專題03 分段函數(shù)-學(xué)霸養(yǎng)成.2024年新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)特色專題練（解析版）

專題03分段函數(shù)一、單選題1.（2024屆肅省蘭州市第五十中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）函數(shù)，則（

）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】B【解析】由于，所以.故選B2．（2024屆遼寧省六校高三上學(xué)期期初考試）已知函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，所以可能有以下兩種情形：情形一：若，則，所以，解得(不符題意，舍去).情形二：若，則，所以,解得.綜上有.故.故選A.3．（2024屆湖南省株洲市第三中學(xué)高三上學(xué)期8月月考）已知，且，函數(shù)在上單調(diào)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于函數(shù)在上單調(diào)，由函數(shù)解析式可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增不滿足題意，故在R上單調(diào)遞減，所以，解得.故選D.4．（2024屆吉林省通化市輝南縣高三上學(xué)期月考）已知函數(shù)有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于當(dāng)時(shí)，，要使有最大值，則時(shí)，函數(shù)值的范圍不超過可得解得.故選A5．（2024屆內(nèi)蒙古包頭市高三上學(xué)期調(diào)研）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則不成立；當(dāng)時(shí)，，由，得，得，與沖突，舍去，當(dāng)時(shí)，，由，得，則，得．綜上，滿足的的取值范圍是．故選B．6．（2024屆百師聯(lián)盟高三上學(xué)期聯(lián)考）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】

當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，做出的圖像，如圖所示，，即與共5個(gè)不等實(shí)根，由圖可知時(shí)，或，即有兩個(gè)根，若使與共5個(gè)不等實(shí)根，只需滿足.故選D.7．（2023屆河南省開封市通許縣高三沖刺）已知若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，,則,當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以時(shí)，.畫出函數(shù)的圖象如圖所示：由于函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可知或.所以的取值范圍為.故選C.8．（2024屆重慶市南開中學(xué)高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有四個(gè)不同的根（），則的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】

由圖可知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)不同的根，且，由題：，，設(shè)則，令，故在遞增，在遞減，.故選A.9．（2024屆黑龍江省佳木斯市高三上學(xué)期其次次調(diào)研）已知函數(shù)是定義域上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得二次函數(shù)對(duì)稱軸為，由于整個(gè)函數(shù)單調(diào)遞減，則有，解之得.故選A10．（2024屆遼寧省沈陽市其次十中學(xué)高三上學(xué)期第一次模擬）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上的全部零點(diǎn)之和為（

）A． B．32 C．16 D．8【答案】D【解析】∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，∴.又∵函數(shù)，∴∴函數(shù)是偶函數(shù)，∴函數(shù)的零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對(duì)消滅的.∴函數(shù)在上全部的零點(diǎn)的和為0，∴函數(shù)在上全部的零點(diǎn)的和，即函數(shù)在上全部的零點(diǎn)之和.即方程在上的全部實(shí)數(shù)解之和.由時(shí)，，故有，∴函數(shù)在上的值域?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.又∵當(dāng)時(shí)，，如圖：

∴函數(shù)在上的值域?yàn)?；函?shù)在上的值域?yàn)椋缓瘮?shù)在上的值域?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，即方程在上的有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即有一個(gè)零點(diǎn)；綜上，函數(shù)在上的全部零點(diǎn)之和為8.故選D.11.（2024屆黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校高三上學(xué)期第一次驗(yàn)收）已知函數(shù)的最大值為1，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．或【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，依題意，，即，當(dāng)時(shí)，，若，則當(dāng)時(shí)，，解得，符合題意，若，則當(dāng)時(shí)，，解得，沖突，所以實(shí)數(shù)的值為.故選A12.（2024屆江西省宜春市宜豐中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于，可知其對(duì)稱軸為，令，解得或；令，解得或；作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

若方程有四個(gè)不同的實(shí)根，即與有四個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)依次為，對(duì)于，則，可得，所以；對(duì)于，則，可得；所以，由對(duì)勾函數(shù)可知在上單調(diào)遞增，可得，所以的取值范圍是.故選B.二、多選題13．（2024屆廣東省潮州市潮安區(qū)鳳塘中學(xué)高三上學(xué)期統(tǒng)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0 B．C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】由函數(shù)，可得有兩個(gè)零點(diǎn)0、1，故A錯(cuò)誤；由于，故B正確；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤．故選BC．14．（2023屆山西省三晉名校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月測(cè)試）已知函數(shù)，則（

）A．的最小值為B．在區(qū)間上單調(diào)遞增C．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為D．有三個(gè)零點(diǎn)【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故的最小值為，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故A錯(cuò)誤，B正確；若在上單調(diào)遞增，依據(jù)分段函數(shù)不難推斷出，故的最大值為，故C錯(cuò)誤；依據(jù)題意，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)和，故D正確，故選BD.15．（2024屆福建省泉州市高三高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．為增函數(shù)C．的值域?yàn)?D．方程最多有兩個(gè)解【答案】ACD【解析】對(duì)于A，明顯，，則，A正確；對(duì)于B，明顯，，有，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此的值域?yàn)椋珻正確；對(duì)于D，如圖，當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)解；

當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，因此方程最多有兩個(gè)解，D正確.故選ACD16．（2023屆遼寧省凌源市高三下學(xué)期開學(xué)抽測(cè)）已知函數(shù)則下列說法正確的是（

）A．B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)镃．當(dāng)時(shí)，方程恰有6個(gè)實(shí)根D．若恒成立，則．【答案】ABD【解析】依題意，依據(jù)分段函數(shù)可得圖象如圖所示：由于，故A正確；由題知函數(shù)在上的值域?yàn)?，在上函?shù)值域?yàn)?，故?dāng)時(shí)，函數(shù)值域?yàn)?，故B正確；當(dāng)時(shí)有5個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)有7個(gè)實(shí)數(shù)根，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象交于點(diǎn)，結(jié)合圖象，即，故D正確．故選ABD.17.（2024屆安徽省六校教育爭(zhēng)辯會(huì)高三上學(xué)期入學(xué)素養(yǎng)測(cè)試）高斯是德國(guó)有名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào).設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，也被稱為“高斯函數(shù)”，例如：，.已知函數(shù)，下列說法中正確的是（

）A．是周期函數(shù)B．的值域是C．在上是增函數(shù)D．若方程有3個(gè)不同實(shí)根，則【答案】AB【解析】由題意，列出部分定義域函數(shù)，所以部分定義域的，如圖：可得函數(shù)是周期為1的函數(shù)，且值域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，

故選項(xiàng)A、B正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，若方程有3個(gè)不同實(shí)根，則的圖象與直線有3個(gè)交點(diǎn)，又直線恒過點(diǎn)，結(jié)合圖象知，或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選AB三、填空題18．（2024屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期月考）已知，滿足，則的取值范圍是．【答案】【解析】若，則，故，由可得，當(dāng)，則，故，由可得，當(dāng)時(shí)，則不符合要求，綜上可知：的取值范圍為19．（2024屆湖南省長(zhǎng)沙市高三上學(xué)期入學(xué)考試）已知函數(shù)，若有四個(gè)解，則的取值范圍是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，明顯函數(shù)在上的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，如圖，方程的四個(gè)解是直線與曲線的四個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，明顯，不妨令，則有，，有，因此，而對(duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以的取值范圍是.20．（2024屆北京市景山學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)考試）已知，函數(shù)，若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，則a的取值范圍是.【答案】【解析】若存在三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，使得成立，則方程存在三個(gè)不相等的實(shí)根，當(dāng)時(shí)，解得，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不等的實(shí)根，即，設(shè)，，則，，令，解得，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，則，所以.21．（2023屆四川省射洪中學(xué)校高三模擬猜測(cè)）已知函數(shù)，則下列命題中正確的有．①函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；②若關(guān)于x的方程恰有1個(gè)解，則；③函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；④若，且，則無最值．【答案】①③【解析】由函數(shù)可得，函數(shù)的圖像如下圖所示：

對(duì)于①，由圖可知，和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，故①正確；對(duì)于②，若函數(shù)恰有1個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)，可得或，故②不正確；對(duì)于③，由于函數(shù)，在點(diǎn)處切線斜率，在點(diǎn)處的切線為，函數(shù)，在處的切線斜率為，在處切線為，如圖中虛線所示，易知當(dāng)，即時(shí)，的圖像與直線恰有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，令，得，令，則，，由二次函數(shù)的圖像及零點(diǎn)存在定理可知，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)，即時(shí)，令，設(shè)，則（僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，設(shè)單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，，，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根；故③正確；對(duì)于④，由，則，，，則，設(shè)，則，設(shè)，明顯在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，且當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增