山東省某中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:..姓名:.班級(jí):考號(hào):

一、單選題

1.橢圓上+;/=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）

5

A.（土訪0）B.(±2,0)C.(0,±V6)D.(0,±2)

2.已知A={x|l<x<2},8={x|尤<。},若“尤eA”是“無e8”的充分不必要條件，則a的取值

范圍是（）

A.a<\B.a>lC.a<2D.a>2

3.若".sinx是周期為兀的奇函數(shù),則/（%）可以是（)

A.sinxB.cosxC.sin2xD,cos2x

4.已知正方體43。。-4462，/,雙分別是4。，25的中點(diǎn),則（）

A.D[B,MN平面ABC。

B.A。23,MN_L平面33QQ

C.%D工DIB,MN平面ABC。

D.A。_LD\B、MN_L平面BBRD

.2.

5.在ABC中，E為邊AB的中點(diǎn)，BD=-BC,則￡)￡■=()

A.--AB+-ACB.-AB+-AC

6363

C.-AB+-ACD.-AB--AC

6363

6.已知拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為/，尸是/上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交

點(diǎn)，若屈=3尸0,則網(wǎng)=()

7

A.-B.3cD.2

2-i

7.已知｛為｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，｛%｝前〃項(xiàng)和為"，若S"=2024,當(dāng)〃取最大

值時(shí)，的最大值為（）

A.63B.64C.71D.72

8.質(zhì)點(diǎn)尸和。在以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，半徑為1的圓。上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出

發(fā).尸的角速度大小為2rad/s,起點(diǎn)為圓。與光軸正半軸的交點(diǎn)；。的角速度大小為5rad/s,

起點(diǎn)為圓。與射線y=-氐（金0）的交點(diǎn).則當(dāng)。與尸第2024次重合時(shí)，夕的坐標(biāo)為（）

（2兀.2兀\（5兀.5兀、/兀.兀）

A.cos—,sin—B.-cos—,—sin—C.cos—,—sin一

99J（99J[99J

二、多選題

9.已知方程￡=1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有“個(gè)根，且這“個(gè)根在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)”等分單位圓.

下列復(fù)數(shù)是方程9=1的根的是（）

A.1B.iC.----iD.cos40+isin40

22

10.某景點(diǎn)工作人員記錄了國慶假期七天該景點(diǎn)接待的旅游團(tuán)數(shù)量.已知這組數(shù)據(jù)均為整數(shù),

中位數(shù)為18,唯一眾數(shù)為20,極差為5,則（）

A.該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是20

B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于18

C.該組數(shù)據(jù)中最大數(shù)字為20

D.將該組數(shù)據(jù)從小到大排列，第二個(gè)數(shù)字是17

11.對(duì)于具有相同定義域。的函數(shù)〃x）和g（x）,若存在函數(shù)/?（"=辰+6（k,6為常數(shù)）,

[0<f{x]—h（x]<m

對(duì)任給的正數(shù)相，存在相應(yīng)的不€°,使得當(dāng)xeD且尤時(shí)，總有

貝IJ稱直線/：y=爪+6為曲線y=/⑺與y=g⑴的“分漸近線”.給出定義域均為

。=卜[%>1}的四組函數(shù)，其中曲線y=/（x）與y=g（x）存在“分漸近線”的是（）

A.f(^)=x2,g(x)=?

B./(x)=10-'+2,g(x)=^l

C.心)=一，g(*七

D./(司=言，g(無)=2(x—

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

7

12.在12尤3一言)的展開式中常數(shù)項(xiàng)是.

13.將一個(gè)圓形紙片裁成兩個(gè)扇形，再分別卷成甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)面，甲、乙兩個(gè)圓錐的側(cè)

面積分別為S甲和S乙，體積分別為%和吟.若餐=2,則｝=.

14.已知函數(shù)〃x)=x3—39+3彳+2~-2-前，若實(shí)數(shù)D滿足/(3/)+/(2/一4)=2,則

%+，的最大值為.

四、解答題

15.如圖，在三棱錐A-5co中，ABC,88均為等邊三角形，E為BC的中點(diǎn)，0為DE

的中點(diǎn)，A0,平面BCD.

⑴求證：AD=DE；

(2)求二面角C-AD-3的正弦值.

16.如圖，已知平面四邊形A3CD中，AB=BC=20,CD=2,AD=4.

⑴若A,B,C,￡>四點(diǎn)共圓，求AC；

(2)求四邊形ABC。面積的最大值.

17.已知函數(shù)〃x)=(x-a)2(x-6)(a,beR,o<6).

⑴當(dāng)〃=18=2時(shí)，求曲線y=〃x)在點(diǎn)(2,42))處的切線方程；

(2)設(shè)為,電是“X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，尤3是/(尤)的一個(gè)零點(diǎn)，且WNX],無3*尤2.是否存在實(shí)數(shù)尤4，

使得小尤2,無3，尤4按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列？若存在，求乙；若不存在，說明理由.

18.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多

得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概

率為3,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為:，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.在某局比賽雙方打成10:10

Jz

平后，甲先發(fā)球.

(1)求再打2球該局比賽結(jié)束的概率；

⑵兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)若將規(guī)則改為“打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先連得兩分者獲勝”，求該局比賽甲獲

勝的概率.

19.已知點(diǎn)網(wǎng)4,@是雙曲線八;y』上一點(diǎn)，T在點(diǎn)B處的切線與x軸交于點(diǎn)A.

⑴求雙曲線T的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)過A且斜率非負(fù)的直線與T的左、右支分別交于N,M.過N做NP垂直于x軸交T于尸(當(dāng)

N位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為N與尸重合).C為圓E:(x-l)2+(y+2)2=l上任意一點(diǎn)，求四邊形

的面積S的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】本題是焦點(diǎn)在x軸的橢圓，求出c,即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】0=后斤=2,可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0)和(2得).

故選：B

2.D

【分析】利用充分不必要條件求參數(shù)，得到即可求解.

【詳解】因?yàn)椤皒eA”是“xeB”的充分不必要條件，所以所以aN2.

故選：D.

3.B

【分析】結(jié)合選項(xiàng)，利用三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)，應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可

求解.

【詳解】由題意，若/(*)=sinx,則〃x)-sin^=sin2x為偶函數(shù)，不符合題意；

若/(x)=cosx,貝!|〃x>sinx=gsin2x,奇函數(shù)且周期為萬，符合題意；

若〃x)=sin2x,則/(x>sinx=2cosxsin2x為偶函數(shù)，不符合題意；

若〃x)=cos2x,則“x)-sinx=sinx-2sin3x周期為2萬，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用，

著重考查了推理與運(yùn)算能力.

4.C

【分析】通過證明4。，面A5Q可得從而排除AB,再利用證明MN

,平面ABCD以及排除D即可.

【詳解】由已知AB人面ADDiA，AQu面ADD|A，

則又AB\ADX=A,AB,AD1<zgABDX,

所以A。，面AB2,又BA面482,所以ADLRB,排除AB,

明顯M,N分別為的中點(diǎn)，所以

又ACVU面ABC。，ABu面A3CD,

答案第1頁，共14頁

所以MN7平面ABCD,C正確；

若肱V_L平面B8QD,則必有MN_L3r>,又MNHAB,

所以AB_L8￡>,明顯不成立，D錯(cuò)誤.

故選：C.

5.D

【分析】借助平面向量的線性運(yùn)算及平面向量基本定理計(jì)算即可得解.

2

【詳解】因?yàn)槭癁檫叺闹悬c(diǎn)，BD=-BC,

Q-|QI1Q

所以。石=05+5石=4C5—=—AC）—=—=AC.

323、>263

6.D

【分析】由題意解出。點(diǎn)橫坐標(biāo)，由拋物線的定義求解.

【詳解】由題意可知：拋物線C：V=6x的焦點(diǎn)為尸］1,0）準(zhǔn)線為=

設(shè)尸°（不，為），貝I尸尸=（一3,。，/2=（毛一［%］,

因?yàn)槭?3尸Q,貝［j-3=31苫0得%=；,

由拋物線定義得|例=（+（=2.

答案第2頁，共14頁

故選：D.

7.C

【分析】因?yàn)镾“=2024是定值，要使當(dāng)〃取最大值時(shí)。,也取得最大值，｛4｝需滿足前機(jī)

(加="-1)項(xiàng)是首相為1,公差為1的等差數(shù)列，通過計(jì)算｛/｝的前63項(xiàng)和與5“=2024作比

較，前64項(xiàng)和與5“=2024作比較即可得出““的最大值.

【詳解】因?yàn)镾“=2024是定值，要使當(dāng)〃取最大值時(shí)。,也取得最大值，｛%｝需滿足各項(xiàng)盡

可能取到最小值，又因?yàn)椋鹮｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，所以

%=1,a2=2,a3=3,,am=m,即｛4｝是首相為1,公差為1的等差數(shù)列，其中機(jī)=〃-1；

&｝的前加項(xiàng)和為其=皿

63(63+1)

當(dāng)機(jī)=63時(shí)，T63==2016<2024；

2

64(64+1)

當(dāng)機(jī)=64時(shí)，T==2080>2024；

M2

又因?yàn)?024-2016=8<63,

所以〃的最大值為63,此時(shí)4=1,a2=2,%=3,-，%=62,?！叭〉米畲笾禐?/p>

。63=63+8=71.

故選：C.

8.B

【分析】設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為乙則重合點(diǎn)坐標(biāo)為(cos2r,sin2f),通過題意得到

”等+系％eN),結(jié)合周期性即可得解.

【詳解】設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為乙則重合點(diǎn)坐標(biāo)為(cos2r,sin2f),

答案第3頁，共14頁

由題意可知，兩質(zhì)點(diǎn)起始點(diǎn)相差角度為

則5/-2，=2fai+1(A：￡N),解得方=^^+仁(左wZ),

若％=0,貝1]/=仁，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為(cosg,singj,

若左=1,則'=與，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為]cosq^,sin3^],gp^-cos^-,-sin-^

若k=2,貝〃=等，則重合點(diǎn)坐標(biāo)為]cosT，sin券)，即[-cos],sin[],

當(dāng)。與尸第2024次重合時(shí)，左=2023,貝卜1=2上139*K,

e*人一-—、1/24278兀,24278兀5兀.5兀)

則重合點(diǎn)坐標(biāo)為［COS---,sin---,即-cos——,-sin——

99)

故選：B.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：通過設(shè)兩質(zhì)點(diǎn)重合時(shí)，所用時(shí)間為心得到重合點(diǎn)坐標(biāo)為(cos2r,sin2。,

結(jié)合角度差得到y(tǒng)等(左eN),根據(jù)三角函數(shù)周期性以及誘導(dǎo)公式判斷選項(xiàng)即可.

9.ACD

【分析】用立方差公式分解因式，求出根，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算直接代答案求解.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，p=i顯然成立，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，i9=_iri，故B錯(cuò)誤；

由題f—1=0,(/—1乂]6+%3+])=0,令,,則(/_1)(/+j+])=0,

%=1,或"—"后，即%3=1,或/二一1±旦

22

1

小丁「日田/6-、3J6、3J8.、2/16.、1(6.1\16、?

對(duì)于c選項(xiàng)，(一不一--1)=-(-+—1)=-(-+—1)(-+—1)=-v1-?(5+71)=1

乙乙乙乙乙乙乙乙1乙乙/乙乙

成立，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，(cos40+isin40j3=(cos40+isin40)(cos40+isin40)

=(cos?40—sin240+2isin40cos40)(cos40+isin40

二(cos80+isin80)(cos40+isin40)

=cos80cos40+icos80sin40+isin80cos40-sin80sin40

=cos(80+40)+i(cos80sin40+sin80cos40)

=cosl20+isinl20

答案第4頁，共14頁

=--+^i,故D正確；

22

故選：ACD.

10.AC

【分析】設(shè)這組數(shù)從小到大排列為a，6，c,d,e",g,由題意可得d=18,/=20,結(jié)合百分位

數(shù)定義計(jì)算可得A；設(shè)出舉出符合題意但不符合選項(xiàng)的一組數(shù)據(jù)即可B、D；結(jié)合眾數(shù)與極

差定義，借助反證法可得C.

【詳解】設(shè)這組數(shù)從小到大排列為。，"Gd,e",g,

由中位數(shù)為18,故4=18,

由唯一眾數(shù)為20,故e=/=20或f=g=20,即可確定了=20,

對(duì)A：由7x0.8=5.6,則該組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是/,即為20,故A正確；

對(duì)B：該組數(shù)據(jù)可能為15,15,16,18,20,20,20,

..,-15+15+16+18+20+20+20_2,,,、口

止匕時(shí)尤=-------------------------=18一一<18,故BA錯(cuò)+誤；

77

對(duì)C：由題可知g220,若gN21,則。=g—5216,此時(shí)只有e=/=20,

Ha<b<c<d=18,從而有6217,c>18,d>19,與〃=18矛盾，

故g=20,故C正確；

對(duì)D：同B中假設(shè)，該組數(shù)據(jù)可能為15,15,16,18,20,20,20,故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

11.BD

【解析】根據(jù)分漸近線的定義，對(duì)四組函數(shù)逐一分析，由此確定存在“分漸近線”的函數(shù).

【詳解】解：“X)和g(x)存在分漸近線的充要條件是Xf8時(shí)，

/(X)-g(x)f0J(x)>g(x).

對(duì)于①，f(^)=X2,g(x)=G,

當(dāng)X>1時(shí)，令/(x)=/(x)—g(x)=x2一6，

由于9(x)=2x_^^>

。，所以/z(x)為增函數(shù),

不符合xfCO時(shí)，"力-g(X)fO,所以不存在分漸近線;

對(duì)于②，〃x)=l(T+2>2,g(x)=^￡<2,(x>l)

f(x)>g(x),

答案第5頁，共14頁

f4(x)-g(x)=…10+2C一2x丁-3=((歷1JY+3?

因?yàn)楫?dāng)X>1且x->8時(shí)，/(x)-g(x)-?O,所以存在分漸近線;

2.i

rxlnx+1

對(duì)于③，/(%)=上士g(x)=

XInx

x2+1xlnx+111j___1_

f(x)-g(x)==x-\-----x--------=

xInxxInxxInx

當(dāng)X>1且X-8時(shí)，,與均單調(diào)遞減，但L的遞減速度比快,

xInxxInx

所以當(dāng)x-8時(shí)，”x)-g(x)會(huì)越來越小，不會(huì)趨近于0,所以不存在分漸近線;

對(duì)于④，/(尤)=壬，g(x)=2(x—

當(dāng)Xf8時(shí)，

2r222

/(x)-g(x)=-—一2尤+2+2eT=——+——>0,且/(》)一g(x)>。，

x+\x+1ex

因此存在分漸近線.

故存在分漸近線的是BD.

故選：BD.

【點(diǎn)睛】本小題主要考查新定義概念的理解和運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.

12.14

177

【詳解】4]=C；(2%3產(chǎn)(_尤力丘=(_1)仙274c.)匕，令21-萬無=0/=6,則展開式

中得常數(shù)項(xiàng)為(T)6X2XG=14.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，利用通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng).根據(jù)通項(xiàng)公式

7；+i=C；"fZ/,根據(jù)所求項(xiàng)的要求，解出廠，再給出所求答案.

13.'\/10/|Q2

【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為小乙圓錐底面圓半徑為馬，根據(jù)圓錐的側(cè)面積

公式可得4=2々，再結(jié)合圓心角之和可將小々分別用/表示，再利用勾股定理分別求出兩圓

錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.

【詳解】設(shè)母線長(zhǎng)為/,甲圓錐底面半徑為心乙圓錐底面圓半徑為4，

答案第6頁，共14頁

S甲_兀？/_4

則=2,所以4=2馬,

S乙兀弓/々

e2兀〃2兀心與_,r+r>.2,1

又一^+—^=2兀，則-^^=41,所以"=§/，G=§7/，

所以甲圓錐的高4=廠#=彳/,

乙圓錐的高％=小尸一!尸=手I,

%=軻%

所以

“乙］四

故答案為：Vio.

14.G

【分析】先證明/(x+l)+〃—x+l)=2,進(jìn)而可得3/+2/_4=2,設(shè)x+y=L則直線

x+y=：與橢圓3/+2/=6有交點(diǎn)，聯(lián)立方程，則AWO,即可得解.

【詳解】由題意，/(x)=x3-3%2+3x+2x-l-2-x+l=(x-1)3+2x-l-2-x+l+1,

則/(x+l)+/(f+1)=2,又/(3尤2)+/(2/—4)=2,

所以3x2+2j2—4=2,即3x2+2y之=6,

設(shè)x+y=/，則直線1+y=/與橢圓3/+2y2=6有交點(diǎn),

,、［x+y=t,

聯(lián)乂{2。2乙，得5/一4比+2/-6=0,

\3x+2y=6

則△=16/一20(2產(chǎn)-6”0,解得一&VY幣,

所以1+丁的最大值為6.

故答案為：6

15.(1)證明見解析

【分析】(1)借助線面垂直的性質(zhì)可得AO,小’由正三角形及中點(diǎn)的性質(zhì)可得°E=〈AE'

答案第7頁，共14頁

TT

即可得/AEO=1,從而可得是正三角形，即可得證；

(2)建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量后借助夾角公式計(jì)算即可得解.

【詳解】(1)證明：因?yàn)槠矫鍮CD,且￡>Eu平面BCD,所以

因?yàn)?ABC,88為等邊三角形，且E為BC的中點(diǎn)，所以鉆=近，

又因?yàn)椤镈E的中點(diǎn)，所以=

2

1TT

所以cos/AEO=-,所以/AEO=-,

23

所以△AED是正三角形，所以">=DE,

(2)以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0E為x軸，過點(diǎn)。且與3c平行的直線為>軸，

直線。4為z軸建立的空間直角坐標(biāo)系如圖所示：

設(shè)DE=2,則A(o,o,⑹,2,C,0(-1,0,0),

r2/3、<9/3、

所以AB=1,-三-，-有，AC=-若,A￡>=(-1,0,-73),

設(shè)平面AB￡>的法向量為〃z=a，X，zJ,

西-￥/-"|=。，取4=

m-AB=0

則，即1,得％=—y/3,%=-3,

m-AD=0

一玉—^/3z1=0

設(shè)平面ACD的法向量為〃=(超,%,Z?),

一273

n-AC=QX?-\---------%——0

則,即《3一取=1,得=-^3,%=3,

n-AD=0

-%2-=0

答案第8頁，共14頁

所以〃=卜括,3,1).

設(shè)二面角C-AD-8的平面角為6,

illI|相.司13—9+115

貝I]|cosq=|cos機(jī)㈤=即=,+9+i.g+9+i=H'

所以二面角C—45—3的正弦值sine=Jl-cos/=E.

16.(1)AC=3忘

(2)3g.

【分析】（1）在-ABC、ACD中分別利用余弦定理表示出AC?,再由四點(diǎn)共圓得到

cosZADC=-cosZABC,即可求出AC；；

Iq

（2）由（1）可得cosNADC—cosNA3C=—,再由面積公式得到$由44。。+5由445。=一,

44

i+q2

將兩式平方再相加得到2-2cos（/ADC+/ABC）=1『，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】（1）在-ABC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos^ABC

=8+8—2x8-cos/MC=16-16cos^ABC,

在.ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC

=16+4—2x8-cos/ADC=20—16cos/ADC,

因?yàn)锳,8,C,O四點(diǎn)共圓，所以NABC+NADC=7T,因此cos/ADC=—cos/ABC,

上述兩式相加得：2AC2=36，所以AC=3后(負(fù)值已舍去).

(2)由(1)得：16—16cosZABC=20—16cosZADC,

化簡(jiǎn)得cosZADC-cosZABC=-,

4

則cos2ZADC-2cosZADCcosZABC+cos2ZABC=-1-①，

16

四邊形ABCD的面積S=JAB-BCsinNABC+-AD-CDsinZADC

22

=-x2忘x2在sinNABC+-x2x4sin^ADC

22

=4(sin/仞C+sin/ABC),

q

整理得sinZADC+sinZABC=-,

4

答案第9頁，共14頁

,2

貝i|sin2ZADC+2sinNADCsinZABC+sin2ZABC=—②

16

1+52

①②相加得:2-2(cosZADCcos/ABC-sin/ADCsinZABC)

16

1+S2

即2-2cos(ZADC+ZABC)=

16

由于0<ZADC<兀,0<NA3C<兀，

所以當(dāng)且僅當(dāng)/AT)C+/AfiC=7r時(shí)，85(/4￡^+/4次?)取得最小值-1,

此時(shí)四邊形ABCD的面積最大，由二'=4,解得S=3j7,

16

故四邊形ABCD面積的最大值為3救.

17.(l)y=x-2

2a+b

(2)存在,%=丁

【分析】(1)借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得；

(2)借助導(dǎo)數(shù)祭計(jì)算可得函數(shù)的極值點(diǎn)為。，匕^,零點(diǎn)為力，結(jié)合等差數(shù)列定義計(jì)算即

可得解.

【詳解】(1)當(dāng)。=1力=2時(shí)，/(X)=(X-1)2(X-2),

貝0/'(%)==(%_1)(3%—5),故制2)=],

又/⑵=0,所以曲線y=/("在點(diǎn)(2,0)處的切線方程為y=x-2；

(2)1(x)=2(%一〃)(元一/7)+(%一〃)2=3(冗一〃)(卜_a[2b

q-r7“a+2b

由于。<b,故---,

令了々R>0,解得X<?；騲>^^；令r(x)<0,解得

可知y=/(x)在、匕”]內(nèi)單調(diào)遞減，在(-雙。)，(匕改，+，|內(nèi)單調(diào)遞增,

所以的兩個(gè)極值點(diǎn)為》=〃,無=%^,

-、兒a+2b

不妨設(shè)玉=。,％2=--一

因?yàn)橥酥惺壳襑是“X)的一個(gè)零點(diǎn)，故無3=b.

答案第10頁，共14頁

a+2ba+2b

又因?yàn)?-----a

3

1a+2b2a+b

故玉Cl+

233

此時(shí)“，出了,彳,。依次成等差數(shù)歹u,

所以存在實(shí)數(shù)Z滿足題意，且匕=2里.

18.(1)1

⑵E(X)=4

嗚

【分析】（1）由題意可知甲連續(xù)得2分，或乙連續(xù)得2分比賽結(jié)束，再利用獨(dú)立事件和互斥

事件的概率公式可求得結(jié)果；

（2）由題意可知X的可能取值為所有正偶數(shù)2,4,6,..,2匕..（AeN*）,然后根據(jù)題意分別求

出相應(yīng)的概率，表示出期望后，再利用錯(cuò)位相減法可求得結(jié)果；

（3）設(shè)再打,個(gè)球比賽結(jié)束且甲獲勝的概率為％22）,當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，

P"+2=：P"，S奇=。3+化+…+P"，當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，Pn+2=^pn,S^=p2+p4+...+pn,則可求

得甲獲勝的概率與+S假.

【詳解】（1）10:10平后，設(shè)事件4="第i個(gè)球甲得分”，則耳="第i個(gè)球乙得分”，

設(shè)河="再打兩球該局比賽結(jié)束"，則M=A[A2+4A,

所以尸（"）=尸（44+石）=尸（4）尸（4）+尸閭尸閭=gxg++g=g.

（2）X的可能取值為所有正偶數(shù)2,4,6,,2k,（々eN*）,

考慮第2k-1個(gè)球與第兼?zhèn)€球化=1,2,3,）,如果這兩球均由甲得分或均由乙得分，則比賽

結(jié)束：如果這兩球甲、乙各得1分，

則比賽相當(dāng)于重新開始；這兩球甲、乙各得1分的概率為l-P（M）=g,

所以P（X=2）=P（M）=j,

答案第11頁，共14頁

P（X=6）=]

I28

尸11

P（X=2Z:）=1I

所以E（X）=2xg+4x：+6x：++2kx^+

t己&=2X：+4X*+6X￡++2GXJ

則夫=2x:+4x）+6x：++

以上兩式相減得=l+2xg+2xg+2xg++2xg—2%x/萬

l-±

（2+左）

=.12+12^1+2^++而1*7*1=寸2J-*1=c2-

2k

1-----

2

所以&=4一等，

當(dāng)％趨于+8時(shí)，耳趨于4,所以E（x）=4.

（3）設(shè)再打幾個(gè)球比賽結(jié)束且甲獲勝的概率為p?（n>2）,

r,211121

則Pl=]X]=§，P3=x-=一

3239

1

9n-1、

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，12

==/'Sc毒=2+2+…+%=

15

67

n、

,2

1-

3〃、

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，1I2

%+2=§P“，“c=P?+P4+…+2=71

2I

7

n-l\n、

21,2

所以該局比賽甲獲勝的概率S奇+3偶=西1-+—1-