2024年湖南省長沙市高考數(shù)學模擬試卷（三）及其詳細解析

2024年湖南省長沙市高考數(shù)學模擬試卷（三）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.（5分）己知集合/={xeN|2x?-尤-15W。}，B={y\y=cosx},則/0］8=（）

A.{x|-1^1}B.{0,1；C.{-1,0,1}D.{1}

2.（5分）在A4BC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,則“sin?N+sin?3+cos2c>1”是“AA8C

是銳角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不允分也不必要條件

3.（5分）若實數(shù)a,b,c滿足a=2sin2，/=7,3C=10,貝U（）

12

A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.b<a<c

4.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（ox+&）（。>0）在［0,2%］上有且僅有4個零點，直線彳=工為函數(shù)y=〃x）

66

圖象的一條對稱軸，則〃g=（）

5.（5分）如圖，圓。內接一個圓心角為60。的扇形N2C,在圓。內任取一點，該點落在扇形A8C內的

概率為（）

6.（5分）已知三棱錐的外接球的體積為也畫再以_L平面N5C,N8=2NC=2,N8/C=2",

273

則三棱錐憶-/BC的體積為（）

GV6百聞

A?D?L.--------L）?----------

3366

7.（5分）過雙曲線C:3-/=i的左焦點片作傾斜角為。的直線/交。于w,N兩點.若誨=3冗聲,

則Icos。1=（）

第1頁（共17頁）

A回口3MC.正D.為

101055

C56

。用="("eN*),則￡a-Xa,-i可以是(

8.（5分）數(shù)列出,｝的前〃項和為S〃，2i2)

a1ti=\t=\

A.18B.12C.9D.6

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.（6分）若正實數(shù)6滿足12a+6=ab,貝！］（）

A.b>\2

B.有序數(shù)對（a,b）（a,beN*）有6個

C.a+6的最小值是12+4右

D.a2+^2-2a-246+121>0

10.（6分）“體育強則中國強，國運興則體育興”.為備戰(zhàn)2024年巴黎奧運會，運動員們都在積極參加

集訓，已知某跳水運動員在一次集訓中7位裁判給出的分數(shù)分別為：9.1,9.3,9,4,9,6,9.8,10,10,則

這組數(shù)據(jù)的（）

A.平均數(shù)為9.6B.眾數(shù)為10

C.第80百分位數(shù)為9.8D.方差為衛(wèi)

350

11.（6分）已知平面a//平面〃，且均與球O相交，得截面圓。與截面圓。2，。為線段?！?的中點,

且002=26，線段48與CD分別為圓Q與圓。2的直徑，則（）

A.若A48c為等邊三角形，則球的體積為18萬

B.若尸為圓a上的中點，ABLAC,且45=4。，則。尸與ZC所成角的余弦值為

C.若/8_LCD,S.AB=2y/6,則

D.若48J_CD,且/C與3。所成的角為60。，則球。的表面積為20%或84萬

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.（5分）在A48c中，AM=2MB,尸是的中點，延長/P交3c于點D.設下=&,AC=b,

則N可用1，3表示為，若AD=&,cosABAC=-,則A42c面積的最大值為

5

丫2

13.（5分）已知片，此是橢圓C:方+/=1的左、右焦點，P是C上一點.過點片作直線尸片的垂線4,

第2頁（共17頁）

過點工作直線尸鳥的垂線心若4,4的交點。在c上(P，。均在x軸上方)，且|尸。|=個一,則c的離

心率為.

14.(5分)已知函數(shù)“X)的定義域為R，且f(x+y)+/(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則/(2024)=.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解

答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)在A48C中，內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,且6(cosC+1)=c(2-cosB).

(1)證明：a+b=2c.

a_..

(2)若a=6,cosC=—,求AA8c的面積.

16

16.(15分)刷臉時代來了，人們?yōu)椤八⒛樦Ц丁苯o生活帶來的便捷感到高興，但“刷臉支付”的安全性

也引起了人們的擔憂.某調查機構為了解人們對“刷臉支付”的接受程度，通過安全感問卷進行調查(問

卷得分在40?100分之間)，并從參與者中隨機抽取200人.根據(jù)調查結果繪制出如圖所示的頻率分布直

方圖.

(1)據(jù)此估計這200人滿意度的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；

(2)某大型超市引入“刷臉支付”后，在推廣“刷臉支付”期間，推出兩種付款方案：方案一：不采用

“刷臉支付”，無任何優(yōu)惠，但可參加超市的抽獎返現(xiàn)金活動.活動方案為：從裝有8個形狀、大小完全

相同的小球(其中紅球3個，黑球5個)的抽獎盒中，一次性摸出3個球，若摸到3個紅球，返消費金額

的20%；若摸到2個紅球，返消費金額的10%,除此之外不返現(xiàn)金.

方案二：采用“刷臉支付”，此時對購物的顧客隨機優(yōu)惠，但不參加超市的抽獎返現(xiàn)金活動，根據(jù)統(tǒng)計結

果得知，使用“刷臉支付”時有的概率享受8折優(yōu)惠，有工的概率享受9折優(yōu)惠，有的概率享受95

632

折優(yōu)惠.現(xiàn)小張在該超市購買了總價為1000元的商品.

①求小張選擇方案一付款時實際付款額X的分布列與數(shù)學期望；

②試從期望角度，比較小張選擇方案一與方案二付款，哪個方案更劃算？(注：結果精確到0.1)

第3頁(共17頁)

17.(15分)已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",且與=；〃(〃+1).

(1)求｛%｝的通項公式；

1〃為奇數(shù)

(2)若數(shù)列｛2｝滿足6'=%%+2'，求也,｝的前2〃項和凡.

.2""/為偶數(shù)

18.(17分)如圖，已知四棱錐尸-/BCO的底面是菱形，對角線/C,BD交于點、0,OA=4,08=3,

。尸=4,OP1ABCD,E,尸分別為側棱尸3,尸。的中點，點加■在CP上且兩=2礪.

(1)求證：A,E,M,尸四點共面；

(2)求直線尸4與平面瓦W所成角的正弦值.

P

19.(17分)已知拋物線X?=2抄(p>0)上的動點到其焦點的距離的最小值為;.

(1)求拋物線的方程；

(2)過拋物線上一點/(I,%)(%>0)作拋物線的切線，分別交x軸于點。，交y軸于點8.點C在拋物

ApRG

線上，點E在線段NC上，滿足一=4；點G在線段8c上，滿足——=4，且4+4=1,線段CD與EG

EC1GC2

交于點尸，當點C在拋物線上移動時，求點尸的軌跡方程：T.

(3)將「向左平移g個單位，得到「，已知尺(0,加)、0(0,>0),過點R作直線/交「于M,N.設

MN=A.RN,求函.麗-;I7?麗的值.

第4頁(共17頁)

2024年湖南省長沙市高考數(shù)學模擬試卷（三）

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.

1.【解答]解：A={x&N\2x1-x-15^0}={xe2V|-1^3}={0,l,2,3},

而3={川-1@@}，故Np|5={0,1}.

故選：B.

2.【解答】解：由sin?Z+sin?B+cos?C>1可得,sin2A+sin2B>\-cos2C=sin2C,

由正弦定理得，a2+b2>c2,

所以cosC>0,此時C為銳角，但無法判斷4,8的范圍，即此時A45C不一定是銳角三角形，充分性不

成立；

當A45C是銳角三角形時，。一定為銳角，則cosC>0,

2

所以〃2+方>C,

所以sin2A+sin2B>sin2C,

所以5m24+511125+3$2。>1,必要性成立.

故選：B.

3.【解答】解：因為a=2sin2<2sin工=1,

126

又B=7,則6=5，且1<而<泥=2,即1<6<2,

因為3c=10,所以c=log310>log39=2,

所以C>6>4.

故選：A.

4.【解答】解：因為切>0,且XE[0,24],則。x+看￡令,2萬0+,,

on

由題意可得：4%忘2萬。+—7T<5/r,解得一一，

61212

又因為直線x=工為函數(shù)夕=/（X）圖象的一條對稱軸，

6

則工G+工=左乃+工，左eZ,角星得切=6左+2,kwZ,

662

可知左=0,O=2,即/（%）=sin（2x+—）,

6

第5頁（共17頁）

所以/(―)=sin(—+—)=sin(%--)=sin—=—.

336662

故選：C.

5.【解答】解：連接CM,OC,設圓的半徑為，

貝！J/CMC=30°,OA=OC=r,

所以/C=2rcos3()o=ar,

所以扇形Z5C的面積為、工義/。2=4/，

232

又因為圓的面積為療2,

所以在圓。內任取一點，該點落在扇形A8C內的概率為二^=—.

nr12

故選：C.

6.【解答】解：?.?三棱錐廠-/BC的外接球的體積為3乃&=竺包乃，

327

三棱錐V-ABC的外接球的半徑R=普，

27r

又4B=2AC=2,/BAC=—

3

22

...BC=I+2-2xlx2x(-1)=>/7,

設AA8C的外接圓的半徑為r,

則根據(jù)正弦定理可得：

2

a

,又以_L平面

耳N2C,

二.三棱錐y_4BC的高為J(2尺)2_(2r)2=j4xg_4xg=2,

.?.三棱錐%-N5C的體積為」x』xlx2x也x2=".

3223

故選：A.

第6頁（共17頁）

7.【解答】解：過雙曲線C：1-/=1的左焦點片作傾斜角為。的直線/交C于〃,N兩點，若麗=3而,

設雙曲線的右焦點為尸，連接上田，NF,

設|斯|=31而|=3x,|赤|=2a+3x=4+3x,|麗|=2a+x=4+x,

,|^M|2+|^；F|2-|W|2

由余弦定理可得cosNNF\F+cos4MF、F=也號=0，

2\FlM\-\FlF\

即x2+4c2-(4+x)2+9x2+4c2-(4+3x)2_0

解得x=—,

2-x-2c2?3x?2c3

所以2孫/+故1c°s，b*.

故選：D.

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2加好友時填寫868,否則不通過

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8.【解答】解：由題意可得%+戶0.%='=1，由，相減可得%=%(%,+2-%)，

aaS

[n+2'n+l=n+l

即?！?2-4=1，

[J]|l56

AJZa2,-Za2,-l=+&+…+tZjg)—(%+%+...+[]])=5a2+(0+1+2+3+4)—(6%+0+1+2+3+4+5)=15—(6/+15)=-6%

/=it=\

又％=1，貝！又％一1=4+，—1w。?所以一-6%。18,12,6,所以一6%=9.

故選：C.

第7頁(共17頁)

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.【解答】解：根據(jù)題意，a>0,6>0,\2a+b=ab,

對于4,由題意得，b=a(b-12)>0,

所以b>12,4正確；

110

由題意得，一十—=1,(a,beN*),

ab

由4知b>12,awl,

故滿足題意的6有：。=6=13；。=7,6=14；。=5,6=15；。=4,6=16；。=3,6=18；。=2,

6=24共6個，5正確；

a+Z7=(a+/))(-+—)=13+-+—>13+2=13+4A/3,

abab\ab

當且僅當以=2,即6=2扃時取等號，C錯誤；

ba

112

—=1-----<14,

ab

因為。+6213+4百，

所以a>\,a2+b2-2a-24b+121=(a-1)2+0-12)2-24>(a-1)2+(1+4^-a)2-24,

令〃x)=(x-l)2+(l+48--24,x>l,

則r(x)=4x-4-4君，

當x>l+g時，f'(x)>0,〃x)單調遞增，

故"X)》(1+G)=6,

BPa2+b2-2a-24b+121>6,D錯誤.

故選：AB.

10.【解答]解：對于選項/,平均數(shù)=；(9.1+9.3+9.4+9.6+9.8+10+10)=9.6,故/選項正確；

對于選項8,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)為10,所以眾數(shù)為10,故3選項正確；

對于選項C,7x0.8=5.6,第80百分位數(shù)為第6位，即10,故C選項錯誤；

137

對于選項D,方差為y[(9.1-9.6)2+(9.3-9.6)2+(9.4-9.6)2+(9.6-9.6)2+(9.8-9.6)2+2(10-9.6)2]=—,

故D選項正確.

故選：ABD.

第8頁(共17頁)

11.【解答】解：由球心。為線段。。2的中點，可知圓，、圓的半徑相同.設球。的半徑為R,

圓。與圓。2的半徑為r.

對于/,由題意，火2=/+3,/C2=ZO；+CQ；=/O；+qo；+co；=2/+i2,/32=4r,

因為=

所以2d+12=4戶,

解得廠=灰（負值已舍去）.

所以尺2=/+3=9,

解得R=3（負值已舍去），

所以喂=；萬斤=367，故/錯誤；

對于2,因為=所以4,B,C三點在同一平面內，

因為點Q,。分別為線段8c的中點，

所以。。1為AA8C的中位線，所以NC//OQ,

所以NOQP為OP與4c所成的角，

因為/3=/C,所以OQ=g/C=g/3=PO1,

又P。］_LOQ,

所以NOQP=45°,所以cosNQOP=、-,故2正確；

對于C,因為/3LCD,所以以。為原點，分別以。02所在直線為丁軸、z軸，

以圓。中垂直于的直徑所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系，如圖，

則/（0,-跖0）,8（0,?,0）,。（#,0,26）,。（一忘0,2狀）,

所以就=（八,后,26）,礪=（-#,-#,2。）,

第9頁（共17頁）

所以就.前='（-憫+#X（-#）+26X26=0,

所以/C_L8。，故C正確；

對于。，以，為原點，以AB,002所在直線分別為y軸、z軸,

以圓Q中垂直于的直徑所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系，如上圖,

則A(0,-r,0),5(0,r,0),C(r,0,2^),D(-r,0,2，

所以就=(r,r,2?而=(-r,-r,2亞,

所以衣.麗=-/一/+12=-2尸+12,|就|=|而|=，2*+12,

_|一2戶+12|_1_

所以|cos就，麗|=&.竺j

\AC\-\BD\12r+12.6+122

解得廠=及（負值已舍去）或r=3/（負值己舍去），

當一夜時，球。的半徑為R=&+(百-=下,

所以球0的表面積S=4兀R1=20萬；

當r=3夜時，球。的半徑為R=力？+(由了=而,所以球。的表面積S=4萬尺2=84萬，故。正確.

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.【解答】解：?.?尸是CW的中點，/=工痂+"1?就，

22

■■AM=2MB,-AM=-AB,

3

—?12—?1—?1—?1—?11一

/.AP=-x-AB+-AC=-AB+-AC=-a+-b；

2323232

___ii1?2

^AD=ZAPk,貝I」益=一府+—刀=—益+—%,

3232

??,￡＞在5c上，4+4=1,解得4=9，

325

/.AD=-AP,\AP\=-\AD\=-46,

566

\AP\^=(-a+-b)2=-a2+-a^b

32943

=—c2+—b2+—be?—=—c2+—be+—b2=—,(a,b,c分別為4,B,。所對邊)

94359546

第10頁（共17頁）

-c2+-bc+4b2=—^-bc+-bc,nbc^—(當且僅當b=c時取等)

9563516

34

.:cosNBAC=—，sinABAC=—，

55

12212525

/.S=—besinZBAC=—bc^—x=——.

MBRC255168

故答案為：AP=-a+^b；—.

328

/MB

13.【解答】解：設尸(也??)，片(-c,0),8(c,0),由題意可知：加?！纁,n>0,

則直線PE的斜率kPF=，可知1、的方程為y=-*(x+c)，

1m+cn

同理可得：/,的方程為夕=-依三(x-c),

n

m+c,、r

y=---------(x+c)x=-m22

聯(lián)立方程"，解得,即。

m-c,、y=---------n

y=(xc)「

Inn

因為0在C上，可知尸，。關于y軸對稱，

且口。f竽，則2|機|=罕，可得病=g，

又因為"一/=〃，即3-C2=〃2,

n5

第11頁（共17頁）

16

由題意可得：4+?2=1-整理得5/-16/一16=0,

a

c2=a2—1

解得/=4或(舍去)，則，=/一］=3,

5

所以C的離心率為e=-=jC=—.

a\a2

故答案為：■

2

14.【解答］解：令x=l,y=0,貝U/(1)+f(1)=2/(1)=f(1)/(0),

因為/(1)=1,所以〃0)=2,

令x=y=l,貝I/(2)+/(0)=/(I)f(1)，得/(2)=-1,

令y=l,則/(x+l)+〃x-l)=/(X)/(1)=/(X),即〃X-1)=〃X)-〃X+1)，

所以〃x)=/(x+l)-/(x+2)，

所以/(X-1)=f［x+1)-f(x+2)-f(x+l)=-/(x+2)

所以〃x+2)=-/(x+5),所以/(x-l)=/(x+5),即/(x)=/(x+6),

是以6為周期的周期函數(shù)，

所以“2024)="337x6+2)=/(2)=-1,

故答案為：-1.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分.解

答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.【解答】解：(1)證明：根據(jù)正弦定理知6(cosC+1)=c(2-cos5)=>sinBcosC+sinB=2sinC-sinCcosB,

整理得sinBcosC+sinCcos5+sin5=2sinC=>sin(5+C)+sinB=2sinC,

因為4+5+。=〃，

所以sin4=sin(5+C)=>sin4+sinB=2sinC,

由正弦定理可得a+6=2c；

(2)因為cosC=—,所以sinC=Jl-cos2c——,

1616

77

由余弦定理可得c2=a2+b2-labcosC,BPc2=36+b2-—b,

4

第12頁（共17頁）

貝I]4c2=144+4/-27b,

因為a=6,所以6+6=2c,所以36+126+/=41,

則144+4/-27b=36+126+/,即/-136+36=0,

解得6=4或6=9,

當6=4時，a=6,止匕時AA8C的面積S=！a6sinC=Lx4x6x^=1^^,

22164

當6=9時，a=6,此時的面積S=！a6sinC=Lx6x9xM=^^.

221616

所以A43C的面積為""或生".

416

16.【解答】解：(1)由直方圖可知，滿意度的平均數(shù)為：

(0.01x45+0.02x55+0.025x65+0.025x75+0.015x85+0.005x95)x10=68；

(2)①摸到3個紅球，返消費金額的20%,實際付款為1000(1-20%)=800,

摸到2個紅球，返消費金額的10%,實際付款為1000(1-10%)=900,

所以X的可能取值為800,900,1000,

貝U尸(X=800)=4=—,P(X=900)=^-=—,

Cf56Cl56

產(X=1000)*

。87

所以X的分布列為：

X8009001000

P1155

56567

貝U￡(^)=800x—+900X—+1000X-?969.6(元)；

56567

②若選擇方案二，記實際付款金額為Y,

由題，y的可能取值為800,900,950,

因為尸(y=800)=工,P(Y=900)=-,P(K=950)=-,

所以Y的分布列為:

Y800900950

Pj_1j_

632

第13頁(共17頁)

所以，E(Y)=800x-+900x-+950x-?908.3(元)，

632

由①可得：￡(X)>￡(7),

所以選擇方案二付款更劃算.

17.【解答】解：(1)由+1),可得％=S]=1,

〃》2時，=S“-S“_]=g〃(〃+l)=〃，對”=1也成立,

則，neN*；

、」一〃為奇數(shù)[―-一為奇數(shù)

(2)bn=<anan+2={〃(〃+2)2\nn+2),

2"”,〃為偶數(shù)12",〃為偶數(shù)

則{bn}的前2〃項和

%=(4+b3+…仇“_])+(4+4+…+也”)=；(1_；+；_:+…+0二)+(4+16+...+4")

23352w-12n+1

114(1一4")n4向一4

22M+11-42M+13

18.【解答】解：(1)證明：因為平面是菱形，所以NB_LC。，

又因為OP_L底面/BCD,所以。P_L/C,OP1BD,

所以/C,BD,0P兩兩垂直，

以。為坐標原點，以CM,OB,OP所在的直線分別為x軸、y軸和z軸，建立如圖空間直角坐標系，

因為CM=4,08=3,0P=4,則/(4,0,0),

5(0,3,0),C(-4,0,0),D(0,-3,0),

產(0,0,4),

因為￡,廠分別為側棱尸8,尸。的中點，

所以E(0,5,2),尸(0,-于2),

_____AQ

因為西=2前，所以河(一],0,§),

所以方=(-4,-|,2),荏=(-4,|,2),萬7=(告,0,|).

所以疝7=-萬+-方，由向量共面的充要條件可知，AM,AE,AF共面，

33

又而，AE,萬過同一點E,所以N,E,M,尸四點共面.

(2)由點坐標可得方=(4,0,-4),麗=(0,6,0),PC=(-4,0,-4),5?=(0,-3,4),

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,-??1—?44?—?48

又因為CM=2〃P,所以尸M=—PC=(一一,0,一一),BM=BP+PM=(一一,-3,-).

33333

n-DB=6y=0

設平面BDM的法向量為n=（x,y,z），貝！J<48

n?B