經(jīng)濟(jì)學(xué)中數(shù)學(xué)模型

1經(jīng)濟(jì)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型史寧中東北師范大學(xué)2學(xué)科的分類形態(tài)分類科學(xué)

研究概念、概念與概念的關(guān)系、概念與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)系

判斷正確與否的準(zhǔn)則是事實(shí)

命題判斷，無論是誰、無論何時、無論何地藝術(shù)

研究作品、作品與作品的關(guān)系、作品與感覺之間的關(guān)系

判斷正確與否的準(zhǔn)則是價值觀作品判斷，因人而變、因時而變、因地而變

哲學(xué)研究范疇、范疇與范疇的關(guān)系、范疇與終極之間的關(guān)系

倫理學(xué)：人的行為；邏輯學(xué)：人的思維

政治學(xué)：社會組織；美學(xué)：形態(tài)與感官，是藝術(shù)的哲學(xué)

形而上學(xué)：存在的本體論，精神與物質(zhì)，經(jīng)驗與認(rèn)識

宗教：是一種情懷，是一種信仰3學(xué)科的分類思維分類形象思維基于觀察、觀察后的聯(lián)想、跨越聯(lián)想的想象邏輯思維基于推理：對命題的判斷、若干命題判斷之間的思維過程命題：可供判斷的陳述句有邏輯的推理：命題的內(nèi)涵之間具有傳遞性

凡人都有死。蘇格拉底是人。蘇格拉底有死。無邏輯的推理：命題的內(nèi)涵之間不具有傳遞性蘋果是酸的。酸是一種味道。蘋果是一種味道。辯證思維強(qiáng)調(diào)事物的兩個方面：中國的陰陽

矛盾是對立的、是可以轉(zhuǎn)化的、因而也是統(tǒng)一的

西方（黑格爾）重視：合二而一

東方（易經(jīng)、老子）：一分為二、合二而一4學(xué)科的分類學(xué)科分類自然學(xué)科

科學(xué)

邏輯思維+形象思維

數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、地質(zhì)、天文、生物、醫(yī)學(xué)、信息

概念之間的關(guān)系是必然的人文學(xué)科

藝術(shù)

形象思維+邏輯思維語言、文學(xué)、歷史、音樂、美術(shù)、舞蹈、影視、傳媒社會學(xué)科科學(xué)+藝術(shù)

辯證思維+邏輯思維+形象思維政治、社會、倫理、經(jīng)濟(jì)、商學(xué)、管理、心理、教育

概念之間的關(guān)系是或然的

5一、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型二、動力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型三、時間序列：經(jīng)濟(jì)增長與因果分析模型四、限制優(yōu)化：組合投資模型6一、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型凱恩斯（Keynes，1883－1946）強(qiáng)調(diào)政府對于市場的干預(yù)。凱恩斯靜態(tài)模型兩個方程。第一個方程：收入=消費(fèi)+投資

第二個方程：消費(fèi)=基本+收入比例其中Y：國民收入；C：國民消費(fèi)；I：國民投資；a0

為基本消費(fèi)；a為消費(fèi)傾向：a≦1。通過計算可以得到a越接近1，消費(fèi)傾向越強(qiáng)，國民收入越高。7一、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型固定乘數(shù)、變化投資。如果固定系數(shù)：a0=10、乘數(shù)：a=4/5。當(dāng)投資

I=5時，收入Y=75；當(dāng)投資

I=10時，收入Y=100。投資增加5，收入增加

100–75=25。收入增長是投資增加的5倍。固定投資、變化乘數(shù)。如果固定系數(shù)：a0=10、投資：I=10。當(dāng)乘數(shù)a=3/5時，收入Y=50；當(dāng)乘數(shù)a=4/5時，收入Y=100。乘數(shù)增加1/5，收入增加100–50=50，是投資的5倍。通過消費(fèi)刺激經(jīng)濟(jì)，促進(jìn)收入。8一、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型弗里德曼（Friedman，1912-2006，1979年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎）研究持久收入消費(fèi)理論，在持久收入下

消費(fèi)傾向a=1；并且有a青年

＞

a老年。托賓（Tobin，1918-2002，1981年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎）在凱恩斯模型的基礎(chǔ)上研究了貨幣的作用、以及貨幣價值的變化，引入了“實(shí)在財富”的概念，表示為W，定義為其中K為總資產(chǎn)，M為貨幣總量，p為價格水平。凱恩斯第一個方程為

9一、凱恩斯宏觀經(jīng)濟(jì)模型薩謬爾森（Samuelson，1915-2009，1970年

諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎）用數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的方法重寫了經(jīng)濟(jì)學(xué)。在凱恩斯模型中加入了時間因素，薩謬爾森乘數(shù)-加速模型：Yt，Ct

和It

分別表示

t時間收入、消費(fèi)和投資；I0表示政府支出。強(qiáng)化了消費(fèi)對投資的影響、進(jìn)而對收入的影響。求解過程得到一個二階非齊次差分方程，無實(shí)根時有阻尼震蕩解，解釋了經(jīng)濟(jì)周期。在凱恩斯模型的基礎(chǔ)上，學(xué)者們又考慮了時間、貨幣、持久收入，但沒有考慮長期消費(fèi)：房子，汽車；提前消費(fèi)：信用卡。10二、動力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型與時間有關(guān)的基本模型：現(xiàn)在

=F(過去)

。最簡單形式：當(dāng)b為常數(shù)：動力系統(tǒng)；當(dāng)b為隨機(jī)變量：時間序列。住房貸款：不計算復(fù)利，a=1。比如，考慮貸款規(guī)則：貸款本金80萬元、年息為本金的

4%。每年還利息、以及本金的5%。20年還清。

每年還款：利息

80×4%=3.2，本金

80×5%=4，合計3.2+4=7.2。

一共還款：7.2×20=144（萬元）。用

Ct

表示

t年后還款金額，可以得到：11二、動力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型銀行儲蓄：計算復(fù)利，a≠1。比如，存款方法，本金

2萬元，年利息4%。如果用Ct表示第t年的銀行存款累計金額，那么：t=1，…；C0=2。這時

a=1+4%＞1，數(shù)量遞增。得到一般項：t=30，C30=3.24×2=6.48。30年后存款累計金額。人口模型：馬爾薩斯（Malthus，1766－1834）其中Nt

為t年人口數(shù)，r為年人口增長率。中國平均增長率r=6‰，2003年人口12.92億，2013年人口13.54億，計算N10=13.44億。12二、動力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型動力系統(tǒng)稱使得C=aC+b成立的常值C為動力系統(tǒng)的平衡點(diǎn)。得到投資額度。一個項目花費(fèi)100萬，在這個花費(fèi)下回報120%，為穩(wěn)定這個關(guān)系，起始投入應(yīng)當(dāng)多少？資金運(yùn)轉(zhuǎn)方程為：再生產(chǎn)資金=收入–支出平衡點(diǎn)為：a=-100/(1-1.2)=500，起始投入500萬元。容易驗證，對于每一個年份t，資金運(yùn)轉(zhuǎn)方程的解都是500萬元。13二、動力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型養(yǎng)老金基金。退休后每年得到養(yǎng)老金

5萬元。如果繳納時間是30年，那么，這個人（包括工作單位）每年應(yīng)當(dāng)繳納多少？假設(shè)養(yǎng)老基金儲存在銀行，年利率為4%。用Ct

表示享受t年后，這個人養(yǎng)老金剩余額度。無限穩(wěn)定情況。假設(shè)養(yǎng)老金是無限穩(wěn)定的，養(yǎng)老金獲取方程為其中t=1，…。這個方程的穩(wěn)定點(diǎn)為C0=-5/(1-1.04)=125。因此，繳納額度為125萬元。假設(shè)每年繳納金額一定：B萬元，基金繳納方程為

125=a29B+a28B+…+aB+B

=(1+a+…+a29)B

=[(1-a30)/(1-a)]B

=56B其中a=1.04。解得B=2.23，即每年繳納金額為2.23萬元。14二、動力系統(tǒng)：貸款、存款、投資與退休金模型有限穩(wěn)定情況。享用養(yǎng)老金有限的：20年。即C21=0。由獲取方程：

令r=1/1.04=0.96，可以得到

C20=r5，C19=r25+r5，……C0=5(r+r2+…+r21)

=5r[(1-r21)/(1-r)]=5×14.5=72.5比無限穩(wěn)定少：125-72.5=52.5（萬元）每年繳納金額：72.5/56=1.29（萬元）每年大約減少：2.23-1.29=0.94（萬元）繳納時間增加五年、享用時間增加五年，結(jié)果將會如何？15三、時間序列：經(jīng)濟(jì)增長與因果分析模型如何利用歷史數(shù)據(jù)估計系數(shù)a和b。構(gòu)建時間序列：其中t=2，…，T；ξt

為隨機(jī)變量，Eξt=0，Vξt=σ2。系數(shù)的估計為《統(tǒng)計檢驗的理論與方法》第五章，史寧中著，科學(xué)出版社，2008年16三、時間序列：經(jīng)濟(jì)增長與因果分析模型圖1.1978~2002年中國對數(shù)GDP散點(diǎn)圖1980198519901995200017三、時間序列：經(jīng)濟(jì)增長與因果分析模型回顧時間序列：ξt

為隨機(jī)變量，Eξt=0。如果方差Vξt

不是常數(shù)的情況，比如ARCH模型恩格爾（Engle，1942-，2003年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎）研究了這個問題。兩個變量，比如x：國民生產(chǎn)總值，y