2024年中考押題預測卷2（山西卷）數學（全解全析）

2024年中考押題預測卷

數學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第n卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.一2024的倒數是（）

A.-2。24B.2024C.一募D.募

【答案】C

【分析】本題考查了倒數定義，根據題意利用倒數定義（互為倒數的兩個數乘積為1）即可得出本題答案.

【詳解】解：???-2024x（—茄=1

-2024的侄！|數為-202.4

故選：C.

2.下列圖中，是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】此題考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊

后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180。后與原圖重合.

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；

B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

c、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，不符合題意；

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意；

故選：D.

3.下列運算正確的是()

A.(aZ?3)2=a2b6B.a2-a4=asC.2a6+a3-2cz9D.(a+b)2=a2+b2

【答案】A

【分析】本題考查了合并同類項，同底數哥的乘法，積的乘方，完全平方公式，根據合并同類項，同底數

寨的乘法，積的乘方，完全平方公式逐項分析即可.

【詳解】解：A、(ab3y=a2b6,故選項A符合題意；

B、a2-a4=a6,故選項B不符合題意；

C、2a6與a3不是同類項，不能合并，故選項C不符合題意；

D>(a+b)2=a2+2ab+b2,故選項D不符合題意；

故選：A.

4.2023年10月26日11時14分，神舟十七號飛船成功發(fā)射，將湯洪波、江新林、唐勝杰三位宇航員送入

了中國空間站.這是中國載人航天工程進入空間站應用與發(fā)展階段的第2次載人飛行任務，是工程立項實

施以來的第30次發(fā)射任務.已知中國空間站繞地球運行的速度約為7.68x103m/s,則中國空間站繞地球運

行2x103s走過的路程(m)用科學記數法可表示為()

A.15.36x106B.1.536x106C.1.536x107D.0.1536x108

【答案】C

【分析】本題考查用科學記數法表示較大的數，一般形式為aX10n,其中1<|a|<10,幾可以用整數位數

減去1來確定.用科學記數法表示數，一定要注意a的形式，以及指數n的確定方法.根據路程等于速度乘

以時間，將結果用科學記數法表示即可.

【詳解】解：???中國空間站繞地球運行的速度約為7.68xl()3m/s,運行時間為2x103s,

走過的路程為：7.68x103x2x103=15.36x106=1.536x107(m).

故選：C.

5.如圖，4B是半圓的直徑，圓心為0.若4B的長為6,貝I弦4C的長為()

AOB

A.6sinZB.6cosZC.—D.6tanX

cosA

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，解直角三角形.連接2C,根據直徑所對的圓周角是直角可得乙4cB=90。,

然后在內△ABC中，利用銳角三角函數的定義進行計算，即可解答.

【詳解】解：連接BC,

A°昆-AB是半圓。的直徑,

???4ACB=90°,

在Rt△力中，AB=6,

AC=AB-cos4=6cos力，

二弦AC的長為6cos力，

故選：B.

6.已知蓄電池的電壓為定值，使用某蓄電池時，電流/（單位：A）與電阻R（單位：Q）是反比例函數關系,

它的圖象如圖所示，則當電阻為4。時，電流為（）

【答案】C

【分析】此題考查了反比例函數的實際應用，先根據待定系數法求出解析式，R=4。代入函數求值即可,

熟練掌握反比例函數的圖象及性質是解題的關鍵.

【詳解】設電流/與電阻R函數關系為/=J

R

?.?圖象經過點（8,3）,

解得：k=24；

36

R

當R=4Q時，/=^=6(A),

4

故選：c.

7.如圖，小穎將一副三角尺按圖中所示位置擺放，點F在4C上，其中NACB=90。,N4BC=60°,AEFD=90°,

C.45°D.75°

【答案】D

【分析】本題考查三角形的內外角關系、平行線的性質以及平角的定義，尋找角與角之間的關系是解決本

題的關鍵.

根據平行線得到ZBGF=40=45。，結合內外角關系得到Z2FG,結合平角的定義即可得到答案.

【詳解】解：：乙EFD=90°,乙DEF=45°,AACB=90°,AABC=60°,

???乙D=45°,乙4=30°,

ABWDE,如下圖:

?-?/.BGF=4D=45°,

???乙FGB=乙4+Z.AFG,

???Z4FG=45°-3O°=15°,

???Z.EFD=90°,

???乙EFC=180°-90°-15°=75°.

故選：D.

8.如表中列出的是一個二次函數的自變量x與函數y的幾組對應值:

X-2013

y6一4—6一4

下列結論：①拋物線的開口向上；②其圖象的對稱軸為X=1；③當”>|時；函數值y隨X的增大而增大；④

方程a/+bx+c=0有一個根大于4.其中正確的是（）

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

【答案】B

【分析】本題考查拋物線與％軸的交點，二次函數的性質以及二次函數圖象上點的坐標特征.設出二次函數

的解析式，根據表中數據求出函數解析式，然后化成頂點式，根據二次函數的性質即可判斷.

【詳解】解：設二次函數的解析式為丫=。K2+/?%+的

’4a—2b+c=6

由題意知：c=—4,

、a+b+c=-6

a=1

解得b=—3,

c=—4

二二次函數的解析式為y=%2-3%-4=（x-4）（%+1）=（久一|）-

①函數圖象開口向上，故①選項正確；

②對稱軸為直線x=|,故②選項錯誤；

③當x>|時，函數值y隨x的增大而增大，故③選項正確；

④方程/一3x-4=0的解為X1=-1,x2=4,故④選項錯誤.

故選：B.

9.如圖，在RtAABC中，ZXCB=90°,先以點C為圓心畫弧，使其恰好與4B邊相切于點E,再以BC邊為

直徑，在2c邊的上方作半圓且恰好經過點￡若4C=BC=2,則圖中陰影部分的面積為（）

【答案】A

【分析】本題考查了扇形面積和等腰直角三角形等知識，連接CE,根據對稱性可得兩個陰影面積和是AACE

的面積減去弓形CE的面積，然后求解即可.

【詳解】解：連接CE,

以點C為圓心畫弧，使其恰好與4B邊相切于點E,

：.CELAB,

AC=BC=2,^ACB=90°,

：.AB=VXC2+BC2=2V2,

'.AE-BE=-AB=V2,

2

△4CB關于CE所在直線對稱，

...下方陰影與上方空白處重合，

???兩個陰影面積和是△4CE的面積減去弓形CE的面積,

A4CE的面積=|xV2XV2=1,

弓形CE的面積=［（S半圓—SXBCE）=

陰影面積為：1一件一；）w，

\42724

故選：A.

10.如圖所示,直線y=-江+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點，△40B繞點A順時針旋轉90。后得到△AO1B1

按此規(guī)律繼續(xù)旋轉，則第2025次旋轉結束后，點4025的坐標為（）

A.(3,4)B.(7,4)C.(7,3)D.(3,7)

【答案】B

【分析】本題考查了坐標與圖形變化-旋轉：圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出

旋轉后的點的坐標，以及一次函數與坐標軸交點的問題，熟練掌握各知識點是解決本題的關鍵.

先依次求出/，/，生，區(qū)的坐標，以此發(fā)現規(guī)律為4次一循環(huán)，而第2025次后點2的坐標與為重合，即可求

解.

【詳解】解：對于y=-|x+3,當x=0,y=3,y=0時，一|x+3=0,解得％=4,

：.AO=4,OB=3,

???第一次旋轉后，根據旋轉的不變性得名(4+3,4),即4(7,4),

第二次旋轉后區(qū)(4+4,-3),即%(8,-3),

第三次旋轉后口3(4-3,-4),即叢(1,—4),

第四次旋轉后與點8重合，B4(0,3),

發(fā)現4次一循環(huán)，而2025+4=506…1,

.?.第2025次旋轉結束后，點B2025與點4(7,4)重合，...BzgOA),

第n卷

二、填空題(本大題共5個小題，每小題3分，共15分)

11.已知xy=2,x—y=5,貝［J/y—.

【答案】10

【分析】本題考查了因式分解得應用，代數式求值，利用提公因式法可得久2y-xy2=孫仁―y),把孫=2,

x-y=5代入計算即可求解，正確利用因式分解對原式進行轉化是解題的關鍵.

【詳解】解：x2y—xy2-xy(x—y)-2x5-10,

故答案為：10.

12.《直指算法統宗》中有如下問題：“今有白米一百八十石，令三人從上及和減率分之，只云甲多丙三十

六石，問：各該若干？”其大意為：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人來分，甲、乙白米相差數與乙、

丙白米相差數一樣(甲的白米比乙多，乙的白米比丙多)，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多

少白米？”設乙分得白米無石，則可列方程為.

【答案】(%+18)+%+(%—18)=180

【分析】本題考查一元一次方程的應用，設乙分得白米x石，得出甲、丙分得白米數，由甲、乙、丙三人分

得之和為180石列出方程即可.找準等量關系來列方程是解題的關鍵.

【詳解】解：若設乙分得白米x石，

???甲、乙白米相差數與乙、丙白米相差數一樣，甲比丙多分三十六石，

甲、乙白米相差數與乙、丙白米相差數都是18石，

二甲分得白米(％+18)石,丙分得白米(％-18)石,

又?.?甲、乙、丙三人來分這一百八十石，即甲、乙、丙三人分得之和為180石，

.,.可得方程：(x+18)+久+(x—18)=180.

故答案為：(x+18)+x+(x-18)=180.

13.若反比例函數y=-:的圖象與正比例函數y=(n-6)x(n為常數)的圖象有兩個交點，貝比的取值范

圍是.

【答案】n<6/6>n

【分析】本題主要考查了一次函數與反比例函數綜合，一元二次方程根的判別式，聯立兩函數解析式得到

(n-6)x2+2=0,再根據題意可得方程(n-6)/+2=。有兩個不相等的實數根，據此利用判別式求解即

可.

(__2

【詳解】解：聯立'一—或得⑺一6)/+2=0,

ly=(n—6)x

?.?反比例函數y=—|的圖象與正比例函數y=(n—6次(律為常數)的圖象有兩個交點，

二方程(n-6)x2+2=0有兩個不相等的實數根，

.,.△=0-4x2(n-6)>0,

??71<6,

故答案為：n<6.

14.春回大地萬物生，“微故宮”微信公眾號設計了互動游戲，與大家攜手走過有故宮貓陪伴的四季.游戲規(guī)

則設計如下：每次在公眾號對話框中回復【貓春圖】，就可以隨機抽取7款“貓春圖”壁紙中的一款，抽取次

數不限，假定平臺設置每次發(fā)送每款圖案的機會相同，小春隨機抽取了兩次，她兩次都抽到“東風紙鶯”的概

率是?

九九圓滿煥新春浴東風紙鶯秋千飛蕩品品春茶賞花撲蝶春游晚歸

【答案。

【分析】本題考查了列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于

兩步完成的事件；樹狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回實驗還是不放回實

驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

根據題意列出表格，數出所有的情況數和符合條件的情況數，即可解答.

【詳解】解：設7款壁紙分別為A、B、C、D、E、F、G,

根據題意列出表格如下：

ABcDEFG

A(44)(4B)(4C)(4D)(4E)(4F)(4G)

B(B,A)(B,B)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(B,G)

C(C,A)(C,B)(C,C)(C,D)(C,E)(C,F)CG)

D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)(D,E)(D,F)(D,G)

E(E,4)(E,B)(E,C)(G,E)(E,E)(E,F)(E,G)

F(F,4)(F,B)(F,C)(G,F)(F,E)(F,F)(F,G)

G(GM)(G,B)(G,C)(G,D)(G,E)(G,F)(G,G)

由表可知，一共有49種情況，她兩次都抽到“東風紙鶯”的情況有1種,

???她兩次都抽至!]“東風紙鶯”的概率=2，

49

故答案為：去.

49

15.如圖，四邊形力BCD是邊長為6的菱形，NB=60。，點E、尸分別是BC、CD邊上的動點（不與B、C、

。重合），連接AE、EF、AF,若A4EF是等邊三角形，則△CEF周長的最小值為.（結果保留根號）

【分析】本題考查了菱形的性質、等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、垂線段最短、解

三角形等知識點，解題的關鍵是正確作出輔助線.

連接4C,易證△ABC與△/!（?￡）是等邊三角形，再結合等邊三角形的性質可證AABE三△4CF,貝=CF,

于是ACEF的周長轉化為4B+4E,由于當4E1BC時2E最短，于是即可得到答案.

【詳解】如圖，連接2C.

?.28=60。，四邊形4BCD是菱形，

：.AB=BC,則八ABC是等邊三角形.

：.AB=AC,/-BAC=60°,

由44EF是等邊三角形知，LEAF=60°,

=Z.BAC-/.EAC=60°-Z.EAC,/.CAF=Z.EAF-Z.EAC=60°-Z.EAC,

J./-BAE=/.CAF.

由菱形ABCD知，ZD=ZB=60°,AD=CD,

...△ACO也是等邊三角形，則乙4CF=60。.

^.BAE=/.CAF

在AZBE與AACF中，AB=AC,

.^ABE=AACF

：.AABE=△71CF(ASA),

：.BE=CF.

；.△CEF的周長=EC+CF+EF=EC+BE+AE=BC+AE=AB+AE.

當ZE為△ABC的邊BC上的高時，4E最短，此時△CEF的周長最短.

此時，AE=AB-sinzS=6Xsin60°=3V3.

△CEF周長的最短值為6+3V3.

故答案為：6+3V3.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(10分)(1)計算：Q1-2024°+|/一1|；

(2)化簡：—

【答案】(1)V2；(2)二

X-1

【分析】本題考查分式的混合運算、實數的運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵.

(1)根據零指數募、零指數幕和絕對值計算即可；

(2)先算括號內的式子，再算除法即可.

【詳解】解：⑴2024°+|a-1|

=2-1+V2-1

=V2;

⑵(i+￡HT)

%+1%2—1

XX

X+1X

X(X+1)(%—1)

1

~X—1,

17?(7分)解方程：言+黑=2.

【答案】x=6

【分析】本題主要考查解分式方程，方程兩邊都乘以(x+3)(%-3)得出6x+%(%-3)=2(x+3)(%-3),

求出方程的解，再進行檢驗即可

【詳解】解：先+2=2

x2-9x+3

方程兩邊都乘以(x+3)(%-3)得

6x+%(%—3)=2(%+3)(%—3),

整理得，%2-3%-18=0,

(%—6)(x+3)=0

解得，%!=6,x2=-3,

檢驗：當％=6時，(x+3)(%-3)H0,所以，x=6是分式方程的解；

當％=-3時，(x+3)(x-3)=0,所以，刀=一3是增根，

所以，分式方程的解是％=6

18.(9分)某中學組織七、八年級開展了以“學法明理、守法立身”為主題的普法知識競賽，為了解學生掌

握普法知識的情況，分別從七年級和八年級各隨機抽取了50名學生的競賽成績(滿分：100分)進行整理、

描述和分析，給出以下部分信息：

a.八年級50名學生競賽成績的頻數分布直方圖：

(數據分成5組：50<%<60,60<%<70,70<%<80,80<%<90,90<%<100.)

八年級50名學生競賽成績

的頻數分布直方圖

c.七、八年級各隨機抽取的50名學生的競賽成績的統計數據如下表所示:

年級平均數中位數方差

七年級82.78386.30

八年級82.7m124.70

根據以上信息，解答下列問題：

(1)補全八年級50名學生競賽成績的頻數分布直方圖.

(2)在表中，m的值為.

(3)在這次競賽中，競賽成績更好的是年級，理由是.

(4)若競賽成績不低于85分記為優(yōu)秀，根據統計結果，估計八年級650名學生中有多少名學生的競賽成績?yōu)?/p>

優(yōu)秀.

【答案】(1)見解析

(2)82

(3)七；七、八年級各隨機抽取的50名學生的競賽成績的平均水平相同，七年級比八年級更穩(wěn)定

(4)286

【分析】(1)八年級50名學生競賽成績在80<%<90—組16人，補全八年級50名學生競賽成績的頻數分

布直方圖即可；

(2)根據中位數的意義解答即可；

(3)根據平均數和方差的意義判斷并說明理由即可；

(4)將650乘以競賽成績不低于85分所占比即可估計八年級650名學生中有多少名學生的競賽成績?yōu)閮?yōu)

秀.

【詳解】(1)解：八年級50名學生競賽成績在80Wx<90一組16人，補全八年級50名學生競賽成績的頻

數分布直方圖如下：

八年級50名學生競賽成績

的頻數分布直方圖

(2)解：八年級抽取的50名學生的競賽成績的中位數是成績由小到大排列，第25、第26個成績的平均數，

???前3組有數據：4+8+10=22個數據，

???第25、第26個數據是80Wx<90一組的第3個，第4個數據，即81,83,

???m—(81+83)+2=82,

故答案為：82；

(3)解：在這次競賽中，競賽成績更好的是七年級，

理由如下：???七年級成績的平均數=八年級成績的平均數=82.7,七年級成績的方差86.30〈八年級成績的方

差124.70,

.??七、八年級各抽取的50名學生的競賽成績的平均水平相同，但七年級比八年級成績更穩(wěn)定，

故答案為：七；七、八年級各抽取的50名學生的競賽成績的平均水平相同，但七年級比八年級成績更穩(wěn)定；

(4)解：八年級50名學生競賽成績不低于85分有：10+12=22(名)，

650x6=286(名)，

答：估計八年級650名學生中有286名學生的競賽成績?yōu)閮?yōu)秀.

【點睛】本題考查頻數分布直方圖，平均數，中位數，方差，用樣本估計總體，掌握平均數，中位數，方

差的意義是解題的關鍵.

19.(9分)端午節(jié)是中國傳統節(jié)日，人們有吃粽子的習俗.某商場預測今年端午節(jié)期間A粽子能夠暢銷.根

據預測，每千克A粽子節(jié)前的進價比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購進A粽子的數量與節(jié)后用200元購進的

數量相同.根據以上信息，解答下列問題：

(1)該商場節(jié)后每千克A粽子的進價是多少元？

(2)如果該商場在節(jié)前和節(jié)后共購進A粽子400千克，且總費用不超過4600元，那么該商場節(jié)前最多購進多

少千克A粽子？

【答案】(1)該商場節(jié)后每千克4粽子的進價是10元

(2)該商場節(jié)前最多購進300千克A粽子

【分析】本題主要考查了分式方程和一元一次不等式的應用，解題的關鍵是根據等量關系和不等關系列出

方程和不等式.

(1)設該商場節(jié)后每千克A粽子的進價為x元，則節(jié)前每千克A粽子的進價為(x+2)元，根據節(jié)前用240

元購進A粽子的數量與節(jié)后用200元購進的數量相同，列出方程，解方程即可；

(2)設該商場節(jié)前購進m千克A粽子，則節(jié)后購進(400-巾)千克A粽子，根據總費用不超過4600元，列

出不等式，解不等式即可.

【詳解】(1)解：設該商場節(jié)后每千克A粽子的進價為萬元，則節(jié)前每千克A粽子的進價為0+2)元，根據

題意，得：

240_200

x+2X'

解得x=10.

檢驗：當x=10時，x(x+2)羊0,x=10是原分式方程的根，且符合題意.

答：該商場節(jié)后每千克A粽子的進價是10元.

(2)解：設該商場節(jié)前購進小千克A粽子，則節(jié)后購進(400-m)千克A粽子，根據題意得：

(10+2)m+10(400-m)<4600,

解得：m<300.

答：該商場節(jié)前最多購進300千克A粽子.

20.（8分）某學校辦公樓（矩形4BCD）前有一旗桿MN,MN1.DN,旗桿高為15m,在辦公樓底4處測得

旗桿頂的仰角為30。，在辦公樓天臺B處測旗桿頂的俯角為45。，在小明所在辦公室樓層E處測得旗桿頂的俯

角為15。.（結果保留根號）

CB

DAN

（1）辦公樓的高度力B；

（2）求小明所在辦公室樓層的高度4E.

【答案】（1）辦公樓的高度AB為（15+15V3）m；

（2）小明所在辦公室樓層的高度4E為30舊-30（m）.

【分析】（1）過點M作MH，48于點可得四邊形MM4H是矩形，再根據銳角三角函數即可求出辦公樓的

高度48；

（2）過點E作EQ14M于點Q,由（1）得，NE4Q=60°,設4E=%,則4Q=%-cos60°=^x,MQ=EQ=

x-sin60°=yx,由4M=2MN=30得|+，x=30,求解即可；

本題考查了解直角三角形的應用一仰角俯角問題，解題的關鍵是掌握仰角俯角定義.

【詳解】（1）如圖，過點M作MHLAB于點H,

DAN

\'MN1DN,/.BAN=90°,

???四邊形MM4H是矩形，

：.AH=MN=15,MHWANWBC,

：.Z.AMH=Z.MAN=30°,

在Rtz14M”中，MH==15V3,

tan30°

；4BMH=45°,

：.BH=MH=15V3,

：.AB=AH+BH=15+15V3,

答：辦公樓的高度AB為(15+15百)m；

(2)過點E作EQ14M于點Q,由(1)得，AEAQ=60°,

J.Z.EMQ=180°-/.EAM-ZAEM=180°-60°-75°=45°,

設AE=x,則4Q=x-cos60°=|x,MQ=EQ=x-sin60°=—x,

由AM=2MN=30,-+—x=30,

22

解得x=30V3-30(m),

答：小明所在辦公室樓層的高度4E為30百-30(m).

21.(7分)閱讀與思考

???AB<CD,MF<ME.

在△MEF中，ME-MF<EF<ME+MF.

-i-1

即:(CD-AB)<EF<；(CD+AB).

方法二：如圖3,連接力F并延長至點G,使FG=4F,連接CG,DG.

(1)填空：材料中的依據是指;

(2)將方法二的證明過程補充完整；

(3)如圖4,在五邊形4BCDE中,AE||CD,AB=AE=6,乙4=120°,CD=4.若點F,G分別是邊BC,QE的

中點，則線段FG長的取值范圍是.

【答案】(1)三角形中位線定理；(2)見解析；(3)3V3-2<FG<3V3+2

【分析】(1)利用三角形中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”解答即可；

(2)證明AAFB三AGFC(SAS),推出力B=CG,在ACDG中，利用三角形中位線定理即可得解；

(3)連接BE,作4"，BE,利用等腰三角形的性質結合直角三角形的性質求得BE=68，再利用(1)的

結論即可求解.

【詳解】解：(1)???點E,點M分別是4D和4C的中點，

ME||CD,且ME=：CD.(三角形中位線定理)

故答案為：三角形中位線定理；

(2);點尸是BC的中點，

：.BF=FC,

"：^LAFB=AGFC,AF=FG,

：.△AFB=△GFC(SAS),

：.AB=CG,

:點E是力D的中點，點尸是4G的中點，

EF||DG,S.EF=^DG,

\'AB<CD,

：.CG<CD,

在ACDG中，CD-CG<DG<CD+CG,

：.CD-AB<2EF<CD+AB,即1(CD-XB)<<|(CD+AB)；

(3)連接BE,作AHJ.BE,垂足為H,

A

三C-^D

*：AB=AE=6,=120°,

1

J.^ABE=Z.AEB=j(180°-120°)=30°,

.M”=YB=3,EH=BH=^^=3@,

：.BE=6V3,

F,G分別是邊BC,DE的中點，

由(1)^-(BE-CD)<FG<-(BE+CD),Bp1(673-4)<FG<|(6V3+4),

.".3V3-2<FG<3V3+2.

故答案為：3百一2<FG<3舊+2.

【點睛】本題考查了三角形中位線定理，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質和勾股定理,

全等三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件.

22.(12分)綜合與實踐

問題情境：

“綜合與實踐”課上，老師提出如下問題：如圖1,在正方形4BCD中，E是對角線BD上的動點(與點B,。不

重合)，連結AE,過點E作EF14E,EG1BD,分別交直線BC于點F,G.請說明△ABE三△FGE,并求處的

AE

值.

數學思考:

(1)請你解答老師提出的問題.

深入探究：

(2)如圖2,老師將圖1中的“正方形力BCD”改為“矩形ABCD”，其他條件均不變，并讓同學們提出新的問

題.

①“聰聰小組”提出問題：如圖2,當2B=3,BC=4時，求子的值；進一步，當=時，直線寫出竽

的值(用含機的代數式表示).

②“慧慧小組”提出問題：如圖3,連結CE,當月B=2,BC=4,CE=C。時，求EF的長.

請解答這兩個問題:

【分析】(1)利用正方形性質得到“BE=NGBE=45。，利用垂直的定義推出NAEB=NFEG,NG=45。,

進而得到BE=EG,即可利用“ASA”證明A/WE三AFGE,再由全等三角形的性質可得絲的值，即可求解；

AE

(2)①根據(1)得到乙4EB=NFEG,利用矩形的性質和等量代換得到NEFG=NB4E,證明△力BE八FGE,

得到笠=器，再證明△BEGBCD,利用相似的性質即可得到弓的值，根據前面同理可得，當ZB=m-BC

AEBEAE

時，笠的值，即可解題；

AE

②過點C作CH于點H,過點E作EQ14B于點Q.利用銳角三角函數和等腰三角形的性質可求的BE長,

由相似三角形的性質可求4Q和QE的長，由勾股定理可求4E的長，即可求解.

【詳解】(1)解：???四邊形ABCD是正方形,

.-./.ABC=90°,4ABE=/.GBE=45°,

vEF1AE,EG1BD,

??.AAEF=乙BEG=90°,

???^AEF一(BEF=乙BEG-乙BEF,L.G=90°一乙EBG=45°,

???Z-AEB=乙FEG,Z.ABE=乙EBG=zG,

???BE—EG,

在和AFGE中

Z-ABE=ZG,BE=GE,2AEB=乙FEG,

??.LABE=AF(7E(ASA),

???AE=EF,

EFy

???—=1；

AE

(2)解：①???四邊形ABC。是矩形，

??.CD=AB,Z,C=90°,

由(1),^z.AEB=Z.FEG,

???乙ABC=Z.AEF=90°,

???乙ABC+^AEF=90°+90°=180°,

???^BAE+(BFE=180°,

???乙BFE+乙EFG=180°,

???Z.EFG=乙BAE,

??.△ABEFGE,

.EF_EG

??AE-BE"

???乙BEG=LC=90°,/.CBD=Z.EBG,

?*.△BEG?匕BCD,

EGBE

----=-----?

CDBC

.EG_CD_AB_3

??BE-BC~BC-4’

.EF_EG_3

??AE~BE—49

EGAB

當4B=時，—一=一=m,

AE

②如答圖，過點C作CHIB。于點H,過點E作EQ1AB于點Q.

AD

BFGC.,AB=CD=2,BC=4,

BD=yjBC2+CD2=<4+16=2V5,

V7,.CHCD

又??.sin乙DBC=—=—

BCBD

CH_2

4~2舊

二"

???CH=——4%

5

DH=VCD2-CH2=

vCE=CD,CH1BD,

'DE=2DH=^

廠

BnE=——6V5

5

??,QE1AB,

???4BQE=4BAD=90°,

又???乙ABD=乙QBE,

???△BQEBAD,

BE_QE_BQ

BD~AD~AB

6A/5

._QE-BQ

"2V5-4-2，

QE=y,BQ=I，

4

AQ=

'16,1444V10

AE=y/AQ2+QE2=----1-----=------

25255

由⑵可知冷器T

.2V10

E17Fc=-----

5

【點睛】本題主要考查了正方形性質，矩形的性質，等腰三角形性質，全等三角形判定和性質，勾股定理,

相似三角形判定和性質等知識，銳角三角函數，解決問題的關鍵是作輔助線，構造相似三角形.

23.(13分)綜合探究:如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=-|尤2+"+c(a*0)與x軸交于4(一1,0)、

8(3,0)兩點,與y軸交于點C,連接BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點。在第一象限拋物線上一點，連接BC、DC,若ADC8=2N4BC,求點。的坐標；

(3)若點N為拋物線對稱軸上一點，拋物線上是否存在點M,使得B,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？

若存在，請求出所有滿足條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=-|x2++2

(2)(啕

⑶(4,一或(一2,一坐或(2,2)

【分析】(1)根據拋物線y=-|/+6久+c(aH0)與x軸交于4(一1,0)、8(3,0)兩點，可設拋物線解析式為

y=a(x+l)Q—3),知a=—I，代入得到完整解析式即可；

(2)作。EII4B,交BC延長線于點E,交y軸于點尸，根據相似三角形的判定證明△DCFBC。，設

D(t,-lt2+^t+2),得出數據代入會=會中求解，得到點。的坐標即可；

(3)根據拋物線的解析式為y=—|/