專題22 圓錐曲線的幾何性質（解析版）

專題22圓錐曲線的幾何性質一、單選題1．（2024屆湖南省天壹名校聯(lián)盟高三上學期聯(lián)考）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由題設知，，解得.故選A.2．（2024屆福建省福州第八中學高三上學期質檢卷）已知的頂點在拋物線上，若拋物線的焦點恰好是的重心，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】設，拋物線，則，焦點恰好是的重心，則，故．故選A．3．（2024屆廣東省七校聯(lián)合體高三上學期聯(lián)考）已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內部，則橢圓離心率的取值范圍是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】依據(jù)橢圓的對稱性，不妨設焦點在橫軸上的橢圓標準方程為：，設，設，，點在橢圓內部，有，要想該不等式恒成立，只需，而，故選B4．（2024屆湖南省永州市高三一模）已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上位于第一象限的一點，且與軸平行，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由令，得，由于與軸平行，且在第一象限，所以.由于，所以，即，將點坐標代入橢圓的方程得，，，所以離心率.故選B

5．（2024屆貴州省貴陽市六校高三上學期聯(lián)合考試）橢圓：的左、右焦點分別為，，現(xiàn)已知與拋物線的焦點重合，橢圓與過點的冪函數(shù)的圖象交于點，且冪函數(shù)在點處的切線過點，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，拋物線的焦點坐標為，則，.又由于冪函數(shù)過點，故，解得，故.設點的坐標為，，則過的切線為，且冪函數(shù)在點處的切線過點，故，解得，故，而在橢圓上，則，而，可得，，則橢圓的離心率為.故選C.6．（2024屆天津市第四十五中學高三上學期月考）已知拋物線的焦點為F，點，若點A為拋物線任意一點，當取最小值時，點A的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設點A在準線上的射影為D，如圖，

則依據(jù)拋物線的定義可知，求的最小值，即求的最小值，明顯當D，B，A三點共線時最小，此時點的橫坐標為1，代入拋物線方程可知.故選B.7．（2024屆天津市第四十五中學高三上學期月考）已知分別是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】∵分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上一點，∴，，又∵在中，，

∵，∴，則，又，∴，即，故，解得：，∵，∴.故選A8．（2024屆江西省萬安中學高三上學期開學考試）如圖，設直線與拋物線(為常數(shù))交于不同的兩點，且當時，拋物線的焦點到直線的距離為.過點的直線交拋物線于另一點，且直線過點，則直線過點（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】直線，即，依題意，到直線的距離為，所以拋物線方程為，直線，由消去并化簡得，，且，設，則.由，直線的方程為，所以，即，則，故，所以，所以，直線的方程為，即，則，故，所以，也即直線過定點.故選A.9．（2023屆四川省成都市四七九名校高全真模擬）已知直線與雙曲線相交于A，B兩點，點在第一象限，經(jīng)過點且與直線垂直的直線與雙曲線的另外一個交點為，點在軸上，，點為坐標原點，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依據(jù)題意，畫出示意圖，如圖所示．

由于，所以B、N、M三點共線．設線段BM的中點為，連接OQ，依據(jù)題意，明顯可得點為線段AB的中點，所以，設，，，．由于點B，M都在雙曲線上，則兩式相減，得，即．而，，所以，即．又由于，則，即，所以，即，所以．又，則，即，故，所以．而，故，即，則雙曲線的漸近線方程為：．故選C10．（2024屆四川省成都市第七中學高三上學期入學考試）如圖拋物線的頂點為，焦點為，準線為，焦準距為4；拋物線的頂點為，焦點也為，準線為，焦準距為6．和交于兩點，分別過作直線與兩準線垂直，垂足分別為，過的直線與封閉曲線交于兩點，則下列說法正確的是（

）

①

②四邊形的面積為100③

④的取值范圍為A．①②④ B．①③④ C．②③ D．①③【答案】B【解析】以為坐標原點，建立平面直角坐標系，如圖，

拋物線的頂點為，焦點為，準線為，焦準距為4；可得，拋物線的標準方程為：．拋物線的頂點為，焦點也為，準線為，焦準距為6．可得，所以，所以①正確；拋物線的方程為：．和交于、兩點，，可得、兩點的橫坐標為：3，兩點的縱坐標：，分別過、作直線與兩準線垂直，垂足分別為、、、，可得，，，，，，四邊形的面積為：．所以②不正確；又，則，，可得，所以③正確；依據(jù)拋物線的對稱性不妨設點在封閉曲線的上部分，設在直線上的射影分別為，當點在拋物線，點在拋物線上時，，當與重合時，最小，最小值為，當與重合，點在拋物線上時，由于，直線，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設，則，，所以；當點在拋物線，點在拋物線上時，設，與拋物線的方程為聯(lián)立，可得，設，則，，當，即時取等號，故此時；當點在拋物線，點在拋物線上時，依據(jù)拋物線的對稱性可知，；綜上，，所以④正確.故選B．11．（2024屆江西省豐城拖船中學高三上學期開學測試）已知橢圓.過點作圓的切線交橢圓于兩點.將表示為的函數(shù)，則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由題意知，，當時，切線的方程為，點，的坐標分別為，，此時；當時，同理可得；當時，設切線方程為，由得，設，兩點兩點坐標分別為，，則，，又由于圓相切，得，即，∴，由于當時，，∴，，∵，當且僅當時，，∴的最大值為2．故選B.12．（2024屆四川省成都市第七中學高三上學期入學考試）定義：若直線將多邊形分為兩部分，且使得多邊形在兩側的點到直線的距離之和相等，則稱為多邊形的一條“等線”．已知雙曲線（a，b為常數(shù)）和其左右焦點，P為C上的一動點，過P作C的切線分別交兩條漸近線于點A，B，已知四邊形與三角形有相同的“等線”．則對于下列四個結論：①；②等線必過多邊形的重心；③始終與相切；④的斜率為定值且與a，b有關．其中全部正確結論的編號是（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①②③【答案】D【解析】①：設，當時，設，則由，得，所以，所以切線的斜率為，所以切線方程為，由于點在雙曲線上，所以，得，，所以，所以，所以，所以，同理可求出當時的切線方程為，當時，雙曲線的切線方程為，滿足，所以過P點切線方程為，漸近線方程為聯(lián)立兩直線方程得，故有，故②：設多邊形頂點坐標為，其中設“等線”方程為，則到等線的距離為：又由于等線將頂點分為上下兩部分，則有，，從而，整理得即等線必過該多邊形重心．③④：考察重心，設，則重心．對于四邊形，其重心H必在與重心連線上，也必在與重心連線上，則即為直線GH．設與重心分別為，則，所以∥，由于為的重心，所以，所以∥，所以三點共線，由于在上，所以∥，過，由于直線為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，整理得，所以直線方程，由①的求解過程可知該方程為切線方程，所以③正確，④錯誤，故①②③正確．故選D

二、多選題13．（2024屆河南省南陽市第一中學校2高三上學期開學考試）下列關于雙曲線的結論中，正確的是（

）A．離心率為 B．焦距為C．兩條漸近線相互垂直 D．焦點到漸近線的距離為1【答案】ACD【解析】雙曲線，可得，，，則雙曲線的離線率為，故A正確；焦距，故B錯誤；漸近線為與，且斜率之積為-1，即兩條漸近線相互垂直，故C正確；焦點到漸近線的距離為，故D正確；故選ACD.14．（2024屆云南師范高校附屬中學高三高考適應性月考）已知拋物線的焦點為，準線為，經(jīng)過點且斜率為的直線與拋物線交于，兩點（點在第一象限），若，，則以下結論正確的是（

）A．B．C．若為上的動點，其在上的射影為，則D．過點且與有且僅有一個公共點的直線有3條【答案】BCD【解析】

對于A，由于，直線的斜率為，則設直線的方程為，聯(lián)立，得，解得：，，由，得，故A錯誤；對于B，由于，則，故B正確；對于C，如圖所示，拋物線的焦點為，，當且僅當，，三點共線時取等號，故C正確；對于D，當直線斜率不存在時，直線方程為，與拋物線只有一個公共點；當直線斜率存在時，設直線方程為，聯(lián)立，消得，當時，方程的解為，此時直線與拋物線只有一個交點；當時，則，解得，綜上所述，過點與有且僅有一個公共點的直線有條，故D正確；故選BCD.15．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，過的直線與交于，兩點，若，則（

）A． B．的面積等于C．直線的斜率為 D．的離心率等于【答案】ABD【解析】由可知，不妨設，又，可得；利用橢圓定義可知，所以可得；即，所以點即為橢圓的上頂點或下頂點，如下圖所示：

由，可知滿足，所以；即A正確；所以為等腰直角三角形，且，因此的面積為，即B正確；此時可得直線的斜率，所以C錯誤；在等腰直角三角形中，易知，即可得離心率，即D正確；故選ABD16．（2024屆浙江省浙南名校聯(lián)盟高三上學期聯(lián)考）已知是橢圓上不同的三點，記的面積分別為（為坐標原點）.若，則（

）A． B．C． D．為定值【答案】BC【解析】先證明：設，不共線，則．若，則，若，當中有一個為0時，例如，則易得，當都不為0時，設直線與軸交點為，直線方程為，令是，當時，，當時，，綜上，，由已知設，，，則，同理，，由得，，，，，，由題意中任意兩點都與原點不共線，即，，所以，，所以，，從而或,所以，，故選BC．17．（2024屆江西省吉安市第三中學高三上學期開學考試）已知雙曲線：，點為雙曲線右支上的一個動點，過點分別作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，兩點，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．存在點，使得四邊形為正方形C．直線，的斜率之積為2D．存在點，使得【答案】AB【解析】對于A，由雙曲線：，得，故，A正確；對于B，雙曲線：的漸近線為，則四邊形為矩形，又雙曲線右頂點為，到直線的距離均為，故矩形為正方形，即存在點，即M為雙曲線右頂點時，使得四邊形為正方形，B正確；對于C，設，不妨設A在第一象限，B在第四象限，由于，故可得的方程為，聯(lián)立，可得，則，同理，可得的方程為，聯(lián)立，可得，則，故，而，故，C錯誤；對于D，由以上分析可知，同理,故，依據(jù)雙曲線的對稱性，不妨假設M在第一象限，則，故，令，將代入，即有，明顯不行能，即雙曲線上不存在點，使得，D錯誤，故選AB三、填空題18．（2024屆上海市松江二中高三上學期階段測試）已知橢圓C：的離心率為，則橢圓的短軸長為.【答案】【解析】依據(jù)題意可得離心率，解得，所以橢圓的短軸長為.19．（2023屆四川省綿陽南山中學高三仿真）雙曲線的離心率為2，則右焦點到其漸近線的距離為．【答案】【解析】雙曲線的離心率為2，由得，則，右焦點，漸近線方程為，到漸近線的距離為.20．（2023屆湖北省武漢市華中師大第一附屬中學高三5月適應性考試）設雙曲線()的右焦點為F，過F作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為H，若(O為坐標原點)，則雙曲線C的離心率為．【答案】【解析】由雙曲線的幾何性質可得，，，，所以，所以，即，所以，所以離心率．21．（2024屆廣東省陽江市高三上學期第一次階段調研）已知點在拋物線上，為拋物線的焦點，圓與直線相交于兩點，與線段相交于點，且．若是線段上靠近的四等分點，則拋物線的方程為．【答案】【解析】由可知，設，則，則，故，即①；又點在拋