21.3實(shí)際問題與一元二次方程(第一課時(shí))

第二十一章一元二次方程21.3實(shí)際問題與一元二次方程（第一課時(shí)）溫故知新1.一元二次方程的解法有哪些？a.直接開平方法

b.配方法c.公式法d.因式分解法.

a.審b.設(shè)c.找d.列e.解f.驗(yàn)g.答2.列方程解題的一般步驟？列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟（6）寫出答語.（5）檢驗(yàn)；（4）選擇合適的方法解方程；（3）尋找數(shù)量關(guān)系，列出方程，要注意方程兩邊的數(shù)量相等，

方程兩邊的代數(shù)式的單位相同；（2）設(shè)未知數(shù)，一般采取直接設(shè)法，有的要間接設(shè)；（1）審題，分析題意，找出已知量和未知量，弄清它們之間

的數(shù)量關(guān)系；因?yàn)橐辉畏匠痰慕庥锌赡懿环项}意，如：線段的長度不能為負(fù)數(shù)，降低率不能大于100％．因此，解出方程的根后，一定要進(jìn)行檢驗(yàn)．同一元一次方程、二元一次方程（組）等一樣，一元二次方程也可以作為反映某些實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué).下面我們繼續(xù)討論如何利用一元二次方程解決實(shí)際問題。探究新知啟發(fā)思考：你知道傳染病的傳播速度是多快嗎？探究1:有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人?思考：1.本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？探究1有一人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人?1人傳染最后121人患了流感2.如何理解“兩輪傳染”？1人是傳染源，經(jīng)一輪傳染后，這些人都是傳染源；這些傳染源再經(jīng)一輪傳染導(dǎo)致更多人患病.3.如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？x1+x1+xx1+x+x(1+x)設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)人，那么患流感的這個(gè)人在第一輪傳染中傳染了_____人；第一輪傳染后，共有______人患了流感；在第二輪傳染中，傳染源是______人，這些人中每一個(gè)人又傳染了_____人，第二輪傳染后，共有

人患流感.4.根據(jù)等量關(guān)系列方程并求解解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則依題意：因此每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人．于是可列方程：1+x+x(1+x)=1211x

x(1+x)121解方程得x1=10，

x2=-12(不合題意舍去)5.為什么要舍去一解？傳播人數(shù)不可能負(fù)值，-12不合題意，故舍去.121+121×10=1331（人）答：三輪傳染后，有1331人患流感.三輪傳染后的總?cè)藬?shù)：（1+x）+x（1+x）+x·x（1+x）注意:1.此類問題是傳播問題.2.計(jì)算結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義.6.如果按照這樣的傳播速度，三輪傳染后，有多少人患流感？

n輪傳染后多少人患流感?n輪傳染后的總?cè)藬?shù)：（1+x）n重點(diǎn)例題分析

解得x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.4輪感染后，被感染的電腦數(shù)為(1＋x)4＝104＞7000.1．某種電腦病毒傳播速度非?？欤绻慌_(tái)電腦被感染，經(jīng)過

兩輪感染后就會(huì)有100臺(tái)電腦被感染．請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)分

析，每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染幾臺(tái)電腦？若病毒得不

到有效控制，4輪感染后，被感染的電腦會(huì)不會(huì)超過7000臺(tái)？答：每輪感染中平均每一臺(tái)電腦會(huì)感染9臺(tái)電腦，4輪感

染后，被感染的電腦會(huì)超過7000臺(tái).解：設(shè)每輪感染中平均一臺(tái)電腦會(huì)感染

x臺(tái)電腦，則1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解決此類問題的關(guān)鍵步驟是：【點(diǎn)評(píng)】明確每輪傳播中的傳染源個(gè)數(shù)，以及這一輪被傳染的總數(shù)．傳播問題：第一輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×（1+傳播速度）=傳播前的量×（1+傳播速度）2第n輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）n

解：設(shè)參加這次聚會(huì)有

x

人，∴x2-x-90＝0.∴x1＝10

x2＝－9(舍去)．答：參加這次聚會(huì)的人有10人．1．在一次聚會(huì)中，每兩個(gè)參加聚會(huì)的人都相互握了一次手，

一共握了45次手，則參加這次聚會(huì)的共有多少個(gè)人．依題意，得x(x-1)=45

學(xué)以致用解：設(shè)每天平均一個(gè)人傳染了x人.分析：第一天人數(shù)+第二天人數(shù)=9，1+x+x（1+x）=91+x+x（1+x）=9即（1+x）2=9解得：x1=-4(舍去),x2=29（1+x）5=9（1+2）5=2187或（1+x）7=9（1+2）7=2187答：每天平均一個(gè)人傳染了2人，這個(gè)地區(qū)一共將會(huì)有2187人

患甲型流感2.甲型流感病毒的傳染性極強(qiáng)，某地因1人患了甲型流感沒有

及時(shí)隔離治療，經(jīng)過兩天的傳染后共有9人患了甲型流感，

每天平均一個(gè)人傳染了幾人？如果按照這個(gè)傳染速度，再經(jīng)

過5天的傳染后，這個(gè)地區(qū)一共將會(huì)有多少人患甲型流感？1.有一個(gè)人收到短消息后,再用手機(jī)轉(zhuǎn)發(fā)短消息,經(jīng)過兩輪轉(zhuǎn)發(fā)后共有144人收到了短消息,問每輪轉(zhuǎn)發(fā)中平均一個(gè)人轉(zhuǎn)發(fā)給幾個(gè)人?1+x(1+x)2分析:設(shè)每輪轉(zhuǎn)發(fā)中平均一個(gè)人轉(zhuǎn)發(fā)給x個(gè)人,第一輪后有

人收到了短消息,這些人中的每個(gè)人又轉(zhuǎn)發(fā)了x人,第二輪后共有

個(gè)人收到短消息.練習(xí)主干支干支干……小分支小分支……小分支小分支…………xxx1解:設(shè)每個(gè)支干長出x個(gè)小分支,則1+x+x·x=91即解得,

x1=9,x2=－10(不合題意,舍去)答:每個(gè)支干長出9個(gè)小分支.x2+x-90=02.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干,每個(gè)支干又長出同樣數(shù)

目的小分支,主干,支干和小分支的總數(shù)是91,每個(gè)支干長出多

少小分支?1.解應(yīng)用題的一般步驟？（2）設(shè)未知數(shù)(單位名稱);（3）根據(jù)相等關(guān)系列出列出方程；（4）解這個(gè)方程，求出未知數(shù)的值；（5）檢查求得的值是否符合實(shí)際意義；（6）寫出答案（及單位名稱）.提示：要注意題目中的隱含條件.（1）審清題意，找出等量關(guān)系課堂小結(jié)2.傳播問題：a(1+x)n=b傳染源的個(gè)數(shù)每個(gè)傳染源感染的個(gè)數(shù)被感染的次數(shù)n次感染后的個(gè)數(shù)3.互發(fā)消息的條數(shù)=人數(shù)×（人數(shù)-1）4.單純環(huán)比賽的場數(shù)=參賽隊(duì)數(shù)×（參賽隊(duì)數(shù)-1）÷2拓展象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分.如果平局，兩個(gè)選手各記1分，有四個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了中全部選手的得分總數(shù)，分別使1979,1980,1984,1985.經(jīng)核實(shí)，有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無誤.試計(jì)算這次比賽共有多少個(gè)選手參加.解：設(shè)共有n個(gè)選手參加比賽.每個(gè)選手都要與（n-1）個(gè)選手比賽一局，共計(jì)n（n-1）局，但兩個(gè)選手的對(duì)局從每個(gè)選手的角度各自統(tǒng)計(jì)一次，因此實(shí)際比賽總局?jǐn)?shù)應(yīng)為局.

由于每局共計(jì)2分，所以全部選手得分總共為2×=n(n-1)

顯然（n-1）與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗(yàn)證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0，2，6，∴總分不可能是1979，1984，1985，總分只能是1980.∴參加比賽的選手共有45人．∴由n（n-1）=1980，得n2-n-1980=0，解得n1=45，n2=-44（舍去）．1.有一根月季，它的主干長出若干數(shù)目的枝干，每個(gè)枝干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、枝干、小分支的總數(shù)是73，設(shè)每個(gè)枝干長出x個(gè)小分支，根據(jù)題意可列方程為（）A.1+x+x(1+x)=73B.1+x+x2=73C.1+x2=73D.(1+x)2=73B課堂練習(xí)2.元旦將至，九年級(jí)一班全體學(xué)生互贈(zèng)賀卡，共贈(zèng)賀卡1980張，問九年級(jí)一班共有多少名學(xué)生？設(shè)九年級(jí)一班共有x名學(xué)生，那么所列方程為（）A.x2=1980B.x(x+1)=1980C.x(x-1)=1980D.x(x-1)=1980D3.參加一次聚會(huì)的每兩人都握了一次手,所有人共握手10次,

則參加聚會(huì)的人數(shù)為（）

A.5B.6C.6D.7A4.要組織一場籃球聯(lián)賽,賽制為單循環(huán)形式,即每兩隊(duì)之間都賽一場,計(jì)劃安排15場比賽,應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)球隊(duì)參加比賽?化簡為x2-x=30，答：應(yīng)邀請(qǐng)6支球隊(duì)參賽.

解：設(shè)應(yīng)邀請(qǐng)x支球隊(duì)參賽，根據(jù)題意，得

解得x1=-5(舍去），x2=6.5.要組織一場籃球聯(lián)賽,每兩隊(duì)之間都賽2場,計(jì)劃安排90場

比賽,應(yīng)邀請(qǐng)多少個(gè)球隊(duì)參加比賽?解：設(shè)有x個(gè)隊(duì)參加比賽根據(jù)題意，得x

(x-1)=90.整理，得x2-x-90=0.解得答：共有10隊(duì)參加比賽．x1=10,x2=-9(不符合