2024屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)之函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題

(5)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一2024屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)巧刷高考題型之解答題

一、解答題

1、已知函數(shù)/(x)=(l—

(1)討論/(x)在區(qū)間(0,+oo)上的單調(diào)性；

(2)當(dāng)加=1時(shí),若存在a<6滿足a+ln(l-a)=b+ln(l-Z))，證明:―+—>0.

ab

1、答案：(1)見解析

(2)見解析

解析:(1)當(dāng)加=0,/(x)=l-x在(0,+oo)單調(diào)遞減；

當(dāng)加wO時(shí),/'(x)=—加］x—1+/卜—

①當(dāng)加>1時(shí),0<x<l-O,x〉l—L/'(%)<0；

mm

②當(dāng)0<加(時(shí),/〈X)<0在(0,+00)恒成立；

③當(dāng)加<0時(shí),0<x<1---,(x)<0,x>1--,(%)>0;

mm

綜上所述，當(dāng)加>1時(shí),/(同在0,1-單調(diào)遞增，在［1-：,+oo］單調(diào)遞減；

當(dāng)O^m<l時(shí),/(x)在(0,+oo)單調(diào)遞減；

當(dāng)加<0時(shí),/(x)在0』-￡|單調(diào)遞減，在11-：,+［單調(diào)遞增.

(2)由。+111(1_4)=6+111(1_6),得111［(1_4卜"］=111［(1_力)01,即(1_4卜"=(1-Z))ez,,

由(1)可知，當(dāng)冽=1時(shí),/(%)=(1_X)七/(%)=(1—X一1)尸=—猶”,

當(dāng)X￡(-00,0)時(shí),/'(X)>0；當(dāng)］￡(0,+8)時(shí),r(%)<0,

/(x)在(-00,0)單調(diào)遞增，在(0,+00)單調(diào)遞減，

又當(dāng)X￡(-00,1)J(X)〉0,當(dāng)加￡(1,+00)時(shí)J(%)<0,

故即.欲證一+—>0,即證Q+Z)<0.

ab

設(shè)g(x)=/(%)—/(—x)，O<x<l，

則g'(x)=/'(X)+//(-x)=x(e-v-ev)<0,

即g(x)在(0,1)單調(diào)遞減，

又g（o）=0又以g（x）<0,即/⑻</（詢,

又/（。）=/僅），所以/（&）</（-?,

又因?yàn)?（九）在（-8,0）單調(diào)遞增,a<0,-6<0,

所以。<-6,即a+6<0得證.

2、已知函數(shù)/（x）=Inx-

（1）當(dāng)a=—1時(shí)，求/（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若/（x）有兩個(gè)零點(diǎn)再"2（不<%2）求。的范圍，并證明廠二—+丁」—<0-

2、答案：⑴〃力的單調(diào)增區(qū)間為（0,2-⑹和（2+G,+8卜單調(diào)減區(qū)間為

（2-6,1）和（1,2+⑹

（2）見解析

解析：（1）/（力的定義域?yàn)椋∣,l）U（l,+8）,

當(dāng)a=-1時(shí),/(x)=Inx+x+；,導(dǎo)函數(shù)/'(%)=小(彳；

令r(x)>0,得0<x<2-退或X>2+6；

令((x)<0,得2—百<X<2+sfi-S-XH1；

所以/（X）的單調(diào)增區(qū)間為（0,2-和（2+百,+oob單調(diào)減區(qū)間為（2-百,1）和

（1,2+73）;

（2）當(dāng)a=0時(shí)J（x）只有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

當(dāng)a<0時(shí)，若0<x<1,則/（x）<0；若x>1,則/（x）>0，不符合題意，所以a>0.

當(dāng)a>0時(shí),/。）=工+二^〉0,所以/（x）在（0,1）和（1,+00）均單調(diào)遞增.

X（X—1）

當(dāng)x>l時(shí)，由y（e“）=-蕓?<0,

小3叫-"『E)(3“+1代J)-a/+1)

〃)e3"+J1e3a+1-l

3?(e3a+1-l)-a(e3a+1+l)2a(e3a+1-2)

>e3〃+i_]-p+i-1->0，

所以/(x)在(1,+oo)上有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)0<x<l,同理/(b)==^〉0,/(廠〃1<0

所以/(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)，所以a的范圍是(0,+00),

因?yàn)?(X)的兩個(gè)零點(diǎn)為項(xiàng),%2

所以1叫="(%+1),即1叫+。=生,所以丁」一=芥口,

再一1$一1InX]+a2axi

同理,"一=今匚，

lnx2+a2ax2

所以q+-=0』[2，+口

InX]+alnx2+a2axi2ax22a(再x2?

若/(x)=0,即山-42=0,

x—1

心1

a(x+l)/、

則J二-lnx+

X

X

所以/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)西,x2互為倒數(shù)，即X2=-,

王

所以上+上=11+'>2(1］、

(等號不成立)，所以2--+—<0,

Ix?)

所以一^+―

1叫+alnx2+a

所以得證.

3、已知函數(shù)/(x)=ax-21nx-@.

x

(1)若xe(O,l)J(x)<0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(2)設(shè)X],%是函數(shù)/(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：[/?)—/卜)|〈電

3、答案：(1)心1

(2)見解析

解析：(1)當(dāng)我0時(shí)，

/,(x)="2+W="一產(chǎn),在xe(O,l)時(shí),{x)<OJ(x)單調(diào)遞減,

又/⑴=4-0-4=0,所以/(X)〉0,不滿足題意；

當(dāng)a>0時(shí),/(%)="廠一，+",

X

若A=4-4/制,即磋1時(shí),/'(x))0,/(x)在xe(0,1)上單調(diào)遞增,

又/⑴=a-0-a=0,所以/(x)<0,滿足題意；

若A=4—4/〉0,即0<。<1時(shí)，

令/'(x)=0,可得0<匹=1一后產(chǎn)<1，%=業(yè)巨>1，

aa

當(dāng)xeojM0時(shí),/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

<a>

/r-----YA

當(dāng)xeIf—”,1時(shí),/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

<a>

而/⑴=a-0-a=0,所以/—>0,

VJ極大值

不滿足/(x)在xe(0,l)上/(x)<0.

綜上所述,a2l；

(2)當(dāng)破0時(shí),

由x>0得廣(x)="<0J(x)單調(diào)遞減，無極值,不滿足題意;

X

當(dāng)a>0時(shí),/(x)=辦2-濘",

X

若△=4-,即磋1時(shí),/'(x)20,/(x)在xe(0,1)上單調(diào)遞增，

無極值，不滿足題意；

若八=4一4。2〉0,即0<°<1時(shí)，

7

令/'(x)=0,可得玉=匕正H,%=1+E，此時(shí)x2>x15

aa

當(dāng)xe時(shí),/'(x)>0J(x)單調(diào)遞增，

、a)

當(dāng)xe時(shí),/<x)<0J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe1+,+oo；時(shí),/〈X)<0,/(x)單調(diào)遞增，

所以/(國)為極大值,/(%)為極小值，

且X[+々=2,x,x2=l,f(xl)>f(x2),

要證|/?)-/(%)|<生要，即證

即/(石)一/(工2)<2(王一為)，

11

即證:/(項(xiàng))一/一<2---xl

lxi)lxi)

(0<x<1)

則“x)=2「+—+2=(2。+2)--，+(2"2),

XXX

因?yàn)锳=16-4(2。+2『=-16/—32。<0,

故s(x)在(0,1)上為減函數(shù)，故s(x)<s⑴=0,

故/3_/1+2:“0<%<1成立，

故|/(再)-/伍)|〈生了.

4、已知函數(shù)/（x）=alnx-日」（》＞0,4＞0）,,/'（尤）為/（力的導(dǎo)函數(shù).

X

（1）當(dāng)q=l時(shí)，討論函數(shù)/（X）的單調(diào)性

（2）已知西,為G（0,+00）（%!彳工2），若存在6€11,使得/（%1）=/（X2）成立，求

證:/'（七）+/'（工2）＞0.

4、答案：（1）見解析

（2）見解析

解析：(1)當(dāng)a=l時(shí),/(x)=lnx-bx-L,x>0,

X

當(dāng)6=0時(shí),/'（x）在區(qū)間（0,+8）上恒大于0,此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+8）;

當(dāng)6＞0時(shí)，設(shè)g（x）=-6x2+》+1=0淇中A=1+46＞0,

當(dāng)xJ。,比叵0'

，/'（x）＞0,函數(shù)單調(diào)遞增,

\2b7

(1+V1+4Z))

當(dāng)xe---------.+00，/'（x）＜0,函數(shù)單調(diào)遞減,

I2bJ

當(dāng)6<0時(shí),△=1+43,

當(dāng)能-；時(shí),△<(),此時(shí)/'(x"0恒成立，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+oo),

當(dāng)—!<6<0時(shí),A=l+46>0,

4

當(dāng)1-Jl+4bn1+J1+4(

3---------<0-3----------<0，

2b2b

所以1（X）在區(qū)間（0,+8）上恒大于0,即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+8）,

綜上可知,6W0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+8）,

當(dāng)力＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是［o,土叵通

，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是

I2b）

(1+J1+44)

I2bJ

(2)不妨設(shè)再>X2,因?yàn)?(%1)=/(%2)，

貝UaInXy—I)%----tzIn%2—bx2----,

ex2

EPaInXj-ciIn----1----b(x^—,

X]x2一

/\/\aui

則/’(xj+rd)=+〃一+—2——-^-+---

、e^2j

z\f4

/'(Xi)+/‘(X2)=方+方-----+1—+2—

〈X]x2xxx2J$x2Xj-x2

設(shè)”土￡(l,+8),構(gòu)造函數(shù)夕⑺=/」—21n，a>D，

%2/

^(r)=i+i_2=oi>0,

')12tt2

所以9⑴在(1,+00)上為增函數(shù)，

所以>夕(1)=0,BP----21n—>0,

又(M2?)>0,4>0,占一工2>0，

x；x；

所以/'(七)+/'(“2)>。,

5、已知函數(shù)/(x)=21nx-x2+ax^aGR)

(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)與直線V=在-,e上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5、答案：(1)y=x—1

⑵口；

解析：(1)當(dāng)〃=1時(shí),/(x)=Zinx-，+x,

2

所以/(、)=_—2x+l,

x

因?yàn)椤?)=0,

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，切線斜率為/'⑴=1,

所以切線方程為丁-0=,即y=%-1.

(2)由題知/(x)=21nx-f+axSeR),函數(shù)/(x)與直線N=ax-a在-,e上有兩個(gè)

e

不同的交點(diǎn)，

令g(x)-f(x)-y=21nx—x2+a,

所以g，(x)=2_2x=-2(x+l)(xT),

XX

因?yàn)閄E—,e,

_e_

所以令g'(x)=0,得x=1,

所以當(dāng)！令<1時(shí),g〈x)〉o,當(dāng)1<x^e時(shí),g'(x)<0,

e

所以g(x)=21nx--+Q在—,e上有最大值g⑴,g⑴=。-1,

因?yàn)?tz-2-^-,g(e)=6z+2-e2,

又g(e)-g]]=4—e2+J<0，

所以g(x)=21nx-x2+q在-e上有最小值g(e)=a+2-e?,

e5

所以g(x)=21nx-x2在—,e上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的條件是

e

，解得1＜派2+二

e

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為。,2+：

6、已知函數(shù)/(x)=-gx?+ax-lnx(aeR).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(力有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)西/2(%＜》2),求證：4/(xJ-2/(X2)《l+31n2.

6、答案：(1)2x+2y-3=0

⑵a＞2

(3)證明見解析

解析：(1)當(dāng)Q=1時(shí),/(x)=+x-]nx(x〉0),

所以/(l)=_g+l=;,故切點(diǎn)坐標(biāo)為

又/，(x)=_x+i_L所以/'⑴=-1,故切線的斜率為一1,

JC

由點(diǎn)斜式可得,y-g=-(x-1),即2x+2y-3=0,

故曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線方程為2x+2y-3=0；

(2)/(x)的定義域?yàn)?0,+oo),

x2-tzx+l

又/r(x)=-x+a-—

XX

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)西,/(再＜/)，因此/'(x)=0有2個(gè)不等的正根

令g(x)=f—ax+L

^=a2-4>0

所以芯+%=a>0,解得a>2

xrx2=1>0

當(dāng)a〉2時(shí)屈數(shù)/（%）有兩個(gè)極值點(diǎn)國&2（西<X2）,

（3）由（2）可知,當(dāng)4〉2時(shí),/（X）有兩個(gè)極值點(diǎn)再22（王<X2），

則/+々="，由題意可得,0<西<1<々,

XxX2-1

1

貝14/（玉）一2/（工2）=4（-;x；+axx-Inxx

=-2xy+4axi-41nxi+x；-2ax2+2Inx2

=-2xy+4再（再+x2）-4In+%2—2%2（西+x2）+21nx2

22-

=--x2+6Inx2+2,

x?

2

令g（x）=--x2+61nx+2（x>l）,

JC

（12—1）［_板）（%+亞）

則46—2

X3

=>1<%<V2時(shí),g'（x）〉0，則g（x）單調(diào)遞增,

當(dāng)x>72時(shí)，g'（x）<。，則g（x）單調(diào)遞減,

故當(dāng)X=血時(shí),g（x）取得最大值g（夜）（C『+61n后+2=l+31n2

2

所以4/（再）-2/（々）4+31n2.

7、已知函數(shù)/（x）=alnx-4,QwR.

（1）試討論/（x）的單調(diào)性；

（2）若對任意X￡（0,+oo）,均有/（x）WO,求Q的取值范圍;

n1___

（3）求證:—r>Vn+l-l.

臺山位+上）

7、答案：（1）當(dāng)xe（0,4q2）時(shí)，八x）〉O,/（x）在（0,4*上單調(diào)遞增,

當(dāng)xw（4/,+00）時(shí)/（x）<0,/（x）在（4a2,+co）上單調(diào)遞減

（3）見解析

解析：（1）r（x）=q—3=^^,x>o

「x2G2x

若440,則/'（》）<0,/（乃在（0,+oo）上單調(diào)遞減；

若a>0,則由/'（x）=0,得x=4/,

當(dāng)xe（0,4/）時(shí)，八x）〉0,/（x）在（0,4a2）上單調(diào)遞增，

當(dāng)X€（402,+00）時(shí),/《X）<0,/（X）在（4°2,+00）上單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)a=0時(shí),/（x）=-?<0符合題意；

當(dāng)a<0時(shí)，由（1）知/（x）在（0,+QO）上單調(diào)遞減，而/（/）_]_4

；>0，不合題意;

當(dāng)a>0時(shí)，結(jié)合（1）得=/（4a2）=2a（ln2a-1）40,

即ln2a-l<0,得a<士,

2

綜上，。的取值范圍是;

(3)證明：由(2)知，當(dāng)°=1時(shí),Inx->Jx<0，即Inx<\[x，

所以ln(〃2+〃)=ln(〃+1)+In?<J"+1+4n,

所以---1---->,——1——尸=y/n+1-4n,

ln(〃~+〃)y/n+l+y/n

n1

所以w如（F+后）>(A/2—1)+(\/3—y[i)+…+(J〃+1=-\fn

n1___

Z—7~~--r〉+]一]

即iIn(K+左)得證.

8、設(shè)函數(shù)/(x)=ae2"+(1-x)e*+a(aeR).

(1)當(dāng)a=[時(shí),求g(x)=/'(x)e2T的單調(diào)區(qū)間;

(2)若/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)X],x2(%1<x2),

①求。的取值范圍；

②證明：$+2X2>3.

8、答案：(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(-鞏2),單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+8)

(2)①②證明見解析

-22x-2-2

解析：(1)當(dāng)a=?-時(shí)，/(x)=^-+(l-x)ex+^-,f\x)=e2x-2-xev,

故g(x)=e"-xe2,

所以g