2024年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)提分訓(xùn)練：二次函數(shù)的線段周長(zhǎng)問(wèn)題 初三數(shù)學(xué)

2024年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)提分訓(xùn)練:

二次函數(shù)的線段周長(zhǎng)問(wèn)題

1.如圖，已知拋物線，=加+云-2的圖象與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)3(1,0),與y軸交于

(1)求拋物線的解析式；

⑵點(diǎn)M在直線AC下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)M作MN〃3C,交AC于點(diǎn)N,求MN的最大值,

并寫出此時(shí)點(diǎn)M■的坐標(biāo)；

⑶點(diǎn)P是.ABC的外心，點(diǎn)。在拋物線上，且位于y軸左側(cè)，若NQBC=NPAB,求點(diǎn)。

的坐標(biāo).

2.綜合與探究

如圖1,拋物線>=-必+桁+。與無(wú)軸交于AB兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，其中A(T0),2(3,0),

與y軸相交于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與無(wú)軸交于點(diǎn)E.點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖1,P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE,過(guò)點(diǎn)尸作小，直線CE于點(diǎn)

F,求「產(chǎn)的最大值；

(3)如圖2,連接AC,8C,P8,拋物線上是否存在點(diǎn)P,ZCBP+ZACO=ZABC?若存

在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.已知拋物線與x軸相交于A,B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C(0,6),頂點(diǎn)為。(2,8).

(1)求此拋物線的解析式;

⑵如圖1,點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸（直線/）上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)|依-尸。取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐

標(biāo)；

（3）如圖2,在第一象限內(nèi)，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)求一3cM面積的最大值.

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4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=］爐-'X-2的圖象交X軸于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A

在點(diǎn)8的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為點(diǎn)￡>.

⑴求點(diǎn)2,。的坐標(biāo)，并根據(jù)該函數(shù)圖象寫出當(dāng)x>0時(shí)y的取值范圍；

（2）將點(diǎn)C向上平移相（根〉0）個(gè)單位到點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作x軸的平行線，與二次函數(shù)的圖象

交于點(diǎn)E,F,若FG=2EG,求m的值.

5.如圖，對(duì)稱軸為x=-l的拋物線>=內(nèi)2+云+。(。30)與x軸相交于A,8兩點(diǎn)，其中

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-3,0).

⑴求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

⑵已知。=1,c為拋物線與y軸的交點(diǎn)；

①若點(diǎn)P在拋物線上，且SPG=4SB℃，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②設(shè)點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作。軸交拋物線于點(diǎn)￡>,求線段QD長(zhǎng)度的最大值.

6.如圖1,二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.若

tanZABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為-8、2.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)直線1繞點(diǎn)A以AB為起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AC位置停止，I與線段BC交于點(diǎn)D,

P是AD的中點(diǎn).

①求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程；

②如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DE垂直x軸于點(diǎn)E,作DFLAC所在直線于點(diǎn)F,連結(jié)PE、PF,在1

運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，NEPF的大小是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)在(2)的條件下，連結(jié)EF,求APEF周長(zhǎng)的最小值.

7.如圖1,拋物線y=ax?+bx+5的圖象過(guò)A(-1,0),B(5,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,作

直線BC,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒忘個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t秒，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵如圖2,當(dāng)t=l時(shí)，若點(diǎn)Q是X軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果以Q,P,B為頂點(diǎn)的三角形與

△ABC相似，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)P向x軸作垂線分別交x軸，拋物線于E、F兩點(diǎn).

①求PF的長(zhǎng)度關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求出PF的長(zhǎng)度的最大值；

②連接BF,將△PBF沿BF折疊得到△P，BF,當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PFP，B是菱形？

8.如圖，拋物線M過(guò)點(diǎn)石(-2,3),與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)8(點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè))，與y軸交于

點(diǎn)、C,頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,4).

⑴求拋物線M的表達(dá)式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)尸是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，求1)所周長(zhǎng)的最小值；

(3)平移拋物線M得到拋物線N,已知拋物線N過(guò)點(diǎn)。，頂點(diǎn)為P,其對(duì)稱軸與拋物線M交

于點(diǎn)。若NP￡>Q=4ZDP。，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

9.如圖，拋物線y=-；x2+fex+c與x軸相交于點(diǎn)4(4,0),與y軸相交于點(diǎn)3(0,2).

⑴求拋物線的表達(dá)式.

⑵D為線段AB上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,3重合)，過(guò)點(diǎn)。作DELx軸于點(diǎn)E,交拋物線于點(diǎn)

若DE=DF,求點(diǎn)。的坐標(biāo).

(3)P是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，己知NP54=NA4O,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

3

10.已知拋物線y=3(無(wú)+4)(x-6)與X軸交于A,8兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與，軸交于

O

點(diǎn)C.

⑴求A民C三點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)使得4c的周長(zhǎng)最小？若存在，求出點(diǎn)M的

坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.如圖，拋物線y=o%2+2x+c與x軸交于AB兩點(diǎn)，于，軸交于C點(diǎn)，連接8C,已知

A(1,O),B(-3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD，x軸，交拋物線于點(diǎn)D,求尸。的長(zhǎng)的最大

值；

(3)若點(diǎn)E是＞軸上一點(diǎn)，以及瓦C為頂點(diǎn)的三角形是腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

12.已知拋物線丁=依2+區(qū)一3(。>0)交無(wú)軸于4(-/,。)、3(3,0),交y軸于C,點(diǎn)是

第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)求a,b的值；

⑵若點(diǎn)N(〃J)在該拋物線上，且〃<〃，，MN=2k,求利2+協(xié)_3&+2023的值.

13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線一加+法+c與x軸交于點(diǎn)A[一|,o],?|，。

與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸直線/與X軸交于點(diǎn)“連接BC,8,△58的面積為9

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點(diǎn)E為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為機(jī)1-1■(加過(guò)點(diǎn)E作直線

EFLx軸交直線AC于點(diǎn)尸，屆，/于點(diǎn)6,當(dāng)EF=2EG時(shí)，求加的值；

2

(3)拋物線y=ax+bx+c^yx=中2+3+《關(guān)于y軸對(duì)稱，若點(diǎn)尸是拋物線

%=q尤2+4尤+q上一點(diǎn)，點(diǎn)。在直線/上，點(diǎn)N在坐標(biāo)平面內(nèi)，當(dāng)四邊形BQPN是正方形

時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

14.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B(-2,2),過(guò)反比例函數(shù)y='(x<0,常數(shù)

X

X

直接寫出你發(fā)現(xiàn)的PB,PD的數(shù)量關(guān)系二

應(yīng)用：①如圖2,連接BD,當(dāng)APBD是等邊三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②如圖3,分別過(guò)點(diǎn)P、D作y的垂線交y軸于點(diǎn)E、F,問(wèn)是否存在點(diǎn)P,使得矩形PEFD

的周長(zhǎng)取得最小值？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及矩形PEFD的周長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次