人教版七年級數(shù)學(xué)上冊一元一次方程《實際問題與一元一次方程（第2課時）》示范教學(xué)設(shè)計

實際問題與一元一次方程（第2課時）教學(xué)目標(biāo) 1．學(xué)習(xí)如何利用一元一次方程解決實際問題中的工程問題．2．掌握使用一元一次方程解決實際問題的基本過程．教學(xué)重點(diǎn)尋找實際問題中的等量關(guān)系，建立一元一次方程．教學(xué)難點(diǎn)從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的探究過程．教學(xué)過程新課導(dǎo)入上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了如何運(yùn)用一元一次方程來解決實際問題中的配套問題，本節(jié)課，我們來探究一元一次方程與實際問題——工程問題．在學(xué)習(xí)新課之前，先完成下面的填空：工作量＝工作效率×工作時間；工作效率＝工作量÷工作時間；工作時間＝工作量÷工作效率．【設(shè)計意圖】對以前學(xué)過的工程問題中存在的一些等量關(guān)系進(jìn)行復(fù)習(xí)，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好鋪墊，有助于準(zhǔn)確地找到相等關(guān)系并列出方程．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】整理一批圖書，由一個人做要40h完成．現(xiàn)計劃由一部分人先做4h，然后增加2人與他們一起做8h，完成這項工作．假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人工作？【師生活動】學(xué)生讀題，逐句進(jìn)行分析，初步找出題目中的有用信息．【思考】（1）工作總量通常看作______．（2）人均工作效率為______．（3）工作量＝_______________________________________．【師生活動】引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的知識填空．【答案】（1）1（2）（3）人均工作效率×人數(shù)×工作時間【設(shè)計意圖】明確解答本題需要用到的一些數(shù)量關(guān)系，為后面設(shè)未知數(shù)做好鋪墊．【思考】整項工作由幾部分組成？存在怎樣的等量關(guān)系？【師生活動】學(xué)生分組討論，找出問題中的等量關(guān)系．【答案】整項工作由兩個階段的工作量組成，存在的等量關(guān)系：一部分人先做4h完成的工作量＋增加了2人之后一起做8h完成的工作量＝總工作量．【設(shè)計意圖】找到等量關(guān)系，為設(shè)出未知數(shù)后列方程做好準(zhǔn)備．【思考】你能根據(jù)已知條件，分別表示出兩個階段的工作量嗎？【師生活動】師生配合，表示出兩個階段的工作量．【答案】第一階段工作量：×4×第一階段人數(shù)；第二階段工作量：×8×第二階段人數(shù)．【問題】我們可以怎樣設(shè)未知數(shù)？設(shè)出未知數(shù)后，相關(guān)的量可以如何表示呢？【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合上節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，設(shè)出未知數(shù)，表示出列方程所需要的相關(guān)量．【答案】根據(jù)上節(jié)課講過的“求什么設(shè)什么”的原則，可以設(shè)先安排x人工作．第一階段的工作人數(shù)是x，則第二階段的工作人數(shù)是x＋2；第一階段的工作量可以表示為，第二階段的工作量可以表示為．【設(shè)計意圖】用含有未知數(shù)的式子表示相關(guān)量，逐步找出列方程所需要的各元素．【問題】根據(jù)前面的分析，完成表格：項目人均效率人數(shù)時間/h工作量第一階段工作第二階段工作【師生活動】師生合作，完成表格．【答案】項目人均效率人數(shù)時間/h工作量第一階段工作x4第二階段工作x＋28【設(shè)計意圖】采用表格便于從紛繁的實際情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，有條理地獲取數(shù)量關(guān)系，有助于提升學(xué)生思考問題的條理性．【問題】列出方程，對本題進(jìn)行解答．【師生活動】根據(jù)前面的分析和所完成的表格，列出方程，并解方程．【答案】解：設(shè)安排x人先做4h．根據(jù)先后兩個時段的工作量之和應(yīng)等于總工作量，列出方程．解方程，得4x＋8(x＋2)＝40，4x＋8x＋16＝40，12x＝24，x＝2．答：應(yīng)安排2人先做4h．【問題】組內(nèi)交流，提煉解題思路．【設(shè)計意圖】通過對解題過程的分析回顧，讓學(xué)生能清晰地掌握利用一元一次方程解決工程問題的一般步驟．二、新知精講【新知】工程問題中的等量關(guān)系．（1）在工作總量不明確、不具體的情況下，通常把工作總量看成單位1．（2）工作總量＝工作效率×工作時間．（3）甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．（4）所有人工作量的和等于總工作量．三、典例精講【例1】甲每天生產(chǎn)某種零件80個，甲生產(chǎn)3天后，乙也加入生產(chǎn)同一種零件，再經(jīng)過5天，兩人共生產(chǎn)這種零件940個，乙每天生產(chǎn)這種零件多少個？【分析】畫出示意圖如下：等量關(guān)系式：前3天甲生產(chǎn)零件的個數(shù)＋后5天甲生產(chǎn)零件的個數(shù)＋后5天乙生產(chǎn)零件的個數(shù)＝940．【設(shè)計意圖】數(shù)和形是數(shù)學(xué)中兩種重要的表示形式，在列方程解應(yīng)用題時，我們可以利用圖形分析問題中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)行求解．本題通過使用示意圖，得出等量關(guān)系式，給學(xué)生展示使用圖形分析題目的方法．【問題】列出方程，解答本題．【師生活動】學(xué)生獨(dú)立列出方程，并解方程，教師根據(jù)解題結(jié)果是否正確進(jìn)行指導(dǎo)．【答案】解：設(shè)乙每天生產(chǎn)零件的個數(shù)為x．由題意，得3×80＋5×80＋5??＝940．解方程，得x＝60．答：乙每天生產(chǎn)零件60個．【設(shè)計意圖】讓學(xué)生掌握另一種形式的工程問題的解題思路．【例2】某項工作，甲單獨(dú)做需要4小時，乙單獨(dú)做需要6小時，甲先做30分鐘，然后甲、乙合作．甲、乙合作還需要多少小時才能完成全部工作？【師生活動】教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考問題，列出方程．【答案】解法1：設(shè)甲、乙合作還需要x小時才能完成全部工作．根據(jù)題意，得．解方程，得x＝2.1．答：甲、乙合作還需要2.1小時才能完成全部工作．解法2：設(shè)甲、乙合作還需要x小時才能完成全部工作．根據(jù)題意，得．解方程，得x＝2.1．答：甲、乙合作還需要2.1小時才能完成全部工作．【設(shè)計意圖】該題繼續(xù)鞏固工程問題的解題方法，同時幫助學(xué)生尋找不同的列方程切入點(diǎn)，知道列式的不同并不會影響最終結(jié)果．【例3】某工人安裝一批機(jī)器，若每天安裝4臺，預(yù)計若干天完成，安裝后，改用新方法安裝，工作效率提高到原來的倍，因此比預(yù)計時間提前一天完工，這批機(jī)器有多少臺？預(yù)計幾天完成？【師生活動】學(xué)生獨(dú)立解決，并派學(xué)生代表板書寫出答案，教師進(jìn)行點(diǎn)評．【答案】解：設(shè)這批機(jī)器有x臺，則預(yù)計天完成．根據(jù)題意，得．解方程，得x＝36．此時，．答：這批機(jī)器有36臺，預(yù)計9天完成．【設(shè)計意圖】此