2023九年級數(shù)學下冊 第二章 二次函數(shù)5 二次函數(shù)與一元二次方程第1課時 二次函數(shù)與一元二次方程的關系教案 （新版）北師大版

2023九年級數(shù)學下冊第二章二次函數(shù)5二次函數(shù)與一元二次方程第1課時二次函數(shù)與一元二次方程的關系教案（新版）北師大版主備人備課成員課程基本信息1.課程名稱：九年級數(shù)學下冊第二章二次函數(shù)5二次函數(shù)與一元二次方程第1課時二次函數(shù)與一元二次方程的關系

2.教學年級和班級：九年級

3.授課時間：45分鐘

4.教學時數(shù)：1課時

教學內容：

1.理解二次函數(shù)與一元二次方程的關系。

2.掌握二次函數(shù)的頂點式、標準式及其轉換方法。

3.能夠利用二次函數(shù)圖像解決一元二次方程的問題。

教學步驟：

1.導入（5分鐘）：

-復習二次函數(shù)的基本概念。

-提問：二次函數(shù)的一般形式是什么？頂點式如何表示？

2.知識講解（15分鐘）：

-講解二次函數(shù)與一元二次方程的關系。

-解釋二次函數(shù)圖像與一元二次方程的根之間的關系。

3.案例分析（15分鐘）：

-通過具體例題，展示如何利用二次函數(shù)解決一元二次方程問題。

-引導學生觀察二次函數(shù)圖像，分析方程的根的情況。

4.課堂練習（10分鐘）：

-布置相關習題，讓學生獨立完成。

-老師巡回指導，解答學生疑問。

5.總結與拓展（5分鐘）：

-對本節(jié)課所學內容進行總結。

-提問：如何通過二次函數(shù)圖像判斷一元二次方程的根的情況？

教學目標：

1.掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系。

2.能夠靈活運用二次函數(shù)的頂點式、標準式解決實際問題。

3.培養(yǎng)學生的觀察能力和邏輯思維能力。

教學評價：

1.課堂練習完成情況。

2.學生對二次函數(shù)與一元二次方程關系的理解程度。

3.課后作業(yè)的完成情況。核心素養(yǎng)目標培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，提高邏輯思維與推理能力，強化數(shù)形結合思想。通過本節(jié)課的學習，使學生能夠：

1.深入理解二次函數(shù)與一元二次方程的關系，形成知識體系。

2.學會運用數(shù)形結合的方法，通過觀察二次函數(shù)圖像分析一元二次方程的根的性質，培養(yǎng)觀察能力與直觀想象能力。

3.培養(yǎng)學生將實際問題抽象為數(shù)學模型，運用數(shù)學知識解決問題的能力，提高數(shù)學應用意識。

4.在解決問題的過程中，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S和推理能力，形成批判性思維。學習者分析1.學生已經掌握了以下相關知識：

-二次函數(shù)的定義、圖像及性質；

-二次函數(shù)的頂點式、標準式及其互化方法；

-一元二次方程的求解方法，如因式分解、配方法、公式法等；

-數(shù)形結合的初步思想，能夠通過圖像分析函數(shù)的性質。

2.學習興趣、能力和學習風格：

-九年級學生已經具備一定的抽象思維能力，對數(shù)學問題有一定的探究欲望；

-學生對數(shù)形結合的方法有一定的興趣，喜歡通過圖像直觀地解決問題；

-學生的學習能力和接受程度不一，部分學生對數(shù)學有較強的領悟能力，部分學生可能需要更多的引導和練習；

-學生在學習過程中喜歡合作交流，希望能夠互相討論解決問題。

3.學生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

-在理解二次函數(shù)與一元二次方程的關系時，可能難以將圖像與方程的根進行有效關聯(lián)；

-在解決實際問題時，可能會對問題情境的理解不夠深入，難以將實際問題抽象為數(shù)學模型；

-對于二次函數(shù)圖像的動態(tài)變化和頂點式的應用，部分學生可能會感到困惑；

-在運用數(shù)形結合方法時，可能會忽略圖像細節(jié)，導致分析錯誤；

-學習風格的差異可能導致部分學生在課堂互動中不夠積極，需要教師關注和引導。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設計二次備課教學資源1.硬件資源：

-投影儀

-白板

-計算器

-課堂練習冊

-二次函數(shù)圖像教學掛圖

2.軟件資源：

-數(shù)學教學軟件（用于展示函數(shù)圖像和動態(tài)變化）

-PowerPoint演示文稿

-電子教案

3.課程平臺：

-學校學習管理系統(tǒng)（發(fā)布學習資料、課后作業(yè)）

4.信息化資源：

-電子教材

-教學視頻（二次函數(shù)與一元二次方程的關系）

-互動式數(shù)學學習軟件（供學生課后自主練習）

5.教學手段：

-講授與示范

-小組討論

-課堂提問

-課后作業(yè)

-互動式學習活動

-個別輔導與指導

6.輔助材料：

-二次函數(shù)與一元二次方程關系的學習指導手冊

-相關練習題庫

-圖形計算器（供學生課堂實踐使用）教學流程（一）課前準備（5分鐘）

1.教師準備：

-制作PPT，包括二次函數(shù)與一元二次方程關系的理論知識、例題、練習題等；

-準備教學視頻，展示二次函數(shù)圖像與一元二次方程根的關系；

-編制學習指導手冊，供學生自學和復習；

-準備課堂練習冊和圖形計算器，供學生課堂實踐使用。

2.學生活動：

-預習課本，了解二次函數(shù)與一元二次方程的關系；

-觀看教學視頻，初步了解本節(jié)課的教學內容；

-完成課前預習作業(yè)，提前熟悉相關知識。

（二）課中教學（35分鐘）

1.導入新課（5分鐘）

-復習二次函數(shù)的基本概念，提問學生回顧已學知識；

-引出本節(jié)課的主題：二次函數(shù)與一元二次方程的關系。

2.知識講解（10分鐘）

-講解二次函數(shù)與一元二次方程的關系，呈現(xiàn)理論知識；

-結合PPT和教學視頻，展示二次函數(shù)圖像與一元二次方程根的關系；

-強調二次函數(shù)圖像的頂點、開口方向、對稱軸等性質。

3.案例分析（10分鐘）

-出示例題，引導學生運用數(shù)形結合的方法解決一元二次方程問題；

-分步驟講解解題思路，強調觀察二次函數(shù)圖像的重要性；

-讓學生分組討論，共同解決類似問題，培養(yǎng)合作意識。

4.課堂練習（10分鐘）

-布置課堂練習，讓學生獨立完成；

-老師巡回指導，解答學生疑問，關注學生的解題過程；

-選擇部分學生作品進行展示，分析解題思路和技巧。

5.總結與拓展（5分鐘）

-對本節(jié)課所學內容進行總結，強調二次函數(shù)與一元二次方程的關系；

-提問：如何通過二次函數(shù)圖像判斷一元二次方程的根的情況；

-提出拓展問題，激發(fā)學生思考，為課后學習奠定基礎。

（三）課后鞏固（5分鐘）

1.課后作業(yè)：

-布置相關習題，鞏固本節(jié)課所學知識；

-設置不同難度的題目，滿足不同學生的學習需求。

2.學生自主復習：

-通過學習指導手冊、電子教材等資源，進行課后復習；

-利用課程平臺，觀看教學視頻，加深對知識點的理解。

3.家長輔導：

-家長協(xié)助監(jiān)督學生完成課后作業(yè)，關注學生的學習進度；

-鼓勵學生進行自主學習，培養(yǎng)良好的學習習慣。

重難點分析：

本節(jié)課的重點是理解二次函數(shù)與一元二次方程的關系，學會運用數(shù)形結合的方法解決實際問題。難點在于如何將圖像與方程的根進行有效關聯(lián)，以及在實際問題中運用二次函數(shù)的性質。

舉例：

1.導入新課：提問學生回顧二次函數(shù)的定義、圖像及性質，為新課的學習做好鋪墊。

2.知識講解：以y=x^2為例，講解其與一元二次方程x^2=0的關系，呈現(xiàn)數(shù)形結合的思想。

3.案例分析：例題：已知二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖像與x軸交于點A、B，求證：點A、B的橫坐標是方程ax^2+bx+c=0的兩個實數(shù)根。

4.課堂練習：讓學生完成以下題目：

(1)求二次函數(shù)y=2x^2-4x+1的頂點坐標，并判斷它與x軸的交點個數(shù)。

(2)已知二次函數(shù)y=-x^2+2x+3的圖像與x軸有兩個交點，求這兩個交點的橫坐標。

5.總結與拓展：引導學生思考如何通過二次函數(shù)圖像判斷一元二次方程的根的情況，提出拓展問題：若二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像與x軸只有一個交點，方程ax^2+bx+c=0有幾個實數(shù)根？拓展與延伸1.拓展閱讀材料：

-《二次函數(shù)圖像與一元二次方程根的關系》

-《數(shù)形結合思想在二次函數(shù)中的應用》

-《一元二次方程的求解方法及其應用》

-《二次函數(shù)在實際問題中的應用案例》

2.課后自主學習和探究：

-研究二次函數(shù)圖像的平移、壓縮、拉伸等變換對一元二次方程根的影響；

-探索如何將實際問題抽象為二次函數(shù)模型，并運用二次函數(shù)知識解決問題；

-學習一元二次方程的求解方法，如因式分解、配方法、公式法等，并進行比較和總結；

-深入了解數(shù)形結合思想在二次函數(shù)學習中的應用，培養(yǎng)觀察能力和直觀想象能力。

知識點拓展：

1.二次函數(shù)圖像的平移、壓縮、拉伸變換：

-平移變換：二次函數(shù)圖像可以通過改變頂點的橫坐標或縱坐標實現(xiàn)左右或上下平移；

-壓縮變換：通過改變二次項系數(shù)a的絕對值，可以實現(xiàn)對圖像的橫向壓縮或縱向壓縮；

-拉伸變換：同樣地，改變二次項系數(shù)a的絕對值，可以實現(xiàn)對圖像的橫向拉伸或縱向拉伸。

2.實際問題中的二次函數(shù)模型：

-拋物線運動：物體在重力作用下做拋物線運動，其運動軌跡可以用二次函數(shù)表示；

-經濟學中的最優(yōu)化問題：例如，成本最小化、利潤最大化等，可以用二次函數(shù)模型來描述；

-生物科學中的種群增長：某些生物種群的指數(shù)增長規(guī)律可以用二次函數(shù)來描述。

3.一元二次方程求解方法：

-因式分解法：適用于能夠分解為兩個一次因式的一元二次方程；

-配方法：適用于一元二次方程的一次項系數(shù)為偶數(shù)的情況，通過配方求解；

-公式法：適用于所有一元二次方程，利用求根公式直接求解。

4.數(shù)形結合思想在二次函數(shù)中的應用：

-觀察二次函數(shù)圖像，分析頂點、開口方向、對稱軸等性質；

-通過圖像判斷一元二次方程的根的情況，如根的個數(shù)、正負等；

-利用數(shù)形結合方法解決實際問題，如最值問題、交點問題等。

鼓勵學生在課后進行自主學習，深入研究上述拓展知識點，將所學知識運用到實際問題中，提高數(shù)學素養(yǎng)和應用能力。同時，教師可提供相關學習資料和指導，幫助學生更好地完成拓展與延伸學習。內容邏輯關系①知識點梳理：

1.二次函數(shù)的定義、圖像及性質；

2.二次函數(shù)與一元二次方程的關系；

3.二次函數(shù)圖像的頂點式、標準式及其互化方法；

4.利用二次函數(shù)圖像分析一元二次方程的根的情況；

5.數(shù)形結合思想在二次函數(shù)中的應用。

②邏輯關系闡述：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關系：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c與一元二次方程ax^2+bx+c=0的圖像交點即為方程的根，通過觀察二次函數(shù)圖像可以判斷一元二次方程根的情況；

2.二次函數(shù)圖像與頂點式、標準式的互化：掌握二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a(x-h)^2+k和標準式y(tǒng)=ax^2+bx+c的互化方法，有助于分析圖像的平移、壓縮、拉伸等變換；

3.數(shù)形結合思想的應用：通過觀察二次函數(shù)圖像，結合方程求解方法，解決實際問題。

③板書設計：

一、二次函數(shù)與一元二次方程的關系

1.圖像交點即為方程根

2.數(shù)形結合分析根的情況

二、二次函數(shù)圖像與頂點式、標準式

1.頂點式：y=a(x-h)^2+k

2.標準式：y=ax^2+bx+c

3.互化方法

三、數(shù)形結合思想應用

1.分析圖像性質

2.解決實際問題

板書設計簡潔明了，突出重點知識點和邏輯關系，便于學生理解和記憶。在教學過程中，教師應結合板書，逐步引導學生掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系，學會運用數(shù)形結合思想解決實際問題。課堂小結，當堂檢測一、課堂小結

1.本節(jié)課重點講解了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，學生應掌握二次函數(shù)圖像交點即為方程根，以及如何通過觀察圖像判斷根的情況。

2.學生應掌握二次函數(shù)的頂點式、標準式及其互化方法，并能分析圖像的平移、壓縮、拉伸等變換。

3.學生應學會運用數(shù)形結合思想解決實際問題，如最值問題、交點問題等。

4.通過本節(jié)課的學習，學生應提高觀察能力、邏輯思維能力和數(shù)學應用意識。

二、當堂檢測

1.選擇題：

-二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像交點即為方程ax^2+bx+c=0的（A.最大值B.最小值C.根D.無理數(shù)）

-二次函數(shù)的頂點式y(tǒng)=a(x-h)^2+k中，h表示（A.x軸截距B.y軸截距C.頂點的橫坐標D.頂點的縱坐標）

2.填空題：

-二次函數(shù)y=2x^2-4x+1的頂點坐標為（，），對稱軸為（）。

-已知二次函數(shù)y=-x^2+2x+3的圖像與x軸有兩個交點，求這兩個交點的橫坐標為（，）。

3.解答題：

-已知二次函數(shù)y=3x^2-6x+2，求該函數(shù)的頂點坐標。

-已知二次函數(shù)y=x^2-4x+4，求該函數(shù)的頂點式，并分析圖像的變換。

4.應用題：

-小明從地面以20米/秒的初速度豎直向上拋出一個球，球的運動軌跡可以看作是一個拋物線，求球落地時離地面的高度。教學反思與改進九年級數(shù)學下冊第二章二次函數(shù)5二次函數(shù)與一元二次方程的教學已經結束，通過這節(jié)課的教學，我對學生的學習效果和自己的教學過程進行了反思。以下是我的教學反思與改進措施。

首先，我注意到學生在理解二次函數(shù)與一元二次方程的關系時存在一些困難。他們在將圖像與方程的根進行有效關聯(lián)時，往往會忽略圖像的細節(jié)，導致分析錯誤。因此，我計劃在未來的教學中加強對數(shù)形結合思想的訓練，特別是在觀察二次函數(shù)圖像時，我會引導學生注意圖像的對稱性、頂點位置以及與x軸的交點情況。

其次，我發(fā)現(xiàn)部分學生在解決實際問題時，對問題情境的理解不夠深入，難以將實際問題抽象為數(shù)學模型。為了解決這個問題，我計劃在未來的教學中增加更多實際問題案例，引導學生通過觀察和分析問題情境，將實際問題轉化為數(shù)學模型。同時，我會鼓勵學生進行小組討論，共同探討問題解決的方法，培養(yǎng)他們的合作意識和問題解決能力。

此外，我還注意到學生的學習風格和