考題猜想03 分式（培優(yōu)+拔高必刷60題17種題型）（解析版）

考題猜題03分式

（培優(yōu)+拔高必刷60題17種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）分式有無意義、值為0的條件根據(jù)分式的值的情況判斷參數(shù)值或取值范圍分式的基本性質(zhì)已知分式恒等變形求未知數(shù)分式的化簡求值分式的比較大小求分式的最值問題與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問題與分式運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律探究問題與分式運(yùn)算有關(guān)的閱讀理解問題解分式方程與解分式方程有關(guān)的新定義問題與解分式方程有關(guān)的閱讀理解問題與解分式方程有關(guān)的錯(cuò)誤步驟探究問題分式方程與不等式組綜合一．分式有無意義、值為0的條件（共4小題）1．（23-24八年級(jí)上·湖北黃石·期末）下列結(jié)論：①不論a為何值時(shí)aa②a=?1時(shí)，分式(a+1)(③若x2+1x?1的值為負(fù)，則x④若x+1x+2÷x+1x有意義，則x的取值范圍是A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④【答案】B【分析】本題考查的是分式有意義的條件，根據(jù)分式有意義的條件，值為0的條件，對(duì)各式進(jìn)行逐一分析即可．【詳解】解：①∵a2∴不論a為何值時(shí)，aa②∵當(dāng)a=?1時(shí)，a2此時(shí)分式無意義，∴②錯(cuò)誤；③∵x2+1x?1∴x?1<0，∴x<1，故③正確；④∵x+1x+2∴x+2≠0,x+1≠0且x≠0，∴x的取值范圍是x≠?1,x≠?2且x≠0，故④正確．故選：B2．（2024八年級(jí)·全國·競賽）函數(shù)y=2?xx+1+x?1A．x≤2 B．x≤2且x≠?1 C．x≤2且x≠?1或x≠0 D．x≤2且x≠0且x≠?1【答案】D【分析】本題主要考查了求自變量的取值范圍，分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪．根據(jù)分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，即可求解．【詳解】解：由題意得：2?x≥0且x+1≠0且x≠0，解得：x≤2且x≠?1且x≠0．故選：D3．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期末）已知當(dāng)x=?4時(shí)，分式x?b2x+a無意義；當(dāng)x=2時(shí)，此分式的值為0，則2ab2A．34 B．83 C．45【答案】B【分析】本題考查了分式無意義的條件，分式值為0的條件，根據(jù)分式無意義的條件、分式的值為0的條件分別求出a=8，b=2，代入代數(shù)式即可求解，掌握分式無意義的條件，分式值為0的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵x=?4時(shí)，分式x?b2x+a∴2×?4+a=0，解得：∵x=2時(shí)，此分式的值為0，∴2?b=0，解得：b=2，∴2ab2?故選：B．4．（23-24八年級(jí)上·甘肅定西·期末）已知某個(gè)分式，當(dāng)x=?1時(shí)，分式無意義，當(dāng)x=2A．x?2x+1 B．x+2x+1 C．x+2x?1【答案】A【分析】本題考查了分式無意義，分式求值，解題的關(guān)鍵掌握分式代值的計(jì)算方法．先根據(jù)當(dāng)x=?1【詳解】解：當(dāng)x=?1時(shí)，x+1=0，則分式x?2x+1，x+2x+1無意義；x?1=?2≠0當(dāng)x=2時(shí)，x?2x+1=0，故選：A．二．根據(jù)分式的值的情況判斷參數(shù)值或取值范圍（共4小題）5．（2021九年級(jí)·安徽·專題練習(xí)）下列關(guān)于分式x+2xA．當(dāng)x>-2時(shí)，分式的值一定為負(fù)數(shù)B．當(dāng)x=0時(shí)，分式?jīng)]有意義C．當(dāng)x<-2時(shí)，分式的值一定為正數(shù)D．當(dāng)x=-2時(shí)，分式的值為0【答案】A【分析】根據(jù)“分式的分子分母同號(hào)時(shí)，分式的值為正數(shù)，當(dāng)分式的分子分母異號(hào)時(shí)，分式的值為負(fù)數(shù)”判斷A，C選項(xiàng)；根據(jù)“分式的分母為0時(shí)，分式?jīng)]有意義”判斷B選項(xiàng)；根據(jù)“當(dāng)分式的分母不為0，且分子為0時(shí)，分式的值為0”判斷D選項(xiàng)．【詳解】解：A項(xiàng)：當(dāng)x=1時(shí)，分式的值為正數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B項(xiàng)：當(dāng)x=0時(shí)，分式?jīng)]有意義，正確，故此選項(xiàng)不合題意；C項(xiàng)：當(dāng)x<-2時(shí)，分式的值一定為正數(shù)，正確，故此選項(xiàng)不合題意；D項(xiàng)：當(dāng)x=-2時(shí)，分式的值為0，正確，故此選項(xiàng)不合題意．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為0的條件，分式無意義的條件，以及分式的值為正數(shù)或負(fù)數(shù)的條件．正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022八年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）分式x?3x3?2A．x<3 B．x>0且x≠1 C．x<1且x≠0 D．0<x<3，且x≠1【答案】D【分析】根據(jù)乘法公式，化簡分式，分式的值要為負(fù)數(shù)，則分子、分母為異號(hào)，即可求出答案．【詳解】解：x?3==x?3因?yàn)榉质降闹禐樨?fù)數(shù)，∴x?3>0x<0x≠1∴0<x<3且x≠1故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡，分式的取值與分子、分母的關(guān)系，且分母不能為零，理解和掌握分式取值與分子、分母的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（21-22七年級(jí)上·江蘇無錫·期末）若3a?1表示一個(gè)整數(shù)，則整數(shù)aA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)3的約數(shù)有±1，±3，分別建立等式計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可知：a﹣1＝±1或±3，∴a＝0或2或﹣2或4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值，整數(shù)的性質(zhì)，整數(shù)的約數(shù)，熟練掌握一個(gè)數(shù)的約數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（20-21八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）已知a為整數(shù)，且a+3a?5?a?5a+2÷A．8 B．12 C．16 D．10【答案】C【分析】首先對(duì)于分式進(jìn)行化簡，然后根據(jù)a為整數(shù)、分式值為正整數(shù)可求出a的值，最后將a的所有值相加即可．【詳解】解：a+3a?5﹣a?5a+2＝a+3a?5﹣a?5a+2＝a+3a?5﹣＝a+3?a+2＝5a?5∵a為整數(shù)，且分式的值為正整數(shù)，∴a﹣5＝1，5，∴a＝6，10，∴所有符合條件的a的值的和：6+10＝16．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，對(duì)分式的分子和分母能夠正確分解因式是解題的關(guān)鍵．三．分式的基本性質(zhì)（共4小題）9．（21-22八年級(jí)上·山東濱州·期末）把分式13x?1A．3x?62x+4 B．4x?26x+3 C．2x?12x+1【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)求解即可．【詳解】解：給分式的分子和分母同乘以12，得：13x?161故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟知分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的整式，分式的值不變．10．（20-21八年級(jí)下·重慶沙坪壩·期末）下列各式從左到右的變形正確的是（

）A．?x?yx=?x?yC．0.2a+b0.2b=2a+b【答案】D【分析】利用分式的基本性質(zhì)，分子分母都乘以或除以同一個(gè)不為零的數(shù)分式的值不變，分式與其倒數(shù)不相等．【詳解】解：A.?x?yx=?B.a+ba?bC.0.2a+b0.2b=D.x?1故選擇：D．【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，和倒數(shù)的概念，掌握分式的基本性質(zhì)和倒數(shù)概念的區(qū)別是解題關(guān)鍵．11．（22-23八年級(jí)下·江蘇無錫·期中）將分式xy2x+y中的x，y的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則該分式的值（

A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．變?yōu)樵瓉淼?倍 C．不變 D．變?yōu)樵瓉淼囊话搿敬鸢浮緼【分析】把原分式中的x、y分別替換成2x，2y，然后利用分式的基本性質(zhì)化簡即可得到答案．【詳解】解：∵分式xyx+y中x、y∴分式xyx+y變?yōu)椋簞t該分式的值變?yōu)樵瓉淼?倍．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握分式的基本性質(zhì)．12．（18-19八年級(jí)下·江蘇泰州·期中）已知3x?2(x+1)(x?1)=Ax?1+【答案】A=12，B=【分析】先對(duì)等式右邊通分，再利用分式相等的條件列出關(guān)于A、B的方程組，解之即可求出A、B的值.【詳解】解：∵Ax?1又∵Ax?1∴(A+B)x+A?Bx+1∴A+B=3A?B=?2解得A=1∴A=12，B=5【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì).利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行通分，再利用系數(shù)對(duì)應(yīng)法列出方程組是解題的關(guān)鍵.四．已知分式恒等變形求未知數(shù)（共4小題）13．（20-21八年級(jí)下·江蘇南京·期中）已x2+2x(x+1)(x+2)=A【答案】4【分析】先把等式的右邊通分作分式加法計(jì)算，再根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可得出關(guān)于A、B、C的方程組，求出方程組的解，即可得出答案．【詳解】解：∵x2∴x2∴x2∴A+B+C=13A+2B+C=0解得，A=1B=?3∴A+2B+3C=1+2×(?3)+3×3=4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減，根據(jù)恒等式的意義得出關(guān)于A、B、C的方程組是解題的關(guān)鍵．14．（22-23七年級(jí)上·湖南長沙·階段練習(xí)）已知6x3+10xx4+x2+1=Ax+Bx【答案】6【分析】由于x4+x2+1=(x2+1)【詳解】解：∵6x3∴6∴6x∴當(dāng)x=0時(shí)，B+D=0①當(dāng)x=1時(shí)，A+B+3C+D=16當(dāng)x=?1時(shí)，3B?A∵6x即6∴A+C=6④聯(lián)立①②③④解之得A=C=3、B=?2、D=2，∴A+B+C+D=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了部分分式的計(jì)算，題目比較復(fù)雜，解題時(shí)首先正確理解題意，然后根據(jù)題意列出關(guān)于A、B、C、D的方程組即可解決問題．15．（22-23八年級(jí)上·湖南邵陽·期中）已知Ax+2?Bx?3=【答案】A=?2，B=?3【分析】首先化簡方程，然后根據(jù)等式關(guān)系，列出二元一次方程組，解得即可.【詳解】解：原方程可化為Ax?3A?Bx?可得A?B=13A+2B=?12解得A=?2，B=?3．【點(diǎn)睛】此題主要考查分式加減運(yùn)算的恒等式，關(guān)鍵是列出關(guān)于A、B的二元一次方程組．16．（22-23八年級(jí)上·云南昆明·階段練習(xí)）閱讀下列材料：若1?3xx2?1=A解：等式右邊通分，得A根據(jù)題意，得A+B=?3?A+B=1，解之得A=?2仿照以上解法，解答下題．(1)已知x+6x+12x?3=Mx+1?N2x?3（其中(2)若12n?12n+1=a2n?1?b(3)計(jì)算：11×3【答案】(1)M=?1(2)12，(3)1010【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的方法計(jì)算即可求出M與N的值；（2）根據(jù)閱讀材料中的方法計(jì)算即可求出a與b的值；（3）由11×3=12×【詳解】（1）解：等式右邊通分，得Mx+1根據(jù)題意，得2M?N=1?3M?N=6，解之得M=?1（2）解：等式右邊通分，得a2n?1根據(jù)題意，得2a?2b=0a+b=1，解之得a=b=故答案為：12，1（3）解：1=====故答案為：10102021【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．五．分式的化簡求值（共3小題）17．（2022·內(nèi)蒙古·中考真題）先化簡，再求值：3x?1?x?1÷【答案】2+x2?x，【分析】分式的混合運(yùn)算，根據(jù)加減乘除的運(yùn)算法則化簡分式，代入求值即可求出答案．【詳解】解：原式=====當(dāng)x=3時(shí)，原式=?5，故答案是：?5．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則即可，包括完全平方公式，能約分的要約分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法則是解題的關(guān)鍵．18．（2023·遼寧丹東·中考真題）先化簡，再求值：x2?1x【答案】x3【分析】先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號(hào)里面通分計(jì)算，再根據(jù)分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序進(jìn)行化簡，根據(jù)負(fù)整數(shù)冪和0次冪的運(yùn)算法則，求出x的值，最后將x的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：x===x∵x=1∴原式=x【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合運(yùn)算法則，以及負(fù)整數(shù)冪和0次冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．19．（2021·山東威?！ぶ锌颊骖}）先化簡(a2?1a?3?a?1)÷【答案】2a-6，當(dāng)a=0時(shí)，原式=-6；當(dāng)a=1時(shí)，原式=-4．【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再根據(jù)分式有意義的條件確定a的值，繼而代入計(jì)算可得答案．【詳解】(=a=a=a=2=2a-6，∵a≠3且a≠-1，∴a=0，a=1，當(dāng)a=0時(shí)，原式=2×0-6=-6；當(dāng)a=1時(shí)，原式=2×1-6=-4．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．六．分式的比較大?。ü?小題）20．（23-24八年級(jí)上·河北唐山·期中）比較A=2xx+1與B=x+12的大?。ˋ．A≥B B．A>B C．A≤B D．A<B【答案】C【分析】本題考查比較分式大小，將A?B進(jìn)行化簡得到A?B=?x?122x+1，利用x是正數(shù)，可得出A?B≤0【詳解】解：由題意可知：A?B=====∵x是正數(shù)，∴2x+1>0，∴?∴A?B≤0，即A≤B，故選：C．21．（23-24八年級(jí)上·廣西來賓·期末）【閱讀理解】在比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小時(shí)，解決策略一般是利用“作差法”，即要比較代數(shù)式M、N的大小，只要作出差M?N：若M?N>0，則M>N；若M?N=0，則M=N；若M?N<0，則M<N．【解決問題】(1)若a<0，則aa?1________0（填>、=或<(2)已知A=2x2?1，B=x2?2x+1【答案】(1)>(2)A>1【分析】本題考查不等式的性質(zhì)及分式的運(yùn)算，熟練掌握不等式的性質(zhì)并能夠靈活運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．（1）并根據(jù)a<0（2）計(jì)算A?1B，并根據(jù)【詳解】（1）∵a<0，∴a?1<?1，∴?a故答案為：>．（2）A>1A?======?1∵x<?1，∴x+1<0，∴?1∴A>1七．求分式的最值問題（共3小題）22．（23-24八年級(jí)上·北京海淀·期中）對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，∵a?∴a+b≥2ab，只有當(dāng)a=b由此我們得到結(jié)論：任意正實(shí)數(shù)a、b，有a+b≥2ab依此結(jié)論我們有（1）m+1m(m>0)的最小值（2）x2+x?5x?2x>2【答案】2?3【分析】（1）根據(jù)a+b≥2ab，對(duì)代數(shù)式m+（2）根據(jù)a+b≥2ab【詳解】（1）∵m+1m≥2m·∴m+1故答案為：2．（2）∵x>2，∴x==x+3+=x?2+1x?2=2?5=?3故答案為：?3．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)化簡，熟練掌握a+b≥2ab23．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·期末）閱讀下面材料，并解答問題.分式2x+8x+2解：2x+8x+2因?yàn)閤≥0，所以x+2的最小值是2，所以4x+2的最大值是2，所以2+4x+2解答下列問題：(1)分式3x+7x?1x≥3的最大值是(2)求分式2x(3)若分式x2?4x+2x?4【答案】(1)8(2)5(3)2、3、5、6【分析】（1）本題考查對(duì)題干的理解、分式加減運(yùn)算的逆運(yùn)算（即b+ca=ba+ca（2）本題解法與（1）類似．（3）本題解法與（1）類似．根據(jù)x2?4x+2x?4=x+2x?4，且值為整數(shù)，得到【詳解】（1）解：由題可知，3x+7x?1∵x≥3,∴x?1的最小值為2，∴10∴3+10即3x+7x?1（2）解：由題可知，2x∴當(dāng)x=0時(shí)x2+1≠0且∴3∴2+3即2x（3）解：由題可知，x2∵x∴2∵x?4不能等于0，∴x?4的值為?2、?1、1、2，∴x的值為2，3，5，6．24．（22-23八年級(jí)下·福建福州·開學(xué)考試）閱讀下列材料：我們知道分?jǐn)?shù)中有真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)，類似的，在分式中，也規(guī)定真分式、假分式、帶分式．在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式，如果分子的次數(shù)高于或等于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．例如：分式4x+2是真分式，分式x2x+1請(qǐng)根據(jù)以上方法，解決下列問題；(1)請(qǐng)根據(jù)以上信息，判斷a2(2)已知：P=2a+1a?1+2a?1(3)已知：M=a?1a+1，N=2a?1，請(qǐng)計(jì)算M+N；設(shè)y=1【答案】(1)假(2)P=2+(3)a2+3a2?1；當(dāng)【分析】（1）根據(jù)真分式和假分式的定義分析判斷即可；（2）根據(jù)帶分式的定義將P化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和即可；（3）首先根據(jù)分式加減運(yùn)算法則計(jì)算出M+N；進(jìn)而將y整理為真分式得到y(tǒng)=1?4a2【詳解】（1）解：∵分子a2的次數(shù)高于分母(a+3)的次數(shù)，故a故答案為：假；（2）P=2a+1（3）∵M(jìn)=a?1a+1，∴M+N=a?1∵y=1又∵a2∴a2∴4a2+3∴當(dāng)a=0時(shí)，y有最小值，最小值為y=1?4【點(diǎn)睛】本題主要考查了真分式、假分式和帶分式的定義，整式運(yùn)算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，理解題意，熟練掌握分式運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．八．與分式運(yùn)算有關(guān)的新定義問題（共5小題）25．（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）我們給出定義：若一個(gè)分式約分后是一個(gè)整式，則稱這個(gè)分式為“巧分式”，約分后的整式稱為這個(gè)分式的“巧整式”．例如：4x2?8xx?2=(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序號(hào)）；①(x?1)(2x?3)(x+2)(x?1)(x+2)；②2x+5x+3；③(2)若分式x2?4x+mx+3（m為常數(shù)）是一個(gè)“巧分式”，它的“巧整式”為x?7(3)若分式?2x3+2x①求整式A．②2x【答案】(1)①③(2)m=?21(3)①A=2x2+2x【分析】本題考查了分式的化簡、因式分解及分式的混合運(yùn)算．解決本題的關(guān)鍵是弄清楚“巧分式”的定義．（1）根據(jù)“巧分式”的定義，逐個(gè)判斷得結(jié)論；（2）根據(jù)“巧分式”的定義，得到關(guān)于x+3x?7（3）①根據(jù)給出的“巧分式”的定義求解即可；②將A代入，約分后看是否是一個(gè)整式，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵(x?1)(2x?3)(x+2)(x?1)(x+2)=2x?3∴①是“巧分式”；∵2x+5x+3=2x+6?1∴②不是“巧分式”；∵x2?y∴③是“巧分式”；故答案為：①③；（2）解：∵分式x2?4x+mx+3（m∴x+3∴x∴m=?21；（3）解：①∵分式?2x3+2x∴A=?2∴A=2x1?x②∵2x又x+1是整式，∴2x26．（23-24八年級(jí)上·山東德州·期末）定義：若分式P與分式Q的差等于它們的積，即P?Q=PQ，則稱分式P與分式Q互為“關(guān)聯(lián)分式”．如3xx+2與3x4x+2，因?yàn)?xx+2?3x(1)請(qǐng)通過計(jì)算判斷分式2a2+1(2)求分式aa?2b【答案】(1)見解析(2)a2a?2b或【分析】本題考查用新定義解決數(shù)學(xué)問題，熟練掌握分式混合運(yùn)算法則是求解本題的基礎(chǔ)；（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)分式”的定義判斷即可；（2）①設(shè)分式aa?2b為P，則其關(guān)聯(lián)式為Q，則有aa?2b?Q=②設(shè)aa?2b為Q，則其關(guān)聯(lián)式為P，則有P?aa?2b【詳解】（1）解：證明：若2a2+1則必須滿足2a故：2a=2∴2a故分式2a2+1（2）已知題意：P?Q=PQ，①設(shè)aa?2b為P，則其關(guān)聯(lián)式為Qaa?2baa?2bQaQ=a故其關(guān)聯(lián)式為a2a?2b②設(shè)aa?2b為Q，則其關(guān)聯(lián)式為PP?aP?aP1?P=a故其關(guān)聯(lián)式為a?2b綜上，分式aa?2bab≠0的“關(guān)聯(lián)分式”為a2a?2b27．（23-24八年級(jí)上·河南商丘·期末）定義：若兩個(gè)分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為“n階分式”．例如，分式3x+1與3x(1)分式12x3+2x(2)若正數(shù)x,y互為倒數(shù)，求證：分式5xx+y2【答案】(1)18(2)見解析【分析】本題主要考查了分式的加法，正確理解題意并掌握分式通分、約分運(yùn)算方法是解決本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中的新定義列出關(guān)系式，然后根據(jù)分式的加法進(jìn)行通分計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關(guān)系，將x、y進(jìn)行消元，然后兩分式相加計(jì)算得到結(jié)果，利用新定義即可判斷；【詳解】（1）∵12x3+2x∴分式12x3+2x與18故答案為：18（2）證明：∵正數(shù)x，y互為倒數(shù)，∴xy=1，即y=1∴5x則分式5xx+y228．（22-23八年級(jí)下·福建福州·開學(xué)考試）定義：如果兩個(gè)分式A與B的差為1，則稱A是B的“最友好分式”，如分式A=xx?1,B=1x?1(1)已知分式C=x2?4x2(2)已知分式E=Px2?4,F=①求P（用含x的式子表示）；②若P+mx?2x2nx+3為定值，求m【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由見解析(2)①P=2x2【分析】本題主要考查新定義下分式的混合運(yùn)算和解一元一次方程，（1）根據(jù)“最友好分式”的定義，計(jì)算C?D的值即可；（2）①根據(jù)題意得E?F=P?xx?2x2?4，結(jié)合E是F的“最友好分式”可求得P；②當(dāng)P=2x2?2x?4時(shí)，化簡得P+mx?2x2nx+3=m?2【詳解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由：∵C?D=∴C是D的“最友好分式”；（2）①∵分式E=Px2?4,F=∴E?F=P解得P=2x②當(dāng)P=2x2?2x?4設(shè)m?2x?4∴m?2x?4=knx+3k∴m?2?knx?4?3k=0∵P+mx?2x∴m?2?kn=0且?4?3k=0，由?4?3k=0解得k=?4把k=?43代入m?2?kn=0∴m=2?429．（23-24八年級(jí)上·湖南懷化·期末）定義：若分式A與分式B的差等于它們的積，即A?B=AB，則稱分式B是分式A的“可存異分式”．如1x+1與1x+2，因?yàn)?x+1?1x+2=(1)填空：①分式1x+2__________分式1②分式xx?4(2)已知分式2x+33x+3是分式A①求分式A的表達(dá)式；②求整數(shù)x為何值時(shí)，分式A的值是正整數(shù)，并寫出分式A的值．【答案】(1)①不是；②x2x?4(2)①A=2x+3x；1，5或【分析】（1）①根據(jù)“可存異分式”的定義進(jìn)行判斷即可；②根據(jù)“可存異分式”的定義進(jìn)行解答即可求解；（2）①根據(jù)“可存異分式”的定義進(jìn)行解答即可求解；②根據(jù)整除的定義進(jìn)行求解即可；本題考查了分式加減運(yùn)算、乘法運(yùn)算，解分式方程，代數(shù)式求值，掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①∵1∴分式1x+2不是1故答案為：不是；②依題意得，xx?4∴2x?4x?4解得B=x即分式xx?4的“可存異分式”是x故答案為：x2x?4（2）解：①依題意A?2x+3∴x3x+3解得A=2x+3②A=2x+3當(dāng)整數(shù)x=?3，?1，1或3時(shí)，分式A的值分別是1，?1，又∵分式A的值是正數(shù)，∴整數(shù)x=?3，1或3，分式A的值分別是1，5或九．與分式運(yùn)算有關(guān)的規(guī)律探究問題（共3小題）30．（22-23八年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）觀察下列各式16=12×13(1)由此可推測172==(2)試猜想此類式子的一般規(guī)律．用含字母m的等式表示出來（m表示正整數(shù)）；(3)請(qǐng)直接用（2）中的規(guī)律計(jì)算1x?2【答案】(1)18×9，1(2)1m(m+1)，1(3)0【分析】本題考查數(shù)字的變化類以及分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，求出所求式子的值．（1）根據(jù)題目中的例子的計(jì)算方法可以解答本題；（2）根據(jù)（1）中的例子可以寫出含m的等式；（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律進(jìn)行分式的混合運(yùn)算即可．【詳解】（1）解：172=1故答案為18×9，1（2）解：由（1）可得1m(m+1)故答案為1m(m+1)，1（3）解：1=1=1=0.31．（23-24八年級(jí)上·湖南永州·期中）探究題：觀察下列各式的變化規(guī)律，然后解答下列問題：11×2=1?12，12×3(1)計(jì)算：若n為正整數(shù)，猜想1n(2)化簡1x+2023(3)若ab?2+b?1=0【答案】(1)1(2)1(3)22【分析】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、有理數(shù)的混合運(yùn)算、分式的加法，弄清題中的拆項(xiàng)法則是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知等式得到一般性規(guī)律，寫出即可；（2）利用（1）中得到的規(guī)律，變形后，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，代入原式計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：∵11×2=1?12，1∴若n為正整數(shù)，1n故答案為：1n（2）解：由（1）可得1n∴==1（3）解：∵ab?2+b?1=0，∴ab?2=0，b?1=0，∴a=2，b=1，∴==1?=1?=2232．（23-24八年級(jí)上·廣東汕頭·期末）把一個(gè)分式寫成兩個(gè)分式的和叫作把這個(gè)分式表示成“部分分式”，請(qǐng)解答下列問題：(1)若2n+1n(n+1)=An+(2)根據(jù)（1）中的規(guī)律，求31×2【答案】(1)A=1,B=1(2)50【分析】本題考查找規(guī)律，涉及異分母分式加減運(yùn)算、解方程組等知識(shí)，讀懂題意，準(zhǔn)確找到規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵．（1）通分，將An（2）由（1）中規(guī)律，由2n+1n【詳解】（1）解：∵==∴A+B=2解得A=1B=1（2）解：由（1）中2n+1n3==1+=1?=50十．與分式運(yùn)算有關(guān)的閱讀理解問題（共5小題）33．（23-24八年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）閱讀材料：《見微知著》談到：從一個(gè)簡單的經(jīng)典問題出發(fā)，從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，從部分到整體，由低維到高維，知識(shí)與方法上的類比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門發(fā)現(xiàn)新問題、新結(jié)論的重要方法．例如：已知xy=1，求11+x解：原式=問題解決：(1)已知xy=1．①代數(shù)式11+x2②求證11+(2)已知，xy+z+yz+x+【答案】(1)①1；②見解析(2)0【分析】本題考查分式的化簡求值，分式的混合運(yùn)算．（1）①把xy=1代入11+x2+1（2）將已知等式變形，分別得到含有x2【詳解】（1）解：①∵xy=1，∴1=xy=xy=x+y=1；故答案為：1②證明：∵xy=1，∴x2021∴1=x=x=y=y=1；（2）解：∵xy+z+y∴xy+z∴x2同理可得：y2z+x=y?∴x==x+y+z?=x+y+z?=x+y+z?=x+y+z?=0．34．（23-24八年級(jí)下·河南南陽·階段練習(xí)）閱讀材料：已知x3=y解：設(shè)x3=y4=z6所以x+y?zx?y+z(1)回答下列問題：①第一步運(yùn)用了_______的基本性質(zhì)；②第二步的解題過程運(yùn)用了_____的方法，由k5k得1(2)模仿材料解題：已知x:y:z=2:3:4，求x+y+zx?2y+3z【答案】(1)等式，代入消元，分式；(2)98【詳解】（1）解：由題意可得，第一步運(yùn)用了等式的基本性質(zhì)，第二步的解題過程運(yùn)用了代入消元的方法，由k5k得1故答案為：等式，代入消元，分式；（2）解：設(shè)x:y:z=2:3:4=k，則：x=2k，y=3k，z=4k，∴x+y+zx?2y+3z35．（23-24八年級(jí)下·河南南陽·階段練習(xí)）閱讀與理解閱讀下列材料，完成后面的任務(wù)．在解決某些分式問題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡，以達(dá)到計(jì)算目的．例：若xx2+1解：∵xx2+1=14，∴任務(wù)：已知xx(1)求x+1(2)求x2【答案】(1)8(2)1【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算；（1）把式子變成其倒數(shù)形式，然后約分即可；（2）對(duì)x2x4+2x【詳解】（1）解：∵xx∴x2∴x?3+1∴x+1（2）對(duì)x2x4由（1）得x+1∴x+1∴x4∴x236．（23-24八年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）[核心素養(yǎng)]閱讀材料：將分式x2解：由分母為x+3，可設(shè)x2+2x?5=x+3則x2∵對(duì)于任意x，上述等式均成立，∴a+3=23a+b=?5解得∴x==x?1?2這樣，分式x2解決問題：將分式x2+3x+6x?1【答案】x+4+10x?1【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、同分母分式加減法，掌握同分母分式加減法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)所給的材料，將分式x2+3x+6x?1拆成x?1x+4+10【詳解】解：由x2+3x+6x?1可設(shè)x2+3x+6=x?1則x∵對(duì)于任意x，上述等式均成立，∴m?1=3解得m=4∴x由?2x4?可設(shè)?2x4?則?2x∵對(duì)于任意x，上述等式均成立，∴2?c=?1解得c=3∴?2x37．（23-24八年級(jí)下·河南南陽·階段練習(xí)）閱讀下列材料：通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”，而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：83=6+23=2+如：x?1x+1=x+1?2解決下列問題：(1)分式2x(2)將假分式x2(3)如果x為整數(shù)，分式6x?52x?1的值為整數(shù)，求所有符合條件的x【答案】(1)真(2)x+1+(3)x=1或0【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算；（1）根據(jù)材料中“真分式”和“假分式”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)題中所給方法，利用分式的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）先將分式6x?52x?1化為帶分式，再根據(jù)題意得出2x?1=±1【詳解】（1）解：∵分式2x∴分式2x故答案為：真；（2）x==x+=x+1+5（3）6x?52x?1∵x為整數(shù)，分式6x?52x?1∴2x?1=±1，∴x=1或0．十一．解分式方程（共3小題）38．（19-20八年級(jí)上·廣東廣州·期末）已知，關(guān)于x的分式方程a2x+3(1)當(dāng)a=2，b=1時(shí)，求分式方程的解；(2)當(dāng)a=1時(shí)，求b為何值時(shí)分式方程a2x+3(3)若a=3b，且a、b為正整數(shù)，當(dāng)分式方程a2x+3?b?x【答案】(1)x=?(2)11(3)3、29、55、185【分析】（1）將a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把a(bǔ)的值代入分式方程，分式方程去分母后化為整式方程，分類討論b的值，使分式方程無解即可；（3）將a=3b代入方程，分式方程去分母化為整式方程，表示出整式方程的解，由解為整數(shù)和b為正整數(shù)確定b的取值．【詳解】（1）解：把a(bǔ)=2，b=1代入原分式方程中，得：22x+3方程兩邊同時(shí)乘以(2x+3)(x?5)，得：2(x?5)?(1?x)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，解得：x=?1檢驗(yàn)：把x=?15代入∴原分式方程的解為：x=?1（2）解：把a(bǔ)=1代入原分式方程中，得：12x+3方程兩邊同時(shí)乘以(2x+3)(x?5)，得：(x?5)?(b?x)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，去括號(hào)，得：x?5+2x移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得：(11?2b)x=3b?10，①當(dāng)11?2b=0時(shí)，即b=11②當(dāng)11?2b≠0時(shí)，得x=3b?10Ⅰ.x=?3即3b?1011?2b此時(shí)b不存在；Ⅱ.x=5時(shí)，原分式方程無解，即3b?1011?2b此時(shí)b=5；綜上所述，b=112或（3）解：把a(bǔ)=3b代入分式方程a2x+3得：3b2x+3方程兩邊同時(shí)乘以(2x+3)(x?5)，得：3b(x?5)+(x?b)(2x+3)=(2x+3)(x?5)，整理得：(10+b)x=18b?15解得：x=18b?15∵b為正整數(shù)，x為整數(shù)，∴10+b必為195的因數(shù)，10+b≥11，∵195=3×5×13，∴195的因數(shù)有1、3、5、13、15、39、65、195，∵1、3、5都小于11，∴10十b可以取13、15、39、65、195這五個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)地，方程的解x=3、5、13、15、17，又x=5為分式方程的增根，故應(yīng)舍去，對(duì)應(yīng)地，b只可以取3、29、55、185，∴滿足條件的b可取3、29、55、185這四個(gè)數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的計(jì)算，難度較大，涉及知識(shí)點(diǎn)較多．熟練掌握解分式方程的步驟是解決這三道小題的前提條件；其次，分式方程無解的兩種情況要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程無解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．總之，解分式方程的步驟要重點(diǎn)掌握．39．（21-22八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）已知關(guān)于x的分式方程x?a(1)若分式方程的根是x=5，求a的值(2)若分式方程有增根，求a的值(3)若分式方程有無解，求a的值【答案】(1)a=?1(2)a=2(3)a=?3或a=2【分析】（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；（2）原方程整理得a+3x=10，由分式有增根，則xx?2=0，得到x=0（3）由（2）可知，a+3x=10，分a+3=0和a+3≠0【詳解】（1）解：把x=5代入x?ax?25?a5?2解得a=?1；（2）x?ax?2兩邊都乘以xx?2xx?a整理得，a+3x=10由分式有增根，則xx?2∴x=0或x=2，把x=0代入a+3x=10，a把x=2代入2a+3=10，解得綜上可知，a=2；（3）由（2）可知，a+3x=10當(dāng)a+3=0時(shí)，方程無解，即a=?3，當(dāng)a+3≠0時(shí)，要使方程無解，則分式方程有增根，由（2）知a=2，綜上可知，a=?3或a=2．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．40．（20-21八年級(jí)下·四川攀枝花·期中）（1）解方程：x?2（2）計(jì)算：x【答案】（1）原分式方程無解（2）1【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）首先將式子通分，化成同分母，分子合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：（1）x?2x?2x=?2經(jīng)檢驗(yàn)：x=?2是增根所以原方程無解．（2）原式=x2=x=x=1x?1【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程和分式的化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式方程的解法和分式的化簡運(yùn)算法則．十二．裂項(xiàng)法解分式方程（共3小題）41．（19-20七年級(jí)上·上海浦東新·階段練習(xí)）我們知道，在計(jì)算11×2+12×3請(qǐng)你利用裂項(xiàng)的思路化簡下式：（1）1（2）1（3）分式方程1x【答案】（1）2005x2+2005x（2）【分析】（1）根據(jù)已知的式子，得出1n（2）根據(jù)規(guī)律1n（3）先把分母進(jìn)行因式分解，再根據(jù)找出的規(guī)律對(duì)方程化簡，然后求解即可．【詳解】（1）1=1=1=2005=2005（2）1=1=1=1=1=4（3）∵1∴121∴1故?解得x=-9經(jīng)檢驗(yàn)，x=-92【點(diǎn)睛】此題主要考查分式運(yùn)算的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到規(guī)律進(jìn)行化簡，再利用分式方程的解法求解.42．（23-24八年級(jí)上·北京昌平·期中）對(duì)于“分子為1，分母可以寫作兩個(gè)正因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)”，可以進(jìn)行“裂項(xiàng)”轉(zhuǎn)化，例如：161參考上面的方法，解決下列問題：(1)120=1(2)若將115裂項(xiàng)變形，則1(3)應(yīng)用上述變形，化簡：1x【答案】(1)1(2)1(3)1002【分析】（1）由12（2）根據(jù)115（3）把每一個(gè)分式進(jìn)行“裂項(xiàng)”，再相加即可．【詳解】（1）解：120故答案為：18（2）解：115故答案為：12（3）解：1===1002【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算及有理數(shù)的運(yùn)算，理解題中“裂項(xiàng)”變形是解題的關(guān)鍵．43．（20-21七年級(jí)上·江西新余·期中）觀察下列等式：11×2=1?12，把以上三個(gè)等式兩邊分別相加得：11×2+1這種求和的方法稱為裂項(xiàng)求和法：裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的．(1)猜想并寫出：1n(n+1)(2)規(guī)律應(yīng)用：計(jì)算：11×2(3)拓展提高：計(jì)算：12×4【答案】(1)1(2)2019(3)1009【分析】（1）逆用分式的減法法則計(jì)算即可．（2）根據(jù)（1）的特點(diǎn),裂項(xiàng)后求和，注意其中的規(guī)律，清楚被銷項(xiàng)和保留項(xiàng)，計(jì)算即可．（3）把分母的各數(shù)中各提取2，轉(zhuǎn)化成（2）式問題計(jì)算即可．【詳解】（1）∵1n(n+1)=1故答案為：1n（2）1=1?=1?=20192020（3）1=1=1=1=1=10094040【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減混合運(yùn)算，正確找到規(guī)律，靈活運(yùn)用規(guī)律是解題的關(guān)鍵．十三．分式方程的實(shí)際應(yīng)用（共4小題）44．（2023·山東濟(jì)南·中考真題）某校開設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，購買了A，B兩種型號(hào)的機(jī)器人模型．A型機(jī)器人模型單價(jià)比B型機(jī)器人模型單價(jià)多200元，用2000元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同．(1)求A型，B型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元?(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購買A型和B型機(jī)器人模型共40臺(tái)，購買B型機(jī)器人模型不超過A型機(jī)器人模型的3倍，且商家給出了兩種型號(hào)機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠．問購買A型和B型機(jī)器人模型各多少臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少?最少花費(fèi)是多少元?【答案】(1)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元(2)購買A型機(jī)器人模型10臺(tái)和B型機(jī)器人模型30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元【分析】（1）設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是x元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是x?200元，根據(jù)：用2000元購買A型機(jī)器人模型和用1200元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同即可列出關(guān)于x的分式方程，解方程并檢驗(yàn)后即可求解；（2）設(shè)購買A型編程機(jī)器人模型m臺(tái)，購買A型和B型編程機(jī)器人模型共花費(fèi)w元，根據(jù)題意可求出m的范圍和W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值【詳解】（1）解：設(shè)A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是x元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是x?200元．根據(jù)題意，得2000解這個(gè)方程，得x=500經(jīng)檢驗(yàn)，x=500是原方程的根．x?200=300答：A型編程機(jī)器人模型單價(jià)是500元，B型編程機(jī)器人模型單價(jià)是300元．（2）設(shè)購買A型編程機(jī)器人模型m臺(tái)，購買B型編程機(jī)器人模型40?m臺(tái)，購買A型和B型編程機(jī)器人模型共花費(fèi)w元，由題意得：40?m≤3m，解得m≥10．∴w=500×0.8?m+300×0.8?即w=160m+9600，∵160>0，∴w隨m的增大而增大．∴當(dāng)m=10時(shí)，w取得最小值11200，此時(shí)40?m=30；答：購買A型機(jī)器人模型10臺(tái)和B型機(jī)器人模型30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用和一次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解題意、找準(zhǔn)相等與不等關(guān)系、得出分式方程與不等式是解題的關(guān)鍵．45．（2022·河南·中考真題）近日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版），將勞動(dòng)從原來的綜合實(shí)踐活動(dòng)課程中獨(dú)立出來．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動(dòng)．據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的54倍，用300元在市場上購買的A(1)求菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格．(2)菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元．學(xué)校決定在菜苗基地購買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該?；顒?dòng)，對(duì)A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購買最少花費(fèi)多少錢．【答案】(1)20元(2)2250元【分析】（1）設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為x元，根據(jù)題意列出方程，解出方程即可；（2）設(shè)：購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗100?m捆，花費(fèi)為y元，根據(jù)A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)，解出m的取值范圍，列出花費(fèi)y與A種菜苗m捆之間的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式求出最少花費(fèi)多少錢即可．【詳解】（1）解：設(shè)：菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為x元，300300×15解得x=20檢驗(yàn)：將x=20代入54∴x=20是原方程的解，∴菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為20元．（2）解：設(shè)：購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗100?m捆，費(fèi)用為y元，由題意可知：m≤100?m，解得m≤50，又∵y=20m+30×∴y=?9m+2700m≤50∵y隨m的增大而減小∴當(dāng)m=50時(shí)，花費(fèi)最少，此時(shí)y=?9×50+2700=2250∴本次購買最少花費(fèi)2250元．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程與一次函數(shù)表達(dá)式求最小值，根據(jù)題意列出分式方程并檢驗(yàn)是解答本題的關(guān)鍵．46．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）兩個(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成總工程的13(1)求乙隊(duì)單獨(dú)施工多少天完成全部工程？(2)若甲隊(duì)工作4天，乙隊(duì)工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊(duì)工作5天，乙隊(duì)工作6天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)75000元，求甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為多少元？(3)在（2）的條件下，若兩個(gè)工程隊(duì)不同時(shí)施工，在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快______天能完成總工程．【答案】(1)30(2)甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元(3)70【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工x天完成全部工程，根據(jù)甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成總工程的13（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為m元、n元,根據(jù)甲隊(duì)工作4天，乙隊(duì)工作3天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)42000元，甲隊(duì)工作5天，乙隊(duì)工作6天共需支付工程勞務(wù)費(fèi)75000元，列方程組求解，得到甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元；（3）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)施工a天，乙隊(duì)單獨(dú)施工b天，根據(jù)兩個(gè)工程隊(duì)不同時(shí)施工，總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元，兩隊(duì)完成工程量等于總工程量，列出0.3a+b≤28與a90+b30=1【詳解】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工x天完成全部工程，∵甲隊(duì)單獨(dú)施工完成全部工程的天數(shù)是30÷1∴13解得，x=30，經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是所列方程的根，且符合題意，故乙隊(duì)單獨(dú)施工30天完成全部工程；（2）設(shè)甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為m元、n元,∴4m+3n=420005m+6n=75000解得，m=3000n=10000故甲、乙兩隊(duì)工作一天的勞務(wù)費(fèi)分別為3000元、10000元；（3）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)施工a天，乙隊(duì)單獨(dú)施工b天，則0.3a+b≤28∵a90∴b=30?1∴0.3a+30?1∴a≥60，∵a+b=a+30?13a=∴2∴在總勞務(wù)費(fèi)不超過28萬元的情況下，則最快70天能完成總工程．故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題主要考查了工程問題，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握工作量與工作效率和工作時(shí)間的關(guān)系，總勞務(wù)費(fèi)與每天勞務(wù)費(fèi)和勞務(wù)時(shí)間的關(guān)系，解分式方程與二元一次方程組等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．47．（2021·浙江溫州·中考真題）某公司生產(chǎn)的一種營養(yǎng)品信息如下表．已知甲食材每千克的進(jìn)價(jià)是乙食材的2倍，用80元購買的甲食材比用20元購買的乙食材多1千克．營養(yǎng)品信息表營養(yǎng)成分每千克含鐵42毫克配料表原料每千克含鐵甲食材50毫克乙食材10毫克規(guī)格每包食材含量每包單價(jià)A包裝1千克45元B包裝0.25千克12元（1）問甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）該公司每日用18000元購進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完．①問每日購進(jìn)甲、乙兩種食材各多少千克？②已知每日其他費(fèi)用為2000元，且生產(chǎn)的營養(yǎng)品當(dāng)日全部售出．若A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，則A為多少包時(shí)，每日所獲總利潤最大？最大總利潤為多少元？【答案】（1）甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別為40元、20元；（2）①每日購進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克；②當(dāng)A為400包時(shí)，總利潤最大．最大總利潤為2800元【分析】（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為a元，根據(jù)用80元購買的甲食材比用20元購買的乙食材多1千克列分式方程即可求解；（2）①設(shè)每日購進(jìn)甲食材x千克，乙食材y千克．根據(jù)每日用18000元購進(jìn)甲、乙兩種食材并恰好全部用完，利用進(jìn)貨總金額為180000元，含鐵量一定列出二元一次方程組即可求解；②設(shè)A為m包，根據(jù)題意，可以得到每日所獲總利潤與m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，可以得到m的取值范圍，從而可以求得總利潤的最大值．【詳解】解：（1）設(shè)乙食材每千克進(jìn)價(jià)為a元，則甲食材每千克進(jìn)價(jià)為2a元，由題意得802a?20經(jīng)檢驗(yàn)，a=20是所列方程的根，且符合題意．∴2a=40（元）．答：甲、乙兩種食材每千克進(jìn)價(jià)分別為40元、20元．（2）①設(shè)每日購進(jìn)甲食材x千克，乙食材y千克．由題意得40x+20y=1800050x+10y=42x+y答：每日購進(jìn)甲食材400千克，乙食材100千克．②設(shè)A為m包，則B為500?m0.25記總利潤為W元，則W=45m+122000?4m∵A的數(shù)量不低于B的數(shù)量，∴m≥2000?4m，m≥400．∵k=?3<0，∴W隨m的增大而減小?！喈?dāng)m=400時(shí)，W的最大值為2800元．答：當(dāng)A為400包時(shí)，總利潤最大．最大總利潤為2800元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、分式方程、二元一次方程的應(yīng)用，解答本題時(shí)要明確題意、弄清表格數(shù)據(jù)的意義及各種量之間關(guān)系，利用方程的求未知量和一次函數(shù)的性質(zhì)解答，注意分式方程要檢驗(yàn)．十四．與解分式方程有關(guān)的新定義問題（共4小題）48．（23-24八年級(jí)上·湖南湘潭·期末）對(duì)于兩個(gè)非零有理數(shù)x，y，定義一種新運(yùn)算：x?y=2xx+1?(1)求6?5的值；(2)若a?1=1，求a的值．【答案】(1)1(2)a的值為2【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解分式方程等知識(shí)，理解定義的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用定義運(yùn)算代入計(jì)算即可；（2）運(yùn)用定義運(yùn)算代入得到一個(gè)分式方程，求解這個(gè)分式方程即可，注意檢驗(yàn)．【詳解】（1）解：6?5=2×6（2）a?1=2a去分母得：2a?1=a+1，解得：a=2，經(jīng)檢驗(yàn)：a=2是方程的解，?a的值為2．49．（23-24八年級(jí)上·廣西桂林·期中）對(duì)a，b定義一種新運(yùn)算M，規(guī)定Ma,b=2aba?b，這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：M2,3【答案】1【分析】本題考查了新定義，解分式方程，掌握分式方程的解法是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義把M2x,1【詳解】解：∵M(jìn)a,b∴M2x,1=M1,?1∴4x2x?1解得x=1檢驗(yàn)：當(dāng)x=16時(shí)，∴x=16是方程∴實(shí)數(shù)x的值是1650．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·期中）（1）對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a、b，定義新運(yùn)算“*”如下：a?b=1b?1a，例如：3?4=（2）符號(hào)“abcd”稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為：abc【答案】（1）20232；（2）【分析】本題考查了新定義、分式的化簡、解分式方程，理解定義的新運(yùn)算是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義運(yùn)算可得1y?1（2）根據(jù)題中的新定義化簡得：2x?1【詳解】解：（1）∵x?y=2，∴1∴x?y=2xy，∴2023xy（2）根據(jù)題中的新定義化簡得：2x?1去分母得：2+1=x?1，解得：x=4，檢驗(yàn)：把x=4代入得：x?1=3≠0，∴x=4．51．（22-23八年級(jí)下·山西晉城·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐：對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定Tx,y=ax2+by2x+y（其中a(1)填空：T4,?1=_________．（用含a，(2)若T?2,0=?2，且①求a，b的值；②若Tm+1,2m?2=T2m+2,m?3【答案】(1)16a+b(2)①a=1b=1；②【分析】（1）利用新運(yùn)算的規(guī)定解答即可；（2）①利用新運(yùn)算的規(guī)定得到關(guān)于a,b的方程，解方程即可求得結(jié)論；②利用新定義的規(guī)定列出關(guān)于m的等式，再將a,b的值代入求解即可．【詳解】（1）解：T(4,?1)=a×故答案為：16a+b3（2）①∵T(?2,0)=?2，∴a×(?2)2+b×∵T(5,?1)=13∴a×5∴25a+b=26②，由①、②組成二元一次方程組a=125a+b=26解得a=1b=1②∵Tm+1,2m?2∴a×m+1∵a=1b=1∴m+12∴m2∴5?6m=2m+13，∴m=?1，經(jīng)檢驗(yàn)，m=?1是原方程的根，∴m=?1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的運(yùn)算、解分式方程、二元一次方程組等知識(shí)，理解新定義的規(guī)定并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．十五．與解分式方程有關(guān)的閱讀理解問題（共3小題）52．（23-24九年級(jí)上·四川自貢·階段練習(xí)）閱讀材料：在學(xué)習(xí)解一元二次方程以后，對(duì)于某些不是一元二次方程的方程，我們可通過變形將其轉(zhuǎn)化為一元二次方程來解．例如：解方程：x2解：設(shè)x=t，則原方程可化為：t解得：t1當(dāng)t=1時(shí)，x=1，∴x=±1當(dāng)t=2時(shí)，x=2，∴x=±2∴原方程的解是：x1上述解方程的方法叫做“換元法”．請(qǐng)用“換元法”解決下列問題：(1)解方程：x2(2)解方程：x4(3)解方程：x+1x【答案】(1)x1(2)x1(3)x=1和x=?1【分析】本題考查了整體換元法，整體換元法是我們常用的一種解題方法，在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．（1）設(shè)x=t，則原方程可化為t2?2t=0，解方程求得t（2）設(shè)x2=a，則原方程可化為a2–10a+9=0，解方程求得（3）設(shè)x+1x2=m，則原方程可化為m–2m=1，整理得【詳解】（1）解：設(shè)x=t，則原方程可化為：t解得：t1當(dāng)t=0時(shí)，x=0∴x=0；當(dāng)t=2時(shí)，x=2∴x=±2．∴原方程的解是：x1（2）解：設(shè)x2=a，則原方程可化為即a?1a?9解得：a=1或a=9，當(dāng)a=1時(shí)，x2∴x=±1；當(dāng)a=9時(shí)，x2∴x=±3；∴原方程的解是：x1（3）解：設(shè)x+1x2=m整理得m2∴m+1m?2解得：m=?1或m=2，當(dāng)m=?1時(shí)，x+1x2=?1由Δ=1?4×1×1=?3<0當(dāng)m=2時(shí)，x+1x2=2解得：x=1或x=?1經(jīng)檢驗(yàn)x=1和x=?153．（23-24八年級(jí)上·福建龍巖·期末）閱讀以下材料：例：已知多項(xiàng)式2x2?5x+3解：設(shè)另一個(gè)因式為ax+b，則：(ax+b)(x?1)=a依題意：a比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，可得：a=2，?b=3，即b=?3∴另一個(gè)因式為2x?3．根據(jù)上述材料，嘗試解決問題：若等式4x?3(x?1)(x?2)=mx?1+【答案】m=?1，n=5．【分析】本題考查了解分式分式方程，分式的加減，熟練掌握等式的性質(zhì)和分式的加減法法則是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)異分母分式的加減法法則把右邊化簡，再比較分子得出m，n的方程組求解；（2）先去分母，然后比較等號(hào)左右兩邊得出m，n的方程組求解．【詳解】解法一：m==依題意：(m+n)x?(2m+n)(x?1)(x?2)比較等式兩邊分子對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得：m+n=42m+n=3解得：m=?1，n=5．解法二：去分母得：4x?3=m(x?2)+n(x?1)，4x?3=mx?2m+nx?n，4x?3=(m+n)x?(2m+n)，比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得：m+n=42m+n=3解得：m=?1，n=554．（23-24八年級(jí)上·湖南湘西·期末）閱讀材料1：已知關(guān)于x的方程x+1x=c+1c的解是x=c或x=1c閱讀材料2：將分式x2解：由分母為x+3，可設(shè)，x2∴∵對(duì)于任意x、上述等式均成立，∴a+3=23a+b=?5解得：∴這樣，分式就被拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式．根據(jù)上述材料，回答下列問題：(1)“對(duì)稱方程”y?2+1(2)將分式x2(3)解關(guān)于x的“對(duì)稱方程”：x+19x+6=a2【答案】(1)y=7或y=2(2)x+2?(3)x=a?23或【分析】此題主要考查分式運(yùn)算的應(yīng)用，解分式方程．（1）根據(jù)“閱讀材料1”的方法求解即可；（2）根據(jù)“閱讀材料2”的方法求解即可；（3）利用換元法，設(shè)設(shè)3x+2=y，把原方程整理成y+1【詳解】（1）解：根據(jù)題意y?2=5或y?2=1解得y=7或y=21經(jīng)檢驗(yàn)，y=7或y=21故答案為：y=7或y=21（2）解：x2==x+2?故答案為：x+2?2（3）解：設(shè)3x+2=y，則x=1則原方程化為13y?2+整理得y+1y=