2023-2024學年高一數(shù)學下學期期末復習：平面向量及其運用 知識點（人教A版2019必修第二冊）

《人教A版必修二知識點匯總》

第6章《平面向量及其應用》知識點匯總

6.1平面向量的概念

1.向量的概念

AN=10N

G=10N

。>大約11厘米

(1)向量：像力、位移這樣，在數(shù)學中，我們把既有大小又有方向的量叫做向量.

(2)數(shù)量：像長度、質(zhì)量這樣，在數(shù)學中，我們把只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量.

注：物理學中常稱向量為矢量，數(shù)量為標量，你還能舉出物理學中其他的一些向量和數(shù)量嗎？

例1下列物理量中，向量有(③⑤⑦⑩)，數(shù)量有(①②④⑥⑧⑨).(填序號)

①質(zhì)量；②年齡；③位移；④角度；⑤加速度；

⑥面積；⑦風速；⑧身高；⑨溫度；⑩彈力.

2.向量的表示與特殊向量：

A5海里

(1)有向線段

」起府、A、

西<------J>東

如圖所示，我們把具有方向的線段叫做有向線段.75。

以4為起點、B為終點的有向線段記作京，線段4B的長度也叫做t

有向線段說的模，記作|樂|."

有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.

注：知道了有向線段的起點、方向和長度，它的終點就唯一確定了.

終點B

(2)向量的表示

①幾何表示盤點A

>B

向量AB=a

如圖，數(shù)學上通常用有向線段表示向量，以a為起點、8為終點的

有向線段表示向量方.

其中有向線段近的長度表示向量屈的大小(或模)，記作|荏|,有向線段荏的方向表示向量屈的方

向.

注：在空間中，向量是可以進行平移的.

②字母表示

向量可以用字母a,b,c,…表示(印刷用黑體a,b,c,書寫時用日,3,表示)

溫馨提示：有向線段與向量不是同一概念，有向線段有起點、長度、方向三個要素，而向量有大小和

方向兩個要素.在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由平移的.每一個有向線段對應一個向量，

每一個向量對應無數(shù)個有向線段.

(3)特殊向量

①零向量

長度為。的向量叫做零向量，記作自

注：i.6的模為0,即0|=0；

讓6的方向是任意的，即它的方向可以看作任意方向.

②單位向量

長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量，

通常用3表示,即|e1=1.

注：任何一個非零向量日都有它的單位向量，且3

|a|

(4)實例運用

例2如圖，分別用向量表示力地至B,C兩地的位移，并根據(jù)圖中的比例尺，求出2地至B,C兩地的實際

距離(精確到1km).

解：如圖所示

荏表示表示A地至B地的位移,

尼表示表示A地至C地的位移,

圖中比例尺為1:8000000

即圖上1cm代表實際距離80km

：.\AB\-1.3x80=W4km

|XC|?2x80=160/cm

答：4地至B,C兩地的實際距離分別約為104/OTI,160km.

3.向量間的特殊關(guān)系

a與l方向相同;與3方向相反

（1）平行向量（或共線向量）

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共線向量），

記作aIIb.

注①我們規(guī)定，零向量與任意向量平行，即對于任意向量

a,都有6||a.

a

注②如圖，已知乙3,，是一組平行向量，任作一條與N所在直線

平行的直線/，在/上任取一點。，則可在2上分別作出瓦5=2,平行向量也稱共線向量

OB=b,OC=c.

這就是說，任一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因

此平行向量也叫做共線向量.

（2）相等向量

長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如圖向量石與3為相等向量,

記作a=b.

注：①任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且

與有向線段的起點無關(guān)；

②同時，兩條方向相同且長度相等的有向線段表示同一個向量，相等向量，記作7=A

因為向量完全由它的模和方向確定.

（3）相反向量

a

長度相等且方向相反的向量叫做相反向量.如圖向量a與F為相反向量,>

記作、=—a.

注①向量N的相反向量為一2,且一（一五）=N；

注②規(guī)定：6的相反向量為0,記作一6=0.相反向量，記作a=?c

（4）實例運用

例3如圖，設。是正六邊形ABCDEF的中心.

①寫出圖中的共線向量；

②分別寫出圖中與刀，OB,方相等的向量.

解：

①如圖所示

已知。是正六邊形4BCDEF的中心.

0A,CB,DO,FE是共線向量

OB,~DC,EO,AF是共線向量

反，屈，前,而是共線向量

②由圖可知

=CF=DO;

OB=DC=EO;

~OC=AB=ED=~FO.

6.2.1向量的加法運算

1.向量加法的定義與三角形法則

(1)向量加法的定義

求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.

注：對于零向量與任意向量2,規(guī)定/+6=6+2=之，

向量的三角形法則：首尾相連接

即“任何向量與零向量相加等于它本身”.

(2)向量加法的三角形法則

如圖，已知非零向量a,在平面內(nèi)任取一點力，作說=a,BC=b?則向量而叫做點與否的和，記作石+b,

即2+6=AB+BC=AC.

(語言表達)：兩個向量的求和，等于先把第一個向量的尾端和第二個向量的首端連接，那么連接第

一個向量的首端與第二個向量的尾端得到的向量即為這兩個向量的和.

即向量加法的三角形法則簡稱為“首尾相連接”.

(3)實例運用

例1如圖，已知平面四邊形4BCD,則同+而+方=(

A.XDB.BDC.ACD.0

2.向量加法的平行四邊形法則

如圖，以同一點0為起點的兩個已知向量2,b,以。4,。8為鄰邊作

平行四邊形。力CB,則以。為起點的向量反(0C是平行四邊形。力CB的對角線)就是向量a與3的和.

即^^OA+OB=a+b

溫馨提示：應用平行四邊形法則的前提是兩向量“共起點”.向量加法的三角形法則和平行四邊形法

則實際上就是向量加法的幾何意義.

3.向量加法的性質(zhì)及其運算律

(1)一般地，我們有恒+同W|國+|山，當且僅當2,3中有一個是零向量或43是方向相同的非零

向量時等號成立.

注：當?shù)忍柌怀闪r，這一不等式的幾何意義為“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”

(2)交換律：a+b=b+a.

(3)結(jié)合律：(2+6)=2+(6+1).

4.實例運用

例2長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸.如圖，一

艘船從長江南岸4地出發(fā)，垂直于對岸航行，航行速度的大小為km/h,

同時江水的速度為向東6km/h.

(1)用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度;

解：如圖所示，15表示船速，AB表示江水速度，

以為鄰邊作平行四邊形ABCD,

據(jù)平行四邊形法則可知而+AB^AC,

6

故就表示船實際航行的速度

(2)求船實際航行的速度的大小與方向.

解：

由(1)知四邊形ABCD為平行四邊形

\AB\=\DC\=6,|而|=\BC\=6V3

又,?已知AD1AB

：.Z.DAC=90°

二四邊形4BCD為矩形

二AB=90。,即LABC為直角三角形

/.\AC\=J國2+|園2=心+佰百『=7144=12

又?/tan^CAB=圜=g=B，且“4Be(0°,90°)

^CAB=60°

答：船實際航行的速度的大小為12krn//i,方向為東偏北60°(即與江水速度的夾角為60°)

6.2.2向量的加法運算

1.相反向量及其性質(zhì)

(1)向量加法的定義

長度相等且方向相反的向量叫做相反向量.如圖，向量石與反互為相反向量，記作另=—3

-?

注①向量之的相反向量為一N,且一(一砂=a；

->

注②規(guī)定：6的相反向量為6,記作—6=6.a

---------T------?

(2)相反向量的性質(zhì)b

<--------------

如圖，由兩個向量和的三角形法則易知：—>->

AAB=a

當之與3互為相反向量時，則滿足“—B

C->T

—>>>>>BC=b

a+b=b+a=AB+BC=AC=0

相反向量的性質(zhì)：a+b=0

即“互為相反向量的兩個向量的和為零向量”

2.向量減法的定義及其運算法則

(1)向量減法的定義

向量a加上b的相反向量，叫做石與b的差,記作:CL—b=a+(—b).

求兩個向量差的運算叫做向量的減法.

注：由向量減法的定義可知，向量的減法可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行：減去一個向量等于加上這個

向量的相反向量.

(2)向量減法的運算法則(幾何意義)

①作法

如圖，已知非零向量之與比在平面內(nèi)任取一點0,

作瓦I=2,OB=b,

V據(jù)向量加法的三角形法則有

7)B+BA=OA,向量的減法：“尾尾倒相連”

：.BA=OA-OB.

②幾何意義

對于具有公共起點的非零向量2與33可以表示為從向量3的終點指向向量a的終點的向量.

注：向量減法的運算法則可以簡稱為具有公共起點的兩向量”尾尾倒相連”.

3.實例運用

例如圖(2),在平行四邊形4BCD中，方=江,

同=丁，你能用a,3表示向量近，礪嗎？

解：,?已知在平行四邊形4BCD中，屈=2,AD=

r,

：.據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知

AC=AB+AD=+b

又據(jù)向量的減法法則可知

-->>>_?

DB=AB-AD-b

6.2.3向量的數(shù)乘運算

1.定義(1)數(shù)乘3a=0C,此時入=3>0

一般地，我們規(guī)定實數(shù)4與向量記的積是一個向量，這種運算

<-------

叫做向量的數(shù)乘，記作XcT,它的長度與方向規(guī)定如下：

-a-a-a

(1)我的長度為：以團=園|身；<--------<--------<-------

NMQP

(2)Aa的方向為：一_

(2)數(shù)乘-3a=PN,此時入=-3<0

①當z>o時，Ad的方向與a的方向相同;

②當2<0時，Aa的方向與江的方向相反;

③當4=0時，Aa=0.

溫馨提示I.向量的數(shù)乘而仍是一個向量；

n.實數(shù)A與向量a不能相加減.

2.運算律

根據(jù)向量數(shù)乘的定義可以得到如下的運算律

設4,〃為實數(shù)，則有：

⑴%(〃日)=(加)出

(2)(A-/-fi)a=Aa+/j.a；

(3)A(a+b)=Xa+Aa.

特別地，有(一QN=—(4砂=4(-2),A(a-b)=Xa-Aa.

3.向量的線性運算

向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量2,3,以及任意實數(shù)九%,“2,

恒有五±n2b)=加/+An2b.

例1計算：

(1)(—3)x43——123；

(2)3(五+b)—2(|一b)-3.=3五+3b—22+2b-o.=5Z)；

(3)(a+3b-c)-(3a-2b+c)=a+3b-c-3a+2fo-c=-2d+5b-2c.

4.向量共線定理及其推論

(1)向量共線定理

向量云awb)與3共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)X,使另=痛046)

r-------------------------

向量豆(五。6)與b

存在唯一一個實數(shù)人，

共線(即五II

b)使得b=入五(Who)

\___________________)\/

(2)向量共線定理的推論

在平面中4B,C三點共線的充要條件是：市=茄豆+y瓦(0為平面內(nèi)直線2B外任意一點),

其中久+y=1.

?\

OA=xOB+y近為平面內(nèi)直

在平面中4,B,C三點共線等價于

線AB外任意一點)，其中x+y=l.

、1

例2如圖，已知任意兩個非零向量落b,試作瓦5=N+B,OB=a+2b,0C=a+3b.

猜想4B,C三點之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

解:如圖，分別作向量。XOB,0C,過點4c作直線4。

觀察發(fā)現(xiàn)，不論向量2,3怎樣變化，點B始終在直線力C上，猜想4B,C三點共線.

證明：'JAB^0B-~0A={a+2b)-{a+b}=a+2b-a-b^b

AC=0C-OA=(a+3b)—(a+%)=a+3b—a—b=2b

：.AC=2AB

：.而與南為共線向量、

又：ACCAB=A

圖6.2-16

故4B,C三點共線.

6.2.4向量的數(shù)量積

1.向量的夾角與數(shù)量積

(1)向量的夾角

如圖，已知兩個非零向量2,b,0是平面上的任意一點，作向量=

a,礪=廠，則/4。8=8(0W8<兀)叫做向量江與方的夾角，記作。=/AOB=e(0<e<TT)叫做向量a與3的夾角，

記作e=<a,b>

(a,b).

注：特別地，

ba

①當6=0時，/與B同向；(2)當6=TT時，a與丁反向;

②當6=71時，2與B反向；

(3)當6=/時，：與二垂直,

記作axb；

③當時，我們說a與反垂直，記作石13.

溫馨提示

①兩向量的夾角的范圍是［0,兀］;

②兩個向量只有起點重合時所對應的角才是向量的夾角.

(2)向量的數(shù)量積

如圖，已知兩個非零向量a與3,它們的夾角為仇我們把數(shù)量同|瓦cose叫做a與另的數(shù)量積(或內(nèi)

積)，記作d-b,

即ab=\a\\b\cos6

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為o,即=向量a與b的數(shù)量積：a"b=|a||b|cose

其中e=<a,b>

溫馨提示

①數(shù)量積運算中間是“?”，不能寫成“X”，也不能省略不寫.

②向量的數(shù)量積是一個實數(shù)(數(shù)量)，不是向量，它的值可正、可負、可為0.

(3)實例運用

例1已知|句=5,\b\=4,五與福夾角。=~,求心無

解：a-b=|a|\b\cos0=5x4Xcos學=5x4(——10;

例2設|陽=12,\b\=9,a-b=-54<^,求d與3的夾角0.

解：由a-b=\a\\b\cos。可得

a-b-54V2V2

cosd=-----=-------------=-------

|a||b|12x92

又,：0E[0,TT]

e=—

2.投影向量、向量數(shù)量積的性質(zhì)與運算律

(1)投影向量的概念

上述辭換稱為回量;向,量A投影,

高莉叫做向量;在向量A上的投影向量

如圖，設a,3是兩個非零向量，AB^cT,CD=b,,我們考慮如下的變換：過樂的起點4和終點8,

分別作前所在直線的垂線，垂足分別為A】,B],得到兀瓦，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，兀瓦

叫做向量之在向量另上的投影向量.

特別地，如圖，在平面內(nèi)任取一點。，作麗=/，ON=b,過點M作直線ON的垂線,垂足為Mi，則

麗就是向量a在向量另上的投影向量.

（2）投影向量的求解公式

對于任意的ee[0,兀都有向量向量2在向量3上的投影向量加方為

OMi=\a\cosO'e=\a\cosO'g

注：其中e為向量N與3夾角.

（3）向量數(shù)量積的性質(zhì)

由向量數(shù)量積公式a-b=|a||K|cos9可得如下的性質(zhì)

設兩個非零向量n與3,它們的夾角為e,，是與加方向相同的單位向量，則有

@a,e=e-a=\a\cos9；

②五_Lb=a-b=0；

③I.當2與3同向時，a-b=\a\\b\；

II.當d與3反向時，a-b=~\d\\b\cos0；

III.特別地，五2二4.d=Id/，則有|d|=7^2

④由|cosO|<1可得：Ia'b\<\a\\b\.

(4)向量數(shù)量積的運算律

由向量數(shù)量積的定義可得如下的運算律：

對于向量五,b,c和實數(shù)2,有

①a-b=b-五（交換律）；

②（4砂?b=A（a>3）（數(shù)乘結(jié)合律）；

③（五+b）,c=a-c+b-六分配律）;

（4）（5+b）2=a2+2a-3+京（完全平方公式）；

⑤（五+b）-（5—=a2—b2（平方差公式）.

注：等式（五不）c=a（b■弓不成立，因為他,石）8表示與m共線的向量，a（石■可表示與五共

線的向量，而也與己不一定共線，所以@不）c=a（b-,）不一定成立.

(4)實例運用

例3已知m=6,\b\=4,日與石的夾角為60。,求0+2石)?位一31).

解：0+23)?(3—33)=彥—32-b+2a-b—6b2

=d2—d,b—6b2

,、2

=|a|2—\a\\b\cos0-6\b\

=|a|2—\a\\b\cos9-6\b\

=62-6x4xcos60°-6x42

=-72

例4已知向=3,向=4,且五與J不共線.

當k為何值時，向量d+與五一/cB相互垂直？

解：向量五+kb1a-kB的充要條件為

(a+kb)-(a-fch)=0

2

<=>a2—(fcb)=0

=彥-k2b2=0

,/已知向=3,\b\=4

：.a2=|a|2=32=9

b2=|b|=42=16

滿足9-16k2=0

解得/c=±區(qū)=

7164

故當々=±2時，向量d+與五一七3相互垂直.

4

6.3.1平面向量基本定理

1.平面向量基本定理

由上探究可知

如圖所示，如果西，豆是同一平面內(nèi)的兩個不共線

向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量2,有且只有一對

圖（3）平面向量基本定理

實數(shù)%,%,使

a—e2)

如果就，孩不共線，我們把｛瓦，小｝叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.

注：由平面向量基本定理知，任一向量都可以由基底唯一表示.

2.實例運用

例如圖，0A,亦不共線，且和=用工1,3月表示而.

解：：已知都=t屈(teR),

：.OP^OA+AP=OA+tAB^~0A+t(0B-0A)

=(1-t)OX-tOB

6.3.2平面向量的正交分解及坐標表示

6.3.3平面向量加減運算的坐標表示

1.平面向量的正交分解與坐標表示

(1)平面向量的正交分解

如圖，把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交

分解.

a=0A=0Q+0P=3i+3/

(其中而1所)

(2)平面向量的坐標表示

如圖，在平面直角坐標系中，設與%軸，y軸方向相同的兩

個單位向量分別為VJ,?。?。了｝作為基底.

對于平面內(nèi)的任意一個向量a,由平面向量基本定理可知，

有且只有一對實數(shù)％,y,使得

a—xV+yj,

如圖，以原點0為起點作02=2,過點4作AM1久軸，力N1

有序數(shù)對(x,y)就叫做向量a的坐標，記作a=(x,y)

y軸，垂足分別為點M與N,這樣點M對應著實數(shù)萬,點N對應

著實數(shù)y,這樣a=xV+yj中的％與y就被唯一確定了.

如圖2所示，我們把五=工廠+yf中的有序數(shù)對(%y)叫做向量五的坐標,

記作五二(%,y)①

其中，x叫做a在在X軸上的坐標，y叫做五在y軸上的坐標，①式叫做向量a的坐標表示.

例如廠=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).

注：求一個向量d的坐標，實際上是把向量a的起點平移到坐標原點0,其終點A坐標即是向量5

的坐標.

(3)實例運用

例1如圖，分別用基底RJ｝表示向量2,b,c,d,并求出它們的坐

解：由圖可知

a=AA^+AA^=2i+3j

：.a=(2,3)

同理可得

b=-2i+3j=(-2,3)

c=-2i—3j=(—2,—3)

d--2i—3j=(—2,一3)

2.平面向量加減運算的坐標表示

(1)平面向量加減運算的坐標表示

如果已知石=(/，尢),3=(次，％)，那么a+K=(xj+x2,yr+y2).

a-fa=(%!-x2,-y2).

即：”兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.”

(2)平面向量坐標的求解方法

如果已知4=(,%),B=(%2，'2)，

那么四=3—y2-yi).

即：“一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起

點坐標.”

(3)實例運用

例2已知方=(2,1),b=(-3,4),求2+3,2—3的坐標.

解：：已知a=(2,1),b=(-3,4)

2+3=(2+(—3),1+4)=(—1,5)

a-b=(2-(-3),1-4)=(5,-3)

6.3.4平面向量數(shù)乘運算的坐標表示

1.平面向量數(shù)乘運算的坐標表示

如果已知N-(x,y),那么入2=(2x,2y).

即“實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標."

2.平面向量共線的坐標表示

如果已知a=(勺，為)，3=(%2,%)，其中那么-3共線(即zu另)的充要條件是

久1月=或>2-久2yl=0，

2ylXi-*21=

記作：a\\b^>x1y2=尤或y2丁。.

即：兩個向量共線(平行)的充要條件是“坐標交叉相乘積相等”或“坐標交叉相乘再求差值為0”.

3.實例運用

例1已知運=(2,1),b=(-3,4),求32+4另的坐標.

解：：已知5=(2,1),b=(—3,4)

.\3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19)

例2已知N=(4,2),b=(6,y),且./B,求y.

解：I.已知a=(4,2),K=(6,y),且附〃，

滿足4y=2X6(交叉相乘積相等)

解得y=3

6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標表示

L平面向量數(shù)量積的坐標表示

如果已知a=(乂1，%)，b=(%2,yz),

yI

那么,■b%2+7172，

4犀"中

簡述為：“兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標乘積的和3\A

2卜/_一；=(x,y)

2.平面向量的模長公式

如果已知a=(x,y),那么同=J/+y2.

即“一個向量的模長等于它橫縱坐標的平方和再開算數(shù)平方根”

注：特別地，如圖作有向線段南=五，

設而=k=(x,y),/(如月),8(%2，%)

故此時同=\AB\=—%1)2+(丫2—%)2.

3.平面向量垂直的充要條件

設立與3是非零向量，a=(X],yi),b=(x2,y2)

則d1另oR,3=00x2+y/2—0,

即平面內(nèi)兩個非零向量垂直的充要條件為：

“平面內(nèi)兩個非零向量垂直的充要條件為兩個向量的坐標對應相乘和為0”.

4.平面向量的夾角公式

設，與3是非零向量，a=b-(x2,y2)，。是在與

3的夾角，根據(jù)數(shù)量積的定義港3=I用歷|cos氏

坐標表示ai=X]犯+yiy2，以及向量的模長公式1m=

Jx/+月2,同=+%2,可得

c五75電+yiy2

COS0=----=,-_,=

\a\\b\Jx—+月2.Jx?+%2

5.實例運用

例1已知a=(-3,4),b=(5,2),求|a|,\b\,a-b.

解：：已知a=(-3,4),b=(5,2)

二同=J(一3/+42=5

|b|=V52+22=V29

a-b=(-3)x5+4x2=-7

例2已知向量瓦彳=(%?),前=(?,》,ABC.

解：...已知瓦？=(!，?),就=(?,與

網(wǎng)=電亙=1

甌=扈“?=】

又：AABCe[0°,180°]

：.AABC=30°

6.4.3余弦定理、正弦定理

1.余弦定理及其推論

(1)探究1

在A/IBC中，三個角4,B,C所對的邊分別是a,b,c,怎樣用a,b和C表示c?

提不：如圖，設CB=a,CA-b,AB=c

則據(jù)向量減法的三角形法則可知

AB=CB-CA,

即笠=五一3?

又據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)片=同2

對①兩邊求平方可得

22

c=(a—K)a2=b2+c2-2bccosA

b2=a2+c2-2accosB

|c|2=a2+b2-2ab,

c2=a2+b2-2abcosC

O->2T

\c\2=a+b-2\a\\b\cosC,

即c?=a2+h2—2abcosC；

同理可得

a2=b2+c2—2bccosA；

h2=a2+c2—laccosB.

(2)余弦定理

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的兩倍.

即a2=b2+c2—2bccosA；或a=y/b2+c2—2bccosA；

b2=a2+c2—2accosB；或b=Va2+c2-2accosB；

c2—a2+b2—2abcosC；或a=y/a2+b2—2abcosC；

注：利用余弦定理，我們可以從三角形的兩邊及其夾角直接求出第三邊.

(3)余弦定理的推論

三角形中任何一個角的余弦值，等于組成這個角兩邊的平方和減去這個角所對邊的平方，再除以組成

這個角兩邊乘積的兩倍.

即cosz=業(yè)二

2bc

2I「2L)2

an十。一u

cosB=------------------

2ac

R

dn2ID2—Cr2

a2=b2+c2-2bccosA

注：利用余弦定理推論，可以由三角形的三邊直接計算出三角形的三b2+c2-a2

cosA=---------------

2bc

個角.

(4)三角形的元素與解三角形

一般地，三角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c叫做三角形的元素.已知角形的幾個元素求

其他元素的過程叫做解三角形.

(5)實例運用

例1已知在A4BC中，b=2,c=3,4=120°,則。=.

解：,/已知在AABC中，b=2,c=3,A=120°,

...據(jù)余弦定理可得

22

a2=b2+c2_2bccosA=2+3-2X2X3COS120°=4+9-12x(-=19

故a=g

例2在AABC中，若a：b：c=l：W：2,求4B,C,并判斷這個三角形的形狀.

解：：已知在A48C中，a-b?-c—1：V3：2,

可設a—x,b—V3x,c—2x

...據(jù)余弦定理推論可得

.b2+c2-a2(y/3x)2+(2x)2-X2y/3

cosA------------=----------------=—

2bc2X(V5X)X(2X)2

又丁Ae(0,7i)

.71

A=-

6

X2+(2X)2-(V3X)21

a2+c2-b2=

同理可得cosB=2-

2ac2XXX(2X)

又：BG(0,7T)

.7T

A=-3

故AHBC是直角三角形.

2.正弦定理及其應用

（1）探究