初二數(shù)學(xué)上期末總復(fù)習(xí)(知識點+習(xí)題+答案)(二)

（-）三角形部分

一、知識點匯總

1.三角形的定義定義：不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形

叫做三角形。

組成三角形的線段叫做三角形的邊，相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)

角，簡稱角，相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點。

三角形ABC用符號表示為△ABC.三角形ABC的頂點C所對的邊AB可用c表示,

頂點B所對的邊AC可用b表示,頂點A所對的邊BC可用a表示.

注意：（1）三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接；（2）三角形是一個封閉的圖

形；

（3）^ABC是三角形ABC的符號標記，單獨的△沒有意義.

2、（1）三角形按邊分類：

（［底邊和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形V

三角形1I等邊三角形

I不等邊三角形

（2）三角形按角分類:

直角三角形

三角形4r

銳角三角形

、斜三角形，

I鈍角三角形

3、三角形的三邊關(guān)系

三角形的任意兩邊之和大于第三邊.三角形的任意兩邊之差小于第三邊。

注意：（1）三邊關(guān)系的依據(jù)是：兩點之間線段最短；

（2）圍成三角形的條件是：任意兩邊之和大于第三邊.

4、和三角形有關(guān)的線段：

（1）三角形的中線

三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段

表示法：1、AD是AABC的BC上的中線.2、BD=DC=0.5BC.

3、AD是AABC的中線；

注意：①三角形的中線是線段；②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)

部；

③三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點；

④中線把三角形分成兩個面積相等的三角形.

-1-

（2）三角形的角平分線

三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角與交點之間的線段。

表示法：1、AD是AABC的NBAC的平分線.2、Zl=Z2=0.5ZBAC.

3、AD平分NBAC,交BC于D

注意：①三角形的角平分線是線段；②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部;

③三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點；

（3）三角形的高

三角形的高：從三角形的一頂點向它的對邊作垂線,

頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高，

表示法：1、AD是AABC的BC上的高。2、AD_LBC于D。

3、ZADB=ZADC=90°o4、AD是AABC的高。

注意：①三角形的高是線段：高與垂線不同，高是線段，垂線是直線。

②銳角三角形三條高全在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩

條高在三角形外；

③三角形三條高所在直線交于一點.（而銳三角形的三條高的交點在三角形的內(nèi)部，

直角三角形三條高的交戰(zhàn)在角直角頂點，鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部。）

4、三角形的內(nèi)角和定理

定理：三角形的內(nèi)角和等于180。.

推論：直角三角形的兩個銳角互余。

5、三角形內(nèi)角外角的關(guān)系：

（1）三角形三個內(nèi)角的和等于180°;

（2）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

（3）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

（4）直角三角形的兩個銳角互余.

6、三角形的外角的定義：

三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

注意：每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.

如:/ACD、NBCE都是AABC的外角，且/ACD=/BCE,所以說一個三角形有六

個外角，但我們每個一個頂點處只選一個外角，這樣三角形的外角就只有三個了.

7.三角形外角的性質(zhì)

（1）三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.

（2）三角形的一個角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

注意：（1）它不相鄰的內(nèi)角不容忽視；

（2）作CM〃AB由于B、C、D共線

/.ZA=Z1,ZB=Z2.

即ZACD=Z1+Z2=ZA+ZB.

那么/ACD>/A./ACD>NB。

8、（1）多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。

多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）-180°

-2-

多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。

多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360。。

多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

多邊形對角線的條數(shù)：

（1）從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引（n-3）條對角線，把多邊形分詞（n-2）個三角形。

（2）n邊形共有遮二2條對角線。

2

（2）正多邊形：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。

9、.三角形的穩(wěn)定性：

三角形的三邊長確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩(wěn)定性.

注意：（1）三角形具有穩(wěn)定性；（2）四邊形沒有穩(wěn)定性。（3）多邊形沒有穩(wěn)定性。

二、題型解析

1.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

例1.如圖已知中,ABAC=90°,ADLBC于D,E是AD上一點。

求證：\NBED>NC

證明：由ADJ_BC于D,可得NCAD=/ABC又=NABE+/EBD

則|/ABD>NEAP］可證JNCID〉即|/BED〉Zd

說明：在角度不定的情況下比較兩角大小，如果能運用三角形內(nèi)角和都等于180°間接求

得。

例2.銳角三角形ABC中，ZC=2ZB,則/B的范圍是（）

A.100<Z5<20°B,20°<ZB<30°C,30°<Z5<45°D,45°<ZB<60°

-3-

分析：因為口4BC為銳角三角形，所以0。</5<90。

又/C=2NB,.?.0。<2/5<90°0°<N5<45°又：/A為銳角，為銳角

ZB+ZC>90°3ZB>90”,即ZB>30°，30°<ZB<45°.故選C。

例3.已知三角形的一個外角，/幺=180°-(/B+NC)等于160°,另兩個外角的比為

2:3,則這個三角形的形狀是()

A.銳角三角形B.直角三角形C,鈍角三角形D.無法確定

分析：由于三角形的外角和等于360°,其中一個角已知，另兩個角的比也知道，因此三

個外角的度數(shù)就可以求出，進而可求出三個內(nèi)角的度數(shù)，從而可判斷三角形的形狀。

解：?.?三角形的一個外角等于160°另兩個外角的和等于200°

設(shè)這兩個外角的度數(shù)為2x,3x；.2x+3x=200解得：x=40,2x=80,3x=120

與80°相鄰的內(nèi)角為100°這個三角形為鈍角三角形應(yīng)選C

2.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用

例4,已知：如圖在|A45cl中,|4B〉ZC|,AM是BC邊的中線。

求證：AM>^(AB-AC)

證明：延長AM到D,使MD=AM,連接BD

在和中,AM=DM,/AMC=ZDMB,CM=BM

kCMA三kBMD:.BD=AC在瓜遜］中，148-A0(酒而|)。=2幺間

AB-AC<2AAM(AB-AC)

說明：在分析此問題時，首先將求證式變形，得A8二1^,然后通過倍長中

線的方法，相當于將繞點旋轉(zhuǎn)180°構(gòu)成旋轉(zhuǎn)型的全等三角形，把AC、AB、2AM

-4-

轉(zhuǎn)化到同一三角形中，利用三角形三邊不等關(guān)系，達到解決問題的目的。很自然有

-AC）<AM<+AC）0請同學(xué)們自己試著證明。

3.角平分線定理的應(yīng)用

例5.如圖，ZB=ZC=90°,M是BC的中點，DM平分/ADC。

求證：AM平分DAB。

證明：過M作MG_LAD于G,；DM平分NADC,MC±DC,MG±AD

.\MC=MG（在角的平分線上的點到角的兩邊距離相等）VMC=MB,AMG=MB

WMGXAD,MBLABr.M在/ADC的平分線上（到一個角的兩邊距離相等的點，在這

個角的平分線上）；.DM平分NADC

說明：本題的證明過程中先使用角平分線的定理是為判定定理的運用創(chuàng)造了條件

MG=MB。同時要注意不必證明三角形全等，否則就是重復(fù)判定定理的證明過程。

4.全等三角形的應(yīng)用

例6.如圖，已知：點C是/FAE的平分線AC上一點，CE±AE,CF±AF,E、F為垂足。

點B在AE的延長線上，點D在AF上。若AB=21,AD=9,BC=DC=10o求AC的長。

-5-

分析：要求AC的長，需在直角三角形ACE中知AE、CE的長，而AE、CE均不是

已知長度的線段，這時需要通過證全等三角形，利用其性質(zhì)，創(chuàng)設(shè)條件證出線段相等，進

而求出AE、CE的長，使問題得以解決。

解：：AC平分NFAE,CFXAF,CE±AE；.CF=CE

CF=CE

?：<ZF=/CEA=90°KACF=^ACE{HL)AF=AE

AC=AC

CF=CE

?/<CD=BC：.\CDF=kCBE(HL)；.BE=DF

NF=ZCEB=90°

設(shè)|BE=DF*,則|-E=AS—8￡=21—x,4F=4D+DF=9+x

,/AE=AF,21-x=x+9>x=6

在中,\CE=^BC2-BE2=V102-62=8

在中,AC=^AE2+CE2=7(21-6)2+82=17

答：AC的長為17o

5、中考點撥

例6.如圖，在AASC中，已知NB和NC的平分線相交于點F,

過點F作DE〃BC,交AB于點D,交AC于點E,若BD+CE=9,

則線段DE的長為（）

A.9B.8C.7D.6

分析：初看此題，看至ijDE=DF+FE后，就想把DF和FE的長逐個求出后再相加得

DE,但由于DF與FE的長都無法求出，于是就不知怎么辦了？其實，若能注意到已知條

件中的“BD+CE=9"，就應(yīng)想一想，DF+FE是否與BD+CE相關(guān)？是否可以整體求出？

若能想到這一點，就不難整體求出DF+FE也就是DE的長了。

解：：BF是NB的平分線.*.ZDBF=ZCBF又DE〃BC.*.ZDFB=ZCBF

；./BDF=/DFB；.DF=BD同理，F(xiàn)E=CE；.DF+FE=BD+CE=9即DE=9故

選A

例7.已知：如圖，lAABCl中,AB=AC,ZACB=90°,D是AC上一點，AE垂直BD

-6-

的延長線于E,AE=-BD求證：BD平分NABC

2

分析：要證NABD=NCBD,可通過三角形全等來證明，但圖中不存在可證全等的三

角形，需設(shè)法進行構(gòu)造。注意到已知條件的特點，采用補形構(gòu)造全等的方法來解決。

簡證：延長AE交BC的延長線于F易證|A4CF三MC￡>|(ASA或AAS)

AF=BDAE=LBD,4E=MF=EF于是又不難證得|AB4E三WFE(￡4S)

22------------------------------

:./ABD=/CBD；.BD平分NBAC

說明：通過補形構(gòu)造全等，溝通了已知和未知，打開了解決問題的通道。

練習(xí)題：

1.填空：等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm和21cm,則這個等腰

三角形底邊的長為o

2.在銳角中,高AD和BE交于H點，且BH=AC,則/ABC=。

3.如圖所示，D是畫畫的/ACB的外角平分線與BA的延長線的交點。試比較

NBAC與/B的大小關(guān)系。

-7-

D

A

DCE

4、求證：直角三角形的兩個銳角的相鄰?fù)饨堑钠椒志€所夾的角等于45°。

5.如圖所示，AB=AC,ZBAC=90°,M是AC中點，AEJ_BM。求證:

NAMB=NCMD

-8-

A

M

BDC

【練習(xí)題答案】1.5cm2.45°

3.分析：如圖所示，NBAC是|兒4c5］的外角,所以|NA4C〉2f

因為/1=/2,所以/BAON2又因為N2是|A5cpi的外角,所以N2>/B,問題得證。

答：/BAO/BY/CD平分/ACE,.*.Z1=Z2VZBAOZ1,.\ZBAOZ2

VZ2>ZB,AZBAOZB

4,證明：省略

5.證明一：過點C作CF,AC交AD的延長線于F

VZ1+/BAE=Z2+/BAE=90°

Zl=Z2

又/BAC=NACF=90°AC=AB

-9-

^iABM=ACAF

：.AM=CF,ZF=ZAMB

又AM=MC,/.MC=CF

又N3=N4=45°,CD=CD

/.bCDM=NCDF

NF=ACMD

ZANIB=ACMD

證明二：過點A作AN平分/BAC交BM于N

VZ2+/BAE=Z3+ZBAE=90°

又AN平分/BACZl=ZC=45°

Z2=Z3

^ABN=ACAD

又AB=AC又ANAM=ZC=45°AM=CM

AN=CD

\NAM=ADCM

ZAMB=ZCMD

說明：若圖中所證的兩個角或兩條線段沒有在全等三角形中，可以把求證的角或

線段用和它相等的量代換。若沒有相等的量代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形。

-10-

（-）一元一次不等式

一、知識點匯總

考點1、一元一次不等式的定義及其解法

1.一元一次不等式的定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次

不等式。

2.解一元一次不等式的步驟：（1）去分母（根據(jù)不等式性質(zhì)2或3）

（2）去括號（根據(jù)整式運算法則）

（3）移項（根據(jù)不等式性質(zhì)1）

（4）合并同類項（根據(jù)合并同類項法則）

（5）系數(shù)化為1（根據(jù)不等式性質(zhì)2或3）

提示：1.不等式的解集一般是一個取值范圍，但有時候需要求不等式的某些特殊解，如整

數(shù)解，非負整數(shù)解，最大整數(shù)解等，解答這些問題的關(guān)鍵是明確解的特征

2.解不等式中的移項與解方程中的移項相同，要注意改變所移項的符號，但不等號方向不

變；

3.系數(shù)化為1時，特別注意不等號方向是否需要改變；

4.解不等式時，有些步驟可能用不到，根據(jù)不等式的形式靈活選擇解題步驟。

考點2、一元一次不等式的應(yīng)用

步驟：審：審題，分析題中已知什么，求什么；

設(shè)：設(shè)出適當?shù)奈粗獢?shù)；

找：找出題中的不等關(guān)系，抓住題中的關(guān)鍵詞，如“大于”“小于”“不大于”

“至多”“至少”“不超過”等；

解：解出所列的不等式；

答：檢驗所得結(jié)果是否符合問題的實際意義，寫出答案。

提示：1.審題是解決問題的基礎(chǔ)，根據(jù)不等式關(guān)系列出不等式是解題關(guān)鍵；

2.在設(shè)未知數(shù)時，不可出現(xiàn)''至少”“至多”“不超過”等范圍的字眼，因為未知數(shù)就是

一個分界點，不是范圍。

二、習(xí)題分析

例1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（）

-11-

A2x-l>0；B1<2；C3x-2y<1；Dj2+3>5

例2.下列各式中，是一元一次不等式的是()

A.5+4>8B.2x—1C.2庶5D.--3^0

x

3x-5

例3.解不等式2-x4--一，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來。

4

例4.某城市平均每天產(chǎn)生垃圾700噸，由甲，乙兩個垃圾處理廠處理，已知甲廠每小時處

理垃圾55噸，需費用550元，乙廠每小時可處理垃圾45噸，需費用495元。

(1)甲、乙兩廠同時處理該城市的垃圾，每天需要幾小時完成？

(2)如果規(guī)定該城市每天用于處理垃圾的費用不得超過7370元，則甲廠每天處理垃圾至

少需要多少小時？

Y

例5、求不等式42---5(x+4)Z0的正整數(shù)解。

2

例題答案：

1、解：一元一次不等式必須是含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1。B是不等式，C是二

元的，D的未知數(shù)次數(shù)是2.故選A。

2、解：，A選項沒有未知數(shù)，B選項不是不等式，C選項正確，D選項不等式的左邊不是

整式，是分式，未知數(shù)的次數(shù)不是1。故選C。

3、解：去分母，得4(2-x)<-(3x-5)去括號，得8-4x4-3x+5

移項，得-4x+3x45-8合并同類項，得-x4-3

不等式的解集在數(shù)軸上表示為：略

4、解：(1)700+(45+55)=7答：兩廠同時處理，每天需要7小時。

(2)設(shè)甲廠每天處理垃圾x噸，則乙廠每天處理垃圾(700-x)噸，根據(jù)題意，得

-12-

x700x

—x550+——x495<7370解得：x>330,330^55=6

5545

答：甲廠每天處理垃圾至少需要6小時。

注：設(shè)未知數(shù)時要將“最多”“不少于”等這些不確定的詞語去掉，求出的不等式的解集就

是應(yīng)用題的解，應(yīng)用題的要根據(jù)實際情況取舍。

5、解：去分母，得84-xT0（x+4）Z0去括號，M84-x-10x-40>0

移項，得-X-10XN40-84,合并同類項，得-11x2-44系數(shù)化為1,得x?4,

不大于4的正整數(shù)有1,2,3,4,所以，不等式的正整數(shù)解為1,2,3,4.

【解析】求不等式的特殊解時，需先求出不等式的解集，再在解集中找出符合條件的特殊

解。

三、練習(xí)題：

1、在數(shù)軸上從左至右的三個數(shù)為a,1+a,-a,則a的取值范圍是（）

11

A、a<—B、a<0C、a>0D、a<---

22

x+1W0

2、不等式組《的解集在數(shù)軸上表示為（）

2x+3<5

3、在平面直角坐標系內(nèi)，P（2x-6,x-5）在第四象限，則x的取值范圍為（)

A、3<x<5B、-3<x<5C、-5<x<3D、-5<x<-3

4、已知不等式：①X>1,②x>4,③x<2,@2-x>-l,從這四個不等式中取兩個，構(gòu)成正

整數(shù)解是2的不等式組是（）

A、①與②B、②與③C、③與④D、①與④

+—2

5、方程組｛的解x、y滿足x>y,則m的取值范圍是（）

8x-3y=m

9101910

A.m>—B.m>——c.m>—D.m>—

1091019

x—3<0

6、不等式組〈、的解集是_________.

[x+1^0

2x2-0.5

7、不等式組《的解集是一

—3x2—2.5x—2

-13-

X<TYl+1

8、若不等式組<無解，則m的取值范圍是,

x>2m—1

2x-a<1

9、若不等式組4的解集為-那么(a+1)(b—1)的值等于.

x-2b>3

4Q-X>0

10、若不等式組<無解，則a的取值范圍是______________.

x+a-5>0

.3

x——(2x-l)W4

11、解不等式組<-把解集表示在數(shù)軸上，并求出不等式組的整數(shù)解

1+3%_1

〉2xI.

12

2x+11-2x

12、求同時滿足不等式6x-2>3x-4和--------------<1的整數(shù)x的值.

32

x-y=m-5

13、若關(guān)于x、y的二元一次方程組〈中，x的值為負數(shù)，y的值為正數(shù)，求m的取值范

x+y=3m+3

圍.

14、一人10點10分離家去趕11點整的火車，己知他家離車站10千米，他離家后先以3

千米/小時的速度走了5分鐘，然后乘公共汽車去車站，問公共汽車每小時至少走多少千米

才能不誤當次火車？

練習(xí)題答案：

1

1、D2、C3、A4、D5、D6、-lWx<37、——WxW48、m>29、-610、aWl

4

-14-

2,7

11、2,1,0,-112、不等式組的解集是一一—，所以整數(shù)x為013、-2<m<0.5

310

14、解：設(shè)公共汽車每小時至少走x千米才能不誤當次火車

5

10--x3“二

據(jù)題意：UU■x]3

x6'答：公共汽車每小時至少走13千米才能不誤當次火車。

(三)圖形與坐標

一、知識點匯總

1、確定平面上物體位置的方法：坐標法、方位與距離法、經(jīng)緯度法

2、根據(jù)坐標描出點的位置，由點的位置寫出它的坐標

3、在同一直角坐標系中，感受圖形變換后點的坐標的變化

4、平面上物體的位置可以用有序?qū)崝?shù)對來確定。

5、在平面內(nèi)確定物體的位置一般需要幾個數(shù)據(jù)?有哪些方法？

(1)用有序數(shù)對來確定；(2)用方向和距離(方位)來確定；

6、在平面內(nèi)有公共原點而且互相垂直的兩條數(shù)軸，就構(gòu)成了平面直角坐標系。簡稱直角坐

標系,坐標系所在的平面就叫做坐標平面

7、掌握各象限上及x軸，y軸上點的坐標的特點：

第一象限(+,+);第二象限(一，+);第三象限(一，一)；第四象限(+,一)

8、x軸上的點縱坐標為0,表示為(x,0)；y軸上的點橫坐標為0,表示為(0,y)

9、(1)關(guān)于x軸對稱的兩點：橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)。

(2)關(guān)于y軸對稱的兩點：縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)。

(3)關(guān)于原點對稱的兩點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標互為相反數(shù)。

二、例題分析

1.坐標平面內(nèi)的點與有序?qū)崝?shù)對是一一對應(yīng)的

例1:如圖1,在平面直角坐標系中，點￡的坐標是()

A.(1,2)B.(2,1)C.(-1,2)D.(1,-2)

2.圖形在坐標平面內(nèi)變換后點的坐標

例2:如圖2,在直角坐標系中，右邊的圖案是由左邊的圖案經(jīng)過平

移以后得到的.左圖案中左右眼睛的坐標分別是(一4,2)、

(-2,2),右圖中左眼的坐標是(3,4),則右圖案中右眼的坐標

是.

例3:已知4ABC在直角坐標系中的位置如圖所示，如果△A'B'C'與4

ABC關(guān)于y軸對稱，那么點A的對應(yīng)點A'的坐標為().

A.(-4,2)B.(-4,-2)C.(4,-2)D.(4,2)

-15-圖4

例題答案：

1、分析:過點E向x軸畫垂線,垂足在x軸上對應(yīng)的實數(shù)是1,因此點E的橫坐標為1;同理,

過點E向y軸畫垂線，點E的縱坐標為2,所以點E的坐標為(1,2),選A.

2、解析:在圖2中,平移前左眼的坐標是(-4,2),平移后左眼的坐標是⑶4),它的橫坐標增

加了7,縱坐標增加了2.根據(jù)這個規(guī)律和平移的特征,平移后右眼的坐標是(5,4).

3、解析:關(guān)于y軸對稱的點,縱坐標相同,橫坐標相反.在圖4中,A點的坐標是(-4,2),則A

點關(guān)于y軸對稱的對應(yīng)點A'的坐標為(4,2),故選D.

點評:在平面直角坐標系中，求圖形經(jīng)過幾何變換后點的坐標,應(yīng)先準確作圖,然后求坐標.

三、練習(xí)題

1、在平面直角坐標系中，點P(-3,2)所在象限為()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2、平面直角坐標系中，與點(2,-3)關(guān)于原點中心對稱的點是()

(A)(-3,2)(B)(3,-2)(C)(-2,3)(D)(2,3)

3、若點P(a,a-2)在第四象限，則a的取值范圍是()

A、-2<a<0B、0<a<2C、a>2D、a<0

4、在平面直角坐標系中，口ABCD的頂點A、B、C的坐標分別是(0,0)、(3,0)、(4.2),

則頂點D的坐標為()

A.(7,2)B.(5,4)C.(1,2)D.(2,1)

5、以平行四邊形ABCD的頂點A為原點，直線AD為x軸建立直角坐標系，已知B、D點的

坐標分別為(1,3),(4,0),把平行四邊形向上平移2個單位，那么C點平移后相應(yīng)

的點的坐標是()

A、(3,3)B、(5,3)C、(3,5)D、(5,5)

6、如圖，若將直角坐標系中“魚”的每個“頂點”

1

的橫坐標保持不變，縱坐標分別變?yōu)樵瓉淼娜f，則

點A的對應(yīng)點的坐標是()

A.(-4,3)B.(4,3)

第6題圖

-16-

C.(-2,6)D.(-2,3)

7.已知點A(a-1,a+1)在x軸上，則a等于.

8.點4(a,2)與￡(-3/)都在第二、四象限兩條坐標軸的夾角的平分線上，則a=,b=.

9.已知點M(3,2)與點N(x,y)在同一條垂直與x軸的直線上，且N點到x軸的距

離為5,那么點N的坐標是o

10.如圖，在平面直角坐標系中，將AABC繞點P旋轉(zhuǎn)180°,得到請寫出P點的坐

標o

三、解答題

11>△4BC在平面直角坐標系中的位置如圖所示.

第10題圖

(1)作出△/2C關(guān)于x軸對稱的△4片。1，并寫出點耳的坐標；

已知點A、D

9一

的坐標分別是(一4,3)、(一，3),求B、C的坐標.

4

13、如圖，在平面直角坐標系中，矩形0ABC的對角線AC平行于x軸，邊OA與x軸正半軸

-17-

的夾角為30°,OC=2,求點B的坐標

答案：

1、選擇題

1、B2、C3、B4、C5、D6、A

2、填空題

7、-18、-2；39、(3,5)或(3,-5)10、(-1,-1)

三、解答題

11、【答案】(1)作圖如圖示，4的坐標為(-2,—3).

(2)如圖示.

9

12、B，-3)C(4,-3)

4

13.解：過點B作DEL0E于E,OEx

:矩形OABC的對角線AC平行于x軸，邊0A與x軸正半軸的夾角為30°,

.?.ZCA0=30°,；.AC=4,.\0B=AC=4,；.0E=2,；.BE=2V5,

則點B的坐標是（2,2“），

-18-

（四）一次函數(shù)

一、知識點匯總

1、一次函數(shù)的定義

一般地，形如>=.+6（左，6是常數(shù)，且左2°）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x是

自變量。當6=°時，一次函數(shù)>=依，又叫做正比例函數(shù)。

⑴一次函數(shù)的解析式的形式是>=.+人，要判斷一個函數(shù)是否是一次函數(shù)，就是判斷

是否能化成以上形式.

⑵當6=0,《時，》=日仍是一次函數(shù).

⑶當6=0,左=°時，它不是一次函數(shù).

⑷正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，一次函數(shù)包括正比例函數(shù).

2、正比例函數(shù)及性質(zhì)

一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，厚0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).

注：正比例函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx（k不為零）①k不為零②x指數(shù)為1③b取零

當k>0時，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當

k<0時，□直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小.

（1）解析式：y=kx（k是常數(shù)，kWO）

⑵必過點：（0,0）、（1,k）

（3）走向：k〉0時，圖像經(jīng)過一、三象限；k〈0時，圖像經(jīng)過二、四象限

（4）增減性：k>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小

⑸傾斜度：|k|越大，越接近y軸；1k|越小，越接近x軸

3、一次函數(shù)及性質(zhì)

一般地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，k^O）,那么y叫做x的一次函數(shù).當b=0時，

y=kx+b即y=kx,所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

注：一次函數(shù)一般形式y(tǒng)=kx+b（k不為零）：①k不為零②x指數(shù)為1③b取任意實數(shù)

b_

一次函數(shù)丫=入+13的圖象是經(jīng)過（0,b）和（-工，0）兩點的一條直線，我們稱它為

直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當

b<0時，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b（k、b是常數(shù)，kHO）（2）必過點：（0,b）和,0）

k

（3）走向：k>0,圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0,圖象經(jīng)過第二、四象限

b>0,圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0,圖象經(jīng)過第三、四象限

[左〉

1k>00直線經(jīng)過第一、二、三象限10。直線經(jīng)過第一、三、四象限

6〉0[b<0

k<0k<0

\=直線經(jīng)過第一、二、四象限=直線經(jīng)過第二、三、四象限

b>Qb<0

（4）增減性：k>0,y隨x的增大而增大；k<0,y隨x增大而減小.

（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；山|越小，圖象越接近于x軸.

（6）圖像的平移：當b〉0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；

當b〈0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.

-19-

一次

k=kx+b(kw0)

函數(shù)

k>0k<0

k,b

片片口

付萬b>0b<0b=0b>0b<0

b=0

圖象

J7^LLL。\了JL

性質(zhì)y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小

4、一次函數(shù)丫=]<*+1）的圖象的畫法.

根據(jù)幾何知識：經(jīng)過兩點能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點確定一條

直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：是先選

b>0b<0b=0

圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大

經(jīng)過第一、二、四象限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限

圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小

取它與兩坐標軸的交點：（0,b）,1'1即橫坐標或縱坐標為0的點.

5、正比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的關(guān)系及性質(zhì)

一次函數(shù)丫=入+6的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而

得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）

正比例函數(shù)一次函數(shù)

概念一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，一般地，形如y=kx+b（k,b是常數(shù)，*0）,那

"0）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其么y叫做x的一次函數(shù).當b=0時，是y=kx,

中k叫做比例系數(shù)所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

-20-

自變量X為全體實數(shù)

范圍

圖象一條直線

必過點(0,0)、(1,k)

(0,b)和0)

k

走向k〉0時，直線經(jīng)過一、三象限；k>0,b>0,直線經(jīng)過第一、二、三象限

k〈0時，直線經(jīng)過二、四象限k>0,b<0直線經(jīng)過第一、三、四象限

k<0,b>0直線經(jīng)過第一、二、四象限

k<0,b<0直線經(jīng)過第二、三、四象限

增減性k>0,y隨x的增大而增大；(從左向右上升)

k〈0,y隨x的增大而減小。(從左向右下降)

傾斜度k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

圖像的b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移，個單

平移

位；

b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移回個單

位.

象

6>06<0b>06<0

6、直線y=kxx+b](左1/0)與>=k2x+b2(.k20)的位置關(guān)系

(1)兩直線平行O左i=心且4/打(2)兩直線相交O占W左2

(3)兩直線重合=左[=心且4=打(4)兩直線垂直=kxk2=-1

7、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：

(1)根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系

數(shù)為未知數(shù)的方程；

(3)解方程得出未知系數(shù)的值；

(4)將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.

二、練習(xí)題:

-21-

1.當TWxW2時，函數(shù)y=ax+6滿足y〈10,則常數(shù)a的取值范圍是（）

（A）-4<a<0（B）0<a<2（C）-4〈a〈2且aWO（D）-4<a<2

2.在直角坐標系中，已知A（l,1）,在x軸上確定點P,使AAOP為等腰三角形，則

符合條件的點P共有（）

（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個

3.在直角坐標系中，橫坐標都是整數(shù)的點稱為整點，設(shè)k為整數(shù).當直線y=x-3與

y=kx+k的交點為整點時，k的值可以?。ǎ?/p>

（A）2個（B）4個（C）6個（D）8個

4.若k、b是一元二次方程x?+px-|q|=0的兩個實根（kbWO）,在一次函數(shù)y=kx+b中,

y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)的圖像一定經(jīng)過（）

（A）第1、2、4象限（B）第1、2、3象限（C）第2、3、4象限（D）第1、3、4象

限

5.過點P（8,2）且與直線y=x+l平行的一次函數(shù)解析式為.

6.y=-x與y=-2x+3的圖像的交點在第象限.

3

7.若一次函數(shù)y=kx+b,當-3WxWl時，對應(yīng)的y值為lWyW9,則一次函數(shù)的解析式為

8.設(shè)直線kx+（k+1）y-l=0（為正整數(shù)）與兩坐標所圍成的圖形的面積為

Sk（k=L2,3,....,2008）,那么S1+S2+…+S2oo8=.

9.小明同學(xué)騎自行車去郊外春游，下圖表示他離家的距離y（千米）與所用的時間x（小

時）之間關(guān)系的函數(shù)圖象.

（1）根據(jù)圖象回答：小明到達離家最遠的地方需幾小時？此時離家多遠？

（2）求小明出發(fā)兩個半小時離家多遠？

（3）求小明出發(fā)多長時間距家12千米？

-22-

10.已知一次函數(shù)的圖象，交X軸于A(-6,0),交正比例函數(shù)的圖象于點B,且點

B在第三象限，它的橫坐標為-2,AAOB的面積為6平方單位，求正比例函數(shù)和一次函數(shù)

的解析式.

11.某租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺