19題新結(jié)構(gòu)定義題（平面向量與解三角形部分）解析版-2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題解題思路訓(xùn)練

專題0319題新結(jié)構(gòu)定義題(平面向量與解三角形部分)

(典型題型歸類訓(xùn)練)

1.(2024上?福建寧德?高一統(tǒng)考期末)固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691

年，萊布尼茨等得出“懸鏈線"方程v_c-)，其中。為參數(shù).當(dāng)c=1時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)coshx==二

V-22

類似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù)sinhx=汨二.它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).

⑴類比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:sinh2x=.(只寫出

即可，不要求證明)；

⑵不等式cosh2x+加coshxNO恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(3)若尋］,試比較cosh(sinx)與sinh(cosx)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

42

【答案】⑴2sinh(%)cosh(x)；

⑵m>-1；

(3)cosh(sinx)>sinh(cosx).

【分析】(1)利用雙曲正、余弦函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算即可得解.

(2)根據(jù)給定條件，列出不等式，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)并求出最值即得.

(3)作差，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及正余弦函數(shù)的性質(zhì)推理判斷即可.

2x-2x/x-x\zx.^-x\

【詳解1(1)sinh(2x)=-----------=------------------------=2sinh(x)cosh(x).

2x—2xx—x

(2)依題意，Vx,不等式cosh2x+冽coshx20o^——---\-m-Q+e—>0,

22

函數(shù)〃=^在［-14］上單調(diào)遞增，uG［e-1,e］，令Z=e*+e—“=〃+L

u

顯然函數(shù)=〃在［e，F(xiàn)|上單調(diào)遞減，在工e］上單調(diào)遞增，，￡［2?】+司，

u

Xe2x+e-2x=(ex+e-x)2-2=t2-2,于是Vx,cosh2x+mcoshx>0<=>-——-+—>0，

22

22

因止匕+e］,m>--t,顯然函數(shù)歹在［2,『+e］上單調(diào)遞減，

當(dāng)％=2時(shí)，Vmax=—1，從而加2-1,

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是加2-1.

(

3)V'Ccosh(sinx)>sinh(cosx).

cosx—cosx

依題意，xe[py],cosh(sinx)-sinh(cosx)=曉e—e

2

八cosx.八一sinx.八一cosx、

e+e+e),

當(dāng)xe［四,2］時(shí)，x--G［0,7I］,sinx-cosx=V2sin(x--)>0,BPsinx>cosx，

4444

于是esinx-ecosx之0,而e-sinx+e_cosx>0,因此cosh(sinx)-sinh(cosx)>0,

5兀37i

當(dāng)XE(一,一］時(shí)，cosx<0,則一cosxNcosx,ecosx<e-cosx,

42

即8sx_e-cosx?而sinx+-sinx>。，因此x)-

e0,eeCOsh(sinsinh(cosx)>0,

于是Vx￡［女,—］,cosh(sinx)-sinh(cosx)>0,所以cosh(sinx)>sinh(cosx).

42

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)了=/(力的定義區(qū)間為。，①若Vxe。，總有機(jī)</(x)成立，則加</(x)mM；(2)

若VxwD,總有機(jī)>/(尤)成立，貝U”?>/(x)1mx；③若Hxe。，使得機(jī)</(x)成立，則機(jī)</Q)1mx；④若女,

使得m>f(x)成立,則m>/(x)min.

2.(2023下?貴州貴陽(yáng)?高一統(tǒng)考期末)閱讀材料：材料一：我國(guó)南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提

出了"三斜求積術(shù)"：若把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，記小斜為。，中斜為6,大斜為。，

則三角形的面積為S=J這個(gè)公式稱之為秦九韶公式;材料二：古希臘數(shù)學(xué)家海倫

在其所著的《度量論》或稱《測(cè)地術(shù)》；中給出了用三角形的三條邊長(zhǎng)表示三角形的面積的公式，即已知

三角形的三條邊長(zhǎng)分別為應(yīng)“c,則它的面積為5=向［工而歷跡可，其中p=；(a+6+c),這個(gè)公

式稱之為海倫公式；材料三：秦九韶公式和海倫公式都解決了由三角形的三邊直接求三角形面積的問題.海

倫公式形式優(yōu)美，容易記憶，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，秦九韶公式雖然與海倫公式形式不一樣，但與海倫公

式完全等價(jià)，且由秦九韶在不借助余弦定理的情況下獨(dú)立推出，充分說明了我國(guó)古代學(xué)者具有很高的數(shù)學(xué)

水平；材料四：印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多將海倫公式推廣到凸四邊形(凸四邊形即任取平面四邊形一邊所在

直線，其余各邊均在此直線的同側(cè))中，即設(shè)凸四邊形的四條邊長(zhǎng)分別為a,AGd,p=；(a+b+c+d),凸

四邊形的一對(duì)對(duì)角和的半為。，則凸四邊形的面積為5=)(0-0)(0-6)(0-<?)(0-4)-0她/(：0520.這個(gè)公

式稱之為婆羅摩笈多公式.請(qǐng)你結(jié)合閱讀材料解答下面的問題：

⑴在下面兩個(gè)問題中選擇一個(gè)作答：(如果多做，按所做的第一個(gè)問題給分)①證明秦九韶公式與海倫公

式的等價(jià)性；②已知圓內(nèi)接四邊形跖\p。中，MN=2,NP=4,PQ=5,QM=3,求MAP。的面積；

(2)AA8C中，4民。的對(duì)邊分別為。也c,已知“3C的面積為6,其內(nèi)切圓半徑為1,a=4,b<c,求6,c.

【答案】(1)答案見解析

(2)b=3,c=5

【分析】(1)若選擇①：由秦九韶公式證明海倫公式化簡(jiǎn)得到義^=505-a)(。-6)(°—),即可求解;

若選擇②：根據(jù)題意得到P=7,得到四邊形的面積為S=而0二嬴￡)s萬(wàn)，結(jié)合四邊形腦小。是圓內(nèi)接

四邊形對(duì)角和為180。，代入即可求解；

(2)設(shè)內(nèi)切圓半徑為〃，根據(jù)Z/Bc=g(a+b+c)〃，求得6+c=8,再由海倫公式化簡(jiǎn)得到6c=15,聯(lián)立

方程組，即可求解.

【詳解】(1)解：若選擇①：由秦九韶公式證明海倫公式:

a+b+ca+c-bb+a—cb+c—a

2222

「\a+b+c(a+b+c,Va+b+cVa+b+c、

所以…

=8(P_a)(p_b)(p_c)

上述每一步均為等價(jià)變形，所以秦九韶公式與海倫公式是等價(jià)的.

若選擇②：因?yàn)閜=gg+6+c+d),S.MN=2,2vp=4,PQ=5,QM=3,

代入可得〃=gx(2+4+5+3)=7,

所以S=^[p-a^[p-b^p-c^(p-d)-abedcos*120=J20-abedcos%,

因?yàn)樗倪呅熙胚?。是圓內(nèi)接四邊形，對(duì)角和為180。，

所以°=9?！悖傻肧=J120-2x4、5x3cos290°=2而.

(2)解：設(shè)內(nèi)切圓半徑為,，因?yàn)椋ァ眂=；(a+6+c)?，

代入8c=6,a=4,r=\,可得b+c=8,①

1c

又由夕二—(〃+6+c)=^^=6,

2r

ac

由海倫公式S、ABC=\jp(p-)(p-t>)(^-)，可得6=A/6(6-4)(6-Z?)(6-C),

化簡(jiǎn)得(6-6)(6-c)=3,即加-6(6+c)+36=3,

代入①，可得6c=15,②

[b+c=8

聯(lián)立方程組八,且6<c,解得6=3,c=5.

DC=15

3.(2023下?廣東廣州?高一統(tǒng)考期末)古希臘的數(shù)學(xué)家海倫在其著作《測(cè)地術(shù)》中給出了由三角形的三邊

長(zhǎng)a,b,c計(jì)算三角形面積的公式：S=Jp(p-a)(p-b)(p-c),這個(gè)公式常稱為海倫公式.其中,

p=；g+6+c).我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中給出了由三角形的三邊長(zhǎng)0,6,c計(jì)算三角

形面積的公式：S=這個(gè)公式常稱為“三斜求積”公式.

⑴利用以上信息，證明三角形的面積公式5=3/5也8；

RciTiA

⑵在。中，〃+c=8,tan—=-----------,求。面積的最大值.

22—cos/

【答案】⑴證明見詳解

(2)4A/3

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合余弦定理分析證明；

(2)利用三角恒等變換結(jié)合正弦定理分析可得26=a+c,再運(yùn)用題中公式結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.

【詳解】(1)因?yàn)閏os8，+aj2,即+=MCOSB,

2ac2

且5￡(0,兀)，則sinB>0,所以S=；acsinB.

.BB

一

Bsin——2sincos——sinB

(2)因?yàn)閠an^u222.

B1+cosB

cos—2cos2

22

由題意可得s'08=sin/,即sin8(2—cos4)=sin4(1+cos5),

l+cos52-cos^4

整理得2sin8=sin4+sinAcosB+cosAsinB=sin4+sin(/+B)=sin4+sinC,

由正弦定理可得26=a+c=8,即6=^=4,

2

(/c+a)\2-2ac-b72

&45C的面積S=

2

因?yàn)閙4@￡)_=16,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立,

4

貝I」S=^12ac-144<712x16-144=4G，

所以面積的最大值為4人.

4.(2023下?江蘇宿遷?高一統(tǒng)考期中)設(shè)〃次多項(xiàng)式匕(。=。/1+%N+…+。2〃+印+%(4尸0),若其

滿足匕(cosx)=cos”x,則稱這些多項(xiàng)式心⑺為切比雪夫多項(xiàng)式.例如：由cos(9=cos?？傻们斜妊┓蚨囗?xiàng)

式4(x)=x,由cos2。=2cos?6-1可得切比雪夫多項(xiàng)式』(x)=2x2-1.

⑴若切比雪夫多項(xiàng)式A(x)=&+#+cx+d,求實(shí)數(shù)0,b,c,d的值；

(2)已知函數(shù)/0)=8/-6》-1在上有3個(gè)不同的零點(diǎn)，分別記為網(wǎng)戶2戶3，證明：X1+x2+x3=0.

【答案】⑴a,b,c,4的值分別為4,0,-3,0；

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用給定的定義，結(jié)合和角的余弦化簡(jiǎn)并求出巴口)作答.

(2)利用(1)的結(jié)論，求出。，再利用和差角的余弦計(jì)算作答.

【詳解】(1)依題意，

月(cos6)=cos36=cos(20+0)=cos20cos0-sin20sin0=(2cos20-1)cos6-2sin?6cos6

=2cos39-cos0-2(1-cos2O')cos6=4cos39-3cos6,

因此4(x)=4/-3x,BPax3+bx2+cx+d=4x3-3x,則a=4,b=d=0,c=-3,

所以實(shí)數(shù)a,b,c,d的值分別為4,0,-3,0.

(2)函數(shù)/(x)=8d-6x-l在(-M)上有3個(gè)不同的零點(diǎn)x”％，X3,即方程4x3-3x=；在上有3個(gè)不

同的實(shí)根，

1TT57r77r

令％=005仇?！?0,兀)，由(1)知cos36=],而3?！?0,3兀)，則36=,或?■或36=

兀5717兀兀5717兀714兀2兀

于是否二COS—,x2=COS—,x3=cos—,貝I」Xj+x2+%3=cos—+cos—+cos—=cos--(cos—+cos—),

h4兀2兀/3兀兀、/3兀7i._7i7i兀

[fncos---FCOS——=cos(--F—)+cos(------)=2cos—cos—=cos—,

999999399

所以匹+/+工3=0.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由方程4/-3x=!的特點(diǎn)，聯(lián)系切比雪夫多項(xiàng)式，把函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求

2

角的問題求解.

5.(2022上?河北邢臺(tái)?高三統(tǒng)考期中)閱讀下面的兩個(gè)材料：

材料f我國(guó)南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)"：若把三角形的三條邊分別稱為小

斜、中斜和大斜，記小斜為。，中斜為6,大斜為。，則三角形的面積為S=0%2一.這

個(gè)公式稱之為秦九韶公式;

材料二：希臘數(shù)學(xué)家海倫在其所著的《度量論》中給出了用三角形的三條邊長(zhǎng)表示三角形的面積的公式，

即已知三角形的三條邊長(zhǎng)分別為。也c,則它的面積為S=Jp(0-o)(0-9(0-c),其中p=；(a+6+c),

這個(gè)公式稱之為海倫公式.

請(qǐng)你解答下面的兩個(gè)問題：

⑴已知^ABC的三條邊為。=7*=8,c=9,求這個(gè)三角形的面積S；

(2)已知“BC的三條邊為a=4^b=R,c=B求這個(gè)三角形的面積S；

⑶請(qǐng)從秦九韶公式和海倫公式中任選一個(gè)公式進(jìn)行證明.(如果多做，則按所做的第一個(gè)證明記分).

【答案】(1)12君

(2)反

2

⑶證明見解析

【分析】(1)利用海倫公式求解即可；

(2)利用秦九韶公式求解即可

(3)在“中，過點(diǎn)A作，。工8C,設(shè)BD=x,CD=y,算出,：色%~/,

2a

然后利用面積公式即可證明

【詳解】(1)由題意得：p=gx(7+8+9)=12,

由海倫公式得：5=A/12X(12-7)X(12-8)X(12-9)=712X5X4X3-12^

(2)由題意得:a2=5,b2=6,c2=7,

石士上期八-曰c11-/7+5—6丫][1…c、V26

出奈九前④nj尋：d=jr—LJX/-1-----2----J]=\4X（-）=~

（3）證明秦九韶公式如下：

在ATIBC中，AB—c,AC-b,BC=a,

過點(diǎn)A作40IBC,設(shè)4D=/z,BD=xCD=y,

A

/X

B^T-D-------—c

x+y=a

222222

由川=02一彳2得：x="+，i,”匕+?2^4ac-（a+c-b）

2ah

h2^b2-y22a2a

2222

4a2c2-?+c-Z>)c2+a2-b2^

]_22

:SABC=ac

2a4

證明海倫公式如下:

a+b+c(a+b+ca+b+cca+b+c

?v-------------Q二小夕（2一〃）（2一?（夕一c）.

-Q"BC222

6.（2024上?河南?高三校聯(lián)考期末）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下:

ax〃203iJ

b、b2a=砧2c3+a2b3cl+a3ble2-a3b2cl-a24c3-a/3c.若@x6=4，則稱NxB為空間向量1與

qC2C3%z?

B的叉乘，其中2=+%，+4斤,b=xj+y2j+z2k(x2,y2,z2eR),為單位正

交基底.以。為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知/,

3是空間直角坐標(biāo)系中異于。的不同兩點(diǎn).

⑴①若幺(,2,1),5(0,-1,1),求ax方;

②證明：04x05+05x04=0.

（2）記”08的面積為S./OB，證明：S^AOB=^A^OB\.

⑶證明：（0/1x08）的幾何意義表示以“08為底面、|ONxO@為圖的二棱錐體積的6倍.

【答案】（1）①Ex歷=（3,-1,-1）；②證明見解析

（2）證明見解析

⑶證明見解析

【分析】（1）利用向量的叉乘的定義逐項(xiàng)分析即得.

（2）利用數(shù)量積公式求得cosN4OB,則有sin//OB=Jl-cos?NAOB可知

Wil礪卜inNN08=:加才憫口（京0*,借助叉乘公式,利用分析法即可證得結(jié)果.

=|1|o2xos|,化簡(jiǎn)可得例X函2=3,.便西即可得出結(jié)果.

(3)由(2)S.AOBXx6,

2AOB

【詳解】(1)①因?yàn)?(1,2,1),5(0-1,1),

ijk

貝ijEx礪=121=21+6+卜1戶6_/-卜11=3「_/_匯=6，T,_]).

0-11

②證明:設(shè)2（再,必,馬）,B（x2,y2,z2）,

貝1」0/*。5=乂227+4乙7+再%另一工2%左一2七7一%2『=(了必2—%1，12—21，172—21)>

將X2與不互換，%與必互換，Z2與4互換,

可得。BXCM=(%4-邛2,zXj-ZjX,

22x2yt-xty2),

故況X礪+礪xC3=(O,O,O)=6.

（以函2_J可網(wǎng)2一訪.礪了

（2）證明:因?yàn)閟inNAOB=yjl-cos2ZAOB=

|麗憫一網(wǎng)畫

以網(wǎng)網(wǎng)一血函2,

故S."BJ可網(wǎng)sin/N加

故要證SuOB=g|a叉礪卜

只需證|a4xOs|=J阿阿一皿礪)2,

即證向X研二I研畫2-畫?礪)2.

由(1)OA=(xl,yl,z1),OB=(x2,y2,z2),OAxOB=(yrz2-y2zr,-z2xr,x{y2-x2y1),

z2+zxzx2

故|o/x。?=(yrz2~y2i)(i2~2i)+(再>2一%MJ，

=才2；+貨z；+Z鴻+z；x；+%汶+X)；-2y1z2y2z1-2z1x2z2x1-2x1y2x2y1

+zz2J

又Q/「=%：+才+z；,\OB^=x；+z；,^OA-OB^=(xxx2+必8i2)

故|OB|-(04.05)2=(x；+y；+z；)(x；+2；)-(國(guó)入2+必必+2必2J

=(%；+弁+Z；)(考+yl+Z；)-(西入2+以歹2+Z//

=y^zf+y；z；+z；x；+z；x；++-lyxz2y2zx-2zlx2z2xl-2x1y2x2y1

則恒X詞2=網(wǎng)2畫2_例函2成立,

故凡私西.

(3)證明：由(2)S^AOB=^\OAXOB

,?c|.?12||a4xOB|-2|o3xO3|=5^-2|a4xOS

得(CUx0B)2=p/xO@O2；

故(Ex礪)2=；'次.|0X礪卜6,

故(而X礪)2的幾何意義表示以“。為底面、|Ex麗|為高的三棱錐體積的6倍.

7.(2023下?北京?高一北京八十中?？计谥?在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整

點(diǎn)列(整點(diǎn)即橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))/(〃)：4,4,4,…，4與3(〃)：與，B2,B3,…，紇，其中心3,

若同時(shí)滿足：①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②線段44+1，耳耳+1，其中i=l,2,3,…，〃-1,則稱/(")與

3(")互為正交點(diǎn)列.

⑴求次3)：4(0,2),4(3,0),4(5,2)的正交點(diǎn)列8(3)；

(2)判斷4(4)：4(0,0),4(31)，4(6,0)*4(9,1)是否存在正交點(diǎn)列8(4)?并說明理由；

⑶“eN,是否都存在無(wú)正交點(diǎn)列的有序整點(diǎn)列/(〃)？并證明你的結(jié)論.

【答案】⑴4(0,2),鳥(2,5),鳥(5,2)

(2)不存在，理由見解析

⑶不存在，證明見解析

【分析】(1)由正交點(diǎn)列的定義可知片(0,2),員(5,2),設(shè)分(xj),由正交點(diǎn)列的定義可知

充?瓦瓦=0,石?瓦瓦=0,即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)點(diǎn)列片，層，層，當(dāng)是點(diǎn)列4，4，4，4的正交點(diǎn)列，則可設(shè)

瓦瓦=4(-1,3),瓦瓦=4(1,3),瓦瓦=4(一1,3),4，4，4eZ,因?yàn)?與呂，4與4相同，即可得到結(jié)

論；

(3)Vn>5,〃eN,都存在整點(diǎn)列次〃)無(wú)正交點(diǎn)列.設(shè)=(4/)，其中《，2是一對(duì)互質(zhì)整數(shù)，

〃一1〃一1

2(-4幻=B

z=l,2,3,-,?-l,則有'=；丁,分類討論，即可得出結(jié)論.

E(AA)=力

、i=li=l

【詳解】⑴設(shè)點(diǎn)列4(0,2),4(3,0),4(5,2)的正交點(diǎn)列是4，星，B3,

由正交點(diǎn)列的定義可知片(0,2),4(5,2),

設(shè)為(x,y),巾=(3,-2),5=(2,2),陪=卜/一2),瓶=(5-x,2-j),

由正交點(diǎn)列的定義可知N?麗=0,可?瓦瓦=0,

'3x-2(y-2)=0x=2

即《，解得「

2(5-X)+2(2-7)=0[y=5

所以點(diǎn)列4(0,2),4(3,0),4(5,2)的正交點(diǎn)列是q(0,2),2(2,5),53(5,2).

(2)由題可得值=(3,)44=(3,-1),4%=(3,1),

設(shè)點(diǎn)列片，B2,B3,4是點(diǎn)列4，4，4，4的正交點(diǎn)歹I],

則可設(shè)病=4(-1,3),則=%(1,3),病=4(-1,3),4，4eZ

—Aj+4-4=o(T)

因?yàn)?與4，4與4相同，所以有

34+34+34=1②

因?yàn)?，%,4eZ,方程②顯然不成立,

所以有序整點(diǎn)列4(o,o),4(3,1),4(6,0),4(9,1)不存在正交點(diǎn)列;

(3)Vn>5,neN,者B存在整點(diǎn)列/(")無(wú)正交點(diǎn)列.

V?>5,?eN,設(shè)而;=(如幻，其中生,々是一對(duì)互質(zhì)整數(shù),i=1,2,3,

若有序整點(diǎn)列4，鳥，用，…紇是點(diǎn)列4，4,4，…4正交點(diǎn)列,

則84+|=4(*,q)/=1,2,3,-1,

M-1M-1

E(-沖)=￡%(i*)

則有i=li=l

n—\n—\

6(4%)=為(2*)

Ii=li=l

f1，為奇數(shù)

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)'取4(。，。)，…4=T，為偶數(shù)

由于四，B2,鳥，…紇是整點(diǎn)列，所以有4eZ,，=1,2,3「一,〃一1.

等式(2*)中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于1,等式不成立，

所以該點(diǎn)列4，4，4，…4無(wú)正交點(diǎn)列;

l,i為奇數(shù).

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，取4(0,0),=3,4=2,cij--3,b---中為偶數(shù)''2,3,...,〃—1,

由于4，B2,灰，…紇是整點(diǎn)列,所以有4eZ,3=1,2,3,…,〃-1.

等式(2*)中左邊是3的倍數(shù)，右邊等于L等式不成立,

所以該點(diǎn)列4，4，4，…4無(wú)正交點(diǎn)列.

綜上所述，v?>5,〃eN,都不存在無(wú)正交點(diǎn)列的有序整數(shù)點(diǎn)列/(〃).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題以平面直角坐標(biāo)系為載體，平面向量為工具，給出新定義"互為正交點(diǎn)列”，解本類

題的關(guān)鍵在于結(jié)合課本知識(shí)，認(rèn)真理解新定義，在新定義的基礎(chǔ)上用學(xué)過的知識(shí)來(lái)解決問題.

8.(2023下?北京東城?高一統(tǒng)考期末)對(duì)于三維向量為=(4,”自乂4，%