2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷四（含解析）

備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷（全國(guó)通用）

卷04

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答填空題時(shí)，請(qǐng)將每小題的答案直接填寫在答題卡中對(duì)應(yīng)橫線上。寫在本試卷上無效。

4.回答解答題時(shí)，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將

解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。寫在本試卷上無效。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）

A.|-1|B.-22C.卜有『D.（-3）°

2.打陀螺是北方人們比較喜愛的一種游戲，圖中是一款陀螺的示意圖，其俯視圖為（）

正面

3.某校九年級(jí)1班10名同學(xué)在“二十大知識(shí)”競(jìng)賽中的成績(jī)?nèi)绫硭荆?8,90,75,88,90,91,92,100,

80,88則這個(gè)班學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.88,90B.3,90.5C.90,89D.88,89

4.如圖，點(diǎn)4（1,0）,5（0,2）,以A8為邊作正方形點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且。E則點(diǎn)E

的坐標(biāo)為（）

5.如圖，某園林公司計(jì)劃將一塊長(zhǎng)200m、寬80m的矩形荒地改造成綠色公園，公園內(nèi)部修建四條寬度相

等的石板路，余下區(qū)域（陰影部分）種植植被.若要使種植植被區(qū)域的面積占整個(gè)公園總面積的90%,

C.200x+3x80x-3x2=200x80x90%D.200x+3x80x=200x80x(1-90)%

6.拋物線y=ax2+bx+c(aw0)的對(duì)稱軸為直線x=l,給出下歹!J結(jié)論:①ac>0；②〃-4ac>0;③2a—b=0；

@a-b+c-0；@4a-2b+c>0.其中正確的個(gè)數(shù)有()

7.如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)＞=與和＞=與（其中勺〉/＞。）在第一象限內(nèi)的圖象依次是C1和C?,設(shè)點(diǎn)p在

XX

G上，尸軸于點(diǎn)C,交C?于點(diǎn)A，尸軸于點(diǎn)。，交C?于點(diǎn)則四邊形B4QB的面積為（）

A.勺+&B.—kC.-kD.~r~

22尢2

8.如圖，將邊長(zhǎng)為4,銳角為60。的菱形ABCD沿E尸折疊，使頂點(diǎn)3恰好落在邊AD的中點(diǎn)處，記為B',

則班'的長(zhǎng)度為（）

9.如圖，扇形。4B中，ZAOS=120°,04=2,點(diǎn)。為的中點(diǎn)，將扇形Q4B繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O',連接（XB,當(dāng)OC〃Q4時(shí)，陰影部分的面積為（）

A'

OC

7162乃2g71GD女_3

~2~~2~33~32

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：y=2x+8與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)。在％軸正半軸上,

且OC=O5.點(diǎn)尸為線段A3（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，將線段。尸繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得線段。。，連

接。。，則線段的最小值為（）

A,相C.|V5

B.75D.

二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）

1L代數(shù)式-9—+4”2分解因式的結(jié)果是_.

35

12.分式方程=的解為—.

x+lx+2

13.現(xiàn)有四張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.從中隨機(jī)抽取一張卡片,

那么抽取的卡片上的數(shù)字不大于2的概率是.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)E使BF=BE,連接EC并延長(zhǎng)

至點(diǎn)G,使CG=CE,連接尸G若ZBAE=65,ZDEC=30,則/或聲的度數(shù)為

15.如圖，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,

若小正方形和大正方形的面積分別為49和289,則圖中直角三角形內(nèi)切圓的半徑為.

16.如圖，8是：。的直徑，CD=8,N4CD=20。，點(diǎn)8為弧AD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是直徑8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

則PA+PB的最小值為.

17.如圖，正方形A8CD中，AB=6,點(diǎn)E在邊上，且CE=2DE.將VAOE沿AE對(duì)折至△AEE,延

長(zhǎng)EF交邊8C于點(diǎn)G,連結(jié)AG、CF.貝|/E4G=，SFGC=.

三、解答題（本大題共8小題，共62分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

18.（6分）⑴計(jì)算：?jiǎn)?出一21［力+tan60°；

H二①

（2）解不等式組：23,并寫出它的所有整數(shù)解.

2x-5<3（x-2）?

19.（7分）如圖，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（U）,B（4,2）,C（3,4）.

（1）請(qǐng)畫出ABC關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形△A21G；

（2）在x軸上找一點(diǎn)P,使叢+尸3的值最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)

20.（7分）已知關(guān)于x的一元二次方程f+（2〃L1）X+療=0.

（1）若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

（2）若方程的兩個(gè)根占，％滿足占%+占+%=4,求相的值.

21.（8分）某中學(xué)為營(yíng)造書香校園，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲乙兩種規(guī)格的書柜放置新購(gòu)置的圖書，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購(gòu)買

甲種書柜5個(gè)，乙種書柜2個(gè)，共需要資金1380元；若購(gòu)買甲種書柜4個(gè)，乙種書柜3個(gè)，共需資金

1440元.

（1）甲乙兩種書柜每個(gè)的價(jià)格分別是多少元？

（2）若該校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共24個(gè)，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，問：

學(xué)校應(yīng)如何購(gòu)買花費(fèi)資金最少，最少資金是多少？

22.（8分）如圖，在YABCD中，。為的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作所，的交AD于點(diǎn)E,交8C于點(diǎn)E

(1)求證：四邊形BE。產(chǎn)是菱形；

(2)若AB=2,AD=4,/BAD=120。，求DE的長(zhǎng).

23.(8分)【問題提出】小慧同學(xué)遇到這樣一道問題，如圖①，在ABC中，點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)

。為圓心，AC為直徑作圓，/ACB的平分線交此圓于點(diǎn)P,點(diǎn)P在ABC內(nèi)部，連接3P.

求證，△3PC的面積等于aABC面積的一半.

【問題解決】小慧的做法是連接AP并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)。利用-ACQ形狀的特殊性解決問題，請(qǐng)你

利用小慧的做法完成【問題提出】中的證明；

【問題拓展】如圖②，在四邊形A5CD中，AC平分N54D.AC1BC,若5D=8,A3—AT>=3,貝U

△3CD面積的最大值為一.

24.(8分)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，連接3E,過點(diǎn)C作CF，BE于點(diǎn)H,交于

點(diǎn)尸.

(1)如圖1,當(dāng)8E=8C時(shí)，求證：△ABE^zV/CB；

(2)若AB=4,BC=6,連接A/f,求AH的最小值；

(3)如圖2,矩形ABCD對(duì)角線AC與30相交于點(diǎn)0,CF交BD于點(diǎn)、G,若3E平分NABD.

①判斷0G與AF的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②連接所，當(dāng)△AEF的面積是矩形A3CD的;時(shí)，求蘭AF的值.

25.(10分)下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù).

【問題提出】

如圖1,在RtaABC中，NACB=90。，AC^BC,點(diǎn)。在A8上，請(qǐng)用尺規(guī)作圖：在Rt^ABC外側(cè),

以BC為邊作ACBEdCAD.

【問題探究】

小明：如圖2,分別以8、C為圓心，以AO、為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)￡,連接BE、CE.則△CBE

即為所求作的三角形.

小亮：如圖3,過點(diǎn)B作RWLAB于點(diǎn)2,過點(diǎn)C作CNLOC于點(diǎn)C,BM、CN相交于點(diǎn)E,則△CBE

即為所求作的三角形.

（1）小明得出△CBE四△C4D的依據(jù)是，小亮得出△CBE9△C4D的依據(jù)是.（橫線

上填序號(hào)：①SSS；②SAS；③ASA；④AAS）

【問題再探】

（2）在（1）中絲△。⑦的條件下，連接AE興趣小組的同學(xué)們用幾何畫板測(cè)量發(fā)現(xiàn)VQ1E和

△CDB的面積相等.為了證明這個(gè)發(fā)現(xiàn)，A組同學(xué)會(huì)試延長(zhǎng)線段AC至尸點(diǎn)，使C「=C4,連接E尸，

從而得以證明（如圖4）；B組同學(xué)過點(diǎn)。作Dll，3c于點(diǎn)過點(diǎn)E作ENLAC于點(diǎn)N,從而得以證

明（如圖5）,請(qǐng)你選取A組或2組中的一種方法完成證明過程.

【問題解決】

（3）如圖6,已知/48M=/AQ3=90。，AC=BC,點(diǎn)。在AB上，BC=4夜，/BCD=15。,若在射

線上存在點(diǎn)E,使S^ACE=SABC?，請(qǐng)求出相應(yīng)的BE的長(zhǎng).

ADtiDB

圖5

備戰(zhàn)2024年中考數(shù)學(xué)模擬卷（全國(guó)通用）

卷04

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答填空題時(shí)，請(qǐng)將每小題的答案直接填寫在答題卡中對(duì)應(yīng)橫線上。寫在本試卷上無效。

4.回答解答題時(shí)，每題必須給出必要的演算過程或推理步驟，畫出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將

解答過程書寫在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上。寫在本試卷上無效。

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.下列各數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（）

A.|-1|B.-22C.卜研D.（-3）°

【答案】B

【解析】解：A、|-1|=1,是正數(shù)，不符合題意；

B、-22=-4＞是負(fù)數(shù)，符合題意；

C、9國(guó)=上,是正數(shù)，不符合題意；

D、（-3）°=1,是正數(shù)，不符合題意；

故選：B.

2.打陀螺是北方人們比較喜愛的一種游戲，圖中是一款陀螺的示意圖，其俯視圖為（）

正面

【答案】C

【解析】解：該幾何體的俯視圖如圖,

故選：C.

3.某校九年級(jí)1班10名同學(xué)在“二十大知識(shí)”競(jìng)賽中的成績(jī)?nèi)绫硭荆?8,90,75,88,90,91,92,

100,80,88則這個(gè)班學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)分別是()

A.88,90B.3,90.5C.90,89D.88,89

【答案】D

【解析】這個(gè)班學(xué)生成績(jī)的眾數(shù)是：88,

中位數(shù)；75,80,88,88,88,90,90,91,92,100,

故選：D.

4.如圖，點(diǎn)4(1,0),3(0,2),以AB為邊作正方形ABCD,點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且=則點(diǎn)E

【解析】解：過點(diǎn)E作EHLx于點(diǎn)

?.?點(diǎn)A(l,0),B(0,2),

二OA=1,OB=2,

?..四邊形ABCD是正方形,

AABAD=90°,AD=AB,

44

AE=AD-DE=-AD=-AB

55f

ZBAO+ZEAH=ZAEH-^-ZEAH=90°,

：.ZBAO=ZAEH,

?「ZAOB=ZEHA=90°,

：?_AOBsNEHA,

.OBOAAB_5

9,7dA~J{E~~AE~4,

48

??.HE=-,AH=-f

13

??.OH=AO+HA=—,

5

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為

故選：A

5.如圖，某園林公司計(jì)劃將一塊長(zhǎng)200m、寬80m的矩形荒地改造成綠色公園，公園內(nèi)部修建四條寬度相

等的石板路，余下區(qū)域（陰影部分）種植植被.若要使種植植被區(qū)域的面積占整個(gè)公園總面積的90%,求

小路的寬.設(shè)小路的寬為xm,則可列方程為（）

卅

A.（200-3%）（80-%）=200x80x90%B.（80-3x）（200-尤）=200x80x90%

C.2OOx+3x80x-3x2=200x80x90%D.200%+3x80x=200x80x（1-90）%

【答案】A

【解析】解：設(shè)小路的寬為x米，則種植植被區(qū)域的面積相當(dāng)于長(zhǎng)為（200-3x）米，寬為（80-x）米的矩形面

積，

（200-3x）（80-x）=200x80x90%,

故選：A.

6.拋物線〉=收2+次+。（。/。）的對(duì)稱軸為直線％=1,給出下歹［］結(jié)論:①。。>0；②/-4m>0；③2。一/?=0；

@a-b+c-0；@4a-2b+c>0.其中正確的個(gè)數(shù)有（

【答案】A

【解析】解：..?拋物線開口向下，與y軸的交點(diǎn)在正半軸上，

a<0,c>0,

ac<0；故①錯(cuò)誤；

??,拋物線與無軸由2個(gè)交點(diǎn)，

Ab2-4ac>0,故②正確；

b

???對(duì)稱軸為x=—不=1，

2a

/.b=一2〃,

.?.2a+/?=0,故③錯(cuò)誤；

???拋物線過點(diǎn)（3,0）,（3,0）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為：（TO）,

a-b+c=0；故④正確；

由圖象可知：當(dāng)％=-2時(shí)，函數(shù)值小于時(shí)的函數(shù)值0,

即：4a-2b+c<0,故⑤錯(cuò)誤；

綜上，正確的有2個(gè)，

故選A.

7.如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)、=2和>=與（其中尢>網(wǎng)>。）在第一象限內(nèi)的圖象依次是G和C2,設(shè)點(diǎn)P在

XX

G上，尸。，》軸于點(diǎn)。，交C2于點(diǎn)A,軸于點(diǎn)。，交Cz于點(diǎn)B,則四邊形叢03的面積為（）

A.kt+k2B.kl-k2C.k「k2D.T-

【答案】B

【解析】根據(jù)題意可得四邊形PAOB的面積=S矩形OCPD-S^OBD-S^OAC,

k

由反比例函數(shù)y=—中k的幾何意義，可知其面積為ki-k.

x2

故選B.

8.如圖，將邊長(zhǎng)為4,銳角為60。的菱形ABCD沿所折疊，使頂點(diǎn)B恰好落在邊AD的中點(diǎn)處，記為B',

【答案】B

【解析】解：如圖，過。作8,4）于點(diǎn)H,

邊長(zhǎng)為4,銳角為60。的菱形A5cD,

:.AD=CD=BC=4,ZB=ZD=60°,AD//BC,

:.ZHCF=ZCHD=90°,

3'是A￡＞的中點(diǎn)，

:.AB'=B'D=-AD=-x4=2,

22

ZD=60°,

ZDCH=90°-60°=30°,

DH=^CD=^x4=2,CH=y/CD2-DH2=A/42-22=273，

點(diǎn)與B'重合，

CB'=2.s/3,ZB'CF=90°,

由折疊的性質(zhì)得：BF=B'F，

貝！|CF=BC-B產(chǎn)=4—x,

在RtzXCBN中，由勾股定理得：CB'-+CF-=B'F2,

即（2可+（4_司2=/，

7

解得：X=；,

:.BF=-,

2

故選：B.

9.如圖，扇形Q43中，ZAOB=120°,。4=2,點(diǎn)C為03的中點(diǎn)，將扇形OAB繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)。的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)為O',連接0'3,當(dāng)O'C〃Q4時(shí)，陰影部分的面積為（）

22332332

【答案】D

【解析】解：如圖，連接00',

VO'C//OA,ZAOB=120°,

ZOCO'=60°,

??,C是03的中點(diǎn),

，OC=CB=CO'=l,

.LOCO'是等邊三角形，

，ZOO'C=2coO'=60。，NCBO'=ZCO'B=30°,

Z.OOB=ZA'O'B=90°,

：.O,O',A'三點(diǎn)共線，BO'=^/3

.??陰影部分的面積為-SOB。，=竺￡絲1_二義\義6=生_立,

360232

故選：D.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：y=2x+8與坐標(biāo)軸分別交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)。在X軸正半軸上,

且OC=05.點(diǎn)尸為線段AB(不含端點(diǎn))上一動(dòng)點(diǎn)，將線段OP繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段。。，連接，

則線段CQ的最小值為()

A.-A/5B.y/5C.-y/5D.-^-5/5

555

【答案】A

【解析】解：如圖，過點(diǎn)P作尸軸，過點(diǎn)。作Q尸，y軸，

.直線/：y=2尤+8與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，

.?.4(0,8),5(-4,0),

由旋轉(zhuǎn)可知：。尸=。。，ZPOQ=ZAOB=90°,

ZFOQ+ZPOM=ZEOP+ZPOM,

/./EOP=/FOQ,

在和△尸OQ中，

ZPEO=ZQFO

<ZEOP=ZFOQ,

OP=OQ

,EOP咨FOQ（AAS）,

:.OE=OF,PE=FQ,

設(shè)尸（〃,2〃+8）,Q（2Q+8,—〃）.

。點(diǎn)中x=2a+8,y=一〃.

二.％=—2y+8,即y=一；1+4,

Q點(diǎn)是直線y=-；1+4上的點(diǎn)，

記直線y=-;犬+4與x軸交與點(diǎn)N,

則川（0,4）,N（8,0）,

MN=742+82=4A/5，

根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)CQ，MN時(shí)，CQ的長(zhǎng)最短，

CQ.LMN,

ZCQN=ZMON=90°,

ZCNQ=ZMNOf

,；CNQsMNO,

.CQCN

.OM-MN'

OC=OB=4fON=8,

,CQ4

一！"一年

,"。=半?

故選：A.

二、填空題（本大題共7小題，每小題4分，共28分）

n.代數(shù)式-9加2+4層分解因式的結(jié)果是

【答案】（2〃+3帆）（2〃-3刃）

【解析】解：-9m2+4n2,

=(2〃)2-(3m)2,

=(2n+3m)(2n-3m).

故答案為：(2n+3rri)(2n-3m).

35

12.分式方程二7=三的解為—.

x+1x+2

【答案】I

【解析】解：去分母得：3x+6=5x+5,

解得：x=1,

經(jīng)檢驗(yàn)x=g是分式方程的解.

故答案為?

13.現(xiàn)有四張形狀、大小、質(zhì)地均相同的卡片，上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4.從中隨機(jī)抽取一張卡片，

那么抽取的卡片上的數(shù)字不大于2的概率是.

【答案】1/0.5

【解析】解：共有4種情況，摸出的卡片的數(shù)字不大于2的有2種，

???摸出的卡片的數(shù)字不大于2的概率為：42=41，

42

故答案為：3.

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AO上，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)E使BF=BE,連接EC并延長(zhǎng)

至點(diǎn)G,使CG=CE,連接尸G.若=65,NDEC=3Q,則—EGr的度數(shù)為.

【解析】解：四邊形A3CD是平行四邊形,

/BAE=NBCD=65°,AD//BC,

ZDEC=30,AB//CD,

...N3CE=30,

BF=BE,CG=CE,

:.BC是EFG是中位線,

:.BC//GF,

NEGF=NBCE=30".

故答案為：30.

15.如圖，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

形，若小正方形和大正方形的面積分別為49和289,則圖中直角三角形內(nèi)切圓的半徑為

【解析】解：如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。，連接OE、OD,

設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為小

:.OE=OD=r=^(AC+BC-AB),

AC+BC—AB=2r,

:.AC+BC=AB+2r,

:.(AC+BCf=(AB+2r)2,

BC2+AC2+23cxAC=AB2+4AB-r+4r2,

BC2+AC2AB2,

2BCxAC=4AB.r+4/①，

小正方形和大正方形的面積分別為49和289,

.-.(BC-AC)2=49,AB2=289，

BC2+AC2-2BCxAC=49②，AB=17(負(fù)值舍去)，

把AB=17代入①得，23CxAC=68r+4產(chǎn)③，

把③代入②中，得：

r2+17r-60=0，

.-.(r-3)(r+20)=0,

.?.7=3(負(fù)值舍去)，

二直角三角形內(nèi)切圓的半徑為3,

故答案為：3.

16.如圖，CD是一。的直徑，8=8,ZACD=20°,點(diǎn)B為弧AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

【解析】解：作點(diǎn)8關(guān)于直徑CD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE、OA,OE、PE,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短及軸對(duì)稱的

性質(zhì)可得AE即為R4+PB的最小值，如圖所示：

BD=ED'

'：ZACD=20°,

：.ZAOD=40°,

;點(diǎn)B為弧A。的中點(diǎn),

與夜)的度數(shù)為20°,

：.ZEOD=2Q°f

：.ZAOE=6Q0,

OA=OE,

???Z\AOE是等邊三角形，

CD=8,

：.AE=OA=4f

即B4+P3的最小值為4,

故答案為：4.

17.如圖，正方形A5CD中，45=6,點(diǎn)石在CD邊上，且CE=2DE,將V4)￡沿AE對(duì)折至八位，延

長(zhǎng)所交邊8C于點(diǎn)G,連結(jié)AG、CF.則NE4G=,SFGC=.

A_______________D

BGC

1Q

【答案】45°;y

【解析】解：??,正方形ABC。

???CD=BC=AB=6,ZD=ZB=ZBAD=ZBCD=90°f

,:CD=3DE,:?DE=2,EC=4,

???將4AOE沿AE對(duì)折至

：.AD=AF=AB,DE=EF=2,ZD=ZAFE=90°,ZDAE=ZFAE,

在RtAABG和RtAAFG中，

jAB=AF

[AG=AG9

.,.RtAABG^RtAAFG(HL),

AZBAG=ZGAFfBG=GF,ZAGB=ZAGEf

：.ZGAF+ZFAE=ZBAG+ZDAE,BPZEAG=ZBAG^-ZDAE,

NE4G+NA4G+ND4E=NAW=90。，

???ZEAG=45°,

■:GE2=EC2+GC2,

：.（BG+2）2=16+（6-BG）2,

：.BG=3,

：.CG=BC-BG=6-3=3,

SAGCE=-GCCE=^X4x3=6,GF=BG=3,GE=GF+EF=3+2=5,

22

?SvGFC=pnS^GFC_3

?.SVGCEG—I6一5‘

IQ

S^GFC—,

1Q

故答案為：45。；y.

三、解答題（本大題共8小題，共62分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

18.（1）計(jì)算：昉+2一2-匕）+tan60°；

①

（2）解不等式組：23,并寫出它的所有整數(shù)解.

2尤一543（無一2）②

【解析】解：（1）原式=3+2-若一g+G

=-4-4.

9，

①

（2）23

2x-5<3（x-2）?

解不等式①得：x<3,

解不等式②得：x>l,

二不等式組的解集為14x<3,

.??不等式組的整數(shù)解為1,2.

19.如圖，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（L1）,8（4,2）,C（3,4）.

（2）在x軸上找一點(diǎn)p,使24+網(wǎng)的值最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)

【解析】（1）解：如圖，由G即為所求；

（2）解：如圖，點(diǎn)P即為所求，由圖可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,0）.

，AP=AP,

，PA+PB=PA+PB=PA!,

根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可得此時(shí)必+尸5的值最小.

故答案為：(2,0).

20.已知關(guān)于彳的一元二次方程/+(2〃2-1"+蘇=。.

(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(2)若方程的兩個(gè)根不，尤2滿足國(guó)馬+玉+々=4,求機(jī)的值.

【解析】⑴解：二.關(guān)于x的一元二次方程—+(2〃-1戶+/=。有實(shí)數(shù)根,

A=(2/n—1)--4xlxm2=—^m+\>0,

解得：mW；；

4

(2)解：???占，馬是一元二次方程尤2+(2機(jī)-l)x+7儲(chǔ)=。的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

芯+/=]_2m,xxx2-m2,

*.*x1x2+石+/=4,

?**m2+1-2m=4,

即—1)2=4,

解得：叫=-1,"=3.

又;在（1）中求出機(jī)（工，

4

m=—19

故答案為機(jī)=-I.

21.某中學(xué)為營(yíng)造書香校園，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲乙兩種規(guī)格的書柜放置新購(gòu)置的圖書，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購(gòu)買甲種書

柜5個(gè)，乙種書柜2個(gè)，共需要資金1380元；若購(gòu)買甲種書柜4個(gè)，乙種書柜3個(gè)，共需資金1440元.

（1）甲乙兩種書柜每個(gè)的價(jià)格分別是多少元？

（2）若該校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種規(guī)格的書柜共24個(gè)，其中乙種書柜的數(shù)量不少于甲種書柜的數(shù)量，問：學(xué)校

應(yīng)如何購(gòu)買花費(fèi)資金最少，最少資金是多少？

【解析】解：（1）設(shè)甲種書柜單價(jià)為x元，乙種書柜的單價(jià)為》元，由題意得：

j5x+2y=1380

[4x+3y=1440

x=180

解得

y=240

答：甲種書柜單價(jià)為180元，乙種書柜的單價(jià)為240元.

（2）設(shè)購(gòu)買甲種書柜加個(gè)，則購(gòu)買乙種書柜（24-加）個(gè)，設(shè)所需資金為w元.

由題意得：24-m>m.

解得加W12

w=180m+240(24-m)=-60m+5760

Vm=-60<0,w隨加增大而減小

??.當(dāng)相=12時(shí)，w最小=—60x12+5760=5040(元).

答：當(dāng)購(gòu)買12個(gè)甲種書柜，12個(gè)乙種書柜時(shí)，所需資金最少，最少資金為5040元.

22.如圖，在YABCD中，。為5。的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作印，瓦）交AD于點(diǎn)￡,交于點(diǎn)R

⑴求證：四邊形BED尸是菱形；

（2）若AB=2,AD=4,ZBAD=120°f求的長(zhǎng).

【解析】（I）?四邊形ABCD為平行四邊形，

二AD//BC,

ZADB=ZCBD,

為80的中點(diǎn)，

OD=OB

在（DOE與—BOF中,

ZADB=ZCBD

<0D=0B,

ZD0E=ZB0F

：.ADOE^ABOF,

DE=BF

又DE〃BF,

二四邊形BEDF為平行四邊形

又EF1BD,

.??四邊形班D尸為菱形.

（2）過點(diǎn)2作3GLAZ）交ZM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.

ZBAD=120°,

ZBAG=60°,

又：AB=2,

：.AG=1,BG=V3

設(shè)DE=x,則AE=4-x,

?..四邊形班DF為菱形，

:.BE=DE=x

在RtABEG中，BG2+EG2=BE2,

.-.(A/3)2+(1+4-X)2=X2

...尤=2.8,即DE的長(zhǎng)為2.8.

23.【問題提出】小慧同學(xué)遇到這樣一道問題，如圖①，在“3C中，點(diǎn)。為邊AC的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心,

AC為直徑作圓，/ACB的平分線交此圓于點(diǎn)P,點(diǎn)尸在11ABe內(nèi)部，連接3P.

求證，△BPC的面積等于ABC面積的一半.

【問題解決】小慧的做法是連接4P并延長(zhǎng)，交3c于點(diǎn)0,利用.ACQ形狀的特殊性解決問題，請(qǐng)你利用

小慧的做法完成【問題提出】中的證明；

【問題拓展】如圖②，在四邊形ABCD中，AC平分/R4D.AC1BC,BD=8,AB-AD=3,則△BCD

面積的最大值為一

【解析】問題解決：解：如圖，連接AP并延長(zhǎng)，交邊BC于點(diǎn)Q.

為：。的直徑，

ZAPC=90°.

ZAPC=ZQPC=90°.

■：CP平分/ACB,

ZACP=AQCP.

?：CP=CP,

：.tACP^QCP(ASA).

：.AC=QC.

'：ZAPC=90°.

.?.點(diǎn)P為A。的中點(diǎn).

..，VCPQ=/SvA/，S\BP@=5^VAQB，

-SyfBPC=S、cPQ+S\BPQ=弓S^AQC+/^VAQB=弓ABC，

.-.△3PC的面積等于，ABC面積的一半.

問題拓展：延長(zhǎng)5C,A。交于點(diǎn)E,

：AC平分4W且AC43C,

??一ABE為等腰三角形，點(diǎn)C為BE中點(diǎn)，

,,SyBCD=S^CDE=2S'BDE'

當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，面積最大，

即應(yīng)＞_LAZ)滿足題意，

?.?DE=AB—AD=3,BD=8,

：.△BCD面積的最大值為工*工友＞。￡=！、!*8*3=6.

2222

故答案為：6.

24.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)，連接BE,過點(diǎn)C作CF于點(diǎn)H,交覆于點(diǎn)尸.

(1)如圖1,當(dāng)3E=3C時(shí)，求證：AABE烏XHCB；

(2)若AB=4,BC=6,連接AH,求AH的最小值；

(3)如圖2,矩形ABCD對(duì)角線AC與5D相交于點(diǎn)0,CF交BD于點(diǎn)、G,若BE平分

①判斷0G與AF的數(shù)量關(guān)系，并證明；

1AF

②連接即，當(dāng)△的的面積是矩形A5CD的二時(shí)，求"的值.

【解析】(1)證明：四邊形A3CD是矩形,

.-.ZA=90°,AD//BC,

:.ZAEB=ZHBC,

-CFLBE,

\?BHC90?,

在，ABE和HCB中,

ZA=ZBHC

<ZAEB=ZHBC,

BE=BC

ABE^tHCB(AAS)；

(2)解：ZBHC=90°,

二點(diǎn)H在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

如圖，取BC的中點(diǎn)K,連接AK,當(dāng)點(diǎn)H在線段AK上時(shí)，AH取得最小值,

BC=6,

:.BK=CK=KH=3,

AB=4,

AK={AB2+3K2=j42+3：=5，

:.AH=AK-KH=5-3=2,即AH的最小值為2；

(3)解：@OG=^AF,

證明如下：如圖，過點(diǎn)。作交CF于點(diǎn)L,

。是AC的中點(diǎn)，

;.OL=-AF,

2

BE平分NASD且3〃±FG,

.?.△3RG是等腰三角形，/BGF=/BFG,

Z.OGL=ZBGF,ZOLG=ZBFG,

NOGL=ZOLG,

/.OG=OL,

OG=-AF-

2

②如圖2,連接￡F,設(shè)0G=4,BG=b,

由①可知：AF=2OG=2a,BF=BG=b,

:.AB=2a+b,AC=BD=2(a+b),

2222

在RtAABC中，BC=AC-AB=[2(〃+砌2—(2〃+b)=3〃+4ab,

ZABE+ZHBC=90°,ZBCF+ZHBC=90。，

：.ZABE=ZBCF,ZBAE=ZFBC=90°,

ABEsBCF,

AEABAE2a+b

——，即nn——=-----

BFBCbBC

解得：M=紋",

AEF的面積是矩形ABCD的二,

(2a+b)b

一X2QX=*xBCx(2a+b)

2BC

BC2=12ab,

3b2+4ab=12ab，

.AF_2a_3

--

「BFT4

25.下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù).

【問題提出】

如圖1,在Rt/VIBC中，ZACB=90°,AC=5C,點(diǎn)。在AB上，請(qǐng)用尺規(guī)作圖：在RtAABC外側(cè)，以5C

為邊作△C5E0Z\C4Z>.

【問題探究】

小明：如圖2,分別以5、。為圓心，以AD、CD為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)E,連接BE、CE.則△CM即

為所求作的三角形.

小亮：如圖3,過點(diǎn)8作LAB于點(diǎn)8,過點(diǎn)C作。VLOC于點(diǎn)C,