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9.2.4總體離散程度的估計

年級:高一學(xué)科:數(shù)學(xué)(人教A版)溫故知新1..眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù);從頻率分布直方圖中估計眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn).2.中位數(shù)

把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,處在最中間的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù));從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)左右兩邊的直方圖的面積相等.3.平均數(shù)如果有n個數(shù)據(jù)那么這n個數(shù)的平均數(shù)

也可以從頻率分布直方圖中估計平均數(shù),平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中的橫坐標(biāo)之和.引入新課平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息,這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法.但僅知道集中趨勢的信息,很多時候還不能使我們做出有效的決策.提出問題問題3、有兩名射擊隊員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲78795491074乙95787686

77如果你是教練,你如何對兩位運(yùn)動員的射擊情況作出評價?如果這是一次選拔性考核,你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇?提出問題問題3、有兩名射擊隊員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲78795491074乙95787686

77如果你是教練,你如何對兩位運(yùn)動員的射擊情況作出評價?如果這是一次選拔性考核,你應(yīng)當(dāng)如何作出選擇?解決問題通過簡單的排序和計算,可以發(fā)現(xiàn)甲、乙兩名運(yùn)動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)眾數(shù)都是7.從這個角度看,兩名運(yùn)動員之間沒有差別。

但從上圖中看,甲的成績比較分散,乙的成績相對集中,即甲的成績波動幅度比較大,而乙的成績比較穩(wěn)定。他們的射擊成績是存在差異的,那么,如何度量成績的這種差異呢?引入新知一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差。根據(jù)甲、乙運(yùn)動員的10次射擊成績,可以得到甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4可以發(fā)現(xiàn)甲的成績波動范圍比乙大。極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度,但因為極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息,對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及,所以極差所含的信息量很少。提出問題我們知道,如果射擊的成績很穩(wěn)定,那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠(yuǎn);相反,如果射擊的成績波動幅度很大,那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠(yuǎn)。因此,我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度。思考:如何定義“平均距離”?引入新知假設(shè)一組數(shù)據(jù)是,用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。用每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值作為“距離”,即則這組數(shù)據(jù)到的“平均距離”為我們將其定義為這組數(shù)據(jù)的方差:引入新知有時為了計算方差的方便,我們還把方差寫成以下形式由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方,與原始數(shù)據(jù)不一致。為了使二者單位一致,我們對方差開方,取它的算數(shù)平方根,即我們稱其為這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差引入新知總體方差和總體標(biāo)準(zhǔn)差引入新知樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差引入新知標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度,標(biāo)準(zhǔn)差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標(biāo)準(zhǔn)差越小,數(shù)據(jù)的離散程度越?。伙@然,在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上,方差和標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的,但在解決實際問題中,一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差。在實際問題中,通常用樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差估計總體方差、標(biāo)準(zhǔn)差即乙比甲的射擊成績穩(wěn)定如果要從這兩名選手中選擇一名參加比賽,要看一下他們的平均成績在所有參賽選手中的位置。如

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