2024年中考復(fù)習(xí)幾何模型：半角模型 導(dǎo)學(xué)案

2024年中考復(fù)習(xí)幾何模型：半角模型導(dǎo)學(xué)案

已知如圖：①/2=工//。&②OA=OB.

2

連接用，將△FOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至的位置，連接PE,FE,

可得尸之△(?￡〃'

模型分析

■:AOBFmAOAF',

；./3=N4,OF=OF'.

：.Z2=-ZAOB,

2

.?.Nl+N3=/2

.\Z1+Z4=Z2

又...OE是公共邊，

:.AOEF烏AOEF'.

(1)半角模型的命名：存在兩個(gè)角度是一半關(guān)系，并且這兩個(gè)角共頂點(diǎn)；

(2)通過先旋轉(zhuǎn)全等再軸對(duì)稱全等，一般結(jié)論是證明線段和差關(guān)系；

(3)常見的半角模型是90°含45°,120°含60°.

模型實(shí)例

例1已知，正方形ABCD中，ZMAN=45°,它的兩邊分別交線段CB、DC于點(diǎn)M、N.

(1)求證：BM+DN=MN.

(2)作AH_LMN于點(diǎn)H,求證：AH=AB.

證明(1)延長(zhǎng)ND到E,使DE=BM,

???四邊形ABCD是正方形，???AD=AB.

在4ADE和AABM中，

AD=AB

<ZADE=ZB

DE=BM

A△ADEABM.

???AE=AM,ZDAE=ZBAM

VZMAN=45°,AZBAM+ZNAD=45°.

???ZMAN=ZEAN=45°.

在△AMN和4AEN中，

MA=EA

<ZMAN=ZEAN

AN=AN

AAAMN^AAEN.

AMN=EN.

???BM+DN=DE+DN=EN=MN.

(2)由(1)知，AAMN^AAEN.

SAAMN=SAAEN.

即LAH.MN=LAD?EN.

22

XVMN=EN,

???AH=AD.

即AH=AB.

BMC

例2在等邊AABC的兩邊AB、AC上分別有兩點(diǎn)M、N,D為AABC外一點(diǎn)，且

ZMDN=60°,ZBDC=120°,BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在線段AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、

NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系.

(1)如圖①，當(dāng)DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)如圖②，當(dāng)DMRDN時(shí)，猜想(1)問的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明.

圖①圖②

解答

(1)BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是BM+NC=MN.

(2)猜想：BM+NC=MN.

證明：如圖③，延長(zhǎng)AC至E,使CE=BM,連接DE.

VBD=CD,且/BDC=120°,

.,.ZDBC=ZDCB=30°.

又「△ABC是等邊三角形，

.-.ZABC=ZACB=60°.

.?.ZMBD=ZNCD=90°.

在aMBD與4ECD中，

VDB=DC,ZDBM=ZDCE=90°,BM=CE,

AAMBD^AECD(SAS).

；.DM=DE,ZBDM=ZCDE.

ZEDN=ZBDC-ZMDN=60°.

在△MDN和4EDN中，

VMD=ED,ZMDN=ZEDN=60°,DN=DN,

AAMDN^AEDN(SAS).

MN=NE=NC+CE=NC+BM.

圖③

例3如圖，在四邊形ABCD中，ZB+ZADC=180°,AB=AD,、F分別是BC、CD延

長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且NEAF=1/BAD.求證：EF=BE-FD.

2

證明：在BE上截取BG,使BG=DF,連接AG.

VZB+ZADC=180°,ZADF+ZADC=180°,

???NB=NADF.

itAABG和4ADF中，

AB=AD

<ZB=ZADF

BG=DF

AAABG^AADF(SAS).

AZBAG=ZDAF,AG=AF.

???ZGAF=ZBAD.

JZEAF=-ZBAD=-ZGAF.

22

???ZGAE=ZEAF.

在AAEG和4AEF中，

AG二AF

<ZGAE=ZFAE

AE=AE

???△AEG^AAEF(SAS).

???EG=EF.

VEG=BE-BG,

.\EF=BE-FD.

跟蹤練習(xí)：

1.已知，正方形ABCD,M在CB延長(zhǎng)線上，N在DC延長(zhǎng)線上，NMAN=45。.

求證：MN=DN-BM.

【答案】

證明：如圖，在DN上截取DE=MB,連接AE,

???四邊形ABCD是正方形，

???AD=AB,ND=NABC=90。.

在aABM和4ADE中，

AD=AB

<ZD=ZABM

BM=DE

A△ABMADE.

???AM=AE,ZMAB=ZEAD.

ZMAN=45°=ZMAB+ZBAN,

???ZDAE+ZBAN=45°.

???ZEAN=90°-45°=45°=ZMAN.

在aAMN和AAEN中，

AM=AE

<ZMAN=ZEAN

AN=AN

.?.△ABM^AADE.

/.MN=EN.

,.,DN-DE=EN.

/.DN-BM=MN.

2.己知，如圖①在RtaABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)

點(diǎn)，若NDAE=45。，探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

小明的思路是：把AAEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到△ABE，，連接ED使問題得到解

決.請(qǐng)你參考小明的思路探究并解決以下問題：

(1)猜想BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明；

(2)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖②，其他條件不

變，(1)中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說明你的猜想并給予證明.

【答案】

解答：(1)猜想：DE?=BD2+EC2.

證明：將aAEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ABE一如圖①

.?.△ACE^AABE,.

；.BE，=EC,AE(=AE,ZC=ZABE\ZEAC=ZE,AB.

在RSABC中，

VAB=AC,

.,.ZABC=ZACB=45°.

；./ABC+/ABE，=90。，即/EBD=90。.

.?.E，B2+BD2=ET)2.

又：/DAE=45。，

.\ZBAD+ZEAC=45O.

/E'AB+/BAD=45°,即NE'AD=45°.

.?.△AE'DdAED.

/.DE=DE,.

.,.DE2=BD2+EC2.

圖①

(2)結(jié)論：關(guān)系式DE2=BD?+EC2仍然成立.

證明：作NFAD=/BAD,且截取AF=AB,連接DF,連接FE,如圖②

.,.△AFD^AABD.

；.FD=DB,ZAFD=ZABD.

又：AB=AC,

.\AF=AC.

ZFAE=ZFAD+ZDAE=ZFAD+45°,

ZEAC=ZBAC-ZBAE=90°-(ZDAE-ZDAB)=90°-(45°-ZDAB)=45°+ZDAB,

.\ZFAE=ZCAE.

又：AE=AE,

.,.△AFE^AACE.

；.FE=EC,ZAFE=ZACE=45°.

ZAFD=ZABD=180°-ZABC=135°.

ZDFE=ZAFD-ZAFE=135°-45°=90°.

在RtADFE中，DF2+FE2=DE2.

即DE2=BD2+EC2.

3.已知，在等邊aABC中，點(diǎn)。是邊AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，M、N分別在直線

AC、BC上，且/MON=60。.

(1)如圖①，當(dāng)CM=CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，請(qǐng)寫出AM、CN、MN三

者之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖②，當(dāng)CM￥CN時(shí)，M、N分別在邊AC、BC上時(shí)，(1)中的結(jié)論是否仍然

成立？若成立，請(qǐng)你加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；

(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段AM、CN、

MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.

圖①圖②圖③

【答案】

結(jié)論：（1）AM=CN+MN；如圖①

圖①

(2)成立；

證明：如圖②，在AC上截取AE=CN,連接OE、OA、0C.

是邊AC、BC垂直平分線的交點(diǎn)，且aABC為等邊三角形,

.\OA=OC,ZOAE=ZOCN=30°,ZAOC=120°.

又；AE=CN,

.'.△OAE^AOCN.

.\OE=ON,ZAOE=ZCON.

.?.ZEON=ZAOC=120°.

VZMON=60°,

ZMOE=ZMON=60°.

.,.△MOE之△MON.

.\ME=MN.

AM=AE+ME=CN+MN.

圖②

(3)如圖③，AM=MN-CN.

圖③

4.如圖，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,AB=AD,E、F分別是線段BC、CD上的

點(diǎn)，且BE+FD=EF.求證：ZEAF=-ZBAD.

2

【答案】

證明：如圖，把4ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)NDAB的度數(shù)得到aARG,AD旋轉(zhuǎn)到AB,AF

旋轉(zhuǎn)到AG,

???AG=AF,BG=DF,ZABG=ZD,ZBAG=ZDAF.

VZABC+ZD=180°,

.\ZABC+ZABG=180°.

工點(diǎn)G、B、C共線.

VBE+FD=EF,

???BE+BG=GE=EF.

在4AEG和4AEF中，

AG=AF

<AE=AE

EG=EF

AAAEG^AAEF.

，NEAG=NEAF.

???ZEAB+ZBAG=ZEAF.

又,.?NBAG=NDAF,

???ZEAB+ZDAF=ZEAF.

AZEAF=-ZBAD.

2

5.如圖①，已知四邊形/BCD,/￡/9的兩邊分別與。。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)凡與CB的延長(zhǎng)

線交于點(diǎn)瓦連接E?

(1)若四邊形/8C〃為正方形，當(dāng)/=45°時(shí)，跖與DR3E之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

(只需直接寫出結(jié)論)

(2)如圖②，如果四邊形/BCD中，A8=4D,/48C與N/DC互補(bǔ)，當(dāng)NEAF=LNBAD

2

時(shí)，EF與DF、BE之間有