浙教版八年級上冊數(shù)學2.7 探索勾股定理知識點分類訓練

2.7探索勾股定理知識點分類訓練班級：姓名：考點一：勾股定理的證明方法例1．勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（

）．A． B．C． D．變式1-1．如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，觀察圖形，可以驗證的式子為（

）A．a(chǎn)+ba?b=aC．c2=a變式1-2．勾股定理從被發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，人們對這個定理的證明找到了很多方法．我國數(shù)學家劉徽利用“出入相補”原理（一個平面圖形從一處移到另一處，面積不變；又若圖形分成若干塊，則各部分的面積和等于原來圖形的面積）也證明了勾股定理，如圖所示，這種證法體現(xiàn)的數(shù)學思想是（

）A．數(shù)形結(jié)合思想 B．分類思想 C．函數(shù)思想 D．歸納思想考點二：勾股數(shù)問題例2．下列是勾股數(shù)的是（

）A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8變式2-1．下列各組數(shù)據(jù)中是勾股數(shù)的是(

)A．0.3，0.4，0.5 B．1，2，3 C．4，5，7 D．5，12，13變式2-2．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別為4，6，3，4，則最大正方形E的面積是（

）A．17 B．34 C．77 D．86考點三：利用勾股定理解直角三角形例3．等腰三角形的腰長為13，底邊長為10，它的頂角的平分線的長為（

）A．69 B．12 C．15 D．3變式3-1．在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=4，則AB的長為（

）A．5 B．7 C．5或7 D．6變式3-2．若直角三角形兩直角邊長分別為6和10，則它的第三邊長為（

）A．8 B．27 C．214 考點四：勾股定理與網(wǎng)格問題例4．如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，△ABC是（

）．A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形變式4-1．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上答案都不對變式4-2．如圖，在7×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，AD是BC邊上的中線，則AD的長為（

）A．22 B．352 C．29考點五：勾股定理與折疊問題例5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點D、E分別在AC、BC上．現(xiàn)將△DCE沿DE翻折，使點C落在點C′處．連接AA．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在變式5-1．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=6．將△ABC折疊，使點A落在BC的中點D處，折痕為MN，則線段DN的長為（

A．3132 B．92 變式5-2．如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=3，沿AD和EF將紙片折疊，使點B和點C都落在邊BC上的點P處，則AE的長是（）A．136 B．56 C．76考點六：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題例6．如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為6πcm，一只螞蟻從點A爬到點B

A．6cm B．7cm C．10cm變式6-1．某扇門的規(guī)格是1m×2mA．1.8m×4m B．2m×3.5m變式6-2．一個長方形抽屜長20cm，寬30cm，貼抽屜底面放一根木棒，那么這根木棒最長（不計木棒粗細）可以是（A．30cm B．35cm C．36cm考點七：勾股定理的應(yīng)用例7．如圖，玻璃杯的底面半徑為4cm，高為6cm，有一只長13cmA．1cm B．2cm C．3cm變式7-1．一艘輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一艘輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口1小時后，兩船相距（

）A．20海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里變式7-2．在“綜合與實踐”課—測量旗桿高度中，同學們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多出了2米．當把繩子向外拉直并使繩子底端剛好碰地時，經(jīng)過測量此時繩子底端距離旗桿底部6米（如圖所示），則旗桿的高度為米．考點八：利用勾股定理逆定理求解例8．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a?6+b?8+A．以a為斜邊的直角三角形 B．以b為斜邊的直角三角形C．以c為斜邊的直角三角形 D．等邊三角形變式8-1．如圖，點E在邊長為5的正方形ABCD內(nèi)，測得CE=3，DE=4，則陰影部分的面積是（

）A．12 B．16 C．19 D．25變式8-2．在△ABC中，已知AB=6cm，AC=10cm，BC=8cm，則△ABCA．40cm2 B．25cm2 C．考點九：勾股定理逆定理的應(yīng)用例9．如圖，一塊四邊形ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，A．24 B．30 C．48 D．60變式9-1．如圖，某港口M位于東西方向的海岸線上，勝利號，智能號兩輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，勝利號、智能號兩輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后勝利號、智能號兩輪船分別位于點A，B處，且相距20海里，如果知道勝利號輪船沿北偏西40°方向航行，則智能號輪船的航行方向是（

）A．北偏東50° B．北偏西50° C．北偏東40° D．北偏西40°

參考答案考點一：勾股定理的證明方法例1．勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（

）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：A．大正方形的面積等于四個矩形的面積的和，∴a+b2以上公式為完全平方公式，∴A選項不能說明勾股定理，符合題意；B．由圖可知三個三角形的面積的和等于梯形的面積，∴12整理得a2∴B選項可以證明勾股定理，不符合題意；C．大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，∴4×1整理得a2∴C選項可以證明勾股定理，不符合題意；D，大正方形的面積等于四個三角形的面積加小正方形的面積，∴4×1整理得a2∴D選項可以說明勾股定理，不符合題意．故選：A．變式1-1．如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，觀察圖形，可以驗證的式子為（

）A．a(chǎn)+ba?b=aC．c2=a【答案】C【詳解】解：由圖可得：大正方形的面積=c大正方形的面積=4個三角形的面積+1個小正方形的面積，∴c∴c故選：C．變式1-2．勾股定理從被發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史，人們對這個定理的證明找到了很多方法．我國數(shù)學家劉徽利用“出入相補”原理（一個平面圖形從一處移到另一處，面積不變；又若圖形分成若干塊，則各部分的面積和等于原來圖形的面積）也證明了勾股定理，如圖所示，這種證法體現(xiàn)的數(shù)學思想是（

）A．數(shù)形結(jié)合思想 B．分類思想 C．函數(shù)思想 D．歸納思想【答案】A【詳解】這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”，它體現(xiàn)的數(shù)學思想是數(shù)形結(jié)合思想，故選：A．考點二：勾股數(shù)問題例2．下列是勾股數(shù)的是（

）A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8【答案】C【詳解】解：A、三邊長2.5，2，1.5不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，不合題意；B、112C、92D、三邊長62故選：C．變式2-1．下列各組數(shù)據(jù)中是勾股數(shù)的是(

)A．0.3，0.4，0.5 B．1，2，3 C．4，5，7 D．5，12，13【答案】D【詳解】解：A、由題可知，三個數(shù)都不是正整數(shù)，故不符合題意；B、由題可知，數(shù)3不是正整數(shù)，故不符合題意；C、42D、52故選：D．變式2-2．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別為4，6，3，4，則最大正方形E的面積是（

）A．17 B．34 C．77 D．86【答案】C【詳解】解：如下圖：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1＝42+62，S2＝32+42，于是S3＝S1+S2，即可得S3＝16+36+9+16＝77．故選：C．考點三：利用勾股定理解直角三角形例3．等腰三角形的腰長為13，底邊長為10，它的頂角的平分線的長為（

）A．69 B．12 C．15 D．3【答案】B【詳解】解：如圖所示：∵等腰三角形的腰長為13，底邊長為10，∴AB=AC=13，BC=10，∵AD是∠BAC的角平分線，∴由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知AD⊥BC，且BD=CD=5，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=13，BD=5，則由勾股定理可得AD=A∴它的頂角的平分線的長為12，故選：B．變式3-1．在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=4，則AB的長為（

）A．5 B．7 C．5或7 D．6【答案】B【詳解】解：∵在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=4，∴AB=A故選：B．變式3-2．若直角三角形兩直角邊長分別為6和10，則它的第三邊長為（

）A．8 B．27 C．214 【答案】D【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊長分別為6和10，∴斜邊長為：62故選：D．考點四：勾股定理與網(wǎng)格問題例4．如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1，△ABC是（

）．A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】A【詳解】解：∵AC2=22+6即AB2+BC2∴△ABC不是直角三角形，不是等腰三角形．∵△ADC是鈍角三角形，∴△ABC是銳角三角形．故選：A．變式4-1．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上答案都不對【答案】A【詳解】解：∵正方形小方格邊長為1，∴BCACAB在△ABC中，∵BC2+A∴BC∴△ABC是直角三角形．故選：A變式4-2．如圖，在7×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，AD是BC邊上的中線，則AD的長為（

）A．22 B．352 C．29【答案】D【詳解】解：∵AB=∴A∴△ABC是直角三角形，BC是斜邊，又∵AD是BC邊上的中線，∴AD=故選：D．考點五：勾股定理與折疊問題例5．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點D、E分別在AC、BC上．現(xiàn)將△DCE沿DE翻折，使點C落在點C′處．連接AA．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在【答案】B【詳解】解：當C′落在AB上，點B與E重合時，A∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=A由折疊的性質(zhì)知，BC∴AC故選：B．變式5-1．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=6．將△ABC折疊，使點A落在BC的中點D處，折痕為MN，則線段DN的長為（

A．3132 B．92 【答案】C【詳解】解：設(shè)BN=x，由翻折的性質(zhì)可知AN=DN=9?x，∵D是BC的中點，BD=1在Rt△BDN中，由勾股定理得：D即(9?x)2解得：x=4，∴DN=9?x=5，故選：C．變式5-2．如圖，三角形紙片ABC中，∠BAC=90°,AB=2,AC=3，沿AD和EF將紙片折疊，使點B和點C都落在邊BC上的點P處，則AE的長是（）A．136 B．56 C．76【答案】A【詳解】解：∵沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊BC上的點P處，∴AP=AB=2，∠B=∠APB，∵折疊紙片，使點C與點P重合，∴CE=PE，∠C=∠CPE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠APB+∠CPE=90°，∴∠APE=90°，∴AP設(shè)AE=x，則CE=PE=3?x，∴22解得x=13即AE=13故選：A．考點六：用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題例6．如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為6πcm，一只螞蟻從點A爬到點B

A．6cm B．7cm C．10cm【答案】C【詳解】解：圓柱側(cè)面展開圖如圖所示：

在側(cè)面展開圖中，AC的長等于底面圓周長的一半，即12∵BC=8cm，AC=6cm，∴根據(jù)勾股定理得：AB=6∴要爬行的最短路程是10cm．故選：C．變式6-1．某扇門的規(guī)格是1m×2mA．1.8m×4m B．2m×3.5m【答案】D【詳解】門框的對角線長為12∵5≈2.236∴只有D選項的薄木板的寬大于2.236，即只有D選項的薄木板不可以通過．故選：D．變式6-2．一個長方形抽屜長20cm，寬30cm，貼抽屜底面放一根木棒，那么這根木棒最長（不計木棒粗細）可以是（A．30cm B．35cm C．36cm【答案】C【詳解】解：∵202+30∴這根木棒最長（不計木棒粗細）可以是36cm，故選：C．考點七：勾股定理的應(yīng)用例7．如圖，玻璃杯的底面半徑為4cm，高為6cm，有一只長13cmA．1cm B．2cm C．3cm【答案】C【詳解】解：如圖，由題意得：CD=2×4=8cm,BC=6cm，∴BD=C∴露出杯口外的長度為：13?10=3(cm)，故選：C．變式7-1．一艘輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一艘輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口1小時后，兩船相距（

）A．20海里 B．30海里 C．40海里 D．50海里【答案】A【詳解】根據(jù)題意，如圖所示，可知，∠BAC=90°，AB=16，AC=12，在Rt△ABC中，BCBC解得：BC=20，故兩船相距20海里故選：A變式7-2．在“綜合與實踐”課—測量旗桿高度中，同學們發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多出了2米．當把繩子向外拉直并使繩子底端剛好碰地時，經(jīng)過測量此時繩子底端距離旗桿底部6米（如圖所示），則旗桿的高度為米．【答案】8【詳解】解：設(shè)旗桿的高度為x米，則AB=x米，AC=x+2在Rt△ABC中，由勾股定理得AC∴x+22解得x=8，∴AB=8米，∴旗桿的高度為8米，故答案為：8．考點八：利用勾股定理逆定理求解例8．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a?6+b?8+A．以a為斜邊的直角三角形 B．以b為斜邊的直角三角形C．以c為斜邊的直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【詳解】解：∵a?6+∴a?6=0,b?8=0,c?10=0，解得a=6,b=8,c=10，∵a∴36+64=100，即a2∴△ABC是以c為斜邊的直角三角形，故選：C．變式8-1．如圖，點E在邊長為5的正方形ABCD內(nèi)，測得CE=3，DE=