京津滬渝4市2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題分類解析：押軸題

專題12：押軸題

一、選擇題

1.（2024年北京市4分）如圖，點(diǎn)P是以。為圓心，AB為直徑的半圓上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2,

設(shè)弦AP的長(zhǎng)

為x,ZkAPO的面積為y,則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是【】

【答案】A.

【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，特殊元素法和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【分析】如圖，???根據(jù)三角形面積公式，當(dāng)一邊0A固定時(shí)，它邊上的高最大時(shí)，p

三角形面積最大，

當(dāng)？。_LA0,即？0為三角形0A邊上的高時(shí)，△AP0的面積y最大。，//

此時(shí)，由A3=2,根據(jù)勾股定理，得弦A?=x=0.

，當(dāng)x=&時(shí)，AA?0的面積v最大，最大面積為V=1.從而可排除B.D選項(xiàng)。

'-2

又?.?當(dāng)A?=x=l時(shí)，△A?0為等邊三角形，它的面積y=^>L

此時(shí)，點(diǎn)（1,苴）應(yīng)在的一半上方，從而可排除C選項(xiàng).

4-2

故選A.

2.（2024年天津市3分）如圖，是一對(duì)變量滿意的函數(shù)關(guān)系的圖象，有下列3個(gè)不同的問

題情境：

①小明騎車以400米/分的速度勻速騎了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度

勻速騎回動(dòng)身地，設(shè)時(shí)間為X分，離動(dòng)身地的距離為y千米；

②有一個(gè)容積為6升的開口空桶，小亮以1.2升/分的速度勻速向這個(gè)空桶注水，注5分后

停止，等4分后，再以2升/分的速度勻速倒空桶中的水，設(shè)時(shí)間為x分，桶內(nèi)的水量為y

升；

③矩形ABCD中，AB=4,BC=3,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身，依次沿對(duì)角線AC、邊CD、邊DA運(yùn)動(dòng)

至點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為X,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合時(shí)，y=S^ABP；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合

時(shí)，y=0.

其中，符合圖中所示函數(shù)關(guān)系的問題情境的個(gè)數(shù)為【】

【答案】C.

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象，單動(dòng)點(diǎn)問題.

【分析】①小明騎車以米分的速度勻速騎了5分，所走路程為200Q米，與圖象不符合.

②小亮以L2升分的速度勻速向這個(gè)空桶注水，注5分后停止，注水量為1.2X5W升，等4分鐘,

這段時(shí)間水量不變；再以2升分的速度勻速倒空桶中的水，則3分鐘后水量為口，符合函數(shù)圖冢.

③如圖所示：

當(dāng)點(diǎn)?在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S.AS?的面積一直噌加，當(dāng)點(diǎn)?運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí),

S-A3?=6，這段時(shí)間為5；

當(dāng)點(diǎn)？在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，S_A3?不變，這段時(shí)間為4;

當(dāng)點(diǎn)？在DA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，減小，這段時(shí)間為，

符合函數(shù)圖冢.

綜上可得符合圖中所示函數(shù)關(guān)系的問題情境的為②③，個(gè)數(shù)是2.

故選C.

3.（2024年上海市4分）在梯形ABCD中，AD〃BC,對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)。，下列條件

中，能推斷梯形ABCD是等腰梯形的是【】

(A)ZBDC=ZBCD(B)ZABC=ZDAB(C)ZADB=ZDAC(D)ZAOB=ZBOC

【答案】Co

【考點(diǎn)】等腰梯形的判定，平行的性質(zhì)，等腰三角形的判定.

【分析】根據(jù)等腰梯形的判定，窿一作出判斷:

A.由N3DC=ZBCD只能判斷^BCD是等腰三角形，而不能判斷梯形A3CD

是等腰梯形;

3.由NA3C=NDA3和AD〃BC,可得NA3C=NDA3=9A,是直角梯形，而

不能判斷梯形A3CD是等腰梯形;

C.由NAD3=NDAC,可得AO=OD,由AD〃3C,可得NAD3=ND3C,ZDAC=ZACB,從

而得到ND3C=NAC3,所以03=0C,因此AC=D3,根據(jù)對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形可判定梯形A3CD

是等腰梯形；

D.由NA03=Z30C只能判斷蹦A3CD的對(duì)角線互相垂直，而不能判斷梯形A3CD是等腰梯

形.

故選C.

4.（2024年重慶市A4分）一次函數(shù)h/awn）、二次函數(shù)v_ax2.hx和反比例函

y—dx十?產(chǎn)ujy—aA十UA

數(shù)k在同始終角坐標(biāo)系中圖象如圖，A點(diǎn)為（一2,0）o則下列結(jié)論中，正確的

y=-~（kw0）

是【】

A、b=2a+kB.a=b+kC.a>b>0D.a>k>0

【答案】D。

【考點(diǎn)】一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例甌》的圖尹.和性質(zhì)，射形結(jié)合思想的應(yīng)用。

【分析】將A（—2,0）RAy=ax+b,得b=2a。

二?二次函數(shù)y=ax"+bx=ax'+2ax=a。二.二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,—a）□

當(dāng)X=-1時(shí)，反比例函數(shù)y=七-二=-k.

由圖?？芍?dāng)x=-l時(shí)，裊比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖冢的上方，且都在x下方,

-a<-k<0,即a>k>0。力、選D?

（實(shí)際上應(yīng)用排它法，由b=2a>。；麥0也可得、二。三選項(xiàng)錯(cuò)誤）

5.（2024年重慶市B4分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形0ABe的頂點(diǎn)0與原點(diǎn)重合,

頂點(diǎn)A。C分別在x軸、y軸上，反比例函數(shù)卜的圖象與正方形的兩邊AB、

y=—（kwO,x>0）

X

BC分別交于點(diǎn)M、N,ND_Lx軸，垂足為D,連接OM、ON,MN。

下列結(jié)論:

①△OCNdOAM；

②ON=MN；

③四邊形DAMN與△MON面積相等;

④若/MON=45。，MN=2,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0百+］）。

其中正確的個(gè)數(shù)是【

A.1B.2C.3D.4

【答案】C.

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的工家和性后，全等三系形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的

性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用.

【分析】設(shè)正方形0A3C的邊長(zhǎng)為a,

則A(a,0),B(a,a),C(0,i),\1(a,-),N(-,a).

aa

,/CN=AM=OC=OA=a,ZJCN=ZO^I=9O3,

a

.,.△OCX^AOAM(SAS).結(jié)論①正確,

根據(jù)勾股定理,ON=7OC2+CN2

「.ON和'IX不一定相等.結(jié)論②錯(cuò)誤.

.^AODN_QAOKM

?,SiMON=SAODN+$映）題AMN"=$四I加DAMN結(jié)論③正確.

如圖，過點(diǎn)。作OHJ_MN于點(diǎn)H,則

,/AOCN^AOAM,/.ON=OM,ZCON=ZAOM.

,/ZMON=450,MN=2,

/.NH=HM=1,NCON=ZNOH=ZHOM=ZAOM=22.

.'.AOCN^AOHN（ASA）./.CN=HN=1.

=1=k=a.

a

由MN=-k［得，2=2^|aJ-a|=>4a2=2（a‘-a）'=>a2-2a-l=0.

解得：a=2-1=1土&（舍去負(fù)值）.

2

二點(diǎn)C的坐標(biāo)為8V2+1）.結(jié)論④正確.

結(jié)論正確的為①③④3個(gè).故選C.

二、填空題

1.(2024年北京市4分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線1：y=_x_P雙

曲線o在

1上取點(diǎn)Al,過點(diǎn)Al作X軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)Bl,過點(diǎn)Bl作y軸的垂線交于點(diǎn)A2,請(qǐng)接

著操作并探

究：過點(diǎn)A2作X軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)B2,過點(diǎn)B2作y軸的垂線交于點(diǎn)A3,…，這樣依次

得到上的點(diǎn)

Al,A2,A3,An,…。記點(diǎn)An的橫坐標(biāo)為a，若則°=A=▲;

anai-Zd2a2O13

若

要將上述操作無限次地進(jìn)行下去，貝卜不能取的值是▲.

dj...----------------------

【答案】——；——50和一10

23

【考點(diǎn)】探索規(guī)律題（圖形的變化類一循環(huán)規(guī)律型），曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，分式有意義的條

件.

【分析】尋找規(guī)律：

aj=2>點(diǎn)A：在y=-x-1上，，A］（2,-3）。

???過點(diǎn)A】作x軸的垂線交雙曲線于點(diǎn)Bp/.Bif2,1"

\2y

.?金卜翡），信一3A3信-I），B3W}^（2,-3）.

/.a2=-l5且可以發(fā)現(xiàn)本題為循環(huán)規(guī)律，3次一循環(huán).

22

2013=3x670+3,.

重復(fù)上述過程，可求出A】（ai，-a「l）、B（、,，］、

IaJIaiai>Iaiai+1J

八3（一+’-含）、B{-赤，-a「［、A4（a1,-a「l）.

，由上述結(jié)果可知，分母不能為。，故ai不能取口和-1..

2.（2024年天津市3分）如圖，將^ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、

C均落在格點(diǎn)上.

（1）4ABC的面積等于▲；

（2）若四邊形DEFG是^ABC中所能包含的面積最大的正方形，請(qǐng)你在如圖所示的網(wǎng)格中,

用直尺和三角尺畫出該正方形，并簡(jiǎn)要說明畫圖方法（不要求證明）▲.

【答案】⑴6；

（2）取格點(diǎn)？，連接?C,過點(diǎn)A畫?C的平行線，與3C交于點(diǎn)Q,連接？Q與AC相交得點(diǎn)D,

過點(diǎn)D畫CB的平行線，與A3相交得點(diǎn)E,分別過點(diǎn)D、E畫？C的平行線，與C3相交得點(diǎn)G,F,則

四邊形。三FG即為所求。

【考點(diǎn)】作圖（相似變換），三角形的面積，正方形的性質(zhì).

【分析】⑴ZkABC以A3為底，高為3個(gè)單位，求出面積即可：1x4x3=6.

2

（2）作出所求的正方形，如圖所示，畫圖方法為：取格點(diǎn)？，連接PC,過點(diǎn)A畫PC的平行線,

與3c交于點(diǎn)Q,連接？Q與AC相交得點(diǎn)D,過點(diǎn)。畫C3的平行線，與A3相交得點(diǎn)E,分別過點(diǎn)D、

E畫PC的平行線，與C3相交得點(diǎn)G,F,則四邊形DEFG即為所求.

3.（2024年上海市4分）如圖，在^ABC中，AB=AC,BC=8,3，假如將^ABC沿

tanC=—

2

直線I翻折后，點(diǎn)B落在邊AC的中點(diǎn)處,直線I與邊BC交于點(diǎn)D,那么BD的長(zhǎng)為▲.

【答案】15。

~4

【考點(diǎn)】翻折問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理.

【分析】如圖，將沿直線：翻折后，點(diǎn)3落在邊AC的中點(diǎn)E處，過點(diǎn)E作

AH_L3c于點(diǎn)H,EF_L3c于F,則EF是的中位線

,.?AB=AC,3c=3,...根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，得HC=3H=4.

3AH3

,/tanC=-,SPtanC=—=-./.AH=6..,.EF=3,FC=2.

2HC2

設(shè)3D=x,則根據(jù)翻折的性質(zhì)，DE=BD=x.

XDF=BC-BD-FC=8-x-2=6-x.

在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理，得x2=(6-xf+32,解得X=”,即

4.(2024年重慶市A4分)如圖，菱形OABC的頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A在x的正半軸

上，頂點(diǎn)B、C均在第一象限，OA=2,/AOC=60。，點(diǎn)D在邊AB上，將四邊形ODBC沿

直線OD翻折，使點(diǎn)B和點(diǎn)C分別落在這個(gè)坐標(biāo)平面的點(diǎn)和點(diǎn)。處，且NCDB，=60。。若

某反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B',則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為▲。

【答案】y=-%

X

【考點(diǎn)】翻折問題，菱形的性質(zhì)，含30陵角的直角三角形的住質(zhì)，等邊三角形三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)

于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法"M用，曲襄上點(diǎn)的仝標(biāo)與方程的關(guān)系.

【分析】如圖，過點(diǎn)3作3H10A于點(diǎn)H,

由OA=2,NAOC=6。：，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得：ZA^C?一了，A3=2,A3AH

是含30度角的直角三角形，

/.AH=1,OH=3,3H=5(3,Q).

C：B'

由翻折的性質(zhì)得N3=NABC=6Q：,DB=DB,BC'=BC輔元數(shù)學(xué)工作至繪制

又NCD3=60),?,.△CDB是等式三角形.JB=D3-JC=3C=3A.

...此時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)A重合，直線0。即x軸.

根據(jù)關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)的招標(biāo)特征，得？J,-S).

設(shè)過點(diǎn)5的反比例函數(shù)為1上，格SC,一百)代入得k=-3jL

X

二.過點(diǎn)B的反比例函數(shù)為?一..

X

5.(2024年重慶市B4分)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=x上一點(diǎn)P(1，1)，C

為y軸上一點(diǎn)，連接PC,線段PC繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至線段PD,過點(diǎn)D作直線AB，x

軸。垂足為B,直線AB與直線y=x交于點(diǎn)A,且BD=2AD,連接CD,直線CD與直線y=x

【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合問題，旋轉(zhuǎn)問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法的應(yīng)用，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)

與方程的關(guān)系.0

【分析】如圖，過點(diǎn)？作三F〃x軸，交、%與點(diǎn)三，交A3于點(diǎn)F,

易證△CE?之△DFP(ASA),/.EP-Jf.

,/P(1,1),/.BF=DF=1.BD=2.

,/3D=2AD..-.BA=3.

\.點(diǎn)A在直線y=x上，二點(diǎn)A的坐機(jī)勺(3,3).

???點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,2)....點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,嗎

,1

3k+b=2lr........-1

3.J.直線CD的解析式為y=-Lx+3.

b=3

b=3

x47=-x+3X-4,廿皿4__d(99、

聯(lián)■!￡43=《0??點(diǎn)Q的坐標(biāo)為—>—

9\44)

[y=x[y=-

三、解答題

1.（2024年北京市7分）在^ABC中，AB=AC,ZBAC=?（0°<1<60°），將線段BC繞

點(diǎn)B逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BD。

（1）如圖1,干脆寫出NABD的大?。ㄓ煤?的式子表示）;

（2）如圖2,ZBCE=150°,ZABE=60°,推斷^ABE的形態(tài)并加以證明;

（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE,若NDEC=45。，求1的值。

(2)△A3三為等邊三角形,證明如下：

連接AD,CD,HD,

???線段3c繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段3D,

/.BC=3D.ND3c=6L.

XVZA3E=605,

二ZABD=60°-ZDBE=ZEBC=300-laKABCD為等

2

邊三角形.

在aABD與ZXACD中，?「AB=AC,AD=AD,BD=CD,

/.AABD^AACD(SSS)./.ZBAD=ZCAD=IzBAC=-a.

22

,/ZBCE=150s,/.ZBEC=180°-(30°-Aa)-150°=./.ZBEC=ZBAD.

在^ABD和△EBC中，:NBECuNBAD,ZEBC=ZABD,BC=BD,

/.AA3D^AH3C(AAS)..,.A3=3三.

「.△ABE為等邊三角形.

(3)ZBCD=60:.ZBCH=150=.ZDCE=150°-60°=90°.

又...NDEC=45\「.△DCS為等腰直角三角形.

/.DC=CE=BC.

ZBCE=150s,ZEBC=^1^1^2=15°.

2

ffiiZEBC=30o—J-a=15°.a=30°.

2

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì).

【分析】(1),.,AB=AC,ZBAC=a,ZABC=1SQ°-a.

2

??.將線段3C繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6r得到線段3D,/.ZDBC=60。.

/.ZABD=ZABC-ZDBC=180°^.-d0o=30°--.

22

(2)由SSS證明△A3D當(dāng)△.*：：),由AAS證明△A3DW△三3C,即可根據(jù)有一個(gè)角等于60。

等腰三角形是等邊三角形的判定得出結(jié)論.

(3)通過證明aDCE為等腰直角三角形得出NEBC=Q*"=15。，由(1)NEBC=30。-1a,

22

從而30。-La=15。，解之即可.

2

2.(2024年北京市8分)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和。C,給出如下定義：若。C

上存在兩個(gè)點(diǎn)

A,B,使得NAPB=60。，則稱P為。C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)。已知點(diǎn)D(1，］)，E(0,-2),F(2731

22

0)

(1)當(dāng)。。的半徑為1時(shí)，

①在點(diǎn)D,E,F中，。。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是▲；

②過點(diǎn)F作直線交y軸正半軸于點(diǎn)G,使/GFO=30。，若直線上的點(diǎn)P(m,n)是。。

的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求m的取值范圍；

(2)若線段EF上的全部點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求這個(gè)圓的半徑r的取值范圍。

【答案】解：（1）①D,E。

②由題意可知，若?要?jiǎng)偤檬荗C的關(guān)聯(lián)點(diǎn),需要點(diǎn)?到?C

的兩條切線PA和?3之間所夾的角為605.

由圖2可知NA?3=61,貝IJNC?3=3Q\

連接BC,貝UPC=———=2BC=2r,

sinZCPB

.?.若?點(diǎn)為OC的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則需點(diǎn)?到扇心的距離d滿足圖2

>'A

由（1），考慮臨界點(diǎn)位置的？點(diǎn)，

如圖3,點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離0?=2*1=2,仃色、

過點(diǎn)0作x軸的垂線OH,垂足為H,___________

To?

則tanNOGF=^=氈=3

.".ZOGF=60=.

.,.OH=OGsm6L=百，sinZOPH=—=2^1.

OP2

/.ZO?H=60:.可得點(diǎn)P：與點(diǎn)G重合。

過點(diǎn)百作?2M±x軸于點(diǎn)M,可得N?9、I=31,

/.OM=O?2cos305=^.

,若點(diǎn)？為。0的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，則P點(diǎn)必在線段P】P二上.

.,.0<m<73"

(2)若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這

個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)圓的圓心應(yīng)在線段三F的中點(diǎn).

考慮臨界情況，如圖4，即恰好三、F點(diǎn)為?K的關(guān)聯(lián)

時(shí)，貝IJKF=2KN=LEF=2,此時(shí)，r=l.

2

.，若線段EF上的所有點(diǎn)都是某個(gè)扇的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，這個(gè)圓'

的半徑r的取值范圍為之1.

【考點(diǎn)】新定義，扇的綜合題，切線長(zhǎng)定理，銳角三角函數(shù)定義，特殊

角的三角函數(shù)值，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

圖4

【分析】(1)①根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義，得出E點(diǎn)是00的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，進(jìn)而

得出F、D,與00的關(guān)系：

如圖1所示，過點(diǎn)E作00的切線設(shè)切點(diǎn)為R.

?二◎0的半徑為1,「.ROl.

,/E0=2./.ZOER=305.

根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出00的左側(cè)還有一個(gè)切點(diǎn)，使得組成的

角等于30=.

「.E點(diǎn)是00的關(guān)聯(lián)點(diǎn).

VD(1),E(0,-2),F(2造，0),

22

.,.OF>EO.DOV三。.圖1

??.D點(diǎn)一定是。。的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，而在。。上不可能找到兩點(diǎn)使得組成的角度等于6。：.故在點(diǎn)

D、E、F中，。0的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是D,E.

②若P要?jiǎng)偤檬?。C的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，須要點(diǎn)P到0c的兩條切線PA和PB之間所夾

的角為60。，進(jìn)而得出PC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出點(diǎn)P到圓心的距離d滿意0442r,再考慮臨界點(diǎn)

位置的P點(diǎn)，進(jìn)而得出m的取值范圍。

(2)若線段EF上的全部點(diǎn)都是某個(gè)圓的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，欲使這個(gè)圓的半徑最小，則這個(gè)

圓的圓心應(yīng)在線段EF的中點(diǎn)；再考慮臨界狀況，即恰好E、F點(diǎn)為。K的關(guān)聯(lián)時(shí)，則

KF=2KN=1EF=2,即可得出圓的半徑r的取值范圍。

2

3.(2024年天津市10分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(-2,0),點(diǎn)B(0,4),點(diǎn)E

在0B上，且/。AE=NOBA.

（1）如圖①，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）如圖②，將△AEO沿X軸向右平移得到△AEO，，連接A，B、BE，.

①設(shè)AA，=m,其中0<m<2,試用含m的式子表示A，B?+BE"，并求出訪A，B?+BE"取

得最小值時(shí)點(diǎn)E，的坐標(biāo);

②當(dāng)A，B+BE，取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E，的坐標(biāo)（干脆寫出結(jié)果即可）.

【答案】解:

,.?Z0AL=Z03A,ZEOA=ZAO3=90S/.AOAE^A03A.

.1.—=2^.,即2=E,解得，OE=I.

OBOA42

...點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1).

(2)①加圖②，連接EE,

由題設(shè)知AA=m(0<m<2),貝UA，O=2—m。

在RtZiABO中,SArB2=ArO2+BO2,得

A,B2=(2-m)2+42=m2-4m+20.

.「△AEO是△4()沿x軸向右平移得至！I的，

圖②

...EE/AA',且EE=AA'./.ZBEE'=90SEE'=m

又BH=O3-OE=3,

.,.在中，BE,2=E,E2+BE2=m2+9.

/.A(B2+BE'?=2m2-4m+29.

又；A(B2+BE,2=2n？-4m+29=2(m-+27,

...當(dāng)m=l時(shí)，Ae+BE^取得最小值，此時(shí)，點(diǎn)己的坐標(biāo)是（1,1）.

②點(diǎn)E的坐標(biāo)是（31）.

7

【考點(diǎn)】平移問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)最值，全等三角形的判

定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì).

【分析】⑴根據(jù)相似三角形△OAEsaog的對(duì)應(yīng)邊成比例得到也=%,貝曝求OE=1,所以E（0,

OBOA

1）.

（2）①如圖②，連接EE：在RtZiA3O中，勾股定理得至（lA，B2=（2-m）2+42=m2-4m+20,

在RtABET中，利用勾股定理得到BE'=ET2+BE2=m2+9,則

A,B2+BE,2=2m2-4m+29=2（m-l）2+27.所以由二次函數(shù)最值的求法

知，當(dāng)m=l即點(diǎn)￡的坐標(biāo)是（1,1）時(shí)，人出2+8日2取得最小值。

②如圖③，過點(diǎn)A作A3_LX,并使AB=BE=3.

易證△AB'AWZiEBE'（SAS）,.,.B'A=BE'.

A3-BE=A'B-BAo

「?當(dāng)點(diǎn)3、8、3在同一條直線上時(shí)，A3-BA最小，即此時(shí)

A'3-3三，取得最小值.

當(dāng)點(diǎn)3、A\3在同一條直線上時(shí)，易證△A3AS△03A,

圖③

二點(diǎn)E的坐標(biāo)是（J1）.

7

4.（2024年天津市10分）已知拋物線％=ax?+bx+ca*0）的對(duì)稱軸是直線I，頂點(diǎn)為點(diǎn)

M.若自變量x和函數(shù)值yi的部分對(duì)應(yīng)值如下表所示:

X—103

9

yj=ax2+bx+c00

4

（1）求y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若經(jīng)過點(diǎn)T（0,t）作垂直于y軸的直線I、A為直線『上的動(dòng)點(diǎn)，線段AM的垂直平

分線交直線I于點(diǎn)B,點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對(duì)稱點(diǎn)為P,記P（x,丫2）.

①求y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式;

②當(dāng)x取隨意實(shí)數(shù)時(shí)，若對(duì)于同一個(gè)x,有也<丫2恒成立，求t的取值范圍.

【答案】解：⑴??拋雌經(jīng)過點(diǎn)，可

??y1=ax?+bx+—。

二,點(diǎn)(一1,0)、(3,0)在拋物線y[=ax'+bx+(上,

93

a-b+—=0a=―一

44

9解得4

9=2

9a+3b+—=0b

42

V：與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y1=-2x2+2x+2D

1424

22

(2)Vy1=-2x+-x+-,y1=-2(x-l)+3o

14241)

二直線：為x=l,頂點(diǎn)\I(1,3).

①由題意得，t=3.

如圖，記直線：與直線:交于點(diǎn)C(Lt),

當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合時(shí)，

:由已知得，AM與3?互相垂直平分，

,四邊形ANM?為菱形.

又?點(diǎn)？(x,V：)>二點(diǎn)A(x,t)(x=l).PM=PA=|ya-t|.

過點(diǎn)P作PQJL：于點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q(1,y：).AQM=|y2-3|,PQ=AC=|x-l|.

在RtZiPQM中，,.?PM2=QM2+PQ2,即(力-t，=(y2-3，+(x-l)2。

1(x-l)2+^,即丫2

整理得,y0=--------

6-2t6-2t3-16-2t

當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)3與點(diǎn)？重合,

.1.P(1，2).「.P點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式.

2

.?.￥：與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y2=」一x2--Lx+W二=(t=3).

□—2t3—t6-2t

②根據(jù)題意，借助函數(shù)圖象:

當(dāng)拋物線y：開口方向向上時(shí)，6-2t>0,即tV3時(shí)，拋物線力的頂點(diǎn)工(1,3),拋

物線丫二的頂點(diǎn)（b—）,

'2

,「3》上也，...不合題意.

2

當(dāng)拋物線發(fā)開口方向向下時(shí)，6-2t<0,即t>3時(shí),

若3t—U=。，要使兌Vy：恒成立，只要拋物線丫=1署依-1）2+辭開口方向向下，

且頂點(diǎn)（1，土工）在x軸下方，

2

,.-3-t<0,只要3t-U>0,解得t>D,符合題意.

3

若3t—11=。，yj-yj=--<0,即t=U■也符合題意.

1233

綜上所述，可以使y；〈力恒成立的t的取值范圍是t>Uo

【考點(diǎn)】探究型，二次函數(shù)綜合題，單動(dòng)點(diǎn)問題，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，由實(shí)

際問題列函數(shù)關(guān)系式，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解不等式組，數(shù)形結(jié)合思想和分類思想的應(yīng)用.

【分析】（1）先根據(jù)物線經(jīng)過點(diǎn)（0,1）得出c的值，再把點(diǎn)（一1,Q）、（3,0）代入拋物線y：的

解析式即可得出力與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）先根據(jù)（I）中力與x之間的函數(shù)關(guān)系式得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

①記直線：與直線：交于點(diǎn)C（1,t）,當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C不重合時(shí)，由已知得，41與8?互相

垂直平分，故可得出四邊形ANXI?為菱形，所以再由點(diǎn)P（x,y2）可知點(diǎn)A（x,t）（x=l）,

所以PM=PA=%-t|，過點(diǎn)P作？Q_L：于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q（l，y;），故QM=|y2-3|,PQ=AC=|x-l|,

在RtZkPQM中，根據(jù)勾股定理即可得出y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再由當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)3與

點(diǎn)？重合可得出P點(diǎn)坐標(biāo)，故可得出y二與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

②據(jù)題意，借助函數(shù)圖冢：

當(dāng)拋物線支開口方向向上時(shí)，可知6-2t>Q,即tV3時(shí)，拋物線》的頂點(diǎn)M（l,3）,拋

物線y：的頂點(diǎn)（1，個(gè)），由于3>丁，所以不合題意“

當(dāng)拋物線丫:開口方向向下時(shí)，6—2t<0,即t>3時(shí)，求出％-%的值.若3t---11=。，要

使yi<y2恒成立，只要拋物線七-nQ，方向向下及且頂點(diǎn)（1,3-t）在

Jl11/八2D—IJI

4（3-t）V'22

x軸下方，因?yàn)?—1<0,只要3t-ll>0,解得t>n，符合題意；若3t-ll=0,

~3

1,即t=[]也符合題意。

%一%=一§<oy

5.（2024年上海市12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線

、，一經(jīng)過點(diǎn)A和X軸正半軸上的點(diǎn)B,AO=OB=2,ZAOB=120°.

y-dX十DXid，UJ

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；

（2）連接。M,求NA0M的大小；

（3）假如點(diǎn)C在X軸上，且AABC與△AOM相像，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

【答案】解：（1）如圖，過點(diǎn)A作ADJ_y軸于點(diǎn)D,

?/AO=O3=2,/.B(2,0)o

?/ZAO3=120°,/.ZAOD=30°,.'.AD=1,

.'.A(—1,舊).

將A(—1,括)，B(2,0)代入y=ax2+bx,得:

a耶

a-b=布

解得3

4a+2b=02琳

b=-------

I3

...這條拋物線的表達(dá)式為y=(X?-乎x.

(2)過點(diǎn)M作\IH_Lx軸于點(diǎn)三，

?y=—x———x=—fx-1]+—.

333I,3

AM(1,-走)，BPOE=1,E、I=走.

33

且/.ZEPM=30°.

tanZEPM=—

OE3

/.ZAOM=ZAOB+ZEPM=150°.

（3）過點(diǎn)A作AH_Lx軸于點(diǎn)H,

?；AH=g,H3=HO+OB=3,

/.tanZABH=—=2^.

HB3

ZABH=30°,ZABC=150°.

二ZAOM=ZABC.

...要△A3C與△AON相似，則必須:

①義=四，或②竺

ABBCBCAB

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（c,0）,則根據(jù)坐標(biāo)和勾股定理，有

慢H，BC-2,AB

AO=2.OM=Jl*2*6+26.

3

2.

①由器=罌得,4=解得c=4.」.Ci(4,0).

2#c-2

2g

二-=3，解得c=8.「.C'(S,0).

②喑/c-22召

綜上所述，如果點(diǎn)C在x軸上，且△A3C與△AO'I相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,。）或

(8,0)o

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二

次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定，分類思想的應(yīng)用.

【分析】（1）應(yīng)用三角函數(shù)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，將A,B的坐標(biāo)代入y=ax2+bx,即可求得a、b,從而求

得拋物線的表達(dá)式.

（2）應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而求得NEPM=30°,進(jìn)而求得NAO'l的大小.

（3）由于可得NAOM=NABC,根據(jù)相似三角形的判定，分處=沙，空L叫兩種情況