江蘇省揚(yáng)州市2023-2024學(xué)年高二年級(jí)下冊(cè)6月期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

江蘇省揚(yáng)州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試

題

2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期末檢測(cè)

高二數(shù)學(xué)2024.06

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)符合要求）

1.若集合尸=卜|m<1}，e={-1,0,1,2},則尸no=（）.

A.{0}B-{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

2.已知一直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(2,3,2),5(-1,0,-1),下列向量中是該直線的方向向量的為（).

A.a=(-1,1,1)B-a=(1-1,1)C.a=(1,1-1)D.a=(1,1,1)

c-T的小、2x+sinX

3.函數(shù)/(x)=的大致圖象為（

ABD

4.命題“主wR,-K+以一i>。，，是假命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（).

A.(-oo,2]B.(-2,2)C.[-2,2]D.[2,+oo)

5.已知7J%是三個(gè)不共面的向量，AB=l-2j+2kfAC=3i-J-k,AD=Xi-^2j-6kt

且43,C,。四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)4的值為（）.

A.1B.2C.3D.4

[2x,x<0,

6.已知函數(shù)/（X）=1則下列說(shuō)法正確的是（）.

博戶(hù)>0,

A.是R上的增函數(shù)

B.的值域?yàn)閇0,+oo）

c."x>L，是，"（x）>L的充要條件

4八,2

D.若關(guān)于x的方程〃x）=a恰有一個(gè)實(shí)根，貝Ua>l

7.五一勞動(dòng)節(jié)放假5天，小王同學(xué)各花1個(gè)上午的時(shí)間游覽茱萸灣風(fēng)景區(qū)、雙博館，另外花:

個(gè)下午的時(shí)間打籃球、1個(gè)下午的時(shí)間踢足球，其余時(shí)間復(fù)習(xí)功課，這個(gè)五一勞動(dòng)節(jié)小王尼

學(xué)的不同安排有（）種.

A.300B.600C.900D.1200

8,若x=l為函數(shù)f（x）=a（x-a）（x-l）2的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）.

A.a>\B.a<1C.Q<0或。>1D.0<a<l

第1頁(yè)（共4頁(yè)）

二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.下列說(shuō)法正確的是（）.

A.利用線性回歸方法求出一組數(shù)據(jù)（和乂），…，（x”片）的線性回歸直線方程

y=a+bx,則這組數(shù)據(jù)確定的點(diǎn)中至少有一個(gè)在這條直線上

B.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高

C.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布8（4,》，則X的方差為2

D.若隨機(jī)事件滿(mǎn)足P（⑷>0,P（B\A）=P（B）,則事件4與8相互獨(dú)立

10.若力，"為正整數(shù)且">加，則下列等式中正確的是（）.

A.C：=C：FB.C^+C；-'=C；+I

c.C"=—D.C'+2C"+4C>???+2n-1C；=

n蟲(chóng)"-叫"2

11.棱長(zhǎng)為2的菱形相。中，NB4D=60?，將沿8。折起，使頂點(diǎn)“至點(diǎn)"，連接MC,

構(gòu)成三棱錐M-3CD.設(shè)二面角M-AD-C的大小為a,直線MD和直線8C所成角為萬(wàn).

在折起的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）.

A.任取三棱錐BCD中的三條棱，它們共面的概率為0.2

B.存在一個(gè)位置，使MD_L3C

C.當(dāng)&=工時(shí)，三棱錐58的外接球的表面積為駟

33

D.當(dāng)工，生時(shí),cos夕的最大值為工

133.

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）

12.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（0,/）,若尸（X>1）=03,則尸（T<X<0）=.

13,將某保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個(gè)區(qū)域，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取其中6個(gè)區(qū)域，統(tǒng)計(jì)

這些區(qū)域內(nèi)的某種水源指標(biāo)芍和某植物分布的數(shù)量為（f=i,2,...,6）,得到樣本a,/）,且其

1<A6

相關(guān)系數(shù)記V關(guān)于x的線性回歸方程為亍=d+&.經(jīng)計(jì)算可知：x=9,￡X；=550,

16

6

25-刃=256,則b.

/-J

￡卜,-司（必-?。?/p>

參考公式：h/=1

第2頁(yè)（共4頁(yè)）

14.定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足/a+y)+/(xr)=2/(x)/(l—y)，"0)=0，/(1)=1>且

2024

xe(0,2)時(shí)，/(X)>0.則/(3)=------------,4fJ=-------------

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明'證明過(guò)程或演算步驟)

15.(本小題滿(mǎn)分13分)

已知集合/={"(；)、<2},B={x|log2x>1}.

(1)求4UB；

(2)若實(shí)數(shù)a>0,集合。=卜,2_3"+22<0},且“xwB”是“xwC”的必要條件，求a的

取值范圍.

16.(本小題滿(mǎn)分15分)

2

已知(2x+l)2"+=b0+4(x+l)+Z>2(x+1)+…+4“(x+l)2",且

02=112.

(1)求生與b}的值；

(2)求4+4+4+…+&-|的值.

17.(本小題滿(mǎn)分15分)

已知三棱柱X5C-4qG的棱長(zhǎng)均為2,ZA,AC=60',4B=A.

(1)證明：平面//CGJ?平面48C：

(2)若麗=4反式04；141),且直線ZC與平面48M所成角的正弦值為半，求點(diǎn)M到

直線4片的距離.

第3頁(yè)(共4頁(yè))

18.(本小題滿(mǎn)分17分)

為了解某挑戰(zhàn)賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別是否有關(guān)系(假設(shè)每個(gè)人是否接受挑戰(zhàn)互

不影響，且受邀者男性與女性的比例為3:2),某機(jī)構(gòu)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到如下調(diào)查數(shù)據(jù)

(單位：人)：_________________

接受挑戰(zhàn)不接受挑戰(zhàn)合計(jì)

男性402060

女性162440

合計(jì)5644100

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為比賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別有關(guān);

(2)現(xiàn)從這100人中任選1人，4表示“受邀者接受挑戰(zhàn)”，B表示“受邀者是男性”，記

LR(B\A)=%?，則尺=3嗎可表示受邀者接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別相關(guān)程度的一項(xiàng)度

P(3|/)LR(B\A)

量指標(biāo)，請(qǐng)利用樣本數(shù)據(jù)求出尺的值；

(3)用頻率估計(jì)概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名受邀

選手.若再?gòu)倪@5名選手中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談,求這2名被訪談的選手中接受挑戰(zhàn)的男性的

人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

na

參考公H3：%1=------'d—---,其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)S^d)

參考數(shù)4

尸(z2)七)0.100.050.0250.0100.0050.001

3.841

X。2.7065.0246.6357.87910.828

19.(本小題滿(mǎn)分17分)

已知函數(shù)f(x)=x-]nx-axe~x,aGR.

(1)當(dāng)a=0時(shí)，直線y=(左為常數(shù))與曲線/(%)相切，求k的值;

(2)若xw(0,+8),/(x)N0恒成立，求a的取值范圍；

⑶若“X)有兩個(gè)零點(diǎn)%,又2，求證:'玉+/>2.

第4頁(yè)(共4頁(yè))

2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期末檢測(cè)

高二數(shù)學(xué)參考答案2024.06

題號(hào)1234567891011

答案ADBCDDBCBDACDABD

題號(hào)121314

15,V2

答案0.2—1,------

~82

15.【答案】(1)由§廠<2得x>T,所以A=(-l,+w),........................................................2分

由log?》〉[得x>2,所以3=(2,+oo).......................................................................................4分

所以AJB=(-l,+oo).....................................................................................................................6分

(2)由x?_3dx+2a2<0>0)得a<光<2〃，BPC=(a,2a)...............................................9分

因?yàn)椤！?”是“x￡C”的必要條件，

所以C=即(a,2a)q(2,+oo),.........................................................................................11分

所以〃22.....................................................................................................................................13分

16.【答案】⑴由題可知出=C；；2x4=4C；“=4x」y^=112,

即2/_〃_28=0,即(2幾+7)(鹿一4)=0,

7

所以〃=-5(舍)或“=4.................................................................................................................4分

所以03=^x23=448；..............................................................................................................6分

因?yàn)?2x+l)8=[2(x+l)_ir=%+4(x+i)+a(x+l)2+&(x+l)3++4(x+l)8,①

所以&=或X23X(-1)5=-448.....................................................................................................8分

(2)在①式中，令尤=0,貝！11=4+&+&+,+?+4，②..............................................io分

令尤=一2,則38+仇一4++優(yōu)，③...................................12分

由②-③得,1-38；=2(4+狙+,+&)，

(1+34)(134)

所以4+&+&++b2n}==~-=-3280...............................................15分

1j□z,n-i22

17.【答案】（1）取AC的中點(diǎn)O,連接AO,2O,/AAC=60，AA=2,AO=1,

所以4。=百,AO,AC,

由題設(shè)可知，AABC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以30=6,

由418=痛,4出2=A。?+8。2,所以A0J.80,

又因?yàn)锳O_LAC,AC\BO=O,AC、80u平面ABC,

所以A。，平面4BC,

第1頁(yè)（共6頁(yè)）

又因?yàn)锳。U平面AACC］,所以平面AACG，平面ABC；........................7分

(2)以。4所在直線為x軸，以。3所在直線為y軸，以。4所在直線為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系.

所以A(1,O,O),B(0,V3,0),C(一1,0,0),q(-2,0,73),A(0,0,百)，

CA=(2,0,0),BA,=(0,-V3,V3),CQ=(-1,0,A/3).

因?yàn)镃M=2CG(0V/lVl),貝UM(-X-l,0,G2)，BM=(-A-1,-A/3,V32),

設(shè)平面ABM的法向量為〃=(%,y,z),

則〃〃.BSA,=oU,即~y」+z=0,

n-BM-0,(1+/l)x+J3y-j3/lz=0.

取y=X+l,z=2+1,%=G(X-1),

所以〃=(G(X-1)"+1,丸+1)是平面的一個(gè)法向量.

設(shè)直線AC與平面\BM所成角為0,

“I/々\i3W回

sin0=cos(CL4,n>=-；—r；~r=—/=----

11

1cAim2^3(2-I)?+2(2+1)25

解得2」，................................................................

12分

5

((-八

所以M--,0,^,

、55)

6

4,=j±o,MP：］.

又因?yàn)殡诺希?B1A=BA=(I,-V3,O),所以

v)|44|

/、2

所以點(diǎn)”到直線44的距離d=|M4,『一半半=6.....................

15分

18.【答案】⑴假設(shè)名：是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別無(wú)關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得

22

2n(ad-bc)100(40x24-16x20)1600…

Y—-----------------------=--------------------=-----?6.93,

(Q+b)(c+d)(Q+c)S+d)56x44x60x40231

2

由于/a6.93〉6.635,且當(dāng)8°成立時(shí)，P(Z>6.635)?0.010,所以有99%的把握認(rèn)為是

否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別有關(guān)....................................................5分

P(AB)

「、”e-、_P(3|A)_^(ir_P(A3)/(A5)4()_5

=

(2)LK(LJA)-zz-—————=———,

P(B\A)P(AB)P(AB)n(AB)162

尸(A)

同理工夫(例同)=型=3,所以/?=LR(0,)=g><g=3............................10分

246LR(B\A)25

(3)由分層抽樣知，隨機(jī)抽取的5名受邀選手中，男性有3人，女性有2人.根據(jù)頻率估計(jì)

第2頁(yè)(共6頁(yè))

概率知，男性選手接受挑戰(zhàn)的概率為2,不接受挑戰(zhàn)的概率為L(zhǎng)

33

X可能得取值為0,1,2,

3名被抽取的男性選手中，恰抽到k人被訪談?dòng)洖槭录c(々=0,1,2),則

尸(卬=374d,1,2),

J

被訪談的2名選手中接受挑戰(zhàn)的男性人數(shù)恰好為加人記為事件瑪(%=0,1,2),

1112

2

則尸(￡01A)=1,P(E01￡>1)=--P(E0|D2)=(-)=--尸(與田)=“

21424

2

P(E1|Z)2)=^X-X-=-,P(E]ID2)=(-)=-，

所以P(X=0)=P(D0).P(E01Do)+P(D1).P(E01D,)+P(D2).P(E0\O2)

z~?0z^<l-|z^r2Z_10i

1_

=1^X1+1^X.L+^3^X.L=..................................................................................12分

C；C；3C；93

P(X=1)=P(D1)-P(E1|D1)+P(A)-P(E1|D2)=-^X|+-^X^=A,..............14分

「2「249

P(X=2)=P(D2).P(E2|A)=-^x-=-.16分

故X的分布列如下：

X012

￡82

P

31515

1Q「24

石(X)=0x—+1X——+2x——=一17分

315155

19.【答案】⑴當(dāng)。=0時(shí)，f(x)=x-lnx.

kxQ=x0-Inx0,

設(shè)切點(diǎn)(毛，/一加演))，貝1/a)=]_,=左

°x0

消女得(1%—In/，解得/=e，代入得k=1--................................................4分

Ie

(2)方法二1J3為/(%)=%—In%—。旄一"，所以/'0)=1—1一〃D(e+"$分

xexe

1y—1

1°當(dāng)。<0時(shí)，設(shè)g(尤)=x-lnx,則g'(無(wú))=1——=------，

xx

所以當(dāng)尤e(0,l)時(shí)，g'(無(wú))<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(l,+<?)時(shí)，g'(x)>0,g(無(wú))單調(diào)遞

增.

所以g⑴皿=g(l)=l>0.

又-依"*>0,故/(x)20恒成立，所以a<0成立...............................8分

2°當(dāng)時(shí)，ex+ax>0,所以當(dāng)尤e(0,l)時(shí)，尸(無(wú))<0,/(尤)單調(diào)遞減；當(dāng)xw(l,+oo)

第3頁(yè)(共6頁(yè))

時(shí)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增.

/Wnun=/(1)=1--^0-解得aWe，Xa>0,所以0<aVe，

e

綜上所述，Q的取值范圍為(-co,e]..........................................................................................10分

方法三立?-因?yàn)?(x)=x-Inx-axe~x>0恒成立,

又x>0,所以上式等價(jià)于a4"I"."恒成立..................................6分

記h(x)=e'GTnx),貝°〃，(尤)=叫/+(1-也e'=色二電丁±也］,

xxvxJx

1丫一1

設(shè)“(%)=x+1—Inx，貝！J/(光)=1——=-----.

xx

當(dāng)了￡(0,1)時(shí)，M(x)<0,〃(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)了￡(1,+8)時(shí)，以%)〉0,"(%)在

(1,+8)上單調(diào)遞增.所以⑴=2>0......................................................................................8分

所以當(dāng)無(wú)￡(0,1)時(shí)，"(%)<0,/?(%)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，”(%)>0,h(x)

在(1,+00)上單調(diào)遞增.所以〃⑺而3力⑴入.

故〃的取值范圍為(-00,0...........................................................................................................10分

—二工、因?yàn)?(x)=x-1nx-axe~x=ln-——>0恒成立，

xex

又x>0,所以上式等價(jià)于恒成立.....................................7分

XX

t己h(x)=—,則hr(x)=e('D,

XX

所以當(dāng)X￡(O,1)時(shí)，〃(%)<0,以無(wú))在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，"(x)>0,h(x)

在(1,+8)上單調(diào)遞增.所以%(%)2/z(l)=e.........................................................................................8分

令1=一，則，￡回+8),則恒成立.

x

記0(￡)=lln，(t>e)9貝！I°'Q)=ln/+lN2>0,

所以°⑺在[e,+8)上單調(diào)遞增，所以。⑺*=9(e)=e，所以

故〃的取值范圍為(7,e]...........................................................................................................10分

(3)方法二iJS為了(%)有兩個(gè)零點(diǎn)七,%，不妨設(shè)。<%<%2，

貝！J玉-In%1-a^-=%2-1nx2-a--=0,

X2inX2

即。二——(玉一1口石)二——(x2-Inx2),即Q=&_lnx)e"iTn"i=(x2-1nx2)e~,

再x2

1丫一1

令*%)=x-lnx，則/(x)=l——=------，

XX

所以當(dāng)工￡(0,1)時(shí),，(%)<0,，(%)單調(diào)遞減;當(dāng)X￡(l,+oo)時(shí)，t\x)>0,/(%)單調(diào)遞增.

所以，(X)niD=l>0?

h(x)=xex(x>1),貝！J"(x)=e"+xe">0,/z(x)單調(diào)遞增，

5

又〃=fi(%-In^)=h(x2-lnx2),所以石一In玉=%—In%，即—————二1.13分

InXj-lnx2

第4頁(yè)(共6頁(yè))

由心)的單調(diào)性可知0<占<1<%.

思路一：構(gòu)造函數(shù)7(》)=?>)-*2-*),xe(O,l).

則T'(x)=r'(x)+1'(2-x)=3+27T=_2"無(wú))2<o,...............................................

15分

x2-xx(2-x)

故T(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，

又T(l)=0,所以T(x)>0,則T(X])>0,即/(芭)>。2-9),

又*再)=心2)，所以/小)>/(2,

又%>1，2-再>1,《尤)在(1,+8)上單調(diào)遞增，所以4>2-%.

故占+%>2................................................................................................................................17分

_21五一1〕

思路二：要證外+々>2,即證*「尤2<±±上,即證上_2>in2.

]叫-liix22±+]“2

令〃=即證^...........................................

2e(0,l),15分

X?W+1

構(gòu)造函數(shù)9(〃)=4^—―-Inw，ue(0,1).

w+1

414〃一(〃+1)23—1)2

5----------------=-<0,

(U+1)---uw(w+1)---------u(u+l)

故0(")在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則夕(")>9⑴=0,即2("T)_1n“>0

w+1

故%,+%>2.................................................................................................17分

思路三：因?yàn)榘僖?=1,即x「x,=ln區(qū),

］叫-lnx2x2

U

%一％2=In",xx=InM,

令"=±€(0,1),則r即"T

x、u=—,Inw

要證占+々>2,即證/一ln“+3~>2,即證出ln“>2,即證網(wǎng)心>lna,

15分

u—1u—1u—1w+1

下同思路一，略.

方法三」a為了(%)有兩個(gè)零點(diǎn)%,乙，不妨設(shè)0<%<九2，

貝!J玉一In玉一a―=x?-Inx?-a~~=0,

eX{eX2

?*

即Hna=----In——=------In——.

%%x2x2

令?x)=e,則/,(尤)=°『(：—1),

XX

所以當(dāng)工￡(0,1)時(shí)，f(X)<0,/(%)單調(diào)遞減；當(dāng)%￡(1,+8)時(shí)，f(X)>0,/(%)單調(diào)遞增.

所以，(X)min=*D=e-

令力(x)=xlnx(x>e),貝！J"(%)=ln%+l>0,/z(x)單調(diào)遞增，

第5頁(yè)(共6頁(yè))

又a=/7(《)=M”)，所以”=《，即退=*f................................13分

Xjx2Xjx2X]

由r(x)的單調(diào)性可知0＜再＜1＜芍.

思路一：構(gòu)造函數(shù)7(尤)=?x)-f(2-x),xe(O,l).

貝UF(x)=t\x)+42-x)=e?T)+-烏］，

x(2—x)(2—x)x

人ex,exx2—ex-2xex(