北京市西城區(qū)2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

北京市西城區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題（含解析）

第I卷（選擇題共40分）

一、選擇題:本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符

合題目要求的一項(xiàng).

1.設(shè)集合A={x|x<3},5={x［或耳2},則Ac5=（）

A.（-oo,0）B.（2,3）C.（fo,0）U（2,3）D.（-oo,3）

【答案】C

【解析】

【分析】

干脆求交集得到答案.

【詳解】集合A={x|x<3},6={幻耳0或?2},則4^^6=（-?）,0）°（2,3）.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題.

2.若復(fù)數(shù)z=（3—z）（l+z）,則忖=（）

A.272B.2加C.710D.20

【答案】B

【解析】

【分析】

化簡(jiǎn)得到z=（3—/）（l+，）=4+2"再計(jì)算模長(zhǎng)得到答案.

【詳解】z=（3-z）（l+z）=4+2z,故忖=可=26.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.

3.下列函數(shù)中，值域?yàn)?且為奇函數(shù)的是（）

A.y=x+2B.J7=sinxC.y=-x3D.y=2"

【答案】C

【解析】

【分析】

依次推斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.

【詳解】A.y=x+2,值域?yàn)镽,非奇非偶函數(shù)，解除；

B.y=sinx,值域?yàn)槠婧瘮?shù)，解除；

C.y^x-x3,值域?yàn)槠婧瘮?shù)，滿意；

D.y=21值域?yàn)?0,+。)，非奇非偶函數(shù)，解除；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)學(xué)間的綜合應(yīng)用.

4.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為，若。3=2,q+&=5,則4=()

A.10B.9C.8D.7

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)題意%=4+2d=2,q+&=2q+3d=5,解得q=4,〃=一1,得到答案.

【詳解】%=4+2d=2，％+&=2q+3d=5,解得％=4,d=-l,故

$6=6q+15d=9.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.

5.設(shè)4(2,—1),6(4,1),則以線段A5為直徑的圓的方程是()

A.(x-3)2+y2=2B.(x-3)2+y2=8

C.(1+3)2+/=2D.(x+3)2+y2=8

【答案】A

【解析】

【分析】

計(jì)算AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),圓半徑為廠=0,得到圓方程.

【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為：(3,0),圓半徑為「=M=正土21=0，

22

圓方程為（x—3）2+y2=2.

故選：A-

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.

6.設(shè)a,b,c為非零實(shí)數(shù)，且a>c,b>c,貝1J（）

,,a+b

A.a+b>cB.ab>cC.------->cD.

2

112

abc

【答案】C

【解析】

【分析】

取“Lb=—Lc=-2,計(jì)算知ABD錯(cuò)誤，依據(jù)不等式性質(zhì)知。正確，得到答案.

【詳解】a>c,b>c,故a+b>2c,孚>c，故C正確；

2

取。=—1*=—l,c=—2,計(jì)算知AB。錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì),意在考查學(xué)生對(duì)于不等式性質(zhì)的敏捷運(yùn)用.

7.某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐全部棱的長(zhǎng)度的集合，則（）

/K

M——2—HM——2X

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

/

俯視圖

A.2后eS,且26任5

B.2應(yīng)?S,且2石eS

C.20eS,且25S

D.2V2eS,且26eS

【答案】D

【解析】

【分析】

如圖所示：在邊長(zhǎng)為2的正方體ABC。-44cq中，四棱錐G-ABC。滿意條件，故

5={2,2形,26},得到答案.

【詳解】如圖所示：在邊長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A6CR中，四棱錐G-A5CD滿意條件.

故A8=8C=CD=AD=CG=2,BCi=DQ=2啦,相=26

故5={2,2后,26},故20eS,273€S.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象實(shí)力和計(jì)算實(shí)力.

8.設(shè)4/為非零向量，則“卜+目=忖+忖”是“4與8共線”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

依據(jù)向量共線的性質(zhì)依次推斷充分性和必要性得到答案.

【詳解】若卜+4=何+忖，則a與b共線，且方向相同，充分性；

當(dāng).與b共線，方向相反時(shí)，卜+囚/卜|+忖，故不必要.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷實(shí)力.

sinx

9.已知函數(shù)/（x）=1不一的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后

1+2sinx

的圖象可以與原圖象重合的變換方式有（）

①圍著x軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°;

②沿工軸正方向平移；

③以％軸為軸作軸對(duì)稱；

④以工軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱.

A.①③B.③④C.②③D.②④

【答案】D

【解析】

【分析】

計(jì)算得到了（x+2版?）=/（￡）,=+故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對(duì)稱圖形,

故②④正確，依據(jù)圖像知①③錯(cuò)誤，得到答案.

3羊解】《尸屋上‘片）=志”⑴,"

當(dāng)沿X軸正方向平移2左肛左￡Z個(gè)單位時(shí)，重合，故②正確;

.(n)

、sin——x

71\12)cosx

-----V=---------

-2---%J=---1----c---.---(7萬(wàn))1+2cosx

'1+2sin一+x

(2J

故,函數(shù)關(guān)于x=］對(duì)稱，故④正確;

依據(jù)圖像知：①③不正確;

故選：Q.

【點(diǎn)睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)圖像推斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)學(xué)問(wèn)和圖像的

綜合應(yīng)用.

/、fX2+10x+Lx<0/、/、

10.設(shè)函數(shù)/(x)=I,若關(guān)于X的方程/(x)=a(aeR)有四個(gè)實(shí)數(shù)解

%(i=l,2,3,4),其中％<%4，則(石+%2)(*3一44)的取值范圍是()

A.(0,101]B.(0,99]C.(0,100]D.(0,+8)

【答案】B

【解析】

分析】

畫出函數(shù)圖像，依據(jù)圖像知：%+々=—10，彳3/=1，余<演<1，計(jì)算得到答案.

/、[x2+10x+l,x<0

【詳解】/(x)=.,c,畫出函數(shù)圖像，如圖所示：

|lgx|,x>0

依據(jù)圖像知：^+^2=-10,lgX3=-lgX4,故七彳4=1，且(<工3<1.

(1)

故(％+工2)(七一%)=-10x3__7@(°，99].

7

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力，畫出圖像是解題

的關(guān)鍵.

第II卷（非選擇題共110分）

二、填空題:本大題共5小題，每小題5分，共25分.

11.在（X+^）6的綻開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

X

【答案】20

【解析】

【分析】

（%+36的綻開(kāi)式的通項(xiàng)為=C產(chǎn),取r=3計(jì)算得到答案.

X

【詳解】（％+工）6的綻開(kāi)式的通項(xiàng)為:

取廠二3得到常數(shù)項(xiàng)

X

2=20.

故答案為：20.

【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.

12.若向量。=（尤2,2）。=°,無(wú)）滿意。力<3，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

【答案】（-3,1）

【解析】

【分析】

依據(jù)題意計(jì)算a-b=x*2+*42x<3,解得答案.

【詳解】。=（尤2,2"=（1,無(wú)），^a-b=x2+2x<3,解得一3<X<1.

故答案為：（—3,1）.

【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.

13.設(shè)雙曲線=1（6〉0）的一條漸近線方程為y=與x，則該雙曲線的離心率為

【答案】國(guó)

2

【解析】

【分析】

依據(jù)漸近線得到匕=忘，c=屈,計(jì)算得到離心率.

【詳解】X—4=1（6〉0）,一條漸近線方程為一=受%，故匕=四，°="，6=￡=逅.

4〃2a2

故答案為：顯.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.

14.函數(shù)/（x）=s沅+的最小正周期為;若函數(shù)”可在區(qū)間（0,上單調(diào)

遞增，則戊的最大值為.

7T

【答案】(1).萬(wàn)(2).-

8

【解析】

【分析】

兀(兀萬(wàn)、萬(wàn)兀

干脆計(jì)算得到答案，依據(jù)題意得到2x+：e-,2a+-,2a+-<-,解得答案.

【詳解】/(x)=sin[2x+：],故7=5=萬(wàn)，當(dāng)xe(0,a)時(shí)，2x+?e]：,2a+"],

故2。+工《工，解得。〈二.

428

7T

故答案為：乃；一.

8

【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)學(xué)間的綜合應(yīng)用.

15.在一次體育水平測(cè)試中，甲、乙兩校均有100名學(xué)生參與，其中：甲校男生成果的優(yōu)秀率

為70%,女生成果的優(yōu)秀率為50%;乙校男生成果的優(yōu)秀率為60%,女生成果的優(yōu)秀率為40%.

對(duì)于此次測(cè)試，給出下列三個(gè)結(jié)論：

①甲校學(xué)生成果的優(yōu)秀率大于乙校學(xué)生成果的優(yōu)秀率；

②甲、乙兩校全部男生成果的優(yōu)秀率大于甲、乙兩校全部女生成果的優(yōu)秀率；

③甲校學(xué)生成果的優(yōu)秀率與甲、乙兩校全部學(xué)生成果的優(yōu)秀率的大小關(guān)系不確定.其中，全部

正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③

【解析】

【分析】

依據(jù)局部頻率和整體頻率的關(guān)系，依次推斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.

【詳解】不能確定甲乙兩校的男女比例，故①不正確；

因?yàn)榧滓覂尚５哪猩膬?yōu)秀率均大于女生成果的優(yōu)秀率，故甲、乙兩校全部男生成果的優(yōu)秀

率大于甲、乙兩校全部女生成果的優(yōu)秀率，故②正確；

因?yàn)椴荒艽_定甲乙兩校的男女比例，故不能確定甲校學(xué)生成果的優(yōu)秀率與甲、乙兩校全部學(xué)

生成果的優(yōu)秀率的大小關(guān)系，故③正確.

故答案為：②③.

【點(diǎn)睛】本題考查局部頻率和整體頻率的關(guān)系，意在考查學(xué)生的理解實(shí)力和應(yīng)用實(shí)力.

三、解答題:本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

16.如圖，在四棱柱ABCD-4用。自中，平面ABCD,底面/及力滿意AD〃陽(yáng)

且AB=AD=A41=2,BD=DC=20

（1）求證：至，平面4。24；

（II）求直線AB與平面BXCDX所成角的正弦值.

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）邁

6

【解析】

分析】

（□證明明,人員依據(jù)超2+相＞2=應(yīng)）2得到45,4）,得到證明.

（II）如圖所示，分別以AB,A2/IA為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面與c。的法向量

"=（1,1,2）,AB=（2,0,0）,計(jì)算向量夾角得到答案.

【詳解】（I）相，平面ABCD,ABi平面ABCD,故叫,人反

AB=AD=2,BD=272＞故AB?+^2=，故至工池.

ADnA4j=A,故AB,平面

（II）如圖所示：分別以鉆,A。A4,為蒼％z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則4（0,0,0）,5（2,0,0）,4（2,0,2）,C（2,4,0）,R（0,2,2）.

ce■/、n-B,C=0[4y-2z=0

設(shè)平面用CZ\的法向量〃=（羽y,z）,貝U'，即＜cc八，

\n-B{Dx=0[一2%+2丁=0

取x=l得到〃=（1,1,2）,AB=（2,0,0）,設(shè)直線AB與平面與。2所成角為。

wAB2

故sin6=cos(n,ABl'l_

|H|.|AB|2766

【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生空間想象實(shí)力和計(jì)算實(shí)力.

17.已知滿意,且b=痣A=g，求s加C的值及_ABC的面積.（從

①3=7,②a=5③o=3j5s沅B這三個(gè)條件中選一個(gè)，補(bǔ)充到上面問(wèn)題中，并完成解

答.）

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

選擇①時(shí)：B=-,A=-TT,計(jì)算sinC=避二更，依據(jù)正弦定理得到。=3,計(jì)算面積得

434

到答案;選擇②時(shí)，a=5b=^，故B>A，A為鈍角，故無(wú)解；選擇③時(shí)，a=30sinB，

依據(jù)正弦定理解得sinB=也，sinC=GO,依據(jù)正弦定理得到。=3,計(jì)算面積得到

24

答案.

詳解】選擇①時(shí)：B=-,A=-7r,故

43

sinC=sin（A+=sinAcosB+cosAsinB=----——?

依據(jù)正弦定理：a=b,故〃=3,故S='〃bsiiiC=―

sinAsinB24

選擇②時(shí)，a=5b=屈,故5>A,A為鈍角，故無(wú)解.

〃b3\/2sinB_a

選擇③時(shí)，〃=30sin3，依據(jù)正弦定理：-7^-=——，故J3-sinB，

sinAsmB—

2

解得sinB=走,

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

24

依據(jù)正弦定理：。=b,故〃=3,故$=LH?sinC=―

sinAsin824

【點(diǎn)睛】本題考查了三角恒等變換，正弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合

應(yīng)用實(shí)力.

18.2024年底，北京2024年冬奧組委會(huì)啟動(dòng)志愿者全球招募，僅一個(gè)月內(nèi)報(bào)名人數(shù)便突破60

萬(wàn)，其中青年學(xué)生約有50萬(wàn)人.現(xiàn)從這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機(jī)選取20

人進(jìn)行英語(yǔ)水平測(cè)試，所得成果（單位:分）統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下：

男女

647

3579

038656

14713568

5818

（I）試估計(jì)在這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中，英語(yǔ)測(cè)試成果在80分以上的女生人數(shù);

（II）從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測(cè)試成果在70分以上的人數(shù)為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

（IID為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將全部的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組（每組人數(shù)不少于5000）,并在

每組中隨機(jī)選取加個(gè)人作為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語(yǔ)測(cè)試成果在70分

以上的概率大于90%.依據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作為概率，給出加的最小值.（結(jié)論不要求證明）

3

【答案】（1）5萬(wàn)；（II）分布列見(jiàn)解析，E（X）=-；（III）4

【解析】

【分析】

(I)依據(jù)比例關(guān)系干脆計(jì)算得到答案.

(IDX的可能取值為0,1,2,計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

101Y

(III)英語(yǔ)測(cè)試成果在70分以上的概率為。=刀=],故金<1-90%,解得答案.

【詳解】(I)樣本中女生英語(yǔ)成果在80分以上的有2人，故人數(shù)為：2x50=5萬(wàn)人.

20

(II)8名男生中，測(cè)試成果在70分以上的有3人，X的可能取值為：0,L2.

MX叫系*MX=1)=詈式,P(X=3)春/

故分布列為:

X012

5153

P

142828

x』+lx竺+2X』3

E(X)=0

1428284

io1<1Y

(III)英語(yǔ)測(cè)試成果在70分以上的概率為p=.=],故；<1—90%，故機(jī)n4.

故加的最小值為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了樣本估計(jì)總體，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)

用實(shí)力.

19.設(shè)函數(shù)/(x)=a/nx+x2一(a+2)x,其中aeR

(1)若曲線丁="%)在點(diǎn)(2,/(2))處切線的傾斜角為?，求。的值；

(II)已知導(dǎo)函數(shù)/'(X)在區(qū)間(1,e)上存在零點(diǎn)，證明：當(dāng)尤e(l,e)時(shí)，f(x)>-e2.

【答案】(I)a=2；(H)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

Z7JT

(I)求導(dǎo)得到尸(x)=—+2x-(a+2),尸(2)=tan^=l,解得答案.

X4

(ID/(力=(1依嘰0,故a=2x0,/(%)在(1,5)上單調(diào)遞減，在(％,e)上單

21

調(diào)遞增，f=2x0Inx0-x0-2x0,g(x)=2%Inx-x-2x,證明函數(shù)單調(diào)遞減，

故g(x)1m/g(e)=—?2,得至！K正明.

【詳解】(I)/(%)=aln%+x2-(a+2)x,故尸(x)=@+2x—(a+2),

X

Z7jr

/'(2)=1+4-(a+2)=tan^-=l,故a=2.

(ID/(x)，+2x_(a+2)=(1)(2尸嘰0,即q=2xe(2,e),存在唯一零點(diǎn)，

XX

設(shè)零點(diǎn)為天，故/(%)=￡+2%—(a+2)=。，即a=2%,

xo

/(x)在(1,%)上單調(diào)遞減，在(%,e)上單調(diào)遞增，

2

=2x0Inx0-x0-2x0,

設(shè)g(x)=2xlnx-x2-2x,貝ijg*(x)=21nx-2x,

2

設(shè)/z(x)=g1x)=21nx-2x,則/z*(x)=——2<0,/z(x)單調(diào)遞減，

x

MD=g”)=-2,故8'(%)=21111-21<0恒成立，故g(x)單調(diào)遞減.

g(*Ln>g(e)=—e2,故當(dāng)尤€(1，e)時(shí)，f(x)>-e2.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)切線問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值是解題的關(guān)

鍵.

2

20.設(shè)橢圓E:1+/=1,直線乙經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(m,0),直線12經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(n,0),直線小直線Z2,

且直線。乙分別與橢圓E相交于A8兩點(diǎn)和C,O兩點(diǎn).

(I)若以，N分別為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，且直線軸，求四邊形ABCD的面積；

(II)若直線4的斜率存在且不為0,四邊形ABCD為平行四邊形，求證：加+〃=0;

(Ill)在(II)的條件下，推斷四邊形ABC。能否為矩形，說(shuō)明理由.

【答案】(I)2及；(II)證明見(jiàn)解析；(III)不能，證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

,ci,與,nji,

(I)計(jì)算得到故A,B,計(jì)算得到面積.

4k2m

玉十會(huì)石

(II)設(shè)4為y=k(x—加)，聯(lián)立方程得至人,計(jì)算

2k2m1—2

中2:『F

?6k2-Sk2m1+8同理31=析項(xiàng)+8

,依據(jù)

2k2+1

2

\AB\=\CD\得至um="2,得到證明.

(III)設(shè)AB中點(diǎn)為P(a，b)，依據(jù)點(diǎn)差法得到a+2妨=0,同理c+2k/=0,故

一~^小一M，得到結(jié)論.

2kk

無(wú)、(

【詳解】(1)”(—1,0),N(l,o),故A-1,^-,B-1,,CI,與,D|1,

I2)'

故四邊形ABCD的面積為S=2夜.

42=1

(H)設(shè)《為y=k(x-m),則＜2，,故(24之+1)/一4425十？加42一2=0,

y=k^x-m)

4k2m

設(shè)4(%,%),5(孫％)，故,

21cm1-2

%”中r

Ji6k°—8k2nl2+8

2k2+1

同理可得|c*標(biāo)*等*

阿=卬，故中號(hào)一116k2-8k2n2+8

=A/1+F

2r+1

即m2=〃2,mHn,故加+九二0.

（皿設(shè)AB中點(diǎn)為尸（。力），則爭(zhēng)城=1,A%一，

相減得到（%+-2心石_+（%+%）（,-%）=0,即a+2kb-0,

同理可得：CD的中點(diǎn)。（c,d），滿意c+2/=0,

故kpQ=±±=—d~b故四邊形ABCD不能為矩形.

c-a-2kd+2kb2kk

【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)四邊形的面積，形態(tài)，依據(jù)四邊形形態(tài)求參數(shù)，意在考查學(xué)生的

計(jì)算實(shí)力和綜合應(yīng)用實(shí)力.

21.對(duì)于正整數(shù)“，假如左（左wN*）個(gè)整數(shù)％,出，…，為滿意1＜/〈出＜…〈4〈”，

且6+。2+…+為="，則稱數(shù)組（如%，…，4）為〃的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記

如出，…，為均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為力，％，/，…，為均為奇數(shù)的“正整數(shù)

分拆”的個(gè)數(shù)為g“.

（I）寫出整數(shù)4的全部“正整數(shù)分拆”；

（II）對(duì)于給定的整數(shù)》4）,設(shè)（％,%…，%