廣東省清遠市2023-2024學年高二年級下冊7月期末考試數(shù)學試題（含解析）

廣東省清遠市2023-2024學年高二下學期期末教學質(zhì)量檢測

數(shù)學試題

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應位置.

3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.

4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.

5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.通過計算樣本相關(guān)系數(shù)「可以反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度，以下四個選項中分別計算出四個

樣本的相關(guān)系數(shù)人則反映樣本數(shù)據(jù)成正相關(guān)，并且線性相關(guān)程度最強的是()

A.廠=0.93B.r=0.82

C.r=0.04D.廠=-0.05

2.以下求導計算正確的是()

.兀

sm—=cos一

C.(lnx)'=—

3.某市高二數(shù)學統(tǒng)考，滿分為150分.假設(shè)學生考試成績X~N(100,102),如果從高到低按照

16%,34%,34%,16%的比例將考試成績分為A,瓦四個等級，則A等級分數(shù)線大概為()(參考

數(shù)據(jù):若X~*),則<X<〃+5)a0.6827,尸(〃—25<X<〃+25)a

0.9545,P(〃—35<X<〃+33)a0.9973)

4.曲線/(x)=—2x3+1在點處的切線方程為(

A.6x+y+5=0B.6x+y-5=0

C.5x—y-6=0D.5x+y-4=0

5.生活經(jīng)驗告訴我們，兒子身高與父親身高是線性相關(guān)的.有人調(diào)查了5位學生的身高和其父親的身高,

得到的數(shù)據(jù)如表：

父親身高工/cm166169170172173

兒子身高y/cm168170171175176

并利用相關(guān)知識得到兒子身高y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗回歸方程為》=I.2X+G.根據(jù)該經(jīng)驗回歸方程，已知某

父親身高為175cm,預測其兒子身高為（）

A.176cmB.177cmC.178cmD.179cm

6.在數(shù)學試卷的單項選擇題中，共有8道題，每道題有4個選項，其中有且僅有一個選項正確，選對得5

分，選錯得。分，如果從四個選項中隨機選一個，選對的概率是0.25.某同學8道單選題都不會做，只能在

每道單選題的選項中隨機選擇一個作為答案，設(shè)他的總得分為X,則X的方差。（X）=（）

A1.5B.7.5C.20.5D.37.5

2

7.甲、乙兩選手進行象棋比賽，每局比賽相互獨立，如果每局比賽甲獲勝的概率均為1，比賽沒有和局的

情況，比賽采用5局3勝制，則甲通過4局比賽獲得勝利的概率是（）

8.現(xiàn)要對三棱柱A3C-4用G的6個頂點進行涂色，有4種顏色可供選擇，要求同一條棱的兩個頂點顏

色不一樣，則不同的涂色方案有（）

A.264種B.216種C.192種D.144種

二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示：

X012

P0.5-q0.74

則下列選項中正確的是（）

A.4=0.6B.4=0.4

C.E(X)=1.58D.￡>(X)=0.5636

10.已知函數(shù)/(x)=13—3x+4,xe[0,2],則下列選項中正確的是()

A./⑺的值域為[2,6]

B.AM在x=l處取得極小值為2

C./⑴在[0,2]上是增函數(shù)

D.若方程/(x)=a有2個不同的根，則”[2,4]

11.現(xiàn)有數(shù)字0」,LL2,3,4,5下列說法正確的是(

A.可以組成600個沒有重復數(shù)字的六位數(shù)B.可以組成288個沒有重復數(shù)字的六位偶數(shù)

C.可以組成3240個六位數(shù)D.可以組成2160個相鄰兩個數(shù)字不相同的八位數(shù)

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)/(x)=1-ex+2024的單調(diào)遞減區(qū)間為.

13.在尤(尤+y)5的展開式中，含Yy3項的系數(shù)為.

14.若函數(shù)/(%)=依2+上有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為.

X

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步聚.

15.某醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療某種疾病.采用簡單隨機抽樣的方法從接受甲、乙兩種療法的患者中各抽

取了100名，其中接受甲種療法的患者中治愈的有65名;接受乙種療法的患者中治愈的有85名.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表(單位:人)

療效

療法合計

未治愈治愈

甲

乙

合計

并依據(jù)小概率值。=0.005的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好；

(2)根據(jù)療效按照分層抽樣的方法，從這200名患者中抽取8名患者，再從這8名患者中隨機抽取2名患

者做進一步調(diào)查，記抽取到未治愈患者人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

n(ad-be)?

參考公式:％2=其中〃=a+Z?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(￡>+d)

a0.150.100.050.0050001

%2.0722.7063.8417.87910.828

16.如圖，在正四棱錐P—ABCD中.

(1)求證:班)，？。；

(2)若PA=AB=20，求平面CP。與平面P8D的夾角的余弦值.

17.在端午節(jié)吃“粽子”是我國的一個傳統(tǒng)習俗，現(xiàn)在有一些形狀、顏色和大小一致的“粽子”，其中甲同學

有4個蛋黃餡的“粽子”和3個綠豆餡的“粽子”，乙同學有3個蛋黃餡的“粽子”和2個綠豆餡的“粽子”.

(1)若從甲同學的“粽子”中有放回依次隨機抽取3次，每次任取1個“粽子”，記抽取到綠豆餡的“粽子”個

數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望；

(2)若先從甲同學的“粽子”中任取2個送給乙同學，然后再從乙同學的“粽子”中任取1個，求取出的這個

“粽子”是綠豆餡的概率.

1,

18設(shè)函數(shù)/(X)=]ae~*-(a+l)e*+x.

(1)當a=0時，求/(x)在上最大值；

(2)討論了⑺的單調(diào)性；

(3)若a>0,證明“無)只有一個零點.

19.若各項為正的無窮數(shù)列｛4｝滿足:對于V/eN*,lna“+]-Ina,=d,其中d為非零常數(shù)，則稱數(shù)列

｛叫為指形數(shù)列;若數(shù)列匕｝滿足:切+〃=24(m,",左eN*,且機/〃)時，有0,“+弓,>2,，則稱數(shù)列

｛g｝為凹形數(shù)列.

(1)若4=10",判斷數(shù)列｛4｝是不是指形數(shù)列?若是，證明你結(jié)論，若不是，說明理由;

(2)若q=e,證明指形數(shù)列｛4｝也是凹形數(shù)列；

n2Qd

(3)若指形數(shù)列｛4｝是遞減數(shù)列，令ai=e",〃=a2.T，〃eN*,求使得弓?二^成立的最小正

i=i91—e

整數(shù)人.

廣東省清遠市2023-2024學年高二下學期期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學試題

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應位置.

3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.

4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.

5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.通過計算樣本相關(guān)系數(shù)「可以反映兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度，以下四個選項中分別計算出四個

樣本的相關(guān)系數(shù),，則反映樣本數(shù)據(jù)成正相關(guān)，并且線性相關(guān)程度最強的是（）

A.廠=0.93B.r=0.82

C.r=0.04D.r=-0.05

【答案】A

【解析】

【分析】利用相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)程度越強，及廠>0為正相關(guān)進行分析判斷.

【詳解】因為相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，線性相關(guān)程度越強，且廠>0為正相關(guān)，

0.93>0.82>|-0.05|>0.04

所以廠=0.93時，線性相關(guān)程度最強，且為正相關(guān)，

故選：A

2.以下求導計算正確的是（）

A.fsin-^:B.(Vx)r=—j=

yJX

C.（Inx）^-D.e)'=e2%

X

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由基本初等函數(shù)的求導公式以及復合函數(shù)的求導法則代入計算，即可得到結(jié)果.

【詳解】=0,故A錯誤；

(lnxy=-,故C正確；

X

(e2'y=2e2S故D錯誤；

故選：C

3.某市高二數(shù)學統(tǒng)考，滿分為150分.假設(shè)學生考試成績X~N(100,102),如果從高到低按照

16%,34%,34%,16%的比例將考試成績分為A,3,四個等級，則A等級分數(shù)線大概為()(參考

數(shù)據(jù):若X~則尸(〃—3<X<〃+5)a0.6827,尸(〃—23<X<〃+25)土

0.9545,尸(〃—33<XV〃+33)a0.9973)

A.134B.120C.116D.110

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性計算得解.

【詳解】依題意，〃=1。0,3=1。，

口3\-P(u-d<X<u+8}

顯然尸(X>110)=P(X〉〃+3)=----——-----------La0.16,

所以A等級分數(shù)線大概為no分.

故選：D

4.曲線/(x)=—2^+1在點(1,-1)處的切線方程為()

A.6x+y+5=0B.6x+y—5=0

C.5x—y-6=0D.5x+y-4=0

【答案】B

【解析】

【分析】求出函數(shù)Ax)的導數(shù)，再利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程即可.

【詳解】函數(shù)/(x)=—2/+1,求導得尸(x)=—6f，貝廳'⑴=—6,

所以所求切線方程為y+l=-6(x-1),即6x+y—5=0.

故選：B

5.生活經(jīng)驗告訴我們，兒子身高與父親身高是線性相關(guān)的.有人調(diào)查了5位學生的身高和其父親的身高,

得到的數(shù)據(jù)如表：

父親身高工/cm166169170172173

兒子身高y/cm168170171175176

并利用相關(guān)知識得到兒子身高y關(guān)于父親身高x的經(jīng)驗回歸方程為》=I.2X+G.根據(jù)該經(jīng)驗回歸方程，已知某

父親身高為175cm,預測其兒子身高為()

A.176cmB.177cmC.178cmD.179cm

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圖表，先求出三亍，進而得到9=L2x—32,即可求出結(jié)果.

166+169+170+172+173-168+170+171+175+176…

【詳解】因為工==170,y=-------------------------------------=172,

5-5

所以172=1.2x170+3,解得4=—32,所以g=L2x—32,當x=175時，9=178,

故選：C.

6.在數(shù)學試卷的單項選擇題中，共有8道題，每道題有4個選項，其中有且僅有一個選項正確，選對得5

分，選錯得0分，如果從四個選項中隨機選一個，選對的概率是0.25.某同學8道單選題都不會做，只能在

每道單選題的選項中隨機選擇一個作為答案，設(shè)他的總得分為X,則X的方差O(X)=()

A1.5B.7.5C.20.5D.37.5

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題目可知，服從二項分布XB(n,p),從而得到方差公式。(X)=%?(1-p)計算即可.

【詳解】根據(jù)題目可知，服從二項分布X?3(8,0.25),從而得到方差公式。(X)=8x0.25x0.75=1.5.

故選：A

2

7.甲、乙兩選手進行象棋比賽，每局比賽相互獨立，如果每局比賽甲獲勝的概率均為耳，比賽沒有和局的

情況，比賽采用5局3勝制，則甲通過4局比賽獲得勝利的概率是()

【答案】B

【解析】

【分析】應用獨立事件概率乘積公式結(jié)合比賽的規(guī)則求解即可

【詳解】因為比賽采用5局3勝制，則甲通過4局比賽獲得勝利時前3局勝2局第4局勝共有C；種情況,

所以甲通過4局比賽獲得勝利的概率是可|）gj?|A

故選：B

8.現(xiàn)要對三棱柱ABC-的6個頂點進行涂色，有4種顏色可供選擇，要求同一條棱的兩個頂點顏

色不一樣，則不同的涂色方案有（）

A.264種B.216種C.192種D.144種

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理，結(jié)合排列、組合計數(shù)問題列式計算即

得.

【詳解】依題意，求不同涂色方案問題，有用4種顏色和用3種顏色兩類辦法，

用4種顏色，先涂點A,5c有A：種方法，再在A，耳,C中選一點涂第4色，另兩點有3種涂色方法，

因此不同涂色方法數(shù)為3C；A：=216；

用3種顏色，先涂點A,3,C有A：種方法，再涂A，片,a有2種方法，

因此不同涂色方法數(shù)為2A：=48,

所以不同的涂色方案有216+48=264（種）.

故選：A

【點睛】思路點睛：涂色問題，可以按用色多少分類，再在每類中探求同色方案列式求解.

二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示：

X012

P0.5-q0.74

則下列選項中正確的是()

A.q=0.6B,q=0.4

C.E(X)=1.58D.D(X)=0.5636

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用分布列的性質(zhì)，即可判斷出選項A和B的正誤；再利用期望和方差的計算公式，即可判斷出

選項C和D的正誤.

M+0.5-q+0.74=l…

【詳解】由題知<，解得4=0.4,所以選項A錯誤，選項B正確，

[0.5-q>0

對于選項C,E(X)=0x(0.4)2+1x0.1+2x0.74=1.58,所以選項C正確，

對于選項D,因為。(X)=E2(X)—(E(X))2=0x(0.4『+1x0.1+4x0.74—(1.58)2=0.5636,所以選

項D正確，

故選：BCD.

10.已知函數(shù)/(x)=x3—3x+4,xe[0,2],則下列選項中正確的是()

A./⑺的值域為[2,6]

B.7(x)在x=l處取得極小值為2

C.在[0,2]上是增函數(shù)

D.若方程/(x)=a有2個不同的根，則”[2,4]

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求導可得/'(X)，即可得到函數(shù)“X)的單調(diào)性以及值域，即可判斷ABC,再結(jié)合函數(shù)

圖像即可判斷D

【詳解】因為函數(shù)/(x)=/—3x+4,xe[0,2],則/'(力=3九3,

令/'(%)=。,即3f—3=3(x+l)(x—1)=。,解得x=l或1=—1(舍),

當xe(O,l)時，/f(%)<0,則函數(shù)“可單調(diào)遞減，

當xe(l,2)時，f(x)>0,則函數(shù)/(可單調(diào)遞增，故C錯誤；

則x=l時，函數(shù)有極小值即最小值，即/。)=1—3+4=2,故B正確；

且"0)=4,"2)=8—6+4=6,則函數(shù)值域為[2,6],故A正確；

由函數(shù)/(%)的單調(diào)性以及值域可得函數(shù)的大致圖像，如圖所示，

結(jié)合圖像可知，若方程/(x)=。有2個不同的根，則ae(2,4],故D錯誤；

故選：AB

11.現(xiàn)有數(shù)字0」,LL2,3,4,5下列說法正確的是()

A.可以組成600個沒有重復數(shù)字的六位數(shù)B.可以組成288個沒有重復數(shù)字的六位偶數(shù)

C.可以組成3240個六位數(shù)D.可以組成2160個相鄰兩個數(shù)字不相同的八位數(shù)

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理即可求解；對于B,根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求解；對于C,分

析出六位數(shù)中可能有1個1,2個1,3個1三種情況，再根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求解；對于D,利用插

空法和分步乘法計數(shù)原理，并減去0在首位的情況即可求解.

【詳解】對于A,由題意，可選取的數(shù)字為：0,1,2,3,4,5,且首位不能為0,

第一步，先排首位有C：=5種不同排法，

第二步，再排其他5位數(shù)，有A；=120種排法，

所以由分步乘法計數(shù)原理可知,

可以組成C；A；=600個沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，故A正確；

對于B,由題意，末位只能為：0,2,4,

當末位為。時，有A；120種排法；

當末位為2時，有C；A：=96種排法；

當末位為4時，有C；A：=96種排法，

所以由分類加法計數(shù)原理可知，

可以組成312個沒有重復數(shù)字的六位偶數(shù)，故B錯誤；

對于C,由題意，六位數(shù)中可能有1個1,2個1,3個1三種情況.

當六位數(shù)中有1個1時，由A選項知有600種排法；

當六位數(shù)中有2個1時，分為有0與無。兩種情況，

有0時，有C；C；A：=1200種排法，

無0時，有C；A：=360種排法；

當六位數(shù)中有3個1時，分有。與無0兩種情況，

有0時，有C；C：A”600種排法，

無。時，有C㈤=480種排法,

所以由分類加法計數(shù)原理可知，

可以組成600+1200+360+600+480=3240個六位數(shù),故C錯誤；

對于D,因為相鄰兩個數(shù)字不相同，即3個1不能相鄰，故用插空法：

第一步，先排，除1外的5個數(shù)字，有A：=120種排法，每種排法留出6個空位，

第二步，再將3個1插入6個空位，有C：=20種排法，

所以由分步乘法計數(shù)原理可知，共有2400種排法，

又因為0不能在首位，而。在首位時，有A：C；=240種排法，

所以可以組成2400-240=2160個相鄰兩個數(shù)字不相同的八位數(shù)，故D正確.

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查有限制條件的排列、組合和不相鄰問題，解題關(guān)鍵是遵循特殊位置優(yōu)先

排、不相鄰問題插空排.

三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.函數(shù)/(x)=e*-ex+2024的單調(diào)遞減區(qū)間為.

【答案】(一8,1)

【解析】

【分析】求出函數(shù)"X)的導數(shù)/'(X),再解不等式/(九)<0得解.

【詳解】函數(shù)/(x)=e「就+2024的定義域為區(qū)，求導得/'(x)=e「e,

由y'(x)<0,得e，<e，解得x<l，

所以函數(shù)人尤)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1).

故答案為：(一8」)

13.在尤(元+y)5的展開式中，含項的系數(shù)為.

【答案】10

【解析】

【分析】根據(jù)條件，得到尤(元+yr展開式的通項公式7；+i=C"6ry(o<r<5,reN*),即可求出結(jié)果.

rrr

【詳解】因為x(x+JO,展開式的通項公式為Tr+l=xC^-y=C^y(0<r<5,reN*),

令廠=3,得到7；=C13y3=10》3,3,所以含項的系數(shù)為1(),

故答案為：10.

InY

14.若函數(shù)/(力=以2+—有兩個極值點，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】

【解析】

【分析】將導數(shù)方程參變分離，轉(zhuǎn)化為g(x)=^W與y=a由兩個交點的問題，利用導數(shù)討論g(x)的

單調(diào)性，觀察變化趨勢，作出草圖，由圖象即可得解.

【詳解】/(X)的定義域為(0,+“)，

/1X)=2ax+--,

令r(M=o,得。=弓?.

./Xlnx-1皿，/、4一31nx

令g(x)=31則g(x)=2x4

令g'(Xo)=O,則31nx0=4,即lnx()=g,即片=e,.

當0cx時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當X〉與時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

[-1J]

Y⑴maLg(*="=^=而'

又當X趨近于0時，g(x)趨近于-8；當了趨近于+8時，g(x)趨近于0,

作出g(x)的草圖如圖，

由圖可知，當0<4<，方程a=號?有兩個正根，從而函數(shù)/(九)有兩個極值點.

時,

【點睛】思路點睛：關(guān)于函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)問題，通常參變分離，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象相交問題，借助

導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出草圖即可得解，其中需要注意觀察函數(shù)的變化趨勢.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步聚.

15.某醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療某種疾病.采用簡單隨機抽樣的方法從接受甲、乙兩種療法的患者中各抽

取了100名，其中接受甲種療法的患者中治愈的有65名;接受乙種療法的患者中治愈的有85名.

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成以下兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表(單位:人)

療效

療法合計

未治愈治愈

甲

乙

合計

并依據(jù)小概率值c=0.005的獨立性檢驗，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好；

(2)根據(jù)療效按照分層抽樣的方法，從這200名患者中抽取8名患者，再從這8名患者中隨機抽取2名患

者做進一步調(diào)查，記抽取到未治愈患者人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

人?八d2n(ad-be)2,

參考公式：/=(a+/,)(c+d)(a+c)S+d)'其中"=a+〃+c+d.

a0.150.100.050.0050.001

%2.0722.7063.8417.87910.828

【答案】（1）答案見解析；乙種療法的效果比甲種療法好

（2）答案見解析；E（X）=1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，由條件可完善列聯(lián)表，再由力2的計算公式代入計算，即可得到結(jié)果;

（2）根據(jù)題意，由分層抽樣的公式可得抽取到未治愈的人數(shù)為2人，治愈的人數(shù)為6人，再由超幾何分布

的概率公式代入計算，即可得到分布列，從而得到期望.

【小問1詳解】

療效

療法合計

未治愈治愈

甲3565100

乙1585100

合計50150200

假設(shè)“0：療法與療效獨立，即兩種療法效果沒有差異,

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得/=200x(35x85-15x65)=^>7879，

50x150x100x100

根據(jù)小概率值c=0.005的獨立性檢驗，乙種療法的效果比甲種療法好.

【小問2詳解】

由分層抽樣可得，從200名患者中抽取8名患者,

其中抽取到未治愈的人數(shù)為理~義8=2人,

200

抽取到治愈的人數(shù)為受x8=6人，

200

且抽取到未治愈患者人數(shù)為X,則X8（8,2,2）,

則P（X=O）=||=||，P（X=1）=等41,P（X=2）=|=±.

K-?g乙GK_--g乙G/K_--g乙G

則分布列為

X012

153_1

P

28728

則期望E（X）=0義竺+1義3+2義工=工.

',287282

16.如圖，在正四棱錐P—A8CD中.

（2）若上4=AB=20，求平面CP。與平面尸3。的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵亙

3

【解析】

【分析】（1）連接ACBD=O,連接尸0,利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.

（2）以。為原點建立空間直角坐標系，求出平面CPD與平面P8D的法向量，再利用面面角的向量求法求

解即得.

【小問1詳解】

在正四棱錐P—ABCD中，連接A。BD=O,連接P0,

則尸01平面A3CD,而5Du平面A3CD,則3DLP0,

由正方形A3CD,得BOLC,又ACCP0=0,AC,P0u平面尸AC,

因此5D工平面P4C,而尸Cu平面尸AC,

所以8DLPC.

P\

【小問2詳解】

由(1)知，直線QB,OCO尸兩兩垂直,

以點。為原點，直線。分別為蒼軸建立空間直角坐標系，而PA=AB=2應，

則3(2,0,0)((0,2,0),￡>(-2,0,0),尸(0,0,2),DC=(2,2,0),。尸=(2,0,2),

n-DC=2x+2y=Q

設(shè)平面PCD的法向量為〃=(%,y,z),則〈，令1=—1,得〃=(一1,1,1),

n-DP=2x+2z=0

顯然平面PSD的法向量加=(0,1,0),設(shè)平面。尸。與平面尸友)的夾角為，，

貝!Jcos0=|cos(m,ri)|=17n川=~^==—,

17nli川A/33

所以平面CP。與平面尸8。的夾角的余弦值為走.

3

17.在端午節(jié)吃“粽子”是我國的一個傳統(tǒng)習俗，現(xiàn)在有一些形狀、顏色和大小一致的“粽子”，其中甲同學

有4個蛋黃餡的“粽子”和3個綠豆餡的“粽子”，乙同學有3個蛋黃餡的“粽子”和2個綠豆餡的“粽子”.

(1)若從甲同學的“粽子”中有放回依次隨機抽取3次，每次任取1個“粽子”，記抽取到綠豆餡的“粽子”個

數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望；

(2)若先從甲同學的“粽子”中任取2個送給乙同學，然后再從乙同學的“粽子”中任取1個，求取出的這個

“粽子”是綠豆餡的概率.

9

【答案】(1)分布列見解析，期望為一；

7

20

(2)—.

49

【解析】

【分析】(1)求出取出1個“粽子”是綠豆餡的概率，再求出X的可能值，利用二項分布概率求出分布列及

期望.

(2)根據(jù)給定條件，利用全概率公式計算得解.

【小問1詳解】

3

依題意，抽取到綠豆餡的“粽子”的概率0=—,

3

X的可能取值是0』,2,3,X3（3,—）,

7

P（X=0）=*）3=薨,p（x=1）=c；x|x（1）2=黑,

P（X=2）=C；X/x；黑P（X=3）=C；*=條，

所以X的分布列為：

X0123

6414410827

P

343343343343

39

數(shù)學期望石（X）=3x—=—

77

【小問2詳解】

記甲同學取出的“粽子”是2個蛋黃餡的“粽子”、蛋黃餡的和綠豆餡的“粽子”各1個,

2個綠豆餡的“粽子”的事件分別為4，4，4，乙同學取出1個綠豆餡的“粽子”的事件為B,

C22c'c14c21

P（4）=芭=H（4）=-^=H（A）W

7

234

P（BIA1）=-,P（BIA2）=-,P（BIA3）=-f

22434120

因此p?）=p（04）P（A）+P（8|4）P（4）+P（3IA）P（A3）='X'+'X'+,X,=石,

所以取出的這個“粽子”是綠豆餡的概率型.

49

1,

18.設(shè)函數(shù)/'（%）=5茂2工一（。+1）6*+%.

（1）當。=0時，求/*）在上的最大值；

（2）討論AM的單調(diào)性；

（3）若a>0,證明/（無）只有一個零點.

【答案】（1）-1（2）答案見解析（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）先代入。的值，再求導函數(shù)得出單調(diào)性求出最大值;

（2）先求導函數(shù)，再根據(jù)判別式分類討論得出單調(diào)性即可；

(3)先判斷函數(shù)值正負，再應用零點存在定理判斷零點個數(shù).

【小問1詳解】

當。=0時，/(x)=-e'+x,/,(x)=-e'+l,

當—1<耳0,0,所以/(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,

當0<x<l,/'(x)<0,所以/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以/(同在［-覃］上的最大值為/(0)=—e°+0=—1.

【小問2詳解】

/(x)=；改2"-(a+l)e*+x,/'(x)=ae2x-(a+l)ex+l=(e*-l)(tzex-1),定義域為(一。,+⑹，

/'(x)=(e'—l)(ae*—1)=0,xx=In—,x2=0,

當ln4=0,a=l時，/'(x)N0所以/(%)在(―夕+⑹上單調(diào)遞增.

In—/0,a)l時，A>0,/'(x)=0時，有為=111工,%2=0,

aa

所以/(%)在l/n￡|,(O,+動上單調(diào)遞減，在，［,()］上單調(diào)遞增；

當In工>0,0<a<1時,A>0,在(――0){in上單調(diào)遞增，在InJ上單調(diào)遞減；

當aW0時，x>0,/'(x)<0J⑴在(0,+“)上單調(diào)遞減,%〈0"'⑺)0,/⑴在(—8,0)上單調(diào)遞增.

【小問3詳解】

當a>0時，

當0<a<1時，x^-°o,/(x)/o,/(0)=-l--^/o,/|In-|=ln--^x--l\o,x^-+oo,/(x)\o,

\乙\kdJCL乙CL//

所以/(%)有且僅有一個零點/4-<?,111「；

a=l時，/8=；02工-26工+工單調(diào)遞增,40)=-310,*1)=；-26+1)0,所以/(%)有且僅有一個

零點為e(O,l)；

a>l時，xf⑴=—=ln----x——1(0,xf+co,/(x>0,

ala'

所以/(X)有且僅有一個零點X。e；

綜上，a>0時/(九)只有一個零點.

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而求解函數(shù)在某個區(qū)間上的最值，以及分類討論利用