錯(cuò)誤

（K14

解：由得到0<sinx41,々f=sinx,則y=r+：,

4

因?yàn)?</<1,所以函數(shù)>=/+-為減函數(shù)，當(dāng)f=l時(shí)，y=1+4=5,

tmn

故答案為：錯(cuò)誤.

2.（2021?江西?貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知0<尤則x（l-2x）的最大值為）

2o

【答案】正確

0<%<1,

2

式1一2，=>[2式1一2川已產(chǎn)+1-2葉

2L212）8

當(dāng)且僅當(dāng)2x=l-2x,即x=l時(shí)，取等號，

4

故x（l-2x）的最大值為"

O

故答案為：正確

二、單選題

9

1.（2022?江西?高一階段練習(xí)）當(dāng)x>0時(shí)，x+丁的最小值為（）

2x

3LL

A.3B.-C.2V2D.3V2

【答案】D

由％+；22^^=3點(diǎn)（當(dāng)且僅當(dāng)x二|"時(shí)等號成立.）

可得當(dāng)x〉0時(shí)，x+^~的最小值為3后

故選：D

2.（2022?湖南湖南?二模）函數(shù)y=x+1（x>-2）的最小值為（）

x+2

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

因?yàn)閤>-2,所以x+2>0,<>0,利用基本不等式可得

x+2

x+-^—=x+2+-^—-2>2,l（x+2）.——-2=0,

x+2x+2Vx+2

當(dāng)且僅當(dāng)x+2=—1即x=-l時(shí)等號成立.

x+2

故選：D.

3.（2022?湖南?高一階段練習(xí)）已知a>0,b>0S.2a+5b=W,則ab的最大值為（）

35

A.2B.5C.-D.-

22

【答案】D

因?yàn)?a+5b=1022j2a-5b,所以abW,,當(dāng)且僅當(dāng)a=之乃=1時(shí)，等號成立.

22

所以仍的最大值為|.

故選：D

4.（2022?新疆?烏蘇市第一中學(xué)高一開學(xué)考試）下列函數(shù)，最小值為2的函數(shù)是（)

1

A.y=x+一B.y=x2-2x+2

x

X2+2

C.y=x+2\fx+3D.y=/

VX2+1

【答案】D

對A,y可取負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對B,y=(X-1)2+1N1,故B錯(cuò)誤；

對C,y=(J7+l)2+223,故C錯(cuò)誤;

Y2+2Y2+1+1、-------)

對D,y^-i^=.=4X^1+~^>2,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)尤=0,故D正確；故選：D

V%2+1炎2+1炎2+1

第四部分：典型例題剖析

高頻考點(diǎn)一：利用基本不等式求最值

①湊配法

1.（2022?北京大興?高一期末）當(dāng)0<x<2時(shí)，x（2-x）的最大值為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

■：0<x<2,:.2-x>0,又x+（2-x）=2

；.x（2一元）J'tpH=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=2-x,即x=l時(shí)等號成立，

4

所以尤（2-x）的最大值為1

故選：B

2.（2022?山西?懷仁市第一中學(xué)校二模（文））函數(shù)y=3尤+$7G>：］的最小值為（）

3x-lV3）

A.8B.7C.6D.5

【答案】D

因?yàn)樗?x—l>0,

所以y=3%+^^=（3%—1）+^—+122］（3%—1）?—―+1=5,

313x-lV3x-l

4

當(dāng)且僅當(dāng)3x-1=^~即時(shí)等號成立，

3x-l

故函數(shù)y=3x+Kx>口的最小值為5.

3x-lv3）

故選：D.

4

3.（2022?安徽省蚌埠第三中學(xué)高一開學(xué)考試）已知x>3,則對于y=x+—下列說法正確的是（）

x-3

A.y有最大值7B.y有最小值7C.y有最小值4D.y有最大值4

【答案】B

因?yàn)閤>3,所以x-3>0,所以y=x+±=（x-3）+±+3N2j（x-31±+3=7,當(dāng)且僅當(dāng)

x-3%-3Vx-3

4

x-3=-即尤=5時(shí)取等號，所以，有最小值7;

x-3

故選：B

4

4.（2022?江蘇省天一中學(xué)高一期末）設(shè)實(shí)數(shù)x滿足x〉—l,則函數(shù)丁二元十二的最小值為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

VX>-1,

y=x-\——=（x+1）+——1>2xl（x+1）x-1=4-1=3?當(dāng)且僅當(dāng)x+l=>即x=］時(shí)取等號.

x+1x+1Vx+1x+1

4

因此函數(shù)丁=x+—-的最小值為3.

x+1

故選：A.

5.（2022?上海虹口?高一期末）已知0<x<4,則式4-犬）的最大值為.

【答案】4

因0<尤<4,貝1J4一x>0,于是得x（4-x）4［出f］2=4,當(dāng)且僅當(dāng)尤=4-x,即x=2時(shí)取

所以x（4-x）的最大值為4.

故答案為：4

②“1”的代入法

26

1.（2022?河南?夏邑第一高級中學(xué)高二期末（文））已知x,y均為正數(shù)，若一+-=1,則當(dāng)3x+y取得最

小值時(shí)，九十y的值為（）

A.16B.4C.24D.12

【答案】A

?261

因?yàn)?=1,

所以3x+y=（3x+y）［-+-^=6+—+^+6>12+2性巨=24,

y）y%\yx

18x2y26

當(dāng)且僅當(dāng)一,即y=3x時(shí)取等號，又因?yàn)橐?—=1,所以％=4,>=12,

yxxy

所以x+y=16.

故選：A.

12

2.（2022?安徽?高三階段練習(xí)（文））已知%>0,y>0,2x+y=2,則—+一的最小值是（）

%y

A.1B.2C.4D.6

【答案】C

+y）=；2+2+j+

角軍：因?yàn)閤〉0,J7>0,2x+y=2,所以一■I—=—4,

xy2

Y4Y1

當(dāng)且僅當(dāng);''即"I'm時(shí)取等號;

故選：c

3.（2022?四川?瀘縣五中高二開學(xué)考試（文））已知x,y為正實(shí)數(shù)，且x+y=2,則之+上的最小值為

x2y

9

【答案】產(chǎn)225

2yx42

當(dāng)且僅當(dāng)三時(shí)等號成立?

9

故答案為：-

31

4.（2022?廣西桂林?高一期末）已知〃>0,?！?,若3a+/?=l,則三+；的最小值是

ab

【答案】16

因?yàn)?。+6=1

所以3+」=（3+，）（30+6）=10+迎+也210+2

=16

ababab

3b3a

—=—I

當(dāng)且僅當(dāng)，ab,即a=b=時(shí)，取"="號,

4

[3a+b=l

31

所以2+；的最小值為16.

ab

故答案為：16

5.（2022?天津?南開中學(xué)高一期末）已知Q〉0,Z?>0,'+'=4,則。+48的最小值為_______________.

ab

9

【答案】-##2.25

4

解：因?yàn)閍>0,b>0,-+-=4,

ab

3

=4a——

所以。+叫（a+4b）=—f5+4

1+141，即時(shí)

abab=

bl

等號成立,

9

所以〃+4b的最小值為“

9

故答案為：—.

4

③二次與二次（一次）商式

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））若,則y=--2.+2有（）

2x-2

A.最大值—1B.最小值—1C.最大值1D.最小值1

【答案】A

H—1<x<1,貝！JO<1-x<2,

于是得y當(dāng)且僅當(dāng)1一天=二，即x=0時(shí)取

21-x21-x2y1-x1-x

〃—一〃,

所以當(dāng)尤=0時(shí)，y=上心史有最大值_1.

2x—2

故選：A

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=-+3x+35<一］）的最大值為（）

X+1

A.3B.2C.1D.-1

【答案】D

%2+3x+3（X+1）2+（X+1）+1

y=-------------=-------------------------

x+lX+1

1

=-[-（%+1）+z,]+1

—（X+1）

<_2/［-（X+1）］（---^―■）+1=-1，

Vx+l

當(dāng)且僅當(dāng)x+屋工二-!,即x=-2等號成立.

故選：D.

3.（2。22?江西南昌?高一期末）當(dāng)…2時(shí)，函數(shù).三歲的最小值為-----------

【答案】2戊

因?yàn)閤>-2,貝Ux+2>0,貝,1=尤2+4苫+6=6+2>+2=&+2)+322/(.+2)?3=271,

x+2x+2x+2Vx+2

當(dāng)且僅當(dāng)工=0-2時(shí)，等號成立，

所以，當(dāng)x>-2時(shí)，函數(shù)y=>+4x+6的最小值為2".

x+2

故答案為：2戶.

4.(2022?上海?高三專題練習(xí))若x>l,則函數(shù)y=三產(chǎn)的最小值為.

【答案】3

由題意，廠一+1.Qi+1)+(1)+1一(1>+(1)+1.一+1+1.

x-1x-1x-1x-1

因?yàn)橛?gt;1,所以y=x-l+L+122j(xT)-,+l=3,當(dāng)且僅當(dāng)彳-1=二，即工=2時(shí)等號成立.

x-1Yx-1X-1

所以函數(shù)y=X2；11的最小值為3.

故答案為：3.

5.(2021?江西?寧岡中學(xué)高一階段練習(xí)(理))=1R(x>l)的最大值為.

【答案】1

2

令冗一1=/,貝鼠=才+1,>0,

x—1tt111

-------------=-------------------------=-------------=-----------<—-----=-4

所以x?-4x+7。+1)2-4(/+1)+772-2f+4t+i_2~2Jt^-2?，當(dāng)且僅當(dāng)/=：，即f=2時(shí)，等

號成立.

所以■-^-1-G>1)的最大值為L

故答案為：上.

2

6.(2022?全國?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的最小值

/H、％2+X+1八、

(1)y=-----------(%>0)；

x

工2+2x+6

y=(x>1).

x-1

【答案】⑴3；(2)10.

zdXX2+X+1

Q19y=-----------=x+-+l

xX

x>0,.\x+—>2/x-i=2(當(dāng)且僅當(dāng)x=2，即x=l時(shí)取等號)

x\xx

...)=X2+X+%>0)的最小值為3.

X

(2)令/=元一1?〉0),則％=/+1,

%2+2x+6。+1)2+2(1+1)+6抵+4%+99,/~-9.1八

y=---------=-——----——=--------=%+—+4422It--+4=10

x-1tttNt

9

當(dāng)且僅當(dāng)/=-即t=3時(shí)取等號

t

的最小值為10

④條件等式求最值

1.（2022?陜西咸陽?高二期末（文））已知尤>0,y>0,若2x+y=8邛，則移的最小值是（）

AV2點(diǎn)c1口1

4284

【答案】C

因?yàn)闊o>0,y>0,由基本不等式得：2x+y>2J2xy,所以8沖22j2沖,解得：xy>!,當(dāng)且僅當(dāng)2x=y,

O

即x=!，y=<時(shí)，等號成立

42

故選：C

2.（2022?全國,高三專題練習(xí)）已知。且而=〃+6+3,則6的最小值為（）

A.4B.8C.7D.6

【答案】D

【詳解】

ab=a+b+3,a>0,b>0f

.?.a+b+34（等”,當(dāng)且僅當(dāng).=6,即a=6=3時(shí)等號成立，

解得。+匕26或（一2（舍去），

的最小值為6

故選：D

3.（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）已知〃>0,。>0且滿足。+2匕=而，則。+"的最小值為（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

12

由〃+2匕=〃匕可得一+—=1,

ba

又因?yàn)椤?gt;0,b>0,

所以。+26=（°+2%）仕+2]=4+2+絲24+2、跖亞=4+4=8,

yba）ba\ba

a4bc.

當(dāng)且僅當(dāng)ba即7c時(shí)等號成立，

a+2b=ab也=2

所以a+2Z>的最小值為8,

故選：C

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：

（1）"一正二定三相等""一正"就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）"三相等"是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

4.（2022?安徽蕪湖?高一期末）已知正數(shù)x,y滿足孫=%+>+8,則x+y的最小值為

【答案】8

由題意，正實(shí)數(shù)兌九

由（x+=X2+#+2.24，D（尤=>時(shí)等號成立），

所以肛士，

4

所以孫=x+y+8WQ+，_,即（x+y”—4（x+y）—32>0,

解得x+y4-4（舍），x+y>8,（x=y=4取最小值）

所以x+y的最小值為8.故答案為：8

5.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知。>2,6>1,且滿足ab=a+2b+l,則2。+6的最小值為.

【答案】2"+5##5+2而

.:a>2,b>\,且滿足曲=a+26+l,

〃—2?！?

2a+6=2a+l+^—=2（°-2）+^-+522」2（"2）?~^_+5=2#+5,

a-2ci-2Va-2

3

當(dāng)且僅當(dāng)2（a-2）=——^時(shí)，2a+b的最小值為2而+5.

a-2

故答案為：2#+5

6.（2022?重慶?高一期末）已知x>0,y>0,2xy^x+y+4,則x+V的最小值為

【答案】4

解：由題知》>0,>>0,由基本不等式得孫4三斗，即工+'+4三2><［幸，，

令f=x+y,t>0,則有f+4W2x,整理得/2_2-820,解得fV-2（舍去）或此4,

即尤+>24,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)等號成立，

所以x+y的最小值為4.

故答案為：4.

7.（2022?廣東廣州?高一期末）已知a>0,b>0,S.a+b=ab-3,則a+b的最小值為

【答案】6

由。>0,b>0,得a+（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號成立），

又因a+b=ab-3,得ab-3*2彼,即+0,

由〃〉0,/?>0,解得即。/?之9,^a+b=ab-3>9-3=6.

因此當(dāng)〃=。=3時(shí)，a+b取最小值6.

故答案為：6.

高頻考點(diǎn)二：利用基本不等式求參數(shù)值或取值范圍

1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）當(dāng)x>2時(shí)，不等式工+一1'。恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.(-<?,2]B.12,欣)C.k+oo)

【答案】D

當(dāng)x>2時(shí)，x+」—=x-2+」—+2W2］（x-2）.三^+2=4（當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取等號），即a的

x-2x-2jx-2

取值范圍為41.

故選：D.

2.（2022?浙江?高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式單一公+2>0在區(qū)間［1,5］上恒成立，貝/的取值范圍為

C.(-℃,3)27

T

【答案】B

當(dāng)xe[l,5]時(shí)，由尤2—a%+2>0可得a<x—，貝!J。<X+一

X

min

由基本不等式可得x+：22""J=2^,當(dāng)且僅當(dāng).應(yīng)時(shí)，等號成立,

所以，a<2點(diǎn).

故選：B.

41m

3.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知a>0,b>0,若不等式—一7恒成立，則機(jī)的最大值為（)

aba+b

A.10B.12C.16D.9

【答案】D

41H2

由己知〃>0,b>0,若不等式2+恒成立,

aba+b

所以m4(，+；](。+刀恒成立，

\abJ

轉(zhuǎn)化成求y=[4+1](a+b)的最小值，

\abJ

.=「+：](°+6)=5+竺+、25+2\/竺.1=9,

\abJab\ab

當(dāng)且僅當(dāng)4竺/j=，n時(shí)取等

ab

所以〃zV9.

故選：D.

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知x,ye（0,+co）,且x+y=1,若不等式整+產(chǎn)+孫>1辦+1機(jī)恒成立,

24

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

3O(l,+00)

C.(-2,1)D.—00,-------

2

【答案】A

因?yàn)閤,ye（0,+co）,且x+y=l,

所以+尸+沖=G+y）——=］一"2］_「；?。??,

當(dāng)且僅當(dāng)了=丫=;時(shí)，等號成立；

又不等式犬2+>2+肛〉!根2+1加恒成立，

24

3113

所以只需二機(jī)2+:機(jī)，即2加2+旭—3<0，解得一彳〈根<1.

4242

故選：A.

【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：

利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件:

（1）“一正二定三相等""一正"就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；

（2）"二定"就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；

（3）"三相等"是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個(gè)定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.

5.（2。22?全國,高三專題練習(xí)）若對任意.2』恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

2

A.[-l,+oo)B.[3,+Q0)C.—,+00D.(-oo,l]

3

【答案】C

2x2,22

---------------------------V—_—=—12V

解：因?yàn)閤>o,所以尤2+x+ir,11rr,3,當(dāng)且僅當(dāng)尤=即》=1時(shí)取等號，因?yàn)榇艘?/p>

X+-+12.X--+1XX2+X+1

xVx

恒成立，所以。之,,即ae|,+?

故選：c

19八

6.（2022?甘肅?無高二期末（文））已知正實(shí)數(shù)〃,6）兩足一+丁=1,若不等式〃2—工2+4x+18—相對任

ab

意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.h+°o)B.(—℃,3]C.(-00,6〕D.[6,+00)

【答案】D

19

因?yàn)椤?gt;0,b>0,-+-=1,

ab

所以a+6=(a+6)仕+2]=1。+9+也210+2、儀.也=16,當(dāng)且僅當(dāng)2=也，即.=4,b=12時(shí)取等號.

yab)ab\abab

由題意，W16>-%2+4x+18-m,即—4x—2之一相對任意的實(shí)數(shù)%恒成立，又心一41一2二（x—2）2—62—6,

所以一62-m,BPm>6.

故選：D.

x

7.（2022?全國?高三專題練習(xí)）若對任意x>0,---7M。恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

X2+3%+1

A.卜+6B.

C.D.V

【答案】A

X_]_]<]_1

由題意，對任意x>0,則有X2+3X+1%2+3x+11oI15,

工十一十52Jx--+3

XX7X

X

當(dāng)且僅當(dāng)天=上1時(shí)，即x=l時(shí)，等號成立，即一J的最大值為：1，

xX2+3x+l5

又由對任意x>0時(shí)，--Y—恒成立，所以〃之1之，

%2+3x+15

即。的取值范圍為$+8）.

故選：A.

高頻考點(diǎn)三：利用基本不等式解決實(shí)際問題

1.（2022?北京市十一學(xué)校高二期末）某公司要建造一個(gè)長方體狀的無蓋箱子，其容積為48m3,高為3m,

如果箱底每lmz的造價(jià)為15元，箱壁每lm2造價(jià)為12元，則箱子的最低總造價(jià)為（）

A.72元B.300元C.512元D.816元

【答案】D

設(shè)這個(gè)箱子的箱底的長為xm,則寬為竺m,

X

設(shè)箱子總造價(jià)為了（X）元，

32

/U）=15xl6+12x3（2x+）=72（x+—）+240>144.k><^+240=816,

xxVx

當(dāng)且僅當(dāng)％=3，即x=4時(shí)，f（x）取最小值816元.

x

故選：D.

2.（2022?河南開封?高一期末）中國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角

形，邊長分別為。，b,c,三角形的面積S可由公式5=[。群-酎"-引求得,其中P為三角形周

長的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長滿足。+〃=14,c=6,則此三角形

面積的最大值為（）

A.6B.6曬C.12D.12而

【答案】B

由題意得：。=10,

S=Qp（p-a）lp-blip-cj—^'10（10-a）（10-fe）（10-c）

=^40（10-a）（10-fo）<溝-=3x2-J10=6標(biāo)，

當(dāng)且僅當(dāng)10-a=10-b,即a=b=7時(shí)取等號,

故選：B.

3.（2022?江蘇常州?高一期末）2021年初，某地區(qū)甲、乙、丙三位經(jīng)銷商出售鋼材的原價(jià)相同.受鋼材進(jìn)

價(jià)普遍上漲的影響，甲、乙計(jì)劃分兩次提價(jià)，丙計(jì)劃一次提價(jià).設(shè)0<p<4，甲第一次提價(jià)P%,第二次提

價(jià)4%；乙兩次均提價(jià)4%；丙一次性提價(jià)（P+g）%.各經(jīng)銷商提價(jià)計(jì)劃實(shí)施后，鋼材售價(jià)由高到低的經(jīng)

2

銷商依次為（）

A.乙、甲、丙B.甲、乙、丙

C.乙、丙、甲D.丙、甲、乙

【答案】A

設(shè)提價(jià)前價(jià)格為1,

則甲提價(jià)后的價(jià)格為：（1+P%）（1+q%）=1+p%+"%+0.01pq%,

乙提價(jià)后價(jià)格為：++與幺％］=1+p%+q%+0.01x1與N：％,

丙提價(jià)后價(jià)格為：l+（P+4）%=l+P%+4%,

因?yàn)?<p<q,

所以p+q\>PQ'

2

所以1+g^%1+與9％>(l+P%)(l+4%)>l+(P+〃)％,即心甲〉丙.

故選：A

4.（2022?全國?高三專題練習(xí)（文））已知獲R,則“對任意a,6eR,a?+b?2kab"是"k<2"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

因?yàn)閷θ我鈇，beR，有a2+b2Z2ab,而對任意a,beR,a^+bi>kab,

所以-2432,

因?yàn)椋?2,2］是（-8,2］的真子集，

,

所以"對任意a,beR,ai+b2>kab"^'k<2〃的充分不必要條件，

故選：A

5.（2022?河南?模擬預(yù)測（理））一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里購買10g黃

金，售貨員先將5g的祛碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的祛碼放

在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.若顧客實(shí)際

購得的黃金為機(jī)8,則（）

A.m>10B.m=10C.m<10D.以上都有可能

【答案】A

由于天平兩臂不等長，可設(shè)天平左臂長為。，右臂長為方，貝卜*。,

再設(shè)先稱得黃金為xg,后稱得黃金為您，則bx=5a,ay=5b,

當(dāng)且僅當(dāng)爭=2,即時(shí)等號成立，但°工人等號不成立，即x+y>10.

ba

因此，顧客購得的黃金加>10.

故選：A.

6.（2022?全國?高一）如圖所示，將一矩形花壇A3。擴(kuò)建為一個(gè)更大的矩形花壇AMPN,要求點(diǎn)8在40

上，點(diǎn)。在4V上，且對角線MN過點(diǎn)C,已知AB=4米，AO=3米，當(dāng)BM=時(shí)，矩形花壇AMPN

的面積最小.

'、、、、

X、

X

/sM

【答案】4

ND412

設(shè)則由DC//AV得------=——，解得NL>=,

ND+34+xx

矩形AMPN的面積為s=（4+x）（3+竺）=24+3x+48224+2J3xx竺=48,當(dāng)且僅當(dāng)3尤=簽，即》=4時(shí)

xxVxx

等號成立.

故答案為：4.

高頻考點(diǎn)四：基本不等式等號不成立，優(yōu)先對鉤函數(shù)

1.（2022?重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知命題P：咱xe1,4一。x+4>0”為真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

17

A.a<4B.a<—