2021屆高考數(shù)學(xué)文化習(xí)題集(解析版)

2021年數(shù)學(xué)文化專項(xiàng)習(xí)題集 2 8三、數(shù)學(xué)文化與數(shù)列 一、數(shù)學(xué)文化與閱讀例1.在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年)一書中，用如圖1所示的三角茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是例2.在數(shù)學(xué)中，泰勒級(jí)數(shù)用無限項(xiàng)連加式級(jí)數(shù)來表示一個(gè)函數(shù)，包括正弦，余弦，正切三角函數(shù)等等，其中泰勒級(jí)數(shù)是以于1715年發(fā)表了泰勒公式的英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒 (SirBrookTaylor)的名字來命名的.1715年，泰勒提出了一個(gè)常用的方法來構(gòu)建這一系列級(jí)數(shù)并適用于所有函數(shù)，這就是后來被人們所熟知的泰勒級(jí)數(shù)，并建立了如下指數(shù)函數(shù)公A.1.601B.1.642C.1.648D.1.647【解析】由題意，只需要精確到0.001即可，令x=0.5,n=4,代入可得，1上公布的一個(gè)猜想：任給一個(gè)正整數(shù)n,如果n是偶數(shù)，就將它減半；如果n是奇數(shù)，就將它乘3加1,不斷重復(fù)這樣的運(yùn)算，經(jīng)過有限步后，最終都能夠得到1.已知正整數(shù)n經(jīng)過7次運(yùn)算后首次得到1,則n的所有不同取值的集合為經(jīng)過7次運(yùn)算后首次得到1,即可設(shè)第7次的運(yùn)算結(jié)果為a?=1,若第6次為奇數(shù)，則3a?+1=1,解得a?=0,不符合；若第4次為偶數(shù)，貝不符合；若第3次為偶數(shù)，貝++++若第1次為奇數(shù)，則若第1次為偶數(shù)，則■·,解得■·①3n+1=10,解得n=3;②3n+1=64,解得n=21;,解得n=20;n,如果它是偶數(shù)，則除以2;如果它是奇數(shù)，則將它乘以3加1,這樣反復(fù)運(yùn)算，最后結(jié)果必然是1.這個(gè)題目在東方被稱為“角谷猜想”,世界一流的大數(shù)學(xué)家都被其卷入其中，用盡了各種方法，甚至動(dòng)用了最先進(jìn)的電子計(jì)算機(jī)，驗(yàn)算到對(duì)700億以內(nèi)的自然數(shù)上述結(jié)論均為正確的，但卻給不出一般性的證明.例如取n=13,則要想算出結(jié)果1,共需要經(jīng)過的運(yùn)算步數(shù)是()A.9B.10C.11D.12【解析】由題意：任取一個(gè)正整數(shù)n,如果它是偶數(shù)，則除以2;如果它是奇數(shù)，則將它乘以3加1.第一步：n=13為奇數(shù)，則n=13×3+1=40:第二步：n=40為偶數(shù)，則第三步：n=20為偶數(shù)，則第四步：n=10為偶數(shù)，則第五步：n=5為奇數(shù)，則n=5×3+1=16;第六步：n=16為偶數(shù)，則第七步：n=8為偶數(shù)，則第八步：n=4為偶數(shù)，則所以共需要經(jīng)過的運(yùn)算步數(shù)是9.例5.中國古代用算籌來進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式(如圖所示),表示一要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、方位....用縱式表示，十位、千位、十萬位...用橫式表示，則56846可用算籌表示為()縱式橫式中國古代的算籌數(shù)碼:56846用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6,從題目中所給出的信息找出對(duì)應(yīng)算籌表B.意即“設(shè)x為某某”如圖2所示的天元式表示方程,其中一==πⅢan-1或試根據(jù)上述數(shù)學(xué)史料，判斷圖3天元式表示的方程是()A.x2+286x+1743=0B.x?+27x2+84x+163=0C.1743x2+286x+1=0D.163x?+84x3+27x+1=0【解析】由題意可得，題圖3中從上至下三個(gè)數(shù)字分別為1,286,1743,由“元”向上每層例7.分形幾何是美籍法國數(shù)學(xué)家芒德勃羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門數(shù)學(xué)新分支，其中邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形),然后在剩下的每個(gè)小正三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”按上述方法無限連續(xù)地作下去直到無窮，最終所得的極限圖形稱為“謝爾賓斯基”圖形(如圖所示),按上述操作7次后，“謝爾賓斯基”圖形中的小正三角形的個(gè)數(shù)為()A.35B.3C.37D.38【解析】如圖，根據(jù)題意第1次操作后，圖形中有3個(gè)小正三角。頁7第2次操作后，圖形中有3×3=32個(gè)小正三角.第3次操作后，圖形中有9×3=33個(gè)小正三角.所以第7次操作后，圖形中有37個(gè)小正三角.34乙酉、丙戌.癸巳，..,共得到60個(gè)組合，稱六十甲子，周而復(fù)始，無窮無盡.2019年是“干支紀(jì)年法”中的己亥年，那么2026年是“干支紀(jì)年法”中的【解析】根據(jù)規(guī)則，2019年是己亥年，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年，2024年是甲辰年，2025年是乙巳年，2026年是丙午年，故選：卦名符號(hào)表示的二進(jìn)制數(shù)表示的十進(jìn)制數(shù)坤0艮王1坎比2巽3,其表示的十進(jìn)制數(shù)是()A.33B.34C.36D.35【解析】選B由題意類推，可知六十四卦中的“屯”卦的符號(hào)“”表示的二進(jìn)制數(shù)為100010,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為0×20+1×21+0×22+0×23+0×2?+1×2?=34.故選B.例10.中國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”如圖，一位古人在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，用來記錄捕魚條數(shù)，由圖可知，這位古人共捕魚()A.89條B.113條C.324【解析】該圖的五進(jìn)制數(shù)為324,根據(jù)進(jìn)位制的定義將五進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制計(jì)算可得：3245=4×5+2×51+3×52=89,故選A二、數(shù)學(xué)文化與函數(shù)例11.中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對(duì)稱美”.如圖所示的太極圖是由黑白兩個(gè)魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱統(tǒng)一的形式美、和諧美.定義：圖象能夠?qū)ⅱ芎瘮?shù)y=f(x)是“太極函數(shù)”的充要條件為函數(shù)y形.其中正確的命題為()A.①③B.①③④C.②③D.①④【解析】選A過圓心的直線都可以將圓的周長和面積等分成兩部分，故對(duì)于任意一個(gè)圓O,2-4-3-2-1oi235xy2-3-2-10巴谷)在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測量中的應(yīng)用，英國天文學(xué)m-m?=2.5(1gE?-1gE?).較小時(shí)，10≈1+2.3x+2.7x2)A,1.24B.1.25C.1.26D.1.27,解得 頁10中因?yàn)橹泄蚀鸢笧椋?由九個(gè)圓環(huán)及框架組成，每個(gè)圓環(huán)都連有一個(gè)直桿，各直桿在后一個(gè)圓環(huán)內(nèi)穿過，九個(gè)直桿的另一端用平板或者圓環(huán)相對(duì)固定，圓環(huán)在框架上可以解下或者套上.九連環(huán)游戲按某種規(guī)則將九個(gè)環(huán)全部從框架上解下或者全部套上.將第n個(gè)圓環(huán)解下最少需要移動(dòng)的次數(shù)f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+1,則解下第5個(gè)圓環(huán)最少需要移動(dòng)的次數(shù)為()A.7B.16C.19D.21f(4)=f(3)+2f(2)+1=4+2+1=7,f(5)=f(4)+2f(3)+1=7+8+1=16,例15.秦九韶算法是中國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶提出的一種多項(xiàng)式簡化算法.秦九韶算法是一種將一元n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化為n個(gè)一次式的算法.其大大簡化了計(jì)算過程，即使在現(xiàn)代，利用計(jì)算機(jī)解決多項(xiàng)式的求值問題時(shí)，秦九韶算法依然是最優(yōu)的算法.用秦九韶A,3,5.6426B,4,5.6426C.3,5.6416D.4,5.6416v?=2.6,v?=4.56,v?=2.736,v?=5.6416,所以函數(shù)的值為5.6416,故選C三、數(shù)學(xué)文化與數(shù)列長一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.問幾何日而長等?”意思是：“今有蒲草第1天長高3尺，莞草第1天長高1尺.以后，蒲草每天長高前一天的一半，莞草每天長高前一天的2倍。問第幾天蒲草和莞草的高度相同?”根據(jù)上述的已知條件，可求得第0.4771,Ig2≈0.3010).和為An;莞草的長度組成首項(xiàng)為b?=1,公比為2的等比數(shù)列{bn],設(shè)其前n項(xiàng)和為Bn.則An EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up56(—),1) 令3 EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up56(—),1)即第3天時(shí)蒲草和莞草長度相等.a,(n∈N*),等級(jí)等級(jí)圖標(biāo)需要天數(shù)等級(jí)等級(jí)圖標(biāo)需要天數(shù)1☆57☆283445☆頁126aso=50×54=2700.例18.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二.問物幾何?”這里的幾何指多少的意思.翻譯成數(shù)學(xué)語言就是：求正整數(shù)N,使N除以3余2,除以5余2.根據(jù)這一數(shù)學(xué)思想，今有由小到大排列的所有正整數(shù)數(shù)列{a.}、{b.},{a}滿足被3除余2,a?=2,{b.}滿足被5除余2,A.C?=a?+bB.c?=a?b?C.Cw=aD.a?+2b?=C?cn=2+15(n-1)=15n-13,例19.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請(qǐng)問第二天比第四天多走了()A.96里B【解析】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程例20.《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸【解析】由題知各節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)為{a},S是其前n項(xiàng)和，則所以a?=10.5,所以公差d=a?-a?=-1,正三角形的數(shù)，如1,3,6,10,15,...我國宋元時(shí)期數(shù)學(xué)家朱世杰在(四元玉鑒》中所示，頂上一層1個(gè)球，下一層3個(gè)球，再下一層6個(gè)球，.).若一“落一形”三角錐垛有10層，則該堆垛總共球的個(gè)數(shù)為()三角錐垛A.55B.220C.285D.385規(guī)格為：①A0規(guī)格的紙張的幅寬(以x表示)和長度(以y表示)的比例關(guān)系為,解得d=-1,尺.故答案為：15.5尺.堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何?A.84B.159C.234D.243理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高C.m+504D.2m+504又兩式相加可得則人所得與下三人等。問各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、頁16乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列.問五人各得多少錢?”(“錢”是古代的一種重量單位).這個(gè)問題中，甲所得為【解析】【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為則a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,解得a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5.卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”,原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù) 之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問題：將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列各項(xiàng)之和為()A.56383B.57171C.59189D.61242【解析】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,公差為5×7=35的等差數(shù)列，,解得=故該數(shù)列各項(xiàng)之和為故選：C.例28.《張邱建算經(jīng)》是我國古代內(nèi)容極其豐富的數(shù)學(xué)名著.書中有如下問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半，疾七日，行七百里。問日行幾何?”其意思是：“現(xiàn)有一匹馬，行走的速度逐漸變慢，每天走的里程是前一天的一半，連續(xù)行走7天，共走700里路，問每天走的里數(shù)為多少?”則該馬第4天走的里數(shù)為()又解得從而故選C.例29.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣.馬吃了微信公眾號(hào)：數(shù)學(xué)研討首發(fā)整理牛的一半，羊吃了馬的一半.”請(qǐng)問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧?xí)r粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應(yīng)該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈.問半月積幾何?”其意思為“有個(gè)女子織布，每天比前一天多織相同量的布，第一天織五尺，一個(gè)月(按30天計(jì))共織布9匹3丈.問：前半個(gè)月(按15天計(jì))共織多少布?”已知1匹=4丈，1丈=10尺，可估算出前半個(gè)月一共織的布約有()A.195尺B.133尺C.130尺故選：B (注：從第2天開始，每天比前一天多織相同量的布),第一天織5尺布，現(xiàn)一月(按30天計(jì))共織390尺布”,則第30天織布()A.7尺B.1例32.朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下一段話：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人.”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.”該段話中的1864人全部派遣到位需要的天數(shù)為()A.9B.16C.18D.20公差d=7的等差數(shù)列.設(shè)1864人全部派遣到位需要n天，則7n2+121n-3728=0,解得n=16或舍去).故選B例33.我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷(gui)長損益相同(晷是按照日影測定時(shí)刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度).二十四個(gè)節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個(gè)節(jié)氣晷長的變化量相同，周而復(fù)始.若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸),則夏至之后的那個(gè)節(jié)氣(小暑)晷長是()33030立夏大暑處暑冬至27大雪A.五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸【解析】選B設(shè)從夏至到冬至的晷長依次構(gòu)成等差數(shù)列{an},公差為d,a?=15,a?3=135,則15+12d=135,解得d=10.所以a?=15+10=25,所以小暑的晷長是25寸.故選B.人們稱之為神奇數(shù).具體數(shù)列為1,1,2,3,5,8,即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開始，每頁19例35.“斐波那契”數(shù)列是由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)的.數(shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱為神奇數(shù).具體數(shù)列為：1,1,2,3,5,8,13,.,即從該數(shù)列的第三項(xiàng)開始，每個(gè)數(shù)字A.2mC.m+1D.m—1【解析】;因?yàn)閍n+2=an+an+1=an+an-1+an=an+an-1+an-2+an-1=an+an-1+an-2+an-3+an-2=..=an+an-1+an-2+an-3+...+a?+ai+a?=Sn+1,所以S?019=a2021-1=m-1.故選D.文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是,則此數(shù)列的第20項(xiàng)為()A.220B.200C.180D.162此數(shù)列的第20項(xiàng)為2×102=200.故選B.例37.《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗.苗主責(zé)之粟五斗.羊主曰：“我羊食半馬”.馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾何.其意思是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟.羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半.”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半?！比舭创吮壤齼斶€，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟?在這個(gè)問題中，牛主人比羊主人多賠償()A斗粟B斗粟C斗粟口斗粟【解析】選C法一：設(shè)羊、馬、牛主人賠償?shù)乃诘亩窋?shù)分別為a?,a?,a?,則這3個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，公比q=2,所以a?+2a?+4a?=5,解得故11頁20故選C.法二：羊、馬、牛主人賠償?shù)谋壤?:2:4,故牛主人應(yīng)賠償斗),羊主人應(yīng)賠償故牛主人比羊主人多賠償天減半，問幾天兩只老鼠能相遇，相遇時(shí)各自打了多少尺的墻.如果墻足夠厚，Sn為前n天兩只老鼠打洞長度之和，則Sa=_尺.【解析】由題意可知大老鼠每天打洞的距離是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，前n天打例39.如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，若共得到4095個(gè)正方形，設(shè)初始正方形的邊長頭于則最小正所以最小正方形的邊長例40.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著,以其名命名的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f(x)有以下四個(gè)命題：①f(x))=1;A.4B.3C.2D.1=kAx的值域是+2)※2017=(2n)※2017+3.則2018※2017=A,—3022B.3022C.—3025D.3035lan+1l+lanI=3,所以有一a?—a?=-as-a4=..=-a2019-a?018=3,即a?+a?=as+a?=例44.設(shè)集合A={-1,0,1},集合B={0,1,2,3},定義A*B={(x,y)lx∈ANB,y∈AUB},則A.7B.10C.2?D.52【解析】因?yàn)锳={-1,0,1},B={0,1,2,3},所以ANB={0,1},AUB={-1,0,1,2,3}.由A∩B,可知x可取0,1;由y∈AUB,可知y可取-1,0,1,2,3.所以A*B中的元素共有2×5=105,12,13;7,24,25;9,40,41,以此類推，可猜測第5組股數(shù)的三個(gè)數(shù)依次是32=4+5,52=12+13,72=24+25,92=40+41,112=60+61…由以上特點(diǎn)我們可知第⑤組勾{-1,0,1},Q={-2,2},則集合PaQ中元素的個(gè)數(shù)是()A.2B.3C.4故該集合中共有3個(gè)元素，所以選B.A.βB.2C.2√3所以θ=則,所以θ=則,A—DCC?,A—DD?C,共6個(gè).同理，以B,C,D,A,Bj,C,D?為其中一個(gè)頂點(diǎn)的三但所有列舉的(法號(hào)：一行)為編制《大衍歷》發(fā)明了一種近似計(jì)算的方法一二次插值算法(又稱一行4中4中A.B處的函數(shù)值分別為4奴奴記為n,則定積由函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象可知兩個(gè)函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，所以m=1,n=4.例52.已知x為實(shí)數(shù)，[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)=x-[x]在R上為()A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.周期函數(shù)2;.所以可作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.由圖象可知，f(x)在R上為周期函數(shù).故選D.22-3-2為x+2y-z-2=0.五、數(shù)學(xué)文化與三角函數(shù)即有故積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)一為從陽,開平方得積.”如果把以上這段文字寫成公式就是【解析】sinC=2sinAcosB’二又.b2+c2=2,a2=2-c2····故答案為：OB的中點(diǎn)，若在整個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自扇面(扇環(huán))部分的概率是故選：C例57.《九章算術(shù)》是我國古代著名數(shù)學(xué)經(jīng)典其中對(duì)勾股定理的論述比西方早一千多年，其中有這樣一個(gè)問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺問徑幾何?”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深一寸，鋸道長一尺問這塊圓柱形木料的直徑是多少?長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內(nèi)的部分).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算該木材鑲嵌在墻中的體積約為()(注：1丈=10尺=100寸，A.600立方寸B.610立方寸C.620立方寸D.633立方寸【解析】所以∠AOD=22.5°,即∠AOB=4平方寸.故選D.又所=λAB+μAC頁29所例59.干支紀(jì)年歷法(農(nóng)歷),是屹立于世界民族之林的科學(xué)歷法之一，與國際公歷歷法并存.黃帝時(shí)期，就有了使用六十花甲子的干支紀(jì)年歷法.干支是天干和地支的總稱，把干支順序相配正好六十為一周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個(gè)符號(hào)叫天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個(gè)符號(hào)叫地支.受此周期律的啟發(fā)，可以求得函數(shù)的最小正周期為A.15πB.12πC.6πD.3π【解析】由天干為10個(gè)，地支為12個(gè)，其周期為其公倍數(shù)：60故可得：y=cos3x的周期T、T?的最小公倍數(shù)為6π,故f(x)的最小正周期為6π.例60.我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊長求三角形的面積的“三斜求積”公式：設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則△ABC的面積S=△ABC的面積為()A.√3B.2C.3D.√6故選A.例61.公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖方法，發(fā)現(xiàn)了頁30A.1B.2C.4【解析】由題設(shè)n=4-m2=4-4sin218°=故選B.時(shí)所用的經(jīng)驗(yàn)公式，即弧田面積弦×矢十矢2).弧田(如圖)由圓弧和其所對(duì)弦圍成，公現(xiàn)有圓心角為半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積是平方米.(結(jié)果保留根號(hào))可得AB=2AD平方米).處將其頂角截去，截去20個(gè)頂角后剩下的如圖2所示的結(jié)構(gòu)就是足球的表面結(jié)構(gòu).已知正二十面體是由20個(gè)邊長為3的正三角形圍成的封閉幾何體，則如圖2【解析】由題原來正二十面體的每一條棱都會(huì)保留，正二十面體每個(gè)面3條棱，此外每個(gè)面會(huì)產(chǎn)生3條新棱，共產(chǎn)生3×20=60條新棱，∴共有90條棱.由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為1.則該半正多面體共有個(gè)面，其棱長為.【解析】中間層是一個(gè)正八棱柱，有8個(gè)側(cè)面，上層是有8+1,個(gè)面，下層也有8+1個(gè)面，該半正多面體共有8+8+8+2=26個(gè)面，設(shè)其棱長為x,則解得x=√2-1.例66.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型，如圖，該模型為長方體【解析】該模型為長方體ABCD-AB?CD,挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3,那么,近似公L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為()【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,高為h,則L=2πr,;.故例68.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題：“今有倉，廣三丈，袤四丈五尺，容粟一萬斛，問高幾何?”其意思為：“今有一個(gè)長方體的糧倉，寬3丈，長4丈5尺，可裝粟一萬斛.問該糧倉的高是多少?已知1斛粟的體積為2.7立方尺，1丈為10尺，則該糧倉的外接球的表面積是()平方丈平方丈平方丈平方丈【解析】由題意畫出圖形，長方體ABCD-ABCD中，AD=3,AB=4.5,V=10000×2.7×10-3=27,糧倉的高(丈).長方體的外接球的直徑長方體外接球的表面積為(平方丈),故選：C.例69.如圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德用平衡法求球的體積所用的圖形.此圖由正方形ABCD、半徑為r的圓及等腰直角三角形構(gòu)成，其中圓內(nèi)切于正方形，等腰三角形的直角頂點(diǎn)與AD的中點(diǎn)N重合，斜邊在直線BC上.已知S為BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將該圖形繞直線NS旋轉(zhuǎn)一周，則陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成的幾何體積為()A.B.πr3C.2πr3頁34【解析】依題意，如圖，ES=2r,BS=OF=r設(shè)球的體積為V球，設(shè)由RT△NFO旋轉(zhuǎn)得到的圓錐體積為V,由RT△NSE旋轉(zhuǎn)得到的圓錐體積為V?,由直角梯形OSEF旋轉(zhuǎn)得到的圓臺(tái)的體積為V.則由陰影區(qū)域旋轉(zhuǎn)得到的體積例70.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德構(gòu)造了一個(gè)“圓柱容器”的幾何體：在圓柱容器里放一個(gè)球，使該球四周碰壁，且與上，下底面相切，則在該幾何體中，圓柱的體積與球的體積之比為()A.2B3【解析】在圓柱容器里放一個(gè)球，使該球四周碰壁，且與上，下底面相切，則：該圓柱的底面直徑為2r,高為2r,所以圓柱的體積為：V=sh=xr22r=2πr3,球的體積為：,故故選：D.,,個(gè)美除如圖所示，面ABCD、面ABFE、面CDEF均為等腰梯形，AB//CD//EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到面ABCD的距離為3,CD與AB間的距離為10,則這個(gè)羨除的體A.110B.116C.118D.120【解析】過A作AP⊥CD,AM⊥EF,過B作BQ⊥CD,BNLEF,垂足分別為P,M,將一側(cè)的幾何體放到另一側(cè)，組成一個(gè)直三棱柱，底面積棱柱的高為8,∴V=15×8=120.故選D.例72.劉徽在他的《九章算術(shù)注》中提出一個(gè)獨(dú)特的方法來計(jì)算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計(jì)算另一個(gè)叫“牟合方蓋”的立體的體積.劉徽通過計(jì)算，“牟合方蓋”的為球的半徑，也即正方形的棱長均為2r,從而計(jì)算出.記所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正，棱長為2r的正方形的方蓋差為VD.√3所有棱長都為r的正四棱錐的體積為:=2.例73.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，如圖為一個(gè)“塹堵”,即三棱柱ABCA?B?C?,其中AC⊥BC,已知該“塹堵”的高為6,體積為48,則該“塹堵”的外接球體積的最小值為所以xy=16.A.2√5B.5C.√29D.4√2例75.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱之為鱉膈，在鱉膈A-BCD中，AB⊥平面BCD,且有BD⊥CD,AB=BD=2,CD=1三角形PBD的面積的最小值為所以PQ//AB,QM//CD,PM⊥BD,所中中所以三角形PBD的面積的最小值為例76.《九章算術(shù)》把底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”,把底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”現(xiàn)有如圖所示的“斬堵”3則“塹堵”即三棱柱ABC-A,BC的外接球的表面積為【解析】Bc-∴BC=1.此時(shí)“蚯堵”即三棱柱C的外接球的ABC=90°,AB=AA?=2,BC=22則CAA.30°B.45°C.60°D.90°∴CA?與平面ABB,A所成角的大小為45°故選：B.例78.魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分(即榫卯結(jié)構(gòu))嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱.從外表上看，六根等長的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來，如圖，若正四棱柱體的高為6,底面正方形的邊長為1,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為.(容器壁的厚度忽略不計(jì))頁39【解析】由題意，該球形容器的半徑的最小值為∴該球形容器的表面積的最小值為例79.沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí).如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm,細(xì)沙全部在上部時(shí)，其高度為圓錐高度的2(細(xì)管長度忽略不計(jì)).(1)如果該沙漏每秒鐘漏下0.02cm3的沙，則該沙漏的一個(gè)沙時(shí)為多少秒(精確到1秒)?(2)細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，求此錐形沙堆的高度(精確到0.1cm).【解析】(1)開始時(shí)，沙漏上部分圓錐中的細(xì)沙的高為底面半徑為,V÷0.02=1986,V÷0.02=1986所以沙全部漏入下部約需1986秒.4(2)細(xì)沙漏入下部后，圓錐形沙堆的4,錐形沙堆的高度約為2.4cm.頁40例80.(2015全國I,理6)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛,所以立方尺).剩余部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)體積為點(diǎn)向底面作垂線，垂足是底面中心.將該四棱錐如圖2放置，若其正視圖為正三角形，則正 方形紙片的邊長為 即四棱錐的高為設(shè)正方形紙片的邊長為a,又四棱錐的斜高為x,由已知折疊過程可得于于中中為：6.曰：“倍上袤，下袤從之.亦倍下袤，上袤從之.各以其計(jì)算方法是：將上底面的長乘二，與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘；將下底面的長乘二，與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘；把這兩個(gè)數(shù)值相加，與高相乘，再取其六分之一.已知一個(gè)“芻童”的下底面是周長為18的矩形，上底面矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,則該“芻童”的體積的最大值為()C.39D【解析】選B設(shè)下底面的長為由題可知上底面,則下底面的寬為矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,所以其體積故當(dāng),體積取得最大值，最大值故選B.例83.《九章算術(shù)》中，將如圖所示的幾何體稱為芻薨，底面ABCD為矩形，且EF//底面ABCD,EF到平面ABCD的距離為h,BC=a,AB=b,EF=c,貝十A.1B.所以AB⊥平面BCD,且BD⊥CD,AB=BD=CD,點(diǎn)P在棱AC上運(yùn)動(dòng)，設(shè)CP的長度為x,若△PBD的面積為f(x),則函數(shù)y=f(x)的圖象大致是()ABCD【解析】選A如圖，作PQ⊥BC于Q,作QR⊥BD于R,連接PR,則PQ//AB,QR//CD.因?yàn)镻Q⊥BD,又PQNQR=Q,所以BD⊥平面PQR,所以BD⊥PR,即PR為△PBD中BD邊上的高.設(shè)AB=BD=CD=1即:中,所以中的表面積是()A.25πB.50πC.100πD.200π七、數(shù)學(xué)文化與概率統(tǒng)計(jì)A.134石B.169石C.338石D.1365石形小孔，隨機(jī)向銅錢上滴一滴油(油滴大小忽略不計(jì)),則油恰好落入孔中的概率是()以逆讀.數(shù)學(xué)中有回文數(shù)，如343、12521等，兩位數(shù)的回文數(shù)有11、22、33、、99共9個(gè)，則三位數(shù)的回文數(shù)中，偶數(shù)的概率是_【解析】三位數(shù)的回文數(shù)為ABA,A共有1到9共9種可能，即1B1、2B2、3B3、B共有0到9共10種可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、..共有9×10=90個(gè)，其中的偶數(shù)即為A是偶數(shù)，共4種可能，即2B2,4B4,6B6,8B8,共有4×10=40個(gè)，例89.2019年末，武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎(coVID-19)疫情，并快速席卷我國其他地區(qū)，傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，所以目前沒有特異治療方法，防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早，感染人員最多，防控壓力最大，武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強(qiáng)化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人.在排查期間，一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對(duì)其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測，若出現(xiàn)陽頁44CD√33【解析】設(shè)事件A:檢測5個(gè)人確定為“感染高危戶”,事件B:檢測6個(gè)人確定為“感染高危即3.1415926<π<3.1415927,為紀(jì)念祖沖之在圓周率的成就，把3.1415926稱為“祖率”,這是中國數(shù)學(xué)的偉大成就.某小學(xué)教師為幫助同學(xué)們了解“祖率”,讓同學(xué)們從小數(shù)點(diǎn)后的7位數(shù)字1,4,1,5,9,2,6隨機(jī)選取兩位數(shù)字，整數(shù)部分3不變，那么得到的數(shù)字大于3.14的概率為()A.【解析】選擇數(shù)字的方法有：5×6+1=31種，其中得到的數(shù)字不大于3.14的數(shù)字為：3.11,3.12.3.14,據(jù)此可得：得到的數(shù)字大于3.14的概率為.本題選擇A選項(xiàng).例91.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》有著豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.現(xiàn)擬從這5部專著中選擇2部作為頁45專著的概率為()A.其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()o6A.況有：C.方法稱為“金錢起卦法”,其做法為：取三枚相同的錢幣合于雙手中，上下?lián)u動(dòng)數(shù)下使錢幣翻滾摩擦，再隨意拋撒錢幣到桌面或平盤等硬物上，如此重復(fù)六次，得到六爻.若三枚錢幣全部正面向上或全部反面向上，就稱為變爻.若每一枚錢幣正面向上的概率為中則一卦中恰有兩個(gè)變爻的概率為()頁47【解析】由已知可得三枚錢幣全部正面或反面向上的概率,求一卦中恰有兩個(gè)變爻的概率實(shí)際為求六次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生兩次的概率，例94.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的問題：已知一對(duì)兔子每個(gè)月可以生一對(duì)兔子，而一對(duì)兔子出生后在第二個(gè)月就開始生小兔子.假如沒有發(fā)生死亡現(xiàn)象，是著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是若從該數(shù)列的前100項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是偶數(shù)的概率為()A.B.C.【解析】數(shù)列第1個(gè)，第2個(gè)為奇數(shù)，故第3個(gè)為偶數(shù)，第4個(gè)，第5個(gè)為奇數(shù)，第6個(gè)個(gè)，故為偶數(shù).根據(jù)規(guī)律：共有偶個(gè)，故例95.2019年慶祝中華人民共和國成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起來、富起來邁向強(qiáng)起來的雄心壯志.閱兵式規(guī)模之大、類型之全均創(chuàng)歷史之最，編組之新、要素之全彰顯強(qiáng)軍成就.裝備方陣堪稱“強(qiáng)軍利刃““強(qiáng)國之盾”,見證著人民軍隊(duì)邁向世界一流軍隊(duì)的堅(jiān)定步伐.此次大閱兵不僅得到了全中國人的關(guān)注，還得到了無數(shù)外國人的關(guān)注.某單位有6位外國人，其中關(guān)注此次大閱兵的有5位，若從這6位外國人中任意選取2位做一次采訪，則被采訪者都關(guān)注了此次大閱兵的概率為()【解析】這6位外國人分別記為a,A,B,C,D,E,其中a未關(guān)注此次大閱兵，則基本事件有(a,A),(a,B),(a,C).(a,D),(a,E),(A,B).(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D).(B,E),(C,D),例96.齊王有上等、中等、下等馬各一匹，田忌也有上等、中等、下等馬各一匹.田忌的王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)在從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一場比賽，若有優(yōu)勢的馬一定獲勝，則齊王的馬獲勝得概率為()【解析】設(shè)齊王上等、中等、下等馬分別為A,B,C,田忌上等、中等、下等馬分別為的馬獲勝的概率為故選C.的兩種物質(zhì)不相生的概率為()的兩種物質(zhì)不相生的概率故選：D若第一個(gè)單音的頻率為f,則第八個(gè)單音的頻率為A.√2fB.√22fC.52?fD.27f故選D.例100.隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，圖標(biāo)被賦予了新的含義，又有了新的用武之地.在計(jì)算機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域，圖標(biāo)成了具有明確指代含義的計(jì)算機(jī)圖形.如圖所示的圖標(biāo)是一種被稱之為“黑白太陽”的圖標(biāo)，該圖標(biāo)共分為三部分，第一部分為外部的八個(gè)全等的矩形，每一個(gè)矩形的長為3,寬為1;第二部分為圓環(huán)部分，大圓半徑為3,小圓半徑為2;第三部分為圓環(huán)內(nèi)部的白色區(qū)域.在整個(gè)“黑白太陽”圖標(biāo)中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自圖標(biāo)第三部分的概率為()【解析】選B圖標(biāo)第一部分的面積為8×3×1=24;圖標(biāo)第二部分和第三部分的面積為π×32=9π;圖標(biāo)第三部分的面積為π×22=4π.則此點(diǎn)取自圖標(biāo)第三部分的概率為選B.例101.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著,書中把三角形的田稱為“圭田”,把直角梯形的田稱為“邪田”,稱底是“廣”,稱高是“正從”,“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步；正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田.若在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，求該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為()4A.2D【解析】選B由題意可得邪田的面積圭田的面積頁5020,則所求的概率例102.太極圖是以