7.2古典概型（第2課時(shí)互斥事件概率的求法）課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

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古典概型第2課時(shí)互斥事件概率的求法第七章概率北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解互斥事件的概率加法公式.2.了解互斥事件與對(duì)立事件之間的關(guān)系,掌握對(duì)立事件的概率公式.3.能利用互斥事件、對(duì)立事件的概率計(jì)算公式解決復(fù)雜的古典概型的概率計(jì)算問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

互斥事件的概率加法公式1.定義:在一個(gè)試驗(yàn)中,如果事件A和事件B是互斥事件,那么有P(A∪B)=P(A)+P(B),這一公式稱為互斥事件的概率加法公式.使用該公式時(shí)必須檢驗(yàn)是否滿足前提條件“兩兩互斥”.2.推廣:一般地,如果事件A1,A2,…,An兩兩互斥,那么有P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).名師點(diǎn)睛互斥事件概率加法公式的作用在求某些較為復(fù)雜事件的概率時(shí),先將它分解為一些較為簡單的并且概率已知或較容易求出的彼此互斥的事件,再利用互斥事件的概率加法公式求出概率.因此互斥事件的概率加法公式具有“化整為零、化難為易”的功能.思考辨析在同一試驗(yàn)中,對(duì)任意兩個(gè)事件A,B,P(A∪B)=P(A)+P(B)一定成立嗎?提示

不一定.只有A與B互斥時(shí),P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)事件A與B的和事件的概率一定大于事件A的概率.(

)(2)事件A發(fā)生的概率為P(A),事件B發(fā)生的概率為P(B),那么事件A+B發(fā)生的概率為P(A)+P(B).(

)(3)事件A1∪A2∪…∪An發(fā)生即事件A1,A2,…,An中至少有一個(gè)發(fā)生.(

)××√2.[人教B版教材例題]甲、乙兩人玩錘子、剪刀、布的猜拳游戲,假設(shè)兩人都隨機(jī)出拳,求:(1)平局的概率;(2)甲贏的概率;(3)甲不輸?shù)母怕?解

因?yàn)榧子?種不同的出拳方法,乙同樣也有3種不同的出拳方法,因此一次出拳共有3×3=9種不同的可能.因?yàn)槎际请S機(jī)出拳,所以可以看成古典概型,而且樣本空間中共包含9個(gè)樣本點(diǎn),樣本空間可以用下圖直觀表示.因?yàn)殄N子贏剪刀,剪刀贏布,布贏錘子,所以若記事件A為“平局”,B為“甲贏”.則:(1)事件A包含3個(gè)樣本點(diǎn)(圖中的△),因此(2)事件B包含3個(gè)樣本點(diǎn)(圖中的※),因此(3)因?yàn)锳+B表示“甲不輸”,且A,B互斥,所以所求概率為P(A+B)=P(A)+P(B)=知識(shí)點(diǎn)2

對(duì)立事件的概率公式名師點(diǎn)睛1.對(duì)立事件的概率公式使用的前提是兩個(gè)事件對(duì)立,否則不能使用.2.當(dāng)一個(gè)事件的概率不易直接求出,但其對(duì)立事件的概率易求時(shí),可運(yùn)用對(duì)立事件的概率公式,即運(yùn)用間接法求概率.思考辨析在同一試驗(yàn)中,設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件,若A∩B=?,則稱A與B是兩個(gè)對(duì)立事件,此說法對(duì)嗎?提示

不對(duì),若A∩B=?,僅能說明A與B的關(guān)系是互斥的,只有A∪B為必然事件,A∩B為不可能事件時(shí),事件A與事件B才互為對(duì)立事件.自主診斷1.口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出1個(gè)球,摸出紅球的概率為0.42,摸出白球的概率為0.28,那么摸出黑球的概率為(

)

A.0.42 B.0.28

C.0.3

D.0.7C解析

由題意知,摸出黑球的概率是1-0.42-0.28=0.3,故選C.2.[人教B版教材例題]先后擲兩個(gè)均勻的骰子,觀察朝上的面的點(diǎn)數(shù),記事件A:點(diǎn)數(shù)之和為7,B:至少出現(xiàn)一個(gè)3點(diǎn),求P(A),P(),P(B),P(AB).解

用數(shù)對(duì)(x,y)來表示拋擲結(jié)果,則樣本空間可記為Ω={(i,j)|i,j=1,2,3,4,5,6},而且樣本空間可用下圖直觀表示.樣本空間中,共包含36個(gè)樣本點(diǎn).不難看出,A={(6,1),(5,2),(4,3),(3,4),(2,5),(1,6)},A包含6個(gè)樣本點(diǎn),因此由對(duì)立事件概率之間的關(guān)系可知類似地,可以看出,圖中框中的點(diǎn)可以代表事件B,因此B包含11個(gè)樣本點(diǎn),從而P(B)=不難知道,AB={(4,3),(3,4)},因此重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一互斥事件、對(duì)立事件的概率求解角度1互斥事件的概率★【例1】

袋中有12個(gè)除顏色外其他均相同的小球,分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球,得到紅球的概率是,得到黑球或黃球的概率是,得到黃球或綠球的概率也是

.(1)分別求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率;(2)求得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率.解

(1)從袋中任取一球,記事件A為“得到紅球”,B為“得到黑球”,C為“得到黃球”,D為“得到綠球”,則事件A,B,C,D兩兩互斥.∵B與C+D互斥,B+C與D互斥,(2)∵得到的球既不是黑球也不是綠球,∴得到的球是紅球或黃球,即事件A+C,故得到的小球既不是黑球也不是綠球的概率為規(guī)律方法

互斥事件的概率的求解策略(1)當(dāng)一個(gè)事件包含幾種情況時(shí),可把事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件的并事件,再利用互斥事件的概率的加法公式計(jì)算.(2)使用互斥事件的概率加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)時(shí),必須先判斷A,B是否為互斥事件.變式訓(xùn)練1(1)一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球,從中摸出一個(gè)球,摸出紅球或白球的概率為0.58,摸出紅球或黑球的概率為0.62,那么摸出紅球的概率為(

)A.0.42 B.0.38 C.0.2 D.0.8C解析

記“摸一個(gè)球?yàn)榧t球”“摸一個(gè)球?yàn)榘浊颉焙汀懊粋€(gè)球?yàn)楹谇颉睘槭录嗀,B,C,則A,B,C為兩兩互斥事件,且A+B+C為必然事件,由題意知P(A)+P(B)=0.58,P(A)+P(C)=0.62,P(A)+P(B)+P(C)=1,解得P(A)=0.2.★(2)向三個(gè)相鄰的站點(diǎn)投放一份物資,投中第一個(gè)站點(diǎn)的概率為0.2,投中第二個(gè)站點(diǎn)的概率為0.12,投中第三個(gè)站點(diǎn)的概率為0.28,三個(gè)站點(diǎn)中,只要投中一個(gè)另兩個(gè)也會(huì)擁有物資,求站點(diǎn)擁有物資的概率.解

設(shè)A,B,C分別表示投中第一、第二及第三個(gè)站點(diǎn)這三個(gè)事件,事件D表示站點(diǎn)擁有物資,已知P(A)=0.2,P(B)=0.12,P(C)=0.28.又因?yàn)橹煌斗帕艘环菸镔Y,故不可能投中兩個(gè)及以上站點(diǎn),所以A,B,C是兩兩互斥事件,且D=A+B+C,所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.12+0.28=0.6,即站點(diǎn)擁有物資的概率為0.6.角度2對(duì)立事件的概率【例2】

某射手在一次射擊訓(xùn)練中,射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28,計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中:(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率;(2)不夠7環(huán)的概率.解

(1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A,“射中7環(huán)”為事件B,由于在一次射擊中,A與B不可能同時(shí)發(fā)生,故A與B是互斥事件.“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B,故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.所以射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況:射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、0環(huán),但由于這些概率都未知,故不能直接求解,可考慮從反面入手,不夠7環(huán)的反面為大于等于7環(huán),即7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán),由于這兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生,另一個(gè)不發(fā)生,故是對(duì)立事件.設(shè)“不夠7環(huán)”為事件E,則事件為“射中7環(huán)或8環(huán)或9環(huán)或10環(huán)”,又“射中7環(huán)”“射中8環(huán)”“射中9環(huán)”“射中10環(huán)”是彼此互斥的事件,所以P()=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,從而P(E)=1-P()=1-0.97=0.03.所以不夠7環(huán)的概率為0.03.規(guī)律方法

公式P(A)=1-P()的應(yīng)用說明(1)當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜或根本無法求時(shí),常常使用該公式轉(zhuǎn)化為求其對(duì)立事件的概率.(2)該公式的使用實(shí)際是運(yùn)用逆向思維(正難則反),比較適合含有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語型題目.變式訓(xùn)練2在數(shù)學(xué)考試中,小明的成績?cè)赱90,100]的概率是0.18,在[80,90)的概率是0.51,在[70,80)的概率是0.15,在[60,70)的概率是0.09,在[0,60)的概率是0.07.計(jì)算下列事件的概率:(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分及80分以上的成績;(2)小明考試及格.解

分別記小明的成績?cè)赱90,100],[80,90),[70,80),[60,70)為事件B,C,D,E,顯然這四個(gè)事件彼此互斥.(1)小明的成績?cè)?0分及80分以上的概率是P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.(2)(方法一)小明考試及格的概率是P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.(方法二)因?yàn)樾∶骺荚嚥患案竦母怕适?.07,所以小明考試及格的概率是1-0.07=0.93.探究點(diǎn)二互斥事件、對(duì)立事件與統(tǒng)計(jì)的綜合運(yùn)用【例3】

某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名,各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表:性別七年級(jí)八年級(jí)九年級(jí)女生373xy男生377370z已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名,抽到八年級(jí)女生的概率為0.19.(1)求x的值.(2)現(xiàn)按年級(jí)用分層隨機(jī)抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生,應(yīng)在九年級(jí)中抽取多少名學(xué)生?(3)已知y≥245,z≥245,求九年級(jí)中女生比男生少的概率.解

(1)由題得

=0.19,解得x=380.(2)由題得九年級(jí)人數(shù)為y+z=2

000-(373+377+380+370)=500,現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生,應(yīng)在九年級(jí)抽取的人數(shù)為(3)設(shè)九年級(jí)女生比男生少為事件A,九年級(jí)女生數(shù)、男生數(shù)記為(y,z),由(2)知y+z=500,y,z∈N.滿足題意的所有樣本點(diǎn)是(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245),共11個(gè).事件A包含的樣本點(diǎn)是(245,255),(246,254),(247,253),(248,252),(249,251),共5個(gè),故P(A)=規(guī)律方法

求某些較復(fù)雜事件的概率,通常有兩種方法:一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的對(duì)立事件的概率,再用公式求此事件的概率.這兩種方法可使復(fù)雜事件概率的計(jì)算得到簡化.變式訓(xùn)練3某校從高一年級(jí)某次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績,分組為[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],統(tǒng)計(jì)后得到頻率分布直方圖如圖所示.(1)試估計(jì)這組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)(結(jié)果精確到0.1).(2)為調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生課外學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情況,學(xué)校決定從成績?cè)赱70,100]之間的學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人組成一個(gè)調(diào)研小組,則在[70,80),[80,90),[90,100]這三組分別抽取了多少人?(3)現(xiàn)在要從(2)中抽取的6人中選出正、副2個(gè)小組長,求成績?cè)赱80,90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長的概率.(2)成績?yōu)閇70,80),[80,90),[90,100]這三組的頻率分別為0.3,0.2,0.1,所以[70,80),[80,90),[90,100]這三組抽取的人數(shù)分別為3,2,1.(3)由(2)知成績?cè)赱70,80)的有3人,分別記為a,b,c;成績?cè)赱80,90)的有2人,分別記為d,e;成績?cè)赱90,100]的有1人,記為f.所以從抽取的6人中選出正、副2個(gè)小組長的樣本空間Ω={ab,ba,ac,ca,ad,da,ae,ea,af,fa,bc,cb,bd,db,be,eb,bf,fb,cd,dc,ce,ec,cf,fc,de,ed,df,fd,ef,fe},共30個(gè)樣本點(diǎn).記“成績?cè)赱80,90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長”為事件Q,則Q={ad,da,ae,ea,bd,db,be,eb,cd,dc,ce,ec,de,ed,df,fd,ef,fe},共18個(gè)樣本點(diǎn),所以成績?cè)赱80,90)中至少有1人當(dāng)選為正、副小組長的概率本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)互斥事件的概率加法公式及應(yīng)用;(2)對(duì)立事件的概率公式及應(yīng)用.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū):將事件拆分為若干事件時(shí)出現(xiàn)遺漏,導(dǎo)致計(jì)算概率錯(cuò)誤.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123451.某次抽獎(jiǎng)活動(dòng)共設(shè)置一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)兩類獎(jiǎng)項(xiàng),已知中一等獎(jiǎng)的概率為0.1,中二等獎(jiǎng)的概率為0.1,那么本次活動(dòng)中,中獎(jiǎng)的概率為(

)A.0.1 B.0.2C.0.3 D.0.7B解析

由于中一等獎(jiǎng),中二等獎(jiǎng)為互斥事