第二十七章圖形的相似 專項(xiàng)練習(xí) 人教版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)

圖形的相似專項(xiàng)練習(xí)九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)人教版一．選擇題（共10小題）1．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，則的值為（）A． B． C． D．2．已知線段a、b、c、d，如果ab＝cd，那么下列式子中一定正確的是（）A． B． C． D．3．已知＝，那么的值是（）A． B．﹣ C．5 D．﹣54．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABO縮小為原來(lái)的，得到△CDO，則點(diǎn)A（﹣4，2）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，1）或（2，﹣1） C．（﹣8，4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）5．如圖，AD∥BE∥FC，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，如果AB＝4，AC＝9，那么的值是（）A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC邊上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面積等于9，則△CDE的面積為（）A．4 B．2 C．3 D．67．點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），且AB＝2，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．3﹣8．若3x＝2y（y≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．9．線段a，b，c，d是成比例線段，已知a＝2，b＝，則d＝（）A． B． C． D．10．若△ABC∽△A'B'C'，且相似比為2：3，則△ABC與△A'B'C'的面積比為（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4二．填空題（共5小題）11．已知＝，那么＝．12．如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊的中點(diǎn)，且BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，則下列結(jié)論：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE?BF．其中正確的是（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．13．非零實(shí)數(shù)x，y滿足2x＝3y，則＝．14．已知，則＝．15．如圖，AB∥CD∥EF，直線l1、l2分別與這三條平行線交于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，則BD的長(zhǎng)為．三．解答題（共6小題）16．如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)在邊BC上，連接AE．（1）利用尺規(guī)在AE上求作一點(diǎn)F，使得△ABE∽△DFA．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AE＝4，AB＝3，求DF的長(zhǎng)．17．如圖，點(diǎn)F是平行四邊形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，直線CF交線段BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2，AE＝，S△AEF＝．①求AB的長(zhǎng)；②求△EBC的面積．18．如圖，在矩形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處．（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）若，求EC的長(zhǎng)．19．如圖1，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10．點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交射線CA于點(diǎn)E，把△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，AD和GE相交于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)G和點(diǎn)B重合，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形，并求CE的長(zhǎng)．（2）在（1）的條件下，求證：△AFB∽△EFD．（3）是否存在這樣的點(diǎn)D，使得△ABG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出這時(shí)∠CAD的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．定義：一般地，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)P，P'所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O，且有OP'＝k?OP（k≠0），那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心，（1）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AC上，以PQ為邊作菱形PQMN，點(diǎn)N在線段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其內(nèi)部，以點(diǎn)A為位似中心，請(qǐng)畫出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面積最大（不要求尺規(guī)作圖）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面積；（3）如圖，四邊形ABCD、AEFG是全等的兩個(gè)菱形，CD、EF相交于點(diǎn)M，連接BG、CF．請(qǐng)用定義證明：△ABG與△MCF位似．21．如圖，l1∥l2∥l3，AB＝7，DE＝6，EF＝12，求AC的長(zhǎng)．

圖形的相似專項(xiàng)練習(xí)參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，則的值為（）A． B． C． D．【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)，進(jìn)而得出＝，求出答案即可．解：∵以點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，∴△BOA∽△DOC，∴＝，∵OA＝2，AC＝3，∴＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了位似變換，正確得出相似三角形是解題關(guān)鍵．2．已知線段a、b、c、d，如果ab＝cd，那么下列式子中一定正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積即可判斷．解：∵ab＝cd，∴＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查比例線段，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積解決問(wèn)題，屬于中考基礎(chǔ)題．3．已知＝，那么的值是（）A． B．﹣ C．5 D．﹣5【分析】根據(jù)已知條件得出a＝5b，再代入要求的式子進(jìn)行計(jì)算，即可得出答案．解：∵＝，∴3a﹣3b＝2a+2b，∴a＝5b，∴＝＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積．4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為位似中心，把△ABO縮小為原來(lái)的，得到△CDO，則點(diǎn)A（﹣4，2）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，1）或（2，﹣1） C．（﹣8，4） D．（﹣8，4）或（8，﹣4）【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算，即可解答．解：以原點(diǎn)O為位似中心，把這個(gè)三角形縮小為原來(lái)的得到△CDO，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，2），則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4×，2×）或（4×，﹣2×），即（﹣2，1）或（2，﹣1），故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是位似變換的概念和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或﹣k．5．如圖，AD∥BE∥FC，它們依次交直線l1、l2于點(diǎn)A、B、C和點(diǎn)D、E、F，如果AB＝4，AC＝9，那么的值是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．解：∵AD∥BE∥FC，AB＝4，AC＝9，∴＝＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，D在BC邊上，∠ADE＝∠B，CD＝4，若△ABD的面積等于9，則△CDE的面積為（）A．4 B．2 C．3 D．6【分析】過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠B＝∠C，再由三角形的外角定理推出∠DAB＝∠EDC，從而得出△ABD∽△DCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出EN，即可求解．解：過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于N，∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DCE．∴，∵△ABD的面積等于9，∴AB?DM＝×6×DM＝9，∴DM＝3，∴，∴EN＝2．∴△CDE的面積為CD?EN＝×4×2＝4，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用等腰三角的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．7．點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），且AB＝2，則AC的長(zhǎng)為（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．3﹣【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得到AC＝AB，然后把AB＝2代入計(jì)算即可．解：根據(jù)題意得AC＝AB＝×2＝﹣1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．8．若3x＝2y（y≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．解：A、由＝得，xy＝6，故本選項(xiàng)比例式不成立；B、由＝得，3x＝2y，故本選項(xiàng)比例式成立；C、由＝得，2x＝3y，故本選項(xiàng)比例式不成立；D、由＝得，xy＝6，故本選項(xiàng)比例式不成立．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，主要利用了兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．線段a，b，c，d是成比例線段，已知a＝2，b＝，則d＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)成比例線段的概念，可得a：b＝c：d，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，即可求得d的值．解：∵a：b＝c：d，∴ad＝bc，∵a＝2，b＝，c＝2，∴2d＝×2，∴d＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了成比例線段，解題時(shí)一定要嚴(yán)格按照順序?qū)懗霰壤?，再根?jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行求解．10．若△ABC∽△A'B'C'，且相似比為2：3，則△ABC與△A'B'C'的面積比為（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：面積的比等于相似比的平方，解答即可．解：∵△ADE∽△ABC，相似比為2：3，∴△ADE與△ABC的面積比為（2：3）2＝4：9．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方．二．填空題（共5小題）11．已知＝，那么＝﹣．【分析】根據(jù)已知條件得出＝，再把化成1﹣，然后進(jìn)行計(jì)算即可．解：∵＝，∴＝，∴＝1﹣＝1﹣＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例的性質(zhì)．題目比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)與比例變形．12．如圖，在矩形ABCD中，E是CD邊的中點(diǎn)，且BE⊥AC于點(diǎn)F，連接DF，則下列結(jié)論：①；②；③AD＝DF；④AD2＝BE?BF．其中正確的是①③④（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上）．【分析】根據(jù)E是CD邊的中點(diǎn)，得到CE：AB＝1：2，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CE∥AB，推出△CEF∽△ABF，求得＝（）2＝，故選①選項(xiàng)正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，設(shè)CE＝a，AD＝b，則CD＝2a，于是得到＝，故②選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖，過(guò)D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，根據(jù)平行四邊形的判定定理得到四邊形BMDE是平行四邊形，求得BM＝DE＝DC，得到DM垂直平分AF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AD＝DF，故③選項(xiàng)正確；根據(jù)射影定理和矩形的性質(zhì)得到AD2＝BE?BF．故④正確．解：∵E是CD邊的中點(diǎn)，∴CE：AB＝1：2，∵四邊形ABCD是矩形，∴CE∥AB，∴△CEF∽△ABF，∴＝（）2＝，故選①選項(xiàng)正確；∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠CAD＝∠BCF，∵BE⊥AC，∴∠CFB＝90°，∴∠ADC＝∠CFB，∴△ADC∽△CFB，∴＝，設(shè)CE＝a，AD＝b，則CD＝2a，∴＝，即b＝a，∴＝，∴＝，故②選項(xiàng)錯(cuò)誤；如圖，過(guò)D作DM∥BE交AC于N，交AB于M，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四邊形BMDE是平行四邊形，∴BM＝DE＝DC，∴BM＝AM，∴AN＝NF，∵BE⊥AC于點(diǎn)F，DM∥BE，∴DN⊥AF，∴DM垂直平分AF，∴AD＝DF，故③選項(xiàng)正確；∵∠BCE＝90°，BE⊥AC，∴BC2＝BF?BE，∵AD＝BC，∴AD2＝BE?BF．故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，射影定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．非零實(shí)數(shù)x，y滿足2x＝3y，則＝．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解決此題．解：∵2x＝3y，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．14．已知，則＝．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，由，得5x＝2（x+y），即3x＝2y，即可求出答案．解：∵，∴5x＝2（x+y），∴3x＝2y，∴＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟記兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積是解題的關(guān)鍵．15．如圖，AB∥CD∥EF，直線l1、l2分別與這三條平行線交于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)B、D、F．已知AC＝3，CE＝5，DF＝4，則BD的長(zhǎng)為．【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例定理得到＝，然后利用比例性質(zhì)得到BD的長(zhǎng)．解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，即＝，解得BD＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．三．解答題（共6小題）16．如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)在邊BC上，連接AE．（1）利用尺規(guī)在AE上求作一點(diǎn)F，使得△ABE∽△DFA．（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）若AE＝4，AB＝3，求DF的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AE于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求；（2）利用勾股定理全等三角形的性質(zhì)求解．解：（1）如圖，點(diǎn)F即為所求．（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝3，∵△ABE∽△DFA，∴＝，∴＝，∴DF＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣相似變換，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．17．如圖，點(diǎn)F是平行四邊形ABCD的邊AD上的一點(diǎn)，直線CF交線段BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：△AEF∽△DCF；（2）若AF：DF＝1：2，AE＝，S△AEF＝．①求AB的長(zhǎng)；②求△EBC的面積．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可以得到BA∥CD，然后即可得到∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，從而可以得到結(jié)論成立；（2）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和題目中的數(shù)據(jù)，平行四邊形的性質(zhì)，可以計(jì)算出AB的長(zhǎng)；②根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，可以計(jì)算出△EBC的面積．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，∴∠E＝∠FCD，∠EAF＝∠CDF，∴△AEF∽△DCF；（2）解：①由（1）知△AEF∽△DCF，∴，∵AF：DF＝1：2，AE＝，∴，∴DC＝2，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，∴AB＝2；②∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴＝（）2，∵S△AEF＝，AB＝2，AE＝，∴EB＝EA+AB＝3，∴＝＝，∴，解得S△EBC＝6，即△EBC的面積是6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．18．如圖，在矩形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，把△ADE沿AE翻折，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處．（1）求證：△ABF∽△FCE；（2）若，求EC的長(zhǎng)．【分析】（1）利用同角的余角相等，先說(shuō)明∠BAF＝∠EFC，再利用相似三角形的判定得結(jié)論；（2）先利用勾股定理求出BF，再利用相似三角形的性質(zhì)得方程，求解即可．（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠D＝∠AFE＝90°．∵∠BAF+∠AFB＝180°，∠AFB+∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC．又∵∠B＝∠C，∴△ABF∽△FCE．（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3．∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴AD＝AF＝6，DE＝EF．在Rt△ABF中，BF＝＝3．設(shè)CE的長(zhǎng)為x，則DE＝EF＝3﹣x．∵△ABF∽△FCE，∴＝．∴CE?AF＝BF?EF，即x×6＝3×（3﹣x）．∴x＝，即EC＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握“矩形的四個(gè)角都是直角、矩形的對(duì)邊相等”、“折疊前后的兩個(gè)圖形全等”、“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”及“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等”是解決本題的關(guān)鍵．19．如圖1，在△ABC中，已知AB＝6，AC＝8，BC＝10．點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC交射線CA于點(diǎn)E，把△CDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)G處，AD和GE相交于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)G和點(diǎn)B重合，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出相應(yīng)的圖形，并求CE的長(zhǎng)．（2）在（1）的條件下，求證：△AFB∽△EFD．（3）是否存在這樣的點(diǎn)D，使得△ABG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出這時(shí)∠CAD的正切值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先由勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，再證明△CDE∽△CAB，得＝，則CE＝＝；（2）由DE垂直平分BC，得BE＝CE，則∠DEF＝∠DEC，由△CDE∽△CAB，得∠DEC＝∠ABC，由AD＝BD＝BC，得∠ABC＝∠BAF，則∠BAF＝∠DEF，而∠AFB＝∠EFD，即可證明△AFB∽△EFD；（3）作DI⊥AC于點(diǎn)I，先由△DIC∽△BAC，求得ID：IC：DC＝3：4：5，再分四種情況分別求出DC的長(zhǎng)，并且求出相應(yīng)的ID和AI的長(zhǎng)，即可由tan∠CAD＝，求出∠CAD的正切值，一是△ABG是等腰三角形，且AG＝AB＝6，作AH⊥BC于點(diǎn)H，由×10AH＝×6×8＝S△ABC，求得AH＝，再由勾股定理求得GH＝BH＝，則CD＝；二是△ABG是等腰三角形，且BG＝AB＝6，則CD＝×（10﹣6）＝2；三是△ABG是等腰三角形，且BG＝AG，則CG＝AG＝BG＝BC＝5，所以CD＝CG＝；四是△ABG是等腰三角形，點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上，且BG＝AB＝6，DC＝×（10+6）＝8．（1）解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，∴AB2+AC2＝BC2＝100，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，由翻折得DG＝DC，∵DE⊥BC，∴∠GDE＝∠CDE＝∠BDE＝90°，∴點(diǎn)G在射線CB上，如圖2，點(diǎn)G和點(diǎn)B重合，則DB＝DC＝BC＝5，∵∠CDE＝∠CAB＝90°，∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAB，∴＝，∴CE＝＝＝，∴CE的長(zhǎng)是．（2）證明：如圖2，∵DE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴∠DEF＝∠DEC，∵△CDE∽△CAB，∴∠DEC＝∠ABC，∴AD＝BD＝BC，∴∠ABC＝∠BAF，∴∠BAF＝∠ABC＝∠DEC＝∠DEF，∵∠AFB＝∠EFD，∴△AFB∽△EFD．（3）解：存在，作DI⊥AC于點(diǎn)I，則∠DIC＝∠AID＝∠BAC＝90°，∵∠C＝∠C，∴△DIC∽△BAC，∴＝＝，∴＝＝＝，＝＝＝，∴ID：IC：DC＝3：4：5，如圖3，△ABG是等腰三角形，且AG＝AB＝6，作AH⊥BC于點(diǎn)H，則∠AHB＝90°，∵×10AH＝×6×8＝S△ABC，∴AH＝，∴GH＝BH＝＝，∴DC＝CG＝×（10﹣2×）＝，∴ID＝DC＝×＝，IC＝DC＝×＝，∴AI＝8﹣＝，∴tan∠CAD＝＝＝；如圖4，△ABG是等腰三角形，且BG＝AB＝6，∴CD＝×（10﹣6）＝2，∴ID＝×2＝，IC＝×2＝，∴AI＝8﹣＝，∴tan∠CAD＝＝＝；如圖5，△ABG是等腰三角形，且BG＝AG，則∠GAB＝∠B，∵∠GAC+∠GAB＝90°，∠C+∠B＝90°，∴∠GAC＝∠C，∴CG＝AG＝BG＝BC＝5，∴CD＝CG＝，∴ID＝×＝，IC＝×＝2，∴AI＝8﹣2＝6，∴tan∠CAD＝＝＝；如圖6，△ABG是等腰三角形，點(diǎn)G在CB的延長(zhǎng)線上，且BG＝AB＝6，∴DC＝×（10+6）＝8，∴ID＝×8＝，IC＝×8＝，∴AI＝8﹣＝，∴tan∠CAD＝＝＝3，綜上所述，∠CAD的正切值為或或或3．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用、軸對(duì)稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等角的余角相等、線段的垂直平分線的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．20．定義：一般地，如果兩個(gè)相似多邊形任意一組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)P，P'所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)O，且有OP'＝k?OP（k≠0），那么這樣的兩個(gè)多邊形叫做位似多邊形，點(diǎn)O叫做位似中心，（1）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6cm．點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AC上，以PQ為邊作菱形PQMN，點(diǎn)N在線段PB上且∠APQ＝120°，在△ABC及其內(nèi)部，以點(diǎn)A為位似中心，請(qǐng)畫出菱形PQMN的位似菱形P'Q'M'N'，且使菱形P'Q'M'N'的面積最大（不要求尺規(guī)作圖）；（2）求（1）中作出的菱形P'Q'M'N'的面積；（3）如圖，四邊形ABCD、AEFG是全等的兩個(gè)菱形，CD、EF相交于點(diǎn)M，連接BG、CF．請(qǐng)用定義證明：△ABG與△MCF位似．【分析】（1）根據(jù)定義畫出圖形即可；（2）當(dāng)M'點(diǎn)在BC上時(shí)，菱形P'Q'M'N'的面積最大，判定出△M'BN'是等邊三角形，在Rt△CM'Q'中求出BM'的長(zhǎng)，再求菱形的面積即可；（3）延長(zhǎng)GF、BC交于O點(diǎn)，連接AO，先求出OF＝OC，OG＝BO，連接OM，通過(guò)證明△MOF≌△MO