《通信原理》課件3第3章

第3章隨機(jī)信號分析3.1引言3.2隨機(jī)變量3.3隨機(jī)過程3.4隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3.5通信系統(tǒng)中的噪聲本章小結(jié)3.1引言在第2章中我們對確知信號進(jìn)行了分析。在實(shí)際通信系統(tǒng)中，攜帶消息的信號一般都帶有隨機(jī)性。同時(shí)，攜帶消息的信號在傳輸過程中，不可避免地要受到噪聲的干擾，噪聲一般也是隨機(jī)的。因此，廣泛地說，無論信號還是噪聲，兩者都是隨機(jī)的。它們不能表示成一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，要分析此類信號和噪聲的內(nèi)在規(guī)律性，只有找出它們的統(tǒng)計(jì)特性，根據(jù)隨機(jī)理論來描述。本章將對隨機(jī)信號和噪聲的數(shù)學(xué)模型——隨機(jī)過程作理論上的討論，并用隨機(jī)過程的理論來解決實(shí)際問題。3.2隨機(jī)變量3.2.1什么是隨機(jī)變量生活中有許多隨機(jī)變量的例子。例如：擲一枚硬幣出現(xiàn)正面與反面的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。我們規(guī)定數(shù)值1表示出現(xiàn)反面，數(shù)值0表示出現(xiàn)正面，這樣做就相當(dāng)于引入一個(gè)變量X，它將隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)值，而對應(yīng)每一個(gè)可能取的數(shù)值，有一個(gè)概率，這一變量X就稱之為隨機(jī)變量。當(dāng)隨機(jī)變量X的取值個(gè)數(shù)有限或無窮可數(shù)時(shí)，稱它為離散隨機(jī)變量，否則就稱之為連續(xù)隨機(jī)變量，即可能的取值充滿某一有限或無限區(qū)間。3.2.2概率及概率密度函數(shù)

1.概率及頻率密度函數(shù)的定義及性質(zhì)

離散隨機(jī)變量取某個(gè)值可能性的大小用概率來表示。如在上述投擲硬幣的試驗(yàn)中，由于硬幣出現(xiàn)正面和反面的可能性均為0.5，故隨機(jī)變量X取數(shù)值1和0的概率均為0.5，記作P(X=1)=0.5和P(X=0)=0.5。連續(xù)隨機(jī)變量X取值x的可能性大小用概率密度函數(shù)f(x)來表示，對概率密度函數(shù)積分等于概率。例如，隨機(jī)變量X取值小于等于x1的概率為概率密度有如下性質(zhì)：

(1)f(x)≥0

(2)

(3)

2.幾種常見的概率密度函數(shù)

1)均勻分布隨機(jī)變量X在(a,b)區(qū)間內(nèi)均勻分布的概率密度函數(shù)如圖3.2.1所示，其表達(dá)式為例如，正弦振蕩源所產(chǎn)生的振蕩信號的初相θ就是一個(gè)在(0,2π)上均勻分布的隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為(3-2-1)圖3.2.1均勻分布概率密度函數(shù)

2)高斯(Gauss)分布高斯分布(也稱為正態(tài)分布)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

其中,a和σ為常數(shù)。可以證明，a為均值，σ2為方差。此概率密度函數(shù)的曲線如圖3.2.2所示。圖3.2.2高斯分布隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)由概率密度函數(shù)表達(dá)式及曲線不難看出，f(x)有如下特點(diǎn)：①f(x)對稱于直線x=a，在x→±∞時(shí)，f(x)→0。②當(dāng)σ一定時(shí)，對于不同的a，表現(xiàn)為f(x)的圖形左右平移；當(dāng)a一定時(shí)，對于不同的σ，表現(xiàn)為f(x)的圖形將隨σ的減小而變高和變窄（曲線下的面積恒為1）。當(dāng)我們研究高斯噪聲對數(shù)字通信的影響時(shí)，通常對圖3.2.3（a）、（b）中陰影部分所對應(yīng)的概率感興趣。①當(dāng)b<a時(shí)，如圖3.2.3（a）所示，陰影部分的概率為

其中，稱為互補(bǔ)誤差函數(shù)。當(dāng)變量x的值給定時(shí)，可通過數(shù)學(xué)手冊查得eRFc(x)的值。為方便使用，附錄中給出了部分eRFc(x)的值。②當(dāng)b>a時(shí)，如圖3.2.3（b）所示，陰影部分的概率為圖3.2.3兩個(gè)有用的概率

3)瑞利分布通信原理中遇到的窄帶高斯噪聲的包絡(luò)是服從瑞利分布的，瑞利分布隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

式中σ2是窄帶高斯噪聲的方差，其曲線如圖3.2.4所示。(3-2-3)圖3.2.4瑞利分布隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)

4)萊斯分布正弦(或余弦)信號加上窄帶高斯噪聲包絡(luò)的瞬時(shí)值服從萊斯分布。萊斯分布隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為

式中,I0(x)為零階貝塞爾函數(shù)，A為正弦波的振幅。當(dāng)A=0時(shí)，萊斯分布退化為瑞利分布；當(dāng)A相對于噪聲較大時(shí)，萊斯分布趨近于正態(tài)分布。(3-2-4)圖3.2.5萊斯分布隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)3.2.3隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均值。對于離散隨機(jī)變量X，如果它可能的取值有x1，x2，x3，…，xn，其相應(yīng)的概率分別為P(x1)，P(x2)，P(x3)，…，P(xn)，則其數(shù)學(xué)期望的定義為

(3-2-5)對于連續(xù)隨機(jī)變量X，如果其概率密度函數(shù)為f(x)，則其數(shù)學(xué)期望的定義為

(3-2-6)

例3.2.3(1)測量某隨機(jī)電壓X，測得3.0V的概率為2/5；測得3.2V的概率為2/5；測得3.1V的概率為1/5，求該隨機(jī)電壓的數(shù)學(xué)期望。

(2)某連續(xù)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)

,其中a、σ2均為常數(shù)，求該隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

解

(1)由式(3-2-5)得

(2)由式(3-2-6)得

數(shù)學(xué)期望有如下特性：

(1)E(C)=C，C為常數(shù)；

(2)E(X+Y)=E(X)+E(Y);

(3)E(XY)=E(X)E(Y)，X、Y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立;

(4)E(X+C)=E(X)+C;

(5)E(CX)=CE(X)。

其中，X、Y為隨機(jī)變量。

2.方差隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量取值的集中程度。方差越小，說明隨機(jī)變量取值越集中；方差越大，說明隨機(jī)變量取值越分散。對于離散隨機(jī)變量X，設(shè)其均值為ax，則其方差定義為

(3-2-7)即隨機(jī)變量X與它的數(shù)學(xué)期望aX之差的平方的數(shù)學(xué)期望。方差有如下特性：

(1)D(C)=0，C為常數(shù)；

(2)D(X+Y)=D(X)+D(Y)，此式成立的條件是X、Y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立；

(3)D(X+C)=D(X);

(4)D(CX)=C2D(X);

(5)D(X)=E(X2)-E2(X)。如果X代表某隨機(jī)信號，則隨機(jī)信號的功率為

其中,為信號的直流功率；為信號的交流功率。

3.協(xié)方差、相關(guān)矩兩個(gè)隨機(jī)變量之間的協(xié)方差定義為

其中，E(XY)稱為兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y之間的相關(guān)矩，它是兩個(gè)隨機(jī)變量乘積的均值。這里有三個(gè)重要概念：

(1)當(dāng)協(xié)方差C(XY)=0時(shí)，相關(guān)系數(shù)ρ=0，稱兩個(gè)隨機(jī)變量是不相關(guān)的。

(2)當(dāng)相關(guān)矩E(XY)=0時(shí)，稱兩個(gè)隨機(jī)變量是正交的。

(3)當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于兩個(gè)隨機(jī)變量各自概率密度函數(shù)的乘積時(shí)，即f(x,y)=f(x)f(y)時(shí)，稱兩個(gè)隨機(jī)變量是獨(dú)立的。3.3隨機(jī)過程3.3.1隨機(jī)過程的定義隨機(jī)變量在時(shí)間t上的變化過程就是隨機(jī)過程。隨機(jī)過程可定義為隨機(jī)變量λ和時(shí)間t的函數(shù)，記為X(t,λ)。當(dāng)隨機(jī)變量λ取某個(gè)值，如λi時(shí)，隨機(jī)過程X(t,λi)=xi(t)為時(shí)間的確定函數(shù)。此時(shí)間函數(shù)稱為隨機(jī)過程X(t,λ)的一個(gè)樣本函數(shù)或隨機(jī)過程X(t,λ)的一次實(shí)現(xiàn)，隨機(jī)變量λ取不同值時(shí)得到不同的樣本函數(shù)。另一方面，對于一個(gè)特定的時(shí)間值，如t0，則X(t0,λ)是一個(gè)隨機(jī)變量，此隨機(jī)變量的取值與λ有關(guān)。所以，隨機(jī)過程任意時(shí)刻的取值是一個(gè)隨機(jī)變量。當(dāng)λ=λi，t=t0時(shí)，隨機(jī)過程X(t,λ)=X(t0,λi)為一個(gè)確定的值。通常我們使用X(t)來表示隨機(jī)過程。如隨機(jī)過程

X(t)=2cos(2πt+Y)其中，設(shè)Y是一個(gè)離散隨機(jī)變量，取0和π/2的概率相同，即P(Y=0)=1/2，P(Y=π/2)=1/2。當(dāng)隨機(jī)變量Y取值為0時(shí)，隨機(jī)過程X(t)為x1(t)=2cos(2πt)，是時(shí)間的一個(gè)確定函數(shù)，也是隨機(jī)過程X(t)=2cos(2πt+Y)的一個(gè)樣本函數(shù)。當(dāng)隨機(jī)變量Y取值為π/2時(shí)，隨機(jī)過程X(t)為x2(t)=2cos(2πt+π/2)=-2sin(2πt)，它也是時(shí)間的一個(gè)確定函數(shù)，是隨機(jī)過程X(t)=2cos(2πt+Y)的另一個(gè)樣本函數(shù)。由此可見，此隨機(jī)過程共有兩個(gè)樣本函數(shù)，如圖3.3.1所示。圖3.3.1隨機(jī)過程X(t)的樣本函數(shù)當(dāng)給定某個(gè)時(shí)間值，如t=0.5時(shí)，X(0.5)=2cos(2π×0.5+Y)=2cos(π+Y)，是一個(gè)隨機(jī)變量，取值及概率與Y有關(guān)。當(dāng)Y=0時(shí)，X(0.5)=2cos(π)=-2；當(dāng)Y=π/2時(shí)，X(0.5)=2cos(π+π/2)=0。由于Y=0及Y=π/2的概率都為1/2，所以，隨機(jī)變量X(0.5)取值為-2和0的概率都是1/2。3.3.2隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性設(shè)X(t)是一個(gè)隨機(jī)過程，則其任意時(shí)刻t1的取值X(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，該隨機(jī)變量的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)就定義為隨機(jī)過程X(t)的一維分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)，一維概率密度函數(shù)記為F1(x1;t1)。同樣，隨機(jī)過程X(t)的任意兩個(gè)不同時(shí)刻t1、t2的取值X(t1)、X(t2)是兩個(gè)不同的隨機(jī)變量，這兩個(gè)隨機(jī)變量之間的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合概率密度函數(shù)相應(yīng)地定義為隨機(jī)過程X(t)的二維分布函數(shù)和二維概率密度函數(shù)，二維概率密度函數(shù)記為F2(x1,x2;t1,t2)。隨機(jī)過程的n維分布函數(shù)和n維概率密度函數(shù)的定義與此類似。與隨機(jī)變量一樣，我們也常用統(tǒng)計(jì)平均(數(shù)字特征)來描述隨機(jī)過程。最常用的三個(gè)統(tǒng)計(jì)平均是數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)函數(shù)。

1.隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)過程X(t)在t1時(shí)刻的取值X(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量，此隨機(jī)變量可能是離散隨機(jī)變量也可能是連續(xù)隨機(jī)變量。設(shè)其為連續(xù)隨機(jī)變量，根據(jù)3.2節(jié)中數(shù)學(xué)期望的定義，此隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為

同樣，隨機(jī)過程在t2時(shí)刻的取值X(t2)也是一個(gè)隨機(jī)變量，此隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為

由此可以看出，不同時(shí)刻對隨機(jī)過程取值會(huì)得到不同的隨機(jī)變量，它們具有不同的數(shù)學(xué)期望，即隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望隨時(shí)間而變化。所以，隨機(jī)過程X(t)的數(shù)學(xué)期望的一般表達(dá)式為

(3-3-1)它是隨機(jī)過程在任意時(shí)刻t的取值X(t)所對應(yīng)的數(shù)學(xué)期望。如果隨機(jī)過程任意時(shí)刻的取值X(t)是一個(gè)離散隨機(jī)變量，則按離散隨機(jī)變量的方法求數(shù)學(xué)期望。一般情況下，隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與時(shí)間有關(guān)。

例3.3.1

有隨機(jī)過程定義為X(t)=2cos(2πt+Y)其中Y是離散隨機(jī)變量，等概地取兩個(gè)值Y=0和Y=π/2。求

(1)隨機(jī)過程在時(shí)刻t=0.5及t=1.0的數(shù)學(xué)期望a(0.5)和a(1.0)。

(2)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望a(t)。

解

(1)隨機(jī)過程X(t)=2cos(2πt+Y)在t=0.5時(shí)的值X(0.5)是一個(gè)隨機(jī)變量，即X(0.5)=2cos(π+Y)，此隨機(jī)變量有兩個(gè)值，分別為2cos(π)和2cos(π+π/2)，概率都為1/2。根據(jù)離散隨機(jī)變量求數(shù)學(xué)期望的方法求得

同理，t=1.0時(shí)的取值X(1.0)=2cos(2π+Y)也是一個(gè)隨機(jī)變量，取值為2cos(2π)和2cos(2π+π/2)時(shí)的概率都是1/2，所以

由此可知，隨機(jī)過程在t=0.5和t=1.0時(shí)有不同的數(shù)學(xué)期望。

(2)隨機(jī)過程任意時(shí)刻的取值X(t)=2cos(2πt+Y)也是一個(gè)離散隨機(jī)變量，取值為2cos(2πt)和2cos(2πt+π/2)，概率都為1/2。所以任意時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望為

這是隨機(jī)過程X(t)=2cos(2πt+Y)在任意時(shí)刻的數(shù)學(xué)期望。由此可以驗(yàn)證當(dāng)t=0.5和t=1.0時(shí)數(shù)學(xué)期望分別為-1和1。

2.隨機(jī)過程的方差及自相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的方差及自相關(guān)函數(shù)都是用數(shù)學(xué)期望來定義的。隨機(jī)過程任意時(shí)刻的方差為

(3-3-2)它代表時(shí)刻t時(shí)的隨機(jī)變量偏離均值的情況。一般情況下，隨機(jī)過程的方差也是隨時(shí)間變化的。隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)定義為任意兩個(gè)不同時(shí)刻所對應(yīng)的隨機(jī)變量的相關(guān)矩，即

(3-3-3)如果令t2=t1+τ，則上式表示為通常情況下，隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)t1及時(shí)間間隔τ有關(guān)。3.3.3平穩(wěn)隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，即隨機(jī)過程X(t)與X(t+ε)有相同的統(tǒng)計(jì)特性，ε是任意的時(shí)移，這樣的隨機(jī)過程稱為狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程有如下實(shí)用結(jié)論：

(1)

(3-3-4)即平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望不隨時(shí)間變化，是一個(gè)常數(shù)。

(2)(3-3-5)即平穩(wěn)隨機(jī)過程的方差與時(shí)間無關(guān)，也是一個(gè)常數(shù)。即平穩(wěn)隨機(jī)過程任意兩個(gè)時(shí)刻所對應(yīng)的隨機(jī)變量之間的相關(guān)函數(shù)，只與時(shí)間間隔有關(guān)，與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。只要時(shí)間間隔相同，它們之間的相關(guān)程度也是相等的。例如：當(dāng)t1-t2=t3-t4時(shí)，E［X(t1)X(t2)］=E［X(t3)X(t4)］。在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常將滿足式(3-3-4)、(3-3-5)及(3-3-6)的隨機(jī)過程稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。需要注意的是，狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程一定是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，而廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程不一定是狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程。以后如不特別說明，平穩(wěn)隨機(jī)過程都是指廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。(3-3-6)(3)

例3.3.2

考察隨機(jī)過程X(t)=Acos(2πfct+θ)的平穩(wěn)性。其中，A、fc是常數(shù)，相位θ是在區(qū)間(-π,π)上均勻分布的隨機(jī)變量。

解根據(jù)隨機(jī)過程數(shù)學(xué)期望的定義求出X(t)=Acos(2πFct+θ)的數(shù)學(xué)期望a(t)為

根據(jù)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的定義求出X(t)=Acos(2πFct+θ)的自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)為可見，隨機(jī)過程X(t)=Acos(2πfct+θ)的數(shù)學(xué)期望與時(shí)間無關(guān)，自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)。所以此隨機(jī)過程是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。滿足式(3-3-4)和式(3-3-6)的隨機(jī)過程一定滿足式(3-3-5)，這是因?yàn)榉讲钆c數(shù)學(xué)期望及自相關(guān)函數(shù)之間有如下關(guān)系：(3-3-7)顯然方差與時(shí)間無關(guān)，是個(gè)常數(shù)。例3.3.2中，方差為σ2(t)=R(0)-a2=A2/2。所以驗(yàn)證一個(gè)隨機(jī)過程是不是平穩(wěn)時(shí)，只要驗(yàn)證數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)是否滿足要求就可以了。3.3.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度由于隨機(jī)過程不是周期函數(shù)，因此無法用傅氏級數(shù)來表示它。同時(shí)，隨機(jī)過程的持續(xù)時(shí)間無限長，其能量為無窮大，所以也無法用頻譜或能量譜來描述它。但它的平均功率是個(gè)有限值，因此我們可以求出它的功率譜。由數(shù)學(xué)推導(dǎo)可知，平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度P(f)完全由自相關(guān)函數(shù)R(τ)決定，它們之間是一對傅氏變換，關(guān)系如下：

(3-3-8)

(3-3-9)

式(3-3-9)、(3-3-10)稱為維納-辛欽定理，它有著很重要的理論與實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。它表示：隨機(jī)過程的功率譜密度等于自相關(guān)函數(shù)的傅氏變換，自相關(guān)函數(shù)等于功率譜的傅氏反變換。由此可知，隨機(jī)過程的功率譜或自相關(guān)函數(shù)中只要知道其中的一個(gè)，利用維納-辛欽定理即可求得另一個(gè)。自相關(guān)函數(shù)是平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)重要概念，它不僅在時(shí)域描述隨機(jī)過程，而且通過對它的傅氏變換，還能反映平穩(wěn)隨機(jī)過程的頻域特性。下面再對平穩(wěn)隨機(jī)過程作較深入的認(rèn)識(shí)。

(1)由式(3-3-9)可知

可見，R(0)等于平穩(wěn)隨機(jī)過程的平均功率。由式(3-3-7)、(3-3-8)可知

其中，σ2是平穩(wěn)隨機(jī)過程的交流功率，a2是平穩(wěn)隨機(jī)過程的直流功率。上式說明平均功率等于交流功率和直流功率之和。

(2)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)R(τ)是個(gè)偶函數(shù)。由R(τ)的定義很容易得到

令t′=t+τ代入上式，得

(3)R(±∞)=a2。根據(jù)R(τ)的定義有X(t)與X(t±∞)是相距無窮遠(yuǎn)的兩個(gè)隨機(jī)變量，它們之間的取值毫無相關(guān)性，可以將它們看做相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，因此有由上分析可見，根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)R(τ)，可求出平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)、平均功率、直流功率及交流功率。

例3.3.3

題目同例3.3.2。求此隨機(jī)過程的功率譜密度和平均功率。

解由例3.3.2得自相關(guān)函數(shù)，由式(3-3-8)得功率譜密度函數(shù)為對功率譜密度函數(shù)積分即可得平均功率，即平均功率也可從很方便地求出，即可見，兩種方法得到的結(jié)果完全相同。

例3.3.4

有隨機(jī)過程Xc(t)=AX(t)cos(2πFct+θ)，其中X(t)是一個(gè)零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)為RX(τ)，功率譜密度函數(shù)為PX(F)。A、Fc是常數(shù)，相位θ是在區(qū)間(-π,π)上均勻分布的隨機(jī)變量。X(t)與θ相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

(1)證明Xc(t)是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。

(2)求Xc(t)的功率譜密度函數(shù)。

解

(1)

X(t)與θ相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，且E［X(t)］=0。

(2)因?yàn)镋［cos(4πFct+2πFcτ+2θ)］=0，隨機(jī)過程Xc(t)=AX(t)cos(2πFct+θ)的均值和自相關(guān)函數(shù)都不依賴于時(shí)間t，所以Xc(t)是廣義平穩(wěn)的。對自相關(guān)函數(shù)做傅氏變換即可得到Xc(t)的功率譜密度函數(shù)

。3.4隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)我們知道，隨機(jī)過程是以某一概率出現(xiàn)的樣本函數(shù)的全體。因此，隨機(jī)過程輸入到線性系統(tǒng)可以理解為隨機(jī)過程的某一樣本函數(shù)輸入到線性系統(tǒng)。由于隨機(jī)過程的樣本函數(shù)是時(shí)間的確定函數(shù)，因此我們完全可以用確知信號通過線性系統(tǒng)的分析方法來求得隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)時(shí)的輸出。設(shè)加到線性系統(tǒng)輸入端的是隨機(jī)過程X(t)的某一樣本函數(shù)x(t)，系統(tǒng)相應(yīng)的輸出為y(t)，則有(3-4-1)其中，h(t)為線性系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，與系統(tǒng)傳輸特性H(f)之間的關(guān)系如下：由于輸入隨機(jī)過程有很多可能的樣本函數(shù)x(t)，不同的輸入樣本函數(shù)x(t)對應(yīng)不同的輸出樣本函數(shù)y(t)，因此，當(dāng)線性系統(tǒng)的輸入是隨機(jī)過程時(shí)，它的輸出也是由很多樣本函數(shù)組成的一個(gè)隨機(jī)過程，我們將此輸出隨機(jī)過程記為Y(t)。Y(t)與輸入隨機(jī)過程X(t)的一般表達(dá)式為(3-4-3)有了輸出隨機(jī)過程Y(t)的表達(dá)式后，在已知輸入隨機(jī)過程X(t)的條件下求出Y(t)的均值、自相關(guān)函數(shù)及功率譜等數(shù)字特征，就可以討論輸出隨機(jī)過程的平穩(wěn)性。本節(jié)主要討論當(dāng)輸入X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，輸出隨機(jī)過程Y(t)的一些特性。由此得到的結(jié)論主要用于通信系統(tǒng)抗噪聲性能的分析。討論時(shí)，設(shè)E［X(t)］=aX,E［X(t)X(t+τ)］=RX(τ)。3.4.1輸出隨機(jī)過程Y(t)的數(shù)學(xué)期望輸出隨機(jī)過程Y(t)的數(shù)學(xué)期望為

由于E［X(t-u)］=aX，由式(3-4-2)得因此(3-4-4)由此可見，當(dāng)輸入隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)時(shí)，線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望也是常數(shù)。3.4.2輸出隨機(jī)過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)為了求得Y(t)的自相關(guān)函數(shù)，讓我們首先求出X(t)與Y(t)的互相關(guān)函數(shù)RXY(τ)。互相關(guān)函數(shù)RXY(τ)只與時(shí)間間隔τ有關(guān)，它等于RX(τ)與h(τ)的卷積。(3-4-5)現(xiàn)在來求自相關(guān)函數(shù)RY(τ)。(3-4-6)結(jié)合式(3-4-5)及式(3-4-6)得到(3-4-7)由此可得，當(dāng)輸入隨機(jī)過程X(t)平穩(wěn)時(shí)，輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。式(3-4-4)與式(3-4-7)表明，當(dāng)線性系統(tǒng)的輸入為平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，輸出隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望是常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，只依賴于時(shí)間間隔τ。顯然，輸出隨機(jī)過程也是平穩(wěn)的。3.4.3輸出隨機(jī)過程Y(t)的功率譜密度由式(3-4-7)可得

應(yīng)用時(shí)域卷積定理得

(3-4-8)其中，

。根據(jù)式(3-4-8)，在已知輸入隨機(jī)過程功率譜密度PX(F)及系統(tǒng)傳輸特性H(F)時(shí)，可求出輸出隨機(jī)過程的功率譜密度PY(F)。

例3.4.1

平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)輸入到一個(gè)RC低通網(wǎng)絡(luò)，X(t)的均值為0，自相關(guān)函數(shù)RX(τ)=exp(-α|τ|)。求輸出隨機(jī)過程的均值、方差、功率譜密度及自相關(guān)函數(shù)。

解

RC低通網(wǎng)絡(luò)的傳輸特性如下

其中，β=1/(RC)。根據(jù)式(3-4-4)可求得輸出隨機(jī)過程均值(數(shù)學(xué)期望)為

查表2-3-1可求得輸入隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)PX(F)為根據(jù)式(3-4-8)求得輸出隨機(jī)過程的功率譜密度PY(F)為

例3.4.2

設(shè)線性系統(tǒng)的輸入為X(t),輸出為Y(t)=X(t+a)-X(t-a),已知X(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，自相關(guān)函數(shù)為RX(τ)。試證明：

(1)

(2)

解

(1)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義，得(2)對RY(τ)求傅氏變換得Y(t)的功率譜密度為將式(3-4-3)所表示的輸出隨機(jī)過程Y(t)改寫成求和形式(3-4-9)3.4.4輸出隨機(jī)過程的概率分布對一般隨機(jī)過程來說，通過線性系統(tǒng)后，其概率分布特性會(huì)發(fā)生變化，而且沒有規(guī)律可尋。如輸入的隨機(jī)過程為均勻分布時(shí)，我們很難確定輸出隨機(jī)過程的分布特性。只有一種情況例外，那就是當(dāng)輸入是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程時(shí)，輸出過程仍然是高斯分布的。由于通信中的隨機(jī)過程大多被看做平穩(wěn)高斯過程，因此這一結(jié)論很重要。下面對此結(jié)論作簡單說明。當(dāng)輸入X(t)為平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程時(shí)，X(t-un)是t-un時(shí)刻對隨機(jī)過程X(t)的取值，是一個(gè)高斯分布的隨機(jī)變量，X(t-un)乘以常數(shù)h(un)Δun后仍然為高斯隨機(jī)變量，只是均值和方差有所改變。因此，式(3-4-9)中X(t-un)h(un)Δun的每一項(xiàng)都是高斯隨機(jī)變量。所以，輸出隨機(jī)過程Y(t)在任一時(shí)刻上的取值將是無窮多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和。通過數(shù)學(xué)方法可以證明，兩個(gè)高斯隨機(jī)變量之和仍然為高斯隨機(jī)變量。即當(dāng)X1與X2為高斯隨機(jī)變量時(shí)，Y=X1+X2也為高斯隨機(jī)變量，其均值為a1+a2，方差為

。其中,a1、a2和

、

分別是X1和X2的均值與方差，ρ12為X1和X2的相關(guān)系數(shù)。進(jìn)而得到這樣的結(jié)論：無窮多個(gè)高斯隨機(jī)變量之和仍然為高斯隨機(jī)變量。所以，平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后仍然為平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程。3.5通信系統(tǒng)中的噪聲3.5.1噪聲的分類

1.人為噪聲和自然噪聲按噪聲的不同來源可將噪聲分為人為噪聲和自然噪聲兩種。人為噪聲是指各種電氣設(shè)備、汽車的火花塞所產(chǎn)生的火花放電，高壓輸電線路的電暈放電，以及鄰近電臺(tái)信號的干擾等。自然噪聲包括大氣產(chǎn)生的噪聲，天體輻射的電磁波所形成的宇宙噪聲，以及通信設(shè)備內(nèi)部電路產(chǎn)生的熱噪聲和散彈噪聲等。

2.高斯分布噪聲和非高斯分布噪聲按噪聲幅度瞬時(shí)值的概率分布可將噪聲分成高斯噪聲和非高斯噪聲兩種。幅度瞬時(shí)值服從高斯分布的噪聲稱為高斯噪聲，否則稱為非高斯噪聲。

3.白噪聲和有色噪聲按噪聲功率譜可將噪聲分成白噪聲和有色噪聲兩種。如果噪聲的功率譜在很大頻率范圍內(nèi)是個(gè)常數(shù)，則稱此噪聲為白噪聲，否則稱為有色噪聲。

4.加性噪聲和乘性噪聲按噪聲對信號作用的方式可將噪聲分成加性噪聲和乘性噪聲兩種。如果噪聲與信號是相加關(guān)系，則稱此噪聲為加性噪聲，如s(t)是信號，n(t)是噪聲，則接收波形是s(t)+n(t)。如果噪聲對信號的影響是以相乘形式出現(xiàn)的，則稱此噪聲為乘性噪聲，如接收波形為s(t)n(t)。通過對通信系統(tǒng)的精心設(shè)計(jì)，許多噪聲是可以消除或部分消除的，但仍有一些噪聲無法避免。電路內(nèi)部電子運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的熱噪聲和散彈噪聲，以及宇宙噪聲就是對通信系統(tǒng)有較大的持續(xù)影響的噪聲，有時(shí)統(tǒng)稱這些噪聲為起伏噪聲。起伏噪聲是加性噪聲，通過采用適當(dāng)?shù)恼{(diào)制技術(shù)可以將它的影響降低到最小程度。3.5.2白噪聲起伏噪聲是影響通信系統(tǒng)性能的主要噪聲。熱噪聲、散彈噪聲和宇宙噪聲盡管形成的機(jī)理不同，但卻有一些共同的特點(diǎn)，那就是它們的幅度瞬時(shí)值都服從高斯分布，均值都為0，且在相當(dāng)寬的頻率范圍(如1012Hz)內(nèi)都具有平坦的功率譜密度，如圖3.5.1(a)所示，其功率譜表達(dá)式為(3-5-1)用n0/2表示雙邊功率譜密度，相應(yīng)地，n0就表示單邊功率譜密度，如圖3.5.1(b)所示。具有平坦功率譜密度的噪聲稱為白噪聲。所以通信系統(tǒng)中的起伏噪聲是零均值高斯白噪聲。在后面通信系統(tǒng)抗噪聲性能的分析中，都假設(shè)信道中的噪聲是均值為0的加性高斯白噪聲(AdditiveWhiteGassianNoise，縮寫為AWGN)。顯然，這種假設(shè)是合理的。白噪聲的自相關(guān)函數(shù)Rn(τ)是功率譜密度的傅氏反變換，為

(3-5-2)如圖3.5.1(c)所示。顯而易見，當(dāng)τ≠0時(shí)，

。這一結(jié)果的物理意義是：白噪聲任意兩個(gè)不同時(shí)刻的瞬時(shí)值之間是不相關(guān)的。如果白噪聲服從高斯分布，我們稱其為高斯白噪聲，此時(shí)任意兩個(gè)不同時(shí)刻的瞬時(shí)值之間也是獨(dú)立的。圖3.5.1白噪聲的功率譜密度及自相關(guān)函數(shù)3.5.3低通型白噪聲白噪聲通過理想低通濾波器后得到的噪聲稱為低通型白噪聲。設(shè)理想低通濾波器的傳輸特性為

根據(jù)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后的功率譜公式，白噪聲輸入到低通濾波器后，低通濾波器輸出端噪聲的功率譜為

(3-5-3)如圖3.5.2所示。圖3.5.2白噪聲通過低通濾波器對式(3-5-3)所示的功率譜密度求積分，可得到低通濾波器輸出端的噪聲功率。當(dāng)白噪聲的均值為零時(shí)，噪聲功率與方差是相同的，此時(shí)低通型白噪聲的方差為對式(3-5-3)所示的功率譜密度求傅氏反變換，可得低通型白噪聲的自相關(guān)函數(shù)RY(τ)為(3-5-4)自相關(guān)函數(shù)RY(τ)的波形如圖3.5.3所示。它是Sa(x)函數(shù)，有等間隔的零點(diǎn)。當(dāng)τ=±k/2B(k=1,2,3,…)時(shí)，RY(τ)=0。這個(gè)結(jié)論的物理意義是：低通白噪聲上間隔為τ=±k/2B(k=1,2,3,…)的兩個(gè)瞬時(shí)值之間是不相關(guān)的，如果白噪聲是高斯分布的，則這兩個(gè)瞬時(shí)值也是相互獨(dú)立的。圖3.5.3低通型白噪聲的自相關(guān)函數(shù)3.5.4帶通型白噪聲及窄帶高斯噪聲

1.帶通型白噪聲白噪聲通過理想帶通濾波器后的輸出噪聲稱為帶通型白噪聲。設(shè)理想帶通濾波器的中心頻率為Fc，帶寬為B，傳輸特性為

則帶通型白噪聲的功率譜密度PY(F)為

如圖3.5.4所示。圖3.5.4白噪聲通過帶通濾波器噪聲方差

為如圖3.5.4(d)所示。帶通型白噪聲的自相關(guān)函數(shù)是以n0BSa(πBτ)為包絡(luò)，再填進(jìn)頻率為fc的載波組成。由圖可見，使RY(τ)=0的τ值很多，以這樣的τ為間隔對帶通型白噪聲取值，所得到的兩個(gè)值是不相關(guān)的，當(dāng)白噪聲為高斯分布時(shí)，這兩個(gè)值之間也是獨(dú)立的。帶通型白噪聲的自相關(guān)函數(shù)RY(τ)為

2.窄帶高斯噪聲當(dāng)帶通濾波器為窄帶濾波器，即B<<fc，且輸入是零均值平穩(wěn)高斯噪聲時(shí)，輸出的噪聲稱為窄帶高斯噪聲。根據(jù)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)這一節(jié)得到的結(jié)論，我們知道窄帶高斯噪聲也是平穩(wěn)的，且均值為0，功率譜密度如圖3.5.5(a)所示。此功率譜所對應(yīng)的時(shí)間波形，是一個(gè)包絡(luò)和相位都緩慢變化的，頻率為Fc的余弦信號(可用示波器觀測)，波形如圖3.5.5(b)所示。因此，窄帶高斯噪聲的一般表示式為

(3-5-5)圖3.5.5窄帶高斯噪聲的功率譜和時(shí)間波形其中，R(t)≥0為隨機(jī)包絡(luò)過程，φ(t)為隨機(jī)相位過程，它們都是低通型功率信號。對式(3-5-5)進(jìn)行三角公式展開，得：

(3-5-6)式中

(3-5-7)

(3-5-8)式(3-5-6)為窄帶平穩(wěn)高斯噪聲的正交表示，同相和正交分量的大小分別用nI(t)和nQ(t)來表示。由式

(3-5-7)和式(3-5-8)可知，nI(t)和nQ(t)也是緩慢變化的隨機(jī)過程。在通信系統(tǒng)抗噪聲性能的分析中經(jīng)常要用到噪聲的正交表達(dá)式，并且還需要知道nI(t)和nQ(t)這兩個(gè)隨機(jī)過程的有關(guān)統(tǒng)計(jì)特性。當(dāng)ni(t)是平穩(wěn)窄帶高斯噪聲且均值為0、方差為

時(shí)，經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得如下結(jié)論：

(1)nI(t)和nQ(t)都是平穩(wěn)高斯過程，所以nI(t)和nQ(t)任意時(shí)刻的取值都是高斯隨機(jī)變量。

(2)E［nI(t)］=E［nQ(t)］=E［ni(t)］=0，即均值相等，都為0。

(3)D［nI(t)］=D［nQ(t)］=D［ni(t)］=

，即方差相等，都為

。

(4)nI(t)、nQ(t)在同一時(shí)刻的取值是線性不相關(guān)的隨機(jī)變量，又因?yàn)樗鼈兌际歉咚沟模砸彩墙y(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

(5)從式(3-5-6)中看出，由于Fc頻率分量單獨(dú)提出來，因此nI(t)、nQ(t)為低通型噪聲。在采用包絡(luò)解調(diào)通信系統(tǒng)抗噪聲性能的分析中，還會(huì)用到窄帶高斯噪聲ni(t)及窄帶高斯噪聲加正弦波ni(t)+Acos2πFct的包絡(luò)的有關(guān)統(tǒng)計(jì)特性。

3.窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位式(3-5-5)是用包絡(luò)和相位表示的窄帶高斯噪聲的時(shí)域表達(dá)式，利用式(3-5-7)和式(3-5-8)可得包絡(luò)和相位表達(dá)式為經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到，包絡(luò)R(t)的瞬時(shí)值服從瑞利分布，相位φ(t)的瞬時(shí)值服從均勻分布，它們的概率密度函數(shù)分別為

同時(shí)可以證明，R(t)和φ(t)的瞬時(shí)值是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。

4.窄帶高斯噪聲加正弦波的包絡(luò)很多通信系統(tǒng)中的信息信號被模型化為正弦波Acos2πfct，其中，A、fc是常數(shù)。當(dāng)信息信號到達(dá)接收機(jī)時(shí)，通常伴隨著加性窄帶高斯噪聲，也就是說，接收信號是信息信號和窄帶高斯噪聲的混合物，即接收信號Z(t)=Acos2πFct+ni(t)。為分析噪聲對信息信號幅度的影響，我們需要確定接收信號包絡(luò)的概率密度函數(shù)。將窄帶高斯噪聲ni(t)表示成正交形式，Z(t)為

Z(t)的包絡(luò)