事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第4課時事件的相互獨(dú)立性、條件概率與

全概率公式

［考試要求］1.了解兩個事件相互獨(dú)立的含義.2.理解隨機(jī)事件的獨(dú)立性和條

件概率的關(guān)系，會利用全概率公式計算概率.

［鏈接教材?夯基固本］落實主干?激活技能

?梳理?必備知識

1.事件的相互獨(dú)立性

對任意兩個事件4與B,如果P(AB)=P(A)?0(8)成立,則稱事件A與

概念

事件8相互獨(dú)立，簡稱為獨(dú)立

若事件Z與事件5相互獨(dú)立，則Z與瓦X與B,Z與月也都相互獨(dú)立，

性質(zhì)

P(B［A)=P(B),P(A\B)=P(A)

2.條件概率

⑴概念：一般地，設(shè)Z,8為兩個隨機(jī)事件，且尸(Z)>0,我們稱尸(8⑷=今黑

為在事件幺發(fā)生的條件下，事件5發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

(2)兩個公式

①利用古典概型：尸(同幺)=噌；

71(A)

②概率的乘法公式：P(AB}=P(A}-P(B\AY

3.全概率公式

一般地，設(shè)/1,出,…,4是一組兩兩互斥的事件,由UZ2U…U4=0,且尸(4)>0,

i=l，2,…，n,則對任意的事件8GO,有P(5)=2：E(4)巴但|4),我們稱

該公式為全概率公式.

［常用結(jié)論］

1.事件的關(guān)系與運(yùn)算

(1)2,8都發(fā)生的事件為45;A,5都不發(fā)生的事件為彳后.

(2)2,8恰有一個發(fā)生的事件為2月+方8;A,B至多有一個發(fā)生的事件為

AB+AB+AB.

2.*貝葉斯公式：設(shè)Zi,也，…，4是一組兩兩互斥的事件，N1UZ2U…U4

=0,且尸(4)>0,i=l,2,…，n,則對任意的事件8G0,尸仍)>0,有P(4⑻

_P(4)P(B|4)_.=］?...n

P(B)E2P(4)P(BHk)''''

3.尸(4B)求法：

⑴古典概型；(2)相互獨(dú)立：P(AB)=P(A)P(B);(3)概率的乘法公式尸(48)=

P(A)?P(B\A).

O激活?基本技能

一、易錯易混辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.()

(2)對于任意兩個事件，公式尸(4B)=P(Z)P(5)都成立.()

(3)尸(80)表示在事件Z發(fā)生的條件下，事件8發(fā)生的概率，尸(Z3)表示事件4B

同時發(fā)生的概率.()

(4)若事件Z,8相互獨(dú)立，則尸(5⑷=P(5).()

［答案］(1)X(2)X(3)V(4)V

二、教材經(jīng)典衍生

1.(多選)(人教A版必修第二冊P266復(fù)習(xí)參考題10T1改編)袋內(nèi)有3個白球和2

個黑球，從中有放回地摸球，用幺表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸

到白球”記為8,其對立事件記為C,那么事件Z與bZ與C的關(guān)系是()

A.幺與8相互獨(dú)立B.幺與C相互獨(dú)立

C.Z與C互斥D.4與B互斥

AB［由于摸球過程是有放回地，所以第一次摸球的結(jié)果對第二次摸球的結(jié)果沒

有影響，故事件Z與B,4與C均相互獨(dú)立，且幺與8,幺與C均有可能同時發(fā)

生，說明幺與8,Z與C均不互斥.］

2.(人教A版選擇性必修第三冊P46例1改編)在5道題中有3道代數(shù)題和2道幾

何題.如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到幾何題的條件下，第2

次抽到代數(shù)題的概率為()

D［根據(jù)題意，在第1次抽到幾何題后，還剩4道題，其中有3道代數(shù)題，則第

2次抽到代數(shù)題的概率尸=(.故選D.］

3.(人教A版必修第二冊P253練習(xí)T3改編)天氣預(yù)報：元旦假期甲地的降雨概率

是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影

響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為()

A.0.2B.0.3

C.0.38D.0.56

C［設(shè)甲地降雨為事件2,乙地降雨為事件8,則兩地恰有一地降雨為2百+78,

所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)

=P(^)P(B)+P(Z)P(B)=0.2X0.7+0.8X0.3=0.38.］

4.(人教A版選擇性必修第三冊P50例4改編)某同學(xué)喜愛籃球和跑步運(yùn)動.在暑

假期間，該同學(xué)下午去打籃球的概率為:?若該同學(xué)下午去打籃球，則晚上一定去

跑步；若下午不去打籃球，則晚上去跑步的概率為|.已知該同學(xué)在某天晚上去跑

步，則下午打過籃球的概率為.

—［設(shè)下午打籃球為事件Z,晚上跑步為事件8,易知尸(Z)=尸(48)=2,0(8㈤=2

1143

,?啰)=。(陰+「(油)=P(4)+P⑷?P(B|3)=1+ix|=1|,

4451Z

?.?尸那)=鬻得］

［典例精研?核心考點］重難解惑?直擊高考

考點一事件的相互獨(dú)立性

［典例1］(1)(2021?新高考I卷)有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,

6,從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的

數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取

出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則

()

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

(2)(2023?陜西西安二模)已知從甲袋中摸出一個紅球的概率是右從乙袋中摸出

一個紅球的概率是:，現(xiàn)從兩袋中各摸出一個球，下列結(jié)論錯誤的是()

A.兩個球都是紅球的概率為:

6

B.兩個球中恰有1個紅球的概率為g

C.兩個球不都是紅球的概率為］

D.至少有1個紅球的概率為日

（1）B（2）C［（1）事件甲發(fā)生的概率P（甲）=：1,事件乙發(fā)生的概率P（乙）=1g事件

66

丙發(fā)生的概率P（丙）=工=工事件丁發(fā)生的概率尸（丁尸三=3事件甲與事件丙

6X6366X66

同時發(fā)生的概率為0,P（甲丙）WP（甲）?P（丙），A錯誤；事件甲與事件丁同時發(fā)

生的概率為工=與尸（甲丁尸尸（甲）P（?。?，B正確；事件乙與事件丙同時發(fā)生的

概率為工=5,尸（乙丙）WP（乙）尸（丙），c錯誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不

6X636

是相互獨(dú)立事件，D錯誤.故選B.

111

⑵兩個球都是紅球的概率為石x5=qA正確；

兩個球中恰有1個紅球的概率為3x（1-5+（1-x|=|,B正確；

兩個球不都是紅球的對立事件為兩個球都是紅球，所以概率為1—七==C錯誤；

66

-11

至少有1個紅球包含兩個球都是紅球、兩個球中恰有1個紅球，所以概率為：+:

62

7

=pD正確.故選C.］

名陸點評

1.兩個事件是否相互獨(dú)立的判斷

（1）直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.

（2）公式法:若P（AB）=P（A）P（B）,則事件4,5為相互獨(dú)立事件.

2.求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法

（1）首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立.

（2）求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有:

①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.

②正面計算較煩瑣或難以入手時，可從其對立事件入手計算.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.（1）（2023?湖北武漢三模）設(shè)樣本空間。={a,b,c,d}含有等可能的樣本點,

且2={°,b},B={a,c},C={a,d},則Z,B,C三個事件(填“是”

或“不是”）兩兩獨(dú)立,.P⑷P⑻P(C)

⑵(2024?山東淄博模擬)n分制乒乓球比賽，每贏1球得1分，當(dāng)某局打成10：10

平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.已知甲、乙兩

位同學(xué)進(jìn)行11分制乒乓球比賽，雙方10：10平后，甲先發(fā)球，假設(shè)甲發(fā)球時甲

得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.

①求事件“兩人又打了2個球比賽結(jié)束”的概率；

②求事件“兩人又打了4個球比賽結(jié)束且甲獲勝”的概率.

111

⑴是2［由題意，可得尸(2)=5,尸仍)=5,P?=5，

1111

且尸P{AO)=-,尸仍0=7P(ABC)=-,

所以P(4B)=P(4)P⑻,P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),

所以事件4B,C是相互獨(dú)立事件，且溫⑹=2.］

⑵［解］①設(shè)雙方10：10平后的第左個球甲獲勝為事件4(左=1,2,3,…)，又

打了X個球比賽結(jié)束，則

尸(X=2)=0(Z/2)+P(五五)

=尸(小)尸(Z2)+P(圖)P(麗

=0.5X0.4+0.5X0.6=05

②尸(X=4且甲獲勝)=P(Z1豆2324)+P(匹4M34)

=尸(小)尸(五)「043)「(44)+「(五)尸(幺2)尸(幺3)尸(4)

=0.5X0.6X0.5X0.4+0.5X0.4X0.5X0.4=0.1.

【教師備選資源】

甲、乙、丙三人進(jìn)行網(wǎng)球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場被淘汰；比賽前抽簽

決定首先比賽的兩個人，另一個人當(dāng)裁判，沒有平局；每場比賽結(jié)束時，負(fù)的一

方在下一場當(dāng)裁判；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘

汰，另一人最終獲得冠軍，比賽結(jié)束.已知在每場比賽中，雙方獲勝的概率都為

各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，經(jīng)抽簽，第一場比賽甲當(dāng)裁判.

(1)求前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率；

⑵求只需四場比賽就決出冠軍的概率.

［解］⑴記事件Z為甲勝乙，則尸⑷=最貝U尸(a)=1—A：,

事件8為甲勝丙，則P(5)W，

1_1-1

事件。為乙勝丙,則p(o=g,則尸c)=y

前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰可用事件CACUCAB來表示，

所以前三場比賽結(jié)束后，丙被淘汰的概率為Pi=p(CAQ+P(CAB)=^-x-+^^

222222

一4，

(2)若最終的冠軍為甲，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件ClSNUeAlg來表

示，P{CABAUCBAB)=P(CABA)+P(CBAB)=P(C)P(A)P⑻P(A)+

P(CWW)P(5)=1xlxlxl+lxlxlxl=l

若最終的冠軍為乙，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件cZcZ來表示，

————11111

P(CACA)=P(C)P(A)P(OP(A)=-x-x-x-=-

乙乙乙乙J.O

若最終的冠軍為丙，則只需四場比賽就決出冠軍可用事件。百。后來表示，

P(CBCB)=P(C)P(B)P(C)P(B)^^-=-

所以只需四場比賽就決出冠軍的概率為02=4+2■+工=2

816164

口考點二條件概率

[典例2](1)(2023?全國甲卷)某地的中學(xué)生中有60%的同學(xué)愛好滑冰，50%的

同學(xué)愛好滑雪，70%的同學(xué)愛好滑冰或愛好滑雪.在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一

一

題

多

解

位同學(xué)，若該同學(xué)愛好滑雪，則該同學(xué)也愛好滑冰的概率為(

A.0.8B.0.6

C.0.5D.0.4

(2)(2024?天津武清模擬)一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，若從中一次

性任取3球，則恰有一個白球的概率是；若從中不放回的取球2次，每

次任取1球，記“第一次取到紅球”為事件4“第二次取到紅球”為事件比

則P(B\A)=.

(1)A(2)||[(1)法一(圖示法)：如圖，左圓表示愛好滑冰的學(xué)生所占比例，

右圓表示愛好滑雪的學(xué)生所占比例，A表示愛好滑冰且不愛好滑雪的學(xué)生所占比

例，8表示既愛好滑冰又愛好滑雪的學(xué)生所占比例，C表示愛好滑雪且不愛好滑

冰的學(xué)生所占比例，則0.6+0.5—8=0.7,所以8=0.4,C=0.5-0.4=0.1.所

以若該學(xué)生愛好滑雪，則他也愛好滑冰的概率為3=器=0.8.故選A.

B+C0.5

法二(運(yùn)用條件概率的計算公式求解)：令事件Z,8分別表示該學(xué)生愛好滑冰、

該學(xué)生愛好滑雪，事件。表示該學(xué)生愛好滑雪的條件下也愛好滑冰，則P(N)=

0.6,P(B)=0.5,P(AB)=P(A)+P⑻-0.7=04,所以尸(。=尸(卻5)=黯=措

r^D)(J.D

=0.8.故選A.

由題可知幺="第一次取到紅球"，B="第二次取到紅球”，則尸⑷三7，P(AB)

名師點評求條件概率的兩種方法

(1)利用定義，分別求P(4)和尸(48),得尸(50)=鏢，這是求條件概率的通法.

(2)縮小樣本空間法，借助古典概型概率公式，先求事件幺包含的基本事件數(shù)〃(4),

再求事件Z與事件5的交事件中包含的基本事件數(shù)〃(4B),得尸(5⑷=嗯.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.(1)(2023?遼寧錦州二模)如圖，用K、出、出三類不同的元件連接成一個系

統(tǒng),當(dāng)K正常工作且小、也至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作，已知K、

小、4正常工作的概率依次是：、|、|,已知在系統(tǒng)正常工作的前提下，求只有

K和小正常工作的概率是()

(2)(2022?天津高考)現(xiàn)有52張撲克牌(去掉大小王)，每次取一張，取后不放回,

則兩次都抽到A的概率為;已知第一次抽到的是A,則第二次抽取A

的概率為.

(1)C(2昌2［(1)設(shè)事件Z為系統(tǒng)正常工作，事件8為只有K和小正常工

作，因為并聯(lián)元件出，幺2能正常工作的概率為1一(1一|)(1一|)=*所以P⑷

=|x1=^又因為尸(4B)=P⑻=gx|x(1一§='所以尸仍⑷=需=:故

選C.

(2)由題意，設(shè)第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,

1

則尸擊，P(8)=&=1，所以尸(半)=需=孚=等

。乙。_1_乙4_1.。4_LD1ID).L/

13

□考點三全概率公式的應(yīng)用

［典例3］(2024?山西大同模擬)假設(shè)有兩個密閉的盒子，第一個盒子里裝有3

個白球2個紅球，第二個盒子里裝有2個白球4個紅球，這些小球除顏色外完全

相同.

(1)每次從第一個盒子里隨機(jī)取出一個球，取出的球不再放回，經(jīng)過兩次取球，

求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；

(2)若先從第一個盒子里隨機(jī)取出一個球放入第二個盒子中，搖勻后，再從第二

個盒子里隨機(jī)取出一個球，求從第二個盒子里取出的球是紅球的概率.

［解］(1)依題意，記事件4表示第，次從第一個盒子里取出紅球，記事件8表示

兩次取球中有紅球，

_o727

則P(5)=l-P(B)=l--x-=l--=-,

_2132

I"、_P(421_P(4&)+P(狂&)_4Xa+Pz_4

P((A)p(B)P(B)57'

(2)記事件Cl表示從第一個盒子里取出紅球，記事件G表示從第一個盒子里取出

白球，記事件。表示從第二個盒子里取出紅球，

ocQA22

則P(D)=P(G)P(DICI)+P(C2)P(D\C2)=-X-+-X-=-

名師點評“化整為零”求多事件的全概率問題

3

⑴如圖,P（B）=WP（A）P（B|4）.

i=l

(2)已知事件3的發(fā)生有各種可能的情形40=1,2,…，ri),事件8發(fā)生的可能

性，就是各種可能情形4發(fā)生的可能性與已知在4發(fā)生的條件下事件8發(fā)生的

可能性的乘積之和.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.(1)(2023?合肥調(diào)研)某保險公司將其公司的被保險人分為三類:“謹(jǐn)慎的”“一

般的”“冒失的”.統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為

0.05,0.15,0.30.若該保險公司的被保險人中“謹(jǐn)慎的”被保險人占20%,“一

般的”被保險人占50%,“冒失的”被保險人占30%,則該保險公司的一個被保

險人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率是()

A.0.155B.0.175

C.0.016D.0.096

⑵(2024?廣東梅州模擬)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)，其

中甲、乙、丙工廠分別生產(chǎn)3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工廠

的次品率依次為6%、5%、5%,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，則取到次品的概率

為;若取到的是次品，則其來自甲廠的概率為.

(1)B(2)-^-［⑴設(shè)事件囪表示“被保險人是'謹(jǐn)慎的,”，事件也表示“被

上UUU

保險人是,一般的,”，事件&表示“被保險人是'冒失的,”，則尸(31)=20%,尸使)

=50%,尸(&)=30%,設(shè)事件幺表示“被保險人在一年內(nèi)發(fā)生事故”，貝U尸(小囪)

=0.05,P(A\B2)=0.15,尸(。03)=0.30.

由全概率公式得P⑷=WP(8JP(川8,)=20%X0.05+50%X0.15+

(■1

30%X0.30=0.175.

⑵設(shè)任取一件產(chǎn)品來自甲廠為事件〃、來自乙廠為事件42、來自丙廠為事件43,

則彼此互斥，且小U42U43=O,

30003

尸(小)=

3000+3000+400010'

30003

尸(也)=

3000+3000+400010'

p.4000_2

（-3000+3000+4000-5,

設(shè)任取一件產(chǎn)品，取到的是次品為事件8,

則P(B)=P(AiB)+P(A2B)+P(A3B)

=P(A1)P(B\A1)+P(A2)P(B\A2)+P(A3)P(B\A3)

=!><6%+±X5%+;X5%=已

101051000

如果取得零件是次品，那么它是來自甲廠生產(chǎn)的概率為

3

P(&B)P(4I)P(B|ZI)元義6%is

P(NI|B)=.]

P(B)P(B)T^o53

課時分層作業(yè)（六十六）事件的相互獨(dú)立性、

條件概率與全概率公式

［A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底］

一、單項選擇題

1.（2024?江蘇南京模擬）在一段時間內(nèi)，若甲去參觀市博物館的概率為0.6,乙

去參觀市博物館的概率為0.5,且甲、乙兩人各自行動，則在這段時間內(nèi)，甲、

乙兩人至少有一個去參觀市博物館的概率是（）

A.0.3B.0.32C.0.8D.0.84

C［依題意，在這段時間內(nèi)，甲、乙都不去參觀市博物館的概率為Pi=（l—

0.6）X（l-0.5）=0.2,

所以在這段時間內(nèi)，甲、乙兩人至少有一個去參觀市博物館的概率是尸=1—Pi

=1-02=0.8.故選C.］

2.現(xiàn)有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓

球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為（）

A.0.8B.0.4

C.0.2D.0.1

A［根據(jù)題意，在報名足球或乒乓球俱樂部的70人中，設(shè)某人報足球俱樂部為

事件4報乒乓球俱樂部為事件5,則尸（2）=卷=*由于有50人報名足球俱樂

部，60人報名乒乓球俱樂部，則同時報名兩個俱樂部的有50+60—70=40人，

則尸(25)=4=；,則尸(80)=2黑=工=08故選A.]

/U/r1/I)一

7

3.(2023?廣東廣州一模)已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占

60%,乙廠產(chǎn)品占40%,甲廠產(chǎn)品的合格率是95%,乙廠產(chǎn)品的合格率是90%,

則從該地市場上買到一個合格產(chǎn)品的概率是()

A.0.92B.0.93

C.0.94D.0.95

B[從某地市場上購買一個電子產(chǎn)品，設(shè)買到的電子產(chǎn)品是甲廠產(chǎn)品為事件Z,

設(shè)買到的電子產(chǎn)品是乙廠產(chǎn)品為事件8,則由題意可知P(Z)=60%,P(5)=40%,

從甲廠電子產(chǎn)品中購買一個，設(shè)買到的電子產(chǎn)品是合格產(chǎn)品為事件C,從乙廠電

子產(chǎn)品中購買一個，設(shè)買到的電子產(chǎn)品是合格產(chǎn)品為事件。，則由題意可知P(0

=95%,P(Q)=90%,由題意可知Z,B,C,。互相獨(dú)立，故從該地市場上買到

一個合格產(chǎn)品的概率是尸(2。+P(BD)=P(A)P(C)+P(B)P(D)=60%X95%+

40%X90%=0.93.故選B.]

4.(2023?湖北武漢三模)已知尸(8)=0.4,0(5⑷=0.8,尸(8⑷=0.3,則P(Z)=

()

D[P(8)=P(Z5+7B)=P(a)P(BH)+P(Z)?P(B|m，

即0.4=0.80(4)+0.3[1—尸(4)],

1

解得尸⑷=0.2三.

故選D.]

5.(2023?廣東深圳二模)從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取三個不同的數(shù)，若這三

個數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和大于8的概率為()

D［從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取三個不同的數(shù)可得基本事件為(1,2,3),(1,

2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),

(2,4,5),(3,4,5),共10種情況，若這三個數(shù)之積為偶數(shù)，有(1,2,3),(1,

2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),

(3,4,5),共9種情況，它們之和大于8有(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),

(2,4,5),(3,4,5),共5種情況，

從1,2,3,4,5中隨機(jī)選取三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之

和大于8的概率為P=|.

故選D.]

6.(2023?山東濰坊二模)已知事件/、8滿足尸(20)=0.7,P(A)=0.3,則()

A.尸(205)=0.3B.P(^A)=0.3

C.事件48相互獨(dú)立D.事件B互斥

C[由題設(shè)0(2)=1一尸(9)=0.7=038),

所以P(AB)=P(A\B)P(B)=P(A)P(B),

即Z,8相互獨(dú)立，同一試驗中不互斥，

而P(8)未知，無法確定尸(zn5),P(B\A).故選C.]

7.(2023?湖南郴州三模)籃球隊的5名隊員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊員把球傳給

其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的

概率為()

1S9

A.—B.—

6432

C.—D.—

6464

D[由題意可知每位隊員把球傳給其他4人的概率都為；，由甲開始傳球，則前

3次傳球中，乙恰好有1次接到球的情況可分為：只在第一次接到球和只在第二

次接到球以及只在第三次接到球，則概率為Lx1X-+-X-X1+-X-X

444444464

故選D.]

8.(2023?河北唐山三模)假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有5件，其中有2件次

品；第二箱內(nèi)裝有10件，其中有3件次品.現(xiàn)從兩箱中隨機(jī)挑選1箱，然后從

該箱中隨機(jī)取1個零件，若取到的是次品，則這件次品是從第一箱中取出的概率

為()

AB.3

-I7

4

D.

7

D[設(shè)事件幺表示從第一箱中取一個零件，事件8表示取出的零件是次品,

12

PQ4B)=/4故選,

則P(A\B)=12,13D.]

P⑻2X5+2X10

二、多項選擇題

9.(2023?山東威海一模)已知事件Z,3滿足尸(N)=0.5,P(5)=0.2,則()

A.若則尸(Z8)=0.5

B.若/與8互斥，則尸(N+8)=0.7

C.若Z與8相互獨(dú)立，則尸(2百)=0.9

D.若尸(53)=0.2,則幺與5相互獨(dú)立

BD[對于A,因為P(Z)=0.5,尸(5)=02,BQA,

所以P(AB)=P(B)=0.2,故錯誤；

對于B,因為Z與8互斥，所以尸(Z+5)=P(Z)+尸(8)=0.5+0.2=0.7,故正確；

對于C,因為0(8)=02,所以＜(月)=1-0.2=。8,所以P(a后)=0.5X0.8=0.4,

故錯誤；

對于D,因為尸(8⑷=0.2,即當(dāng)普=0.2,所以尸(Z5)=0.2XP(Z)=0.1,

又因為尸(Z)?尸(3)=0.5X02=0.1,

所以P(AB)=P(A)?P⑻,

所以幺與8相互獨(dú)立，故正確.故選BD.]

10.(2023?江蘇南通一模)一個袋中有大小、形狀完全相同的3個小球，顏色分

別為紅、黃、藍(lán)，從袋中先后無放回地取出2個球，記“第一次取到紅球”為事

件4”第二次取到黃球”為事件8,貝U()

A.P(A)WB.A,8為互斥事件

C.0(5⑷4D.A,8相互獨(dú)立

AC[P⑷=[,A正確；Z,5可同時發(fā)生，即“第一次取紅球，第二次取黃球”，

A,B不互斥,B錯誤；

在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黃球的概率為：，C正確；

9111111

尸仍)=h彳+力0=鼻，P(Z8)=[X5=QP(Z8)WP⑷P⑻，...a8不獨(dú)立，D

錯誤.故選AC]

三、填空題

11.三個元件八，%八正常工作的概率分別%1,，將元件。，A并聯(lián)后

再和元件與串聯(lián)接入電路，如圖所示，則此電路不發(fā)生故障的概率為.

T2

73

[記"三個元件Ti,72,A正常工作”分別為事件4,A2,Ay,則P(ZD=g,

尸(幺2)=；,尸(出)=*

?.?電路不發(fā)生故障的事件為(N2UZ3)N1,

...電路不發(fā)生故障的概率為

尸=P[(Z2UZ3)Z1]=尸(Z2UZ3)p(Z1)=[1—尸(五)?P(&)]P(Zi)=(l-[x￡)xg=

竺]

32?！?/p>

12.(2024?湖南長沙模擬)隨著城市經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，早高峰問題越發(fā)嚴(yán)重，上班族

需要選擇合理的出行方式.某公司員工小明上班出行方式有三種，某天早上他選

擇自駕，坐公交車，騎共享單車的概率分別為而他自駕，坐公交車，

騎共享單車遲到的概率分別為:，1,1,結(jié)果這一天他遲到了，在此條件下，他

456

自駕去上班的概率是.

[法一：由題意設(shè)事件Z表示“自駕”，事件8表示“坐公交車”，事件C

表示'飛奇共享單車”，事件。“表示遲到”，

11

則P⑷=P(B)=P(C)W，P(。⑷=：,

11

尸(。8)=9P(D\C)=-,

P(￡>)=P(A)P(D\A)+P(B)P(D\B)+P(Q?尸(0。=1x&+打勻=蓋.小明遲到

D30/loU

了，由貝葉斯公式得他自駕去上班的概率是尸0。)=陪=嗎轡=母=!|.

('''180

1

法二：在遲到的條件下，他自駕去上班的概率尸=+工=11]

4+5+6

四、解答題

13.某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn)，在試產(chǎn)初期，該款芯片的生產(chǎn)有

四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動

檢測與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為01=