上海市2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題分類解析：函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題6：函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一、選擇題

1^-

1.(上海市2024年3分)在函數(shù)、=—的圖象上有三點々39，北)、

X

A2(x2,>2)、43(%3，為)，已知勺6三至則下列各式中，正確的是【

A-

QD.

【答案】Co

【考點】反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)的性質(zhì)。

【分析】依據(jù)題意畫出圖形，再依據(jù)函數(shù)的增減性解答即可：

Vk>0,函數(shù)圖象如圖，

圖象在第一、三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小。

故選Co

2.(上海市2024年4分)二次函數(shù)y=-(x-Ip+3圖像的頂點坐標(biāo)是【

(A.)(-1,3)(B).(1,3)(C).(-1,-3)(D).(1,—3)

【答案】Bo

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)。

【分析】依據(jù)二次函數(shù)的頂點式的特點，干脆寫出頂點坐標(biāo)：(1,3)。故選B。

3.(上海市2024年4分)假如一次函數(shù)丁=依+)的圖象經(jīng)過第一象限，且與y軸負半軸

相交，那么【】A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<Q,b>0

D.k<0,b<0

【答案】Bo

【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】一次函數(shù)丁=6+匕的圖象有四種狀況:

①當(dāng)k>Q,b>0時,函數(shù)y=6+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限,y的值隨x的值增大

而增大;

②當(dāng)上>0,b<0時,函數(shù)y=6+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限,y的值隨x的值增大

而增大;

③當(dāng)左＜0,人＞0時,函數(shù)y=H+）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,y的值隨x的值增大

而減小;

④當(dāng)上<0,b<0時,函數(shù)y=6+5的圖象經(jīng)過其次、三、四象限,y的值隨x的值增大

而減小。

由題意得，函數(shù)y=6+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，k＜Q,b＞0。故選B。

4.（上海市2024年4分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+l經(jīng)過【

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).其次、三、四象限

【答案】A?

【考點】一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】一次函數(shù)丁=履+人的圖象有四種狀況:

①當(dāng)k>Q,b>0時,函數(shù)y=-+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限,y的值隨x的值增大

而增大;

②當(dāng)上＞0,匕＜0時,函數(shù)y=6+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限,y的值隨x的值增大

而增大;

③當(dāng)上＜0,匕＞0時,函數(shù)丁=6+人的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,y的值隨x的值增大

而減小;

④當(dāng)上＜0,匕＜0時,函數(shù)y=的圖象經(jīng)過其次、三、四象限,y的值隨x的值增大

而減小。

由題意得，函數(shù)y=x+l的左＞0,b＞0,故它的圖象經(jīng)過第一、二、三象限。故

選Ao

5.（上海市2024年I組4分）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=f—l與x軸的交點的個

數(shù)是【】

A.3B.2C.1D.0

【答案】B。

【考點】拋物線與x軸的交點。

【分析】拋物線＞=必-1與％軸的交點的個數(shù)即方程必-1=0不相等實數(shù)根的個數(shù)，有2

個，故選B。

6.（上海市2024年4分）拋物線y=2（x+機y+〃（m〃是常數(shù)）的頂點坐標(biāo)是【】

A.（m,ri）B.（―m,ri）C.（m,—n）D.（—m,—n）

【答案】Bo

【考點】拋物線的性質(zhì)。

【分析】因為拋物線y=2（%+加了+〃是頂點式，依據(jù)頂點式的坐標(biāo)特點，它的頂點坐標(biāo)

是（一根，n）o

故選Bo

k

7.（上海市2024年4分）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=—（左＜0）圖像的兩支分

別在【】

A.第一、三象限B.其次、四象限C.第一、二象限D(zhuǎn).第三、四

象限

【答案】Bo

【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)。

k

【分析】依據(jù)反比例函數(shù)（左w0）的性質(zhì)：當(dāng)左＞0時，圖象分別位于第一、三象限；

當(dāng)左＜0時，圖象分別位于其次、四象限：

k

?..反比例函數(shù)產(chǎn)生（左＜0）的系數(shù)左＜0,

X-

圖象兩個分支分別位于其次、四象限。

故選Bo

8.（上海市2024年4分）拋物線y=—（x+2）2—3的頂點坐標(biāo)是【】

(A)(2,-3)；(B)(一2,3)；(C)(2,3)；(D)(-2,-3).

【答案】Do

【考點】二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)。

【分析】由二次函數(shù)的頂點式表達式y(tǒng)=—(x+2”-3干脆得到其頂點坐標(biāo)是(一2,—3)。

故選D。

二、填空題

1.(2024上海市2分)假如正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,4),那么這個函數(shù)的解析式為

▲.

【答案】y=2x。

【考點】待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。

【分析】設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=kx,

?..正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,4),

...依據(jù)點在直線上，點的坐標(biāo)滿意方程的關(guān)系，得4=2k,解得k=2。

這個函數(shù)的解析式為y=2xo

2.(上海市2024年2分)拋物線y=p2-6%+3的頂點坐標(biāo)是▲.

【答案】(3,-6)o

【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)

【分析】把拋物線解析式的一般式配方為頂點式，再依據(jù)頂點式干脆寫出頂點坐標(biāo)：

,/y=x2-6x+3=(x-3)2—6,.,.拋物線y=%2一6%+3的頂點坐標(biāo)是(3,—6)。

3.(上海市2024年2分)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，從反比例函數(shù)y=V(k>0)的圖象上的一

點分別作x、y軸的垂線段,與x、y軸所圍成的矩形面積是12,那么該函數(shù)解析式是▲。

1?

【答案】y=—o

X

【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。

【分析】因為過雙曲線上隨意一點引X軸、y軸垂線，所得矩形面積S是個定值，即S=|k|：

依據(jù)題意,知|k|=12,k=±12,

又：k>0,.\k=12o

I?

該函數(shù)關(guān)系式為：y=—0

x

4.(上海市2024年3分)點A(2,4)在正比例函數(shù)的圖象上,這個正比例函數(shù)的解析式是▲

【答案】y=2x。￥

【考點】待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，曲線上的點與坐標(biāo)的關(guān)系。/

【分析】設(shè)這個正比例函數(shù)的解析式是,=依，因為點A（2,4）在該正比例函

數(shù)的圖象上，所以有4=2k,從而可求出左=2。從而得這個正比例函數(shù)的解析-----痂------?

式是y=2x?

5.（上海市2024年3分）假如將二次函數(shù)＞=2/的圖象沿y軸向上平移1個單位，那么

所得圖象的函

數(shù)解析式是▲

【答案】＞=2必+1。

【考點】二次函數(shù)圖象與平移變換。

【分析】干脆利用平移的規(guī)律“左加右減，上加下減”，在原函數(shù)上加1可得新函數(shù)解析式

丁=2/+1。金頷（單位：元）

6.（上海市2024年3分）某型號汽油的數(shù)量與相應(yīng)金額的關(guān)系如圖所示，509■—/

那么這種汽油的單價是每升▲元。\

【答案】5.09。/：

【考點】函數(shù)的圖象。o100數(shù)量（單位：升）

【分析】依據(jù)圖象知道100升油花費了509元，由此即可求出這種汽油的單價：單價

=509+100=5.09元。

7.（上海市2024年3分）如圖，正比例函數(shù)圖象經(jīng)過點A,該函數(shù)解析式是▲.

【答案】y=3x。

【考點】待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式。

【分析】設(shè)該正比例函數(shù)的解析式為y=辰，

由圖象可知，該函數(shù)圖象過點A（1,3）,.?.左=3。

該正比例函數(shù)的解析式為y=3%。

k

8.（上海市2024年4分）在平面直角坐標(biāo)系中，假如雙曲線y=—（左H0）經(jīng)過點（2,-1）,

x

那么左=

【答案】一2。

【考點】曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。

【分析】因為雙曲線y=々左wO）經(jīng)過點（2,-1）,所以（2,—1）滿意方程，即—1=人，從

x2

而上二一2。

2

9.（上海市2024年4分）反比例函數(shù)y=—圖像的兩支分別在第▲象限.

x

【答案】一、三。

【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)。

【分析】依據(jù)反比例函數(shù)y=2（左wO）的性質(zhì)：當(dāng)左〉。時，圖象分別位于第一、三象限；

X

2

當(dāng)左<0時，圖象分別位于其次、四象限：?..反比例函數(shù)y=—的系數(shù)左=2>0,...圖象兩

x

個分支分別位于第一、三象限。

10.（上海市2024年4分）一輛汽車在行駛過程中，路程y（千米）與時間x

（小時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示當(dāng)OWxWl時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為

y=60x,那么當(dāng)1WXW2時，y關(guān)于x的函數(shù)解析式為▲.

【答案】y=100x—40。

【考點】函數(shù)圖象，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。

【分析】在OWxWl時，把x=l代入y=60x,則y=60,那么當(dāng)1WXW2時由兩點坐標(biāo)（1,60）

與（2,160）

得當(dāng)1WXW2時的函數(shù)解析式為y=100x-40o

11.（上海市2024年4分）假如反比例函數(shù)y=±（左是常數(shù)，左二0）

X

的圖像經(jīng)過點（一1,2）,那么這個函數(shù)的解析式是▲.

【答案】"二2。

x

【考點】曲線上的點與方程的關(guān)系。

【分析】依據(jù)點在曲線圖上點的坐標(biāo)滿意方程的關(guān)系，把（—1,2）代

入y=￡,得2=巴，即左=—2,那么這個函數(shù)的解析式是y=

X-1X

12.（上海市2011年4分）一次函數(shù)y=3x-2的函數(shù)值y隨自變量x值的噌大而上（埴“嚕大”或“減

小”）.

【答案】噌大.

【考點】一次函數(shù)的性質(zhì).

【分析】由一次函數(shù)y=3x-2中k=3>0,根據(jù)一次函數(shù)的噌減性的性質(zhì)知，函數(shù)值y隨自變量x值的

噌大而增大.

13.（2012上海市4分）已知正比例函數(shù)月<x（*0）,點（2,-3）在函數(shù)上,則丫隨x的噌大而▲（噌

大或減?。?

【答案】減小.

【考點】正比例函數(shù)的性質(zhì)，直線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系.

【分析】.點（2,-3）在正比例函數(shù)y=kx（1#0）±,/.2k=-3,解得：k=--.

???正比例函數(shù)解析式是：y=-jx.

.\y隨x的增大而減小.

2

三、解答題

1.（2024上海市10分）如圖，已知拋物線y=2x2—4x+m與x軸交于不同的兩點A、B,

其頂點是C,點D是拋物線的對稱軸與x軸的交點.

（1）求實數(shù)m的取值范圍；

（2）求頂點C的坐標(biāo)和線段AB的長度（用含有m的式子表示）；

（3）若直線y=0x+l分別交x軸、y軸于點E、F,問ABDC與AEOF是否有可能全

等，假如可能，請證明；假如不行能，請說明理由.

【答案】解：（1）令y=o,則有2x'—4x+m=0,依題意有，△=16—8m>0,，m<2。

又：拋物線與y軸的交點在y軸正半軸上，上!!!〉。.

因此實數(shù)m的取值范圍為0<m<2。

22

（2）Vy=2x-4x+m=2（x-l）+m-2,AC（1,m—2）o

2

令y=0,2x—4x+m=0,貝!jx.+x?=2,x,x?=—（由（1）矢口上＞0）。

121222

2

^2-4—=V4-2mO

???AB=|X]-X2]=J（X]+X2）2-4|xrx2|

（3）在y=^/5x+l中令y=0,得x=-也,AE（一正

0）。

22

令x=0,得y=l,.*.F（0,1）o

/.0E=—,0F=lo

2

由（2）可得BD=3^應(yīng)，CD=2-mo

2

當(dāng)OE=BD時，—=^4~2-,解得m=l。

22

此時OF=DC=lo

又?.?/E0F=/CDB=90°,.-.ABDC^AEOF(SAS)。二兩三角形有可能全

等。

【考點】二次函數(shù)綜合題，一元二次方程的根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)

和應(yīng)用，全等三角形的判定。

【分析】(1)由圖象可知，拋物線與x軸有兩個交點，因此對應(yīng)的一元二次方程的根的判

別式4〉。，求解即可。

(2)干脆依據(jù)頂點式得到頂點坐標(biāo)和與x軸的交點坐標(biāo)，再求AB的長度。

(3)要求判定ABDC與AEOF是否有可能全都，即指探究全都的可能性，本題已有

ZCDE=ZE0F=90°,BD與0E或OF都可能是對應(yīng)邊，證出其中一種情形成馬上可。

2.(上海市2024年10分)如圖，直線y='x+2分別交x、y軸于

2

點A、C,P是該直線上在第一象限內(nèi)的一點，PBJ_x軸，B為垂足，

°SAABP=9>?

(1)求點P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點R與點P的同一個反比例函數(shù)的圖象上，且點R在直

線PB的右側(cè)，作RTLx軸，T為垂足，當(dāng)ABRI與△AOC相像時，求點R的坐標(biāo).

【答案】解：(1)由題意，得點C(0,2),點A(―4,0)。

設(shè)點P的坐標(biāo)為（a,—a+2）,其中a>0。

2

由題意，得SABP=—（a+4）（—a+2）=9,

△AABP22

解得a=2或a=-10（舍去）。

而當(dāng)a=2時，-a+2=3,二點P的坐標(biāo)為（2,3）。

2

k

（2）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=—

x

???點P在反比例函數(shù)的圖象上，..二:與，k=6。

2

...反比例函數(shù)的解析式為y=g

X

設(shè)點R的坐標(biāo)為（b,9）,點T的坐標(biāo)為（b,0）其中b>2,那么BT=b

b

6

-2,RT=-o

b

RTRTRTAQ

①當(dāng)△RTBsaAOC時，—,即1=2上=2,

AOCOBTCO

6

上=2,解得b=3或b=-1（舍去）。

b-2

.??點R的坐標(biāo)為（3,2）。

RT

②當(dāng)△RTBsz\C0A時,更，即M二空」

COAOBTAO2

6

=~,解得b=l+Jl1或b=l—屈（舍去）。

b-22

.??點R的坐標(biāo)為（1+V13,巫二^）。

2

綜上所述，點R的坐標(biāo)為（3,2）或（1+屈，U）

2

【考點】一次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，相像三角形的判定和性質(zhì)，解一

元二次方程。

【分析】（1）依據(jù)點在直線上，點的坐標(biāo)滿意方程的性質(zhì)，求出BP,AB的值從而可求出點

P的坐標(biāo)。

（2）設(shè)R點坐標(biāo)為（x,y）,求出反比例函數(shù).又因為△BRTS/^AOC,利用線段比

聯(lián)立方程組求出x,y的值。

3.（上海市2024年10分）盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分，在大橋截面1：11000

的比例圖上，跨度AB=5cm,拱高0C=0.9cm,線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DE〃AB。如圖，

在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數(shù)軸的單位長度，建

立平面直角坐標(biāo)系，如圖：

（1）求出圖上以這一部分拋物線為圖像的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域;

（2）假如DE與AB的距離0M=0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長（備用數(shù)據(jù)：J萬心1.4,

計算結(jié)果精確到1米）

Q

【答案】解:（DV頂點C在y軸上，???設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為y=ax2+-o

?..點A(---0)在拋物線上，=+—,Wa=--o

2I10125

所求函數(shù)解析式為：y=--x2+-f--<x<-L

12510122)

9Q9

（2）??,點D、E的縱坐標(biāo)為二，，二H------^#x=±—A/2O

2020125104

???點D的坐標(biāo)為（—士5四l，9二），點E的坐標(biāo)為（5?后l，9—）o

420420

.,?DE=9夜-（_*⑨二9后。

442

因此月河河流寬度為3后義H000X0.01=2750b385（米）。

2

【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用，曲線上的點與方程的關(guān)系。

o

【分析】（1）因為C在y軸上，故設(shè)拋物線的解析式為丫=2*2+,，把八點坐標(biāo)代入解析

式求出a即可。

（2）因為點D、E的縱坐標(biāo)相同，易求DE的長。

4.（上海市2024年10分）已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，0為坐標(biāo)原點，A、

B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側(cè)，如圖，二次函數(shù)

y=狽2+次+0（。。0）的圖象經(jīng)過點A、B,與y軸相交于點C。

（1）a,c的符號之間有何關(guān)系？

(2)假如線段0C的長度是線段OA、0B長度的比例中項，試證a、c互為倒數(shù);

(3)在(2)的條件下，假如b=-4,AB=473,求a、c的值。

【答案】解：(1)由圖可知：當(dāng)拋物線開口向下，即a<0時，c<0(如圖)；

當(dāng)拋物線開口向上，即a>0時，c>0；

因此a、c同號。

(2)設(shè)A(m,0),B(n,0),

拋物線的解析式y(tǒng)=av2+bx+c(a0)中，令y=0,得：

2

ax+bx+c-0o

2

0A*0B=mn=—,0C=o

a

VOA.QB=OC2,A-=c2,解得ac=l。

a

所以a、c互為倒數(shù)。

141

(3)由題意知：y=ax9-4xH■一,貝Um+n=一，mn=-

aaa1o

VAB=4V3,/.AB=48o

胃—4，=48

(n—m):48即(m+n)2—4mn=48,

\a)a

解得a=±Lc=±2。

2

11

因此a、c的值分別為：一、2或一一、一2。

22

【考點】二次函數(shù)綜合題，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

【分析】(1)依據(jù)A、B點的位置即可推斷出當(dāng)拋物線開口向下時，函數(shù)圖象與y軸交于負

半軸，當(dāng)拋物線開口向上時，函數(shù)圖象與y軸交于正半軸，即a、c同號。

(2)當(dāng)C0W)A?0B時，可用c表示出0C,用a、c表示出OA?OB,代入上式即可求得

a、c是否為倒數(shù)關(guān)系。

(3)沿用(2)的思路，首先將b值代入拋物線的解析式中，可依據(jù)韋達定理表示出

AB的長，幾何a、c的倒數(shù)關(guān)系，即可求得a、c的值。

5.(上海市2024年12分)數(shù)學(xué)課上，老師出示圖和下面框中條件。

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點，A點的坐標(biāo)為(1,0),點B在x軸上，且在點A的右側(cè),

AB=OA,過點A和B作x軸的垂線，分別交二次函數(shù)y=f的圖象于點c和D,直線0C交BD于點M,直線

CD交y軸于點H,記點C、D的橫坐標(biāo)分別為天?、“，點H的縱坐標(biāo)為yH.

同學(xué)發(fā)覺兩個結(jié)論：

②數(shù)值相等關(guān)系：茅。

（1）請你驗證結(jié)論①和結(jié)論②成立；

（2）請你探討：假如將上述框中的條件“A點坐標(biāo)（1,0）”改為“A點坐標(biāo)為

其他條件不變，結(jié)論①是否仍成立？（請說明理由）

（3）進一步探討：假如將上述框中的條件“A點坐標(biāo)（1,0）”改為“A點坐標(biāo)為

3=￡”，又將條件“y=￡”改為，其他條件不變，那么

吃、冷和y”有怎么樣的數(shù)值關(guān)系？（寫出結(jié)果并說明理由）

【答案】解：（1）由已知可得點8的坐標(biāo)為（2,0）,點C的坐標(biāo)為（1,1）,點D的坐

標(biāo)為（2,4）,由點C坐標(biāo)為（1,1）易得直線0C的函數(shù)解析式為）一

，點M的坐標(biāo)為（2,2）,

.3

?,S^CMD=LS梯形ABMC=2。

?t?^CMD-$梯形A8MC=2:3,即結(jié)論①成立。

設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為kfeKHZ

k+b=\k=3

則《得＜

2左+b=4b=-2

直線CD的函數(shù)解析式為

由上述可得，點H的坐標(biāo)為（0,-2）,yH=-2.

Vxc'XD-2,：.xc*xD--yH,即結(jié)論②成立。

（2）結(jié)論①仍成立，理由如下：

???點A的坐標(biāo)為②則點B坐標(biāo)為（2/,0）,從而點C坐標(biāo)為?,產(chǎn)）,

點D坐標(biāo)為。，4產(chǎn)），設(shè)直線0C的函數(shù)解析式為、=紅，則產(chǎn)得4一。

直線0C的函數(shù)解析式為

設(shè)點M的坐標(biāo)為（2/,y）,

:點M在直線0C上，.?.當(dāng)時，y=2〃，點M的坐標(biāo)為（2r,Z2）。

-1?SNCMD-S梯形A8MC=g，2”,；（戶+2/）=2:3。

...結(jié)論①仍成立。

（3）一、內(nèi)5—一理由如下：

ci

由題意，當(dāng)二次函數(shù)的解析式為且點A坐標(biāo)為（t,0）（/><）

時，點C坐標(biāo)為（t,a?）,點D坐標(biāo)為（Z,Act1）,設(shè)直線CD的函數(shù)解析式為

直線CD的函數(shù)解析式為

22

則點H的坐標(biāo)為（Q-^Z）,yH=-2at

x（j*XJJ=2廣，x（j*Xjj=—yj.[o

1a

【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。

【分析】（1）可先依據(jù)AB=OA得出B點的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線的解析式和A,B的坐標(biāo)得

出C,D兩點的坐標(biāo)，再依據(jù)C點的坐標(biāo)求出直線0C的解析式.進而可求出M點的坐標(biāo)，然

后依據(jù)C、D兩點的坐標(biāo)求出直線CD的解析式進而求出D點的坐標(biāo)，然后可依據(jù)這些點的坐

標(biāo)進行求解即可。

（2）（3）的解法同（1）完全一樣。

6.(上海市2024年10分)在直角坐標(biāo)平面中，0為坐標(biāo)原點，二次函數(shù)

y=必+"；+。的圖象與x軸的負半軸相交于點C(如圖)，點C的坐標(biāo)

為(0,-3)，且B0=C0

-4-2(i-2/4~6^

、求這個二次函數(shù)的解析式;

二、設(shè)這個二次函數(shù)的圖象的頂點為M,求AM的長.

【答案】解:(1)VC(0,-3),0C=|-3|=3,二。=-3。

又：0C=B0,.\B0=3,AB(3,0)。

：.9+3b-3=0,b=~2.

這個二次函數(shù)的解析式為y=/-2x-3。

(2),/j=%2—2%—3=(%—1)2—4,.'.M(1,—4)。

又由*-2x-3=0解得A(―1,0),

.,.AM=^(l+l)2+42=2A/5O

【考點】二次函數(shù)綜合題，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，勾股定理。

【分析】(1)由已知可得B(3,0),又C(0,-3),代入拋物線解析式可求》、。。

(2)求拋物線頂點坐標(biāo)和A點坐標(biāo)，在直角三角形中用勾股定理可求AM的長。

7.(上海市2024年12分)如圖，在直角坐標(biāo)系中，。為原點.點A在第一象限，

12

它的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的3倍，反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點A.

(1)求點A的坐標(biāo)(5分)；

(2)假如經(jīng)過點A的一次函數(shù)圖象與y軸的正半軸交于點8,且OB=A3,求

這個一次函數(shù)的解析式(7分)。

【答案】解：(1)由題意，設(shè)點A的坐標(biāo)為(a,3a),a>0.

?..點A在反比例函數(shù)y=—的圖象上，得3。=一，解得q=2,a,=—2。

xa

經(jīng)檢驗q=2,4=-2是原方程的根，但％=-2不符合題意，舍去。

...點4的坐標(biāo)為(26)。

(2)由題意，設(shè)點8的坐標(biāo)為(0,加).

m>0,:.m=yJ(m-6)-+2?,解得經(jīng)檢驗冽=§是原方

程的根。

.?.點8的坐標(biāo)為

設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+—,

..104O\C\

:一次函數(shù)圖象過點4(2,6),；.6=2左+可，得左=§。

410

...所求一次函數(shù)的解析式為丁=—x+—。

33

【考點】反比例函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法，曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。

【分析】(1)依據(jù)A點位置及坐標(biāo)特點，代入反比例函數(shù)解析式解方程即可求出4的坐標(biāo)。

(2)依據(jù)題意求B點坐標(biāo)，再求解析式。

m

8.(上海市2024年12分)如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)丁=一(%>0,加是常數(shù))

的圖象經(jīng)過A(l,4),B(a,b),其中a>l.過點A作x軸垂線，垂足為C,過點3作y軸

垂線，垂足為。，連結(jié)AD,DC,CB.

(1)若△A3。的面積為4,求點8的坐標(biāo)；

(2)求證：DC//AB；

(3)當(dāng)A￡>=5C時，求直線的函數(shù)解析式.

【答案】解：(1)?.?函數(shù)y=—(x>0,加是常數(shù))圖象經(jīng)過A(l,4),...mud。

設(shè)BDAC交于點E,據(jù)題意，可得8點的坐標(biāo)為,。點的坐

E點的坐標(biāo)為

4

*?,4Z>1,DB=ci>AE=4--o

由△ABD的面積為4,即一a=4,得a=3,.?.點8的坐標(biāo)為

2

(2)證明：依據(jù)題意，點C的坐標(biāo)為(1,0),則￡>石=1。

4

Va>l,易得EC=—,BE=aT,

a

4-1

BEa-1,AEa,BEAE

：.---=----=a-l,——=-=a-lo-------------=------------o

DE1CE4DECE

a

：.DC〃AB.

(3)...當(dāng)4)=3。時，有兩種狀況:

①當(dāng)A￡)〃3C時,四邊形AOCB是平行四邊形,

BE

由(2)得,--=a-1,ci-1=1,得a=2。

DECE

.,.點B的坐標(biāo)是(2,2)

設(shè)直線A3的函數(shù)解析式為y=6+b,把點A3的坐標(biāo)代入,

4=左+b,k=-2

得《解得1

2=2k+bb=6

：.直線AB的函數(shù)解析式是y=—2x+6。

②當(dāng)AD與所在直線不平行時，四邊形AOCB是等腰梯形，

則8D=AC,a=4,...點8的坐標(biāo)是(4,1)0

設(shè)直線的函數(shù)解析式為y=-+b,把點A3的坐標(biāo)代入,

,4=左+。，k=~l

得1解得4

l=4k+b.b=5

...直線AB的函數(shù)解析式是y=—x+5。

綜上所述，所求直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6或y=-x+5。

【考點】曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，待定系數(shù)法，兩直線平行的判定，平行四邊形的判

定和性質(zhì)，等腰梯形的判定和性質(zhì)。

rij

【分析】(1)由函數(shù)y=—(x>0,m是常數(shù))的圖象經(jīng)過AQ,4),依據(jù)點在曲線上點

x

的坐標(biāo)滿意方程的關(guān)系，求出函數(shù)關(guān)系式，從而由△A8D的面積為4求出點3的坐標(biāo)。

(2)由已知，求出——=——，即可證得QC〃⑷3。

DECE

(3)分A?！ê虯D與所在直線不平行兩種狀況探討即可。

9.(上海市2024年12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點.二次函數(shù)

y=—爐+法+3的圖像經(jīng)過點A(—1,0),頂點為8.1

A］

(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點8的坐標(biāo)(5分)；

(2)假如點。的坐標(biāo)為(4,0),AELBC,垂足為點E,點。在直線AE上，DE=1,

求點。的坐標(biāo)(7分).

【答案】解：(1)???二次函數(shù)>=—必+加；+3的圖像經(jīng)過點A(—1,0),

A0=-1-ZJ+3,得〃=2。所求二次函數(shù)的解析式為

y=-x2+2x+3

則這個二次函數(shù)圖像頂點B的坐標(biāo)為(1,4)。

(2)過點8作班'_Lx軸，垂足為點尸。

在RtZkBC/中，BF=4,CF=3,BC=5,

4

sinNBCF=—。

5

AJ7Ap4

在Rt^ACE中，sinZACE=—,又AC=5,可得——=—。

AC55

AE=4o

過點。作。軸，垂足為點由題意知，點//在點A的右側(cè),

AH_PHAD

易證△ADHSAACE.

~AE^~CEAC

其中CE=3,AE=4o設(shè)點。的坐標(biāo)為（x,y）,則AH=x+l,

DH=y.

①若點。在AE的延長線上，則AO=5,得山=』=3,

435

%=3,y=3。?,?點。的坐標(biāo)為(3,3)。

②若點。在線段AE上，則A￡>=3,得±里=2=3,

435

79，一(79、

x=—,y=］。???點。的坐標(biāo)為二卜

79

綜上所述，點D的坐標(biāo)為(3,3)或

M5

【考點】曲線上點的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，銳角三角函數(shù)定義，相像三

角形的判定和性質(zhì)。

【分析】(1)依據(jù)點在曲線上，點的坐標(biāo)滿意方程的關(guān)系，由二次函數(shù)>=-1+法+3的

圖像經(jīng)過點4-1,0),可求得人=2,從而得到二次函數(shù)的解析式。把二次函數(shù)的解析式化

為頂點式y(tǒng)=—(%―1J+4,可得這個二次函數(shù)圖像頂點8的坐標(biāo)為(1,4)o

(2)過點8作BE,龍軸，垂足為點E,過點。作。尤軸，垂足為點分

點。在AE的延長線上和點D在線段AE上兩種狀況分別求出點D的坐標(biāo)為(3,3)或

79

二’5

10.(上海市2024年12分)如圖，已知平面直角坐標(biāo)系xOy,拋物線y=—f+6x+c過點

A(4,0)、B(l,3).

(1)求該拋物線的表達式，并寫出該拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)；

(2)記該拋物線的對稱軸為直線1,設(shè)拋物線上的點P(m,n)在第四象限，點P關(guān)于直線1

的對稱點為E,

點E關(guān)于y軸的對稱點為F,若四邊形OAPF的面積為20,求m、n的值.

【答案】解：(1)將A(4,0)、B(l,3)兩點坐標(biāo)代入拋物線的方程得：

<,斛N_得：b=4,c=0

-12+/?+C=3

，拋物線的表達式為：y=-x2+4.xo

將拋物線的表達式配方得：y=-x2+