線(xiàn)性代數(shù) 第07章 線(xiàn)性空間與線(xiàn)性變換

第7章線(xiàn)性空間與線(xiàn)性變換本章介紹線(xiàn)性空間的根本概念與根本運(yùn)算，介紹線(xiàn)性變換的根本概念以及線(xiàn)性變換的矩陣。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)該掌握以下內(nèi)容：線(xiàn)性空間的概念、基、維數(shù)與坐標(biāo)基變換與坐標(biāo)變換公式線(xiàn)性變換的概念、簡(jiǎn)單性質(zhì)與運(yùn)算線(xiàn)性變換的矩陣表示和線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系線(xiàn)性變換運(yùn)算所對(duì)應(yīng)的矩陣線(xiàn)性變換的矩陣為對(duì)角矩陣的充要條件維線(xiàn)性空間的概念7.1維線(xiàn)性空間

7.1.1定義1

設(shè)

是一個(gè)非空集合，是一個(gè)數(shù)域,在

中定義了兩種代數(shù)運(yùn)算：

1．加法對(duì)于

中任意兩個(gè)元素

按某一法那么,在中都有惟一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng),稱(chēng)為

的和,記作

2．?dāng)?shù)量乘法對(duì)于

任意元素和數(shù)域中的任意數(shù)

按某一法那么,在中都有惟一的一個(gè)元素對(duì)應(yīng),稱(chēng)為

與它們與的數(shù)量乘積，記作一般稱(chēng)集合

對(duì)于加法和數(shù)量乘法這兩種運(yùn)算封閉．

如果加法和數(shù)量乘法滿(mǎn)足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么稱(chēng)是數(shù)域上的一個(gè)線(xiàn)性空間．其中：

〔3〕在中有一個(gè)元素,對(duì)于中任一元素

,都有

.稱(chēng)元素

為的零元素〔4〕對(duì)于中每一個(gè)元素

,都有

中的元素使得.稱(chēng)元素

為的負(fù)元素,記作

,即(5)對(duì)數(shù)域中的數(shù)1和

中的任一元素

,都有

是任意實(shí)數(shù))

注:凡滿(mǎn)足八條運(yùn)算規(guī)律的加法及數(shù)量乘法，就稱(chēng)為線(xiàn)性運(yùn)算；凡定義了線(xiàn)性運(yùn)算的集合，就稱(chēng)為線(xiàn)性空間．

線(xiàn)性空間具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1

線(xiàn)性空間的零元素是惟一的；性質(zhì)2

線(xiàn)性空間中每個(gè)向量的負(fù)向量是惟一的；性質(zhì)3

性質(zhì)4

如果

,那么或

基、維數(shù)與坐標(biāo)定義2

在線(xiàn)性空間

中,如果存在

個(gè)元素

滿(mǎn)足:中任一元素

總可以由

線(xiàn)性表示,

那么,稱(chēng)為線(xiàn)性空間的一組基,稱(chēng)為線(xiàn)性空間的維數(shù)

線(xiàn)性無(wú)關(guān);定義3

設(shè)

是維線(xiàn)性空間的一組基是中任一元素，如果這組有序數(shù)組就稱(chēng)為元素在這組基下的坐標(biāo)，并記作：建立了坐標(biāo)后，就把抽象的向量〔元素〕與具體的數(shù)組向量聯(lián)系起來(lái)了并且,還可把抽象的線(xiàn)性運(yùn)算與數(shù)組向量的元素聯(lián)系起來(lái)．設(shè)為一組基于是

基變換與坐標(biāo)變換公式

設(shè)與是線(xiàn)性空間

中的兩個(gè)基

利用分塊矩陣的乘法形式，可將上式記為或其中稱(chēng)為由基

到過(guò)渡矩陣.中的每一列元素分別是基在基下的坐標(biāo)；

稱(chēng)為基變換公式

定理1設(shè)中的元素在基

下的坐標(biāo)為,在基

下的坐標(biāo)為,假設(shè)兩個(gè)基滿(mǎn)足那么有坐標(biāo)變換公式或例8

設(shè)是線(xiàn)性空間

的一組基

為一個(gè)二階可逆矩陣，令

顯然，

也線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因此

的一組基,并且滿(mǎn)足

也是是由基到的過(guò)渡矩陣.例9

設(shè)由所有二階矩陣組成的線(xiàn)性空間的兩個(gè)基為：

〔1〕求由基到基

〔2〕分別求的過(guò)渡矩陣；在上述兩個(gè)基下的坐標(biāo)；〔3〕求一個(gè)非零矩陣,使在兩個(gè)基下的坐標(biāo)相同．解〔1〕因?yàn)閷?xiě)成矩陣形式，就有

于是矩陣

到基的過(guò)渡矩陣；即是由基〔2〕由于是,在基下的坐標(biāo)為在基下的坐標(biāo)為(3)設(shè)在上述兩個(gè)基下坐標(biāo)相同,由(2)知,應(yīng)有,故為在給定的兩組基下坐標(biāo)相同的非零的二階矩陣．7.2線(xiàn)性變換

線(xiàn)性變換的定義定義4

設(shè)有兩個(gè)非空集合如果對(duì)于中的任一元素

,按照一定的規(guī)那么,總有中一個(gè)確定的元素

對(duì)應(yīng),那么,這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)那么就稱(chēng)為從集合和它到集合的變換(或映射).我們常用字母來(lái)表示一個(gè)變換，譬如把上述變換記作,并記

或定義5

設(shè)

分別是實(shí)數(shù)域上的

維和空間,維線(xiàn)性是一個(gè)從到的變換,如果變換滿(mǎn)足:

〔1〕任給,有〔2〕任給,有那么就稱(chēng)為從到的線(xiàn)性變換如果,那么,稱(chēng)

為中的線(xiàn)性變換.

線(xiàn)性變換的簡(jiǎn)單性質(zhì)線(xiàn)性變換有以下性質(zhì):性質(zhì)1

性質(zhì)2假設(shè),那么性質(zhì)3假設(shè),那么線(xiàn)性相關(guān).線(xiàn)性相關(guān)性質(zhì)4

線(xiàn)性變換

的像集

稱(chēng)為線(xiàn)性變換的像空間；

是一個(gè)線(xiàn)性空間,性質(zhì)5

使

的

的全體也是一個(gè)線(xiàn)性空間,

稱(chēng)為線(xiàn)性變換的核.

例17

設(shè)有階矩陣

其中中的變換為線(xiàn)性變換

的像空間為

的核

就是齊次線(xiàn)性方程組的解空間

線(xiàn)性變換的運(yùn)算1.線(xiàn)性變換的加法定義6

設(shè)是線(xiàn)性空間定義它們的和的兩個(gè)線(xiàn)性變換,為容易證明,線(xiàn)性變換的和還是線(xiàn)性變換.

線(xiàn)性變換的加法滿(mǎn)足結(jié)合律與交換律.即

2．線(xiàn)性變換的數(shù)量乘法

定義7

設(shè)

是線(xiàn)性空間

的線(xiàn)性變換,定義它們的數(shù)量乘法

為實(shí)數(shù)，為顯然

,仍然是線(xiàn)性變換.

線(xiàn)性變換的數(shù)量乘法滿(mǎn)足以下運(yùn)算規(guī)律：

稱(chēng)為

的負(fù)變換

3.線(xiàn)性變換的乘法定義8設(shè)

是線(xiàn)性空間定義它們的乘積的兩個(gè)線(xiàn)性變換,為容易證明,線(xiàn)性變換的乘積還是線(xiàn)性變換.

線(xiàn)性變換的乘法滿(mǎn)足結(jié)合律.即

但不滿(mǎn)足交換律,即一般地對(duì)于乘法,單位變換

有特殊的地位,對(duì)任意變換還可以證明線(xiàn)性變換的加法與乘法滿(mǎn)足乘法對(duì)加法的左右分配律：

滿(mǎn)足4．線(xiàn)性變換的逆變換定義9

設(shè)

是線(xiàn)性空間

的線(xiàn)性變換,如果有

的線(xiàn)性變換存在,使

,那么稱(chēng)線(xiàn)性變換可逆，并稱(chēng)

是的逆變換.可以證明可逆變換的逆變換是惟一的．

可逆變換的逆變換記做,即可以證明,線(xiàn)性變換

的逆變換也是線(xiàn)性變換．

7.3線(xiàn)性變換的矩陣表示線(xiàn)性變換在一個(gè)基下的矩陣

定義10

設(shè)

是維線(xiàn)性空間的線(xiàn)性變換，

在中取定一組基，

,如果這組基在線(xiàn)性變換下的像〔用這個(gè)基線(xiàn)性表示〕為記上式可以表示為

其中那么,就稱(chēng)為線(xiàn)性變換在基下的矩陣．

顯然，矩陣由基的像惟一確定．特別地,在中取定一組基以后,線(xiàn)性變換矩陣?yán)?8

求

中的線(xiàn)性變換

在如下基下的矩陣：

解〔1〕因?yàn)樗?在基下線(xiàn)性變換

的矩陣為〔2〕因?yàn)樗?，在基下線(xiàn)性變換的矩陣

例20

設(shè)的線(xiàn)性變換為求在基

下的矩陣.解因?yàn)樗?線(xiàn)性變換在基

下的矩陣為定理

2設(shè)

是維線(xiàn)性空間的一組基，

的線(xiàn)性變換

在這組基下的矩陣為,向量

在基

下的坐標(biāo)為其中

那么即線(xiàn)性變換在不同基下的矩陣之間的關(guān)系

定理3

設(shè)

與是線(xiàn)性空間的兩組不同的基,由基

到的過(guò)渡矩陣為

中的線(xiàn)性變換矩陣分別為

在這兩組基下的和,那么

證明按定理的假設(shè)，有可逆，從而及于是因?yàn)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān),所以

于是

例21

設(shè)中的線(xiàn)性變換

在基下的矩陣為

,求在基下的矩陣.解

即由

到的過(guò)渡矩陣,求得

在基下的矩陣.可逆,那么矩陣線(xiàn)性變換運(yùn)算所對(duì)應(yīng)的矩陣

定理4

設(shè)

是維線(xiàn)性空間的一組基,

在這組基下,線(xiàn)性變換的矩陣分別為,那么在基下〔1〕線(xiàn)性變換的和的矩陣為〔2〕線(xiàn)性變換的數(shù)量乘法的矩陣為矩陣〔3〕線(xiàn)性變換的乘積的矩陣為〔4〕假設(shè)線(xiàn)性變換可逆，反之亦然．有個(gè)相異的特征值,那么〔1〕線(xiàn)性變換所對(duì)應(yīng)的矩陣可以對(duì)角化的充要條件是矩陣有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量；

是維線(xiàn)性空間的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果在內(nèi)存在一組基使在這