2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-集合的概念（學(xué)生版）

專題09集合的概念

【知識點(diǎn)梳理】

知識點(diǎn)1：集合的概念

(1)含義：一般地，我們把所研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合(簡稱為集).

(2)集合相等：只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，即這兩個集合中的元素完全相同，就稱這兩個集合

相等.

【知識點(diǎn)撥】集合中的元素必須滿足如下性質(zhì)：

(1)確定性：指的是作為一個集合中的元素，必須是確定的，即一個集合一旦確定，某一個元素屬于或

不屬于這個集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一.

(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同

的.

⑶無序性：集合中的元素是沒有順序的，比如集合｛1,2,3｝與｛2,3,1｝表示同一集合.

知識點(diǎn)2：元素與集合的關(guān)系

關(guān)系概念記法讀法

如果〃是集合A中的元素，就說。屬

屬于a^Aa屬于集合A

于集合A

如果〃不是集合A中的元素，就說〃

不屬于aiAa不屬于集合A

不屬于集合A

【知識點(diǎn)撥】符號“e”和飛”只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素，右邊是集合,

具有方向性，左右兩邊不能互換.

知識點(diǎn)3：集合的表示法

(1)自然語言表示法：用文字語言形式來表示集合的方法.例如：小于3的實(shí)數(shù)組成的集合.

(2)字母表示法：用一個大寫拉丁字母表示集合，如A,B,C等，用小寫拉丁字母表示元素，如a,b,

c等.常用數(shù)集的表示:

名非負(fù)整數(shù)集

正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

稱(自然數(shù)集)

符

NN*或N+ZQR

號

(3)列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用花括號"｛『'括起來表示集合的方法叫做列舉法.

（4）描述法：在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的

一般符號及取值（或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.這種

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.

【題型歸納目錄】

題型1:集合與元素的含義

題型2：元素與集合的關(guān)系

題型3：集合中元素特性的簡單應(yīng)用

題型4：列舉法表示集合

題型5：描述法表示集合

題型6：集合表示的綜合問題

【典例例題】

題型1：集合與元素的含義

例1.（2023?高一課時練習(xí)）下列語句中，正確的個數(shù)是（）

（l）OeN；（2）無eQ；（3）由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合含有5個元素；（4）數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點(diǎn)

集是有限集；（5）方程必的解能構(gòu)成集合.

A.2B.3C.4D.5

例2.（2023?高一課時練習(xí)）下列各組對象的全體能構(gòu)成集合的有（）

（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學(xué)生身高在1.7

米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段A8兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.

A.2個B.3個C.4個D.5個

例3.（2023?廣東揭陽?高一惠來縣第一中學(xué)?？计谥校┫铝兴慕M對象中能構(gòu)成集合的是（）

A.宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生

B.在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)

C.很小的實(shí)數(shù)

D.倒數(shù)等于本身的數(shù)

變式1.（2023?高一課時練習(xí)）下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）

A.上課遲到的學(xué)生B.2020年高考數(shù)學(xué)難題

C.所有有理數(shù)D.小于乃的正整數(shù)

題型2：元素與集合的關(guān)系

例4.（2023.全國?高一專題練習(xí)）給出下列關(guān)系：①mR；②曰R；③|-3|eN；@|-3|eQ.其中正確的

個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

例5.（2023?四川內(nèi)江?高一四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合知=k|%（％-1）=0},那么（）

A.OeMB.UMC.-leMD.OgM

例6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知A={a+2,（a+l）2M?+3a+3},若IwA,則實(shí)數(shù)。構(gòu)成的集合B的元素

個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

變式2.（2023?高一課時練習(xí)）設(shè)有下列關(guān)系：①0eR;②4eQ；③OeN；@0G{0,1}.其中正確的個數(shù)

為.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

變式3.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）若不等式3-2元＜0的解集為M,則下列結(jié)論正確的是（）

A.0eM,2EMB.0W,2eM

C.0eM,2WD.0W,2W

變式4.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)集合4={2,/_4+2,1_力，若4eA,則。的值為（）.

A.-1,2B.—3C.—1f—3,2D.—3,2

題型3：集合中元素特性的簡單應(yīng)用

例7.（2023?全國?高三專題練習(xí)）集合A={lj}中實(shí)數(shù)f的取值范圍是.

例8.（2023?上海閔行?高三閔行中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知集合{2,/}與{4,x}相等，則實(shí)數(shù)x=

例9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）含有三個實(shí)數(shù)的集合既可表示成又可表示成{心0+6,0},則

產(chǎn)19+》2。2。=.

變式5.（2023?高一課時練習(xí)）由°,-區(qū)同，而構(gòu)成的集合中，元素個數(shù)最多是.

變式6.（2023?河北?高三學(xué)業(yè)考試）設(shè)集合A={1,2,3},B={4,5},M^[x\x^a+b,a&A,b&B},則/中的

元素個數(shù)為.

變式7.（2023?上海?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）“notebooks”中的字母構(gòu)成一個集合，該集合中的元素個數(shù)是

題型4：列舉法表示集合

例10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）用列舉法寫出集合A={y|y=x2-2,xeZ,|x|43}=.

例11.（2023?高一課時練習(xí)）設(shè)mb是非零實(shí)數(shù)，那么回+歲可能取的所有值組成集合是_____.

ab

例12.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知集合占eN,aeN］，用列舉法表示〃=______.

t5-aj

變式8.（2023?上海徐匯?高一上海市西南位育中學(xué)?？计谀┯昧信e法表示卜.

變式9.（2023?高一課時練習(xí)）已知集合A={尤|x為小于6的正整數(shù)},8={x|x為小于：10的素數(shù)},集合C={x|x

為24和36的正公因數(shù)}.

⑴試用列舉法表示集合“=任1%亡4且xeC}；

（2）試用列舉法表示集合N={x|xeB且x走G.

變式10.（2023?高一課時練習(xí)）用列舉法表示下列集合

（1）11以內(nèi)非負(fù)偶數(shù)的集合；

⑵方程（x+D（d-4）=0的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；

⑶一次函數(shù)y=2x與y=x+l的圖象的交點(diǎn)組成的集合.

題型5：描述法表示集合

例13.（2023?上海崇明?高一統(tǒng)考期末）直角坐標(biāo)平面上由第二象限所有點(diǎn)組成的集合用描述法可以表示為

例14.(2023?高一課時練習(xí))用描述法表示所有奇數(shù)組成的集合

例15.(2023?高一課時練習(xí))用描述法表示下列集合：

(1)被3除余1的正整數(shù)的集合.

(2)坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的集合.

(3)大于4的所有偶數(shù).

變式11.(2023?高一課時練習(xí))試用集合表示圖中陰影部分(含邊界)的點(diǎn).

變式12.(2023?河南周口?高一周口恒大中學(xué)?？茧A段練習(xí))用描述法表示下列集合:

(1)所有被3整除的整數(shù)組成的集合；

(2)不等式2x-3>5的解集；

⑶方程V+無+1=o的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；

(4)拋物線y=-x2+3x-6上所有點(diǎn)組成的集合；

(5)集合{13,5,7,9}.

題型6：集合表示的綜合問題

例16.(2023?全國?高三對口高考)設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于左eA,如果左-1箔A,k+l^A,那

么稱％是A的一個“孤立元”.給定S={1,234,5,6,7,8},由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的

集合共有個.

例17.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知集合3(彳-1乂尤27+。)=0,無€/?}中的所有元素之和為1,則實(shí)數(shù)”的

取值集合為.

例18.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知集合4=「辰2_3苫-4=0}.

(1)若A中有兩個元素，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若A中至多有一個元素，求實(shí)數(shù)的。取值范圍.

變式13.(2023?高一課時練習(xí))已知集合4=卜?夫|加+2x+l=0},其中aeR.

(1)1是A中的一個元素，用列舉法表示A；

(2)若A中至多有一個元素，試求a的取值范圍.

變式14.(2023?高一課時練習(xí))集合M滿足：若ae",則、eM(aw±l且aw0)已知3eM,試求集合

1-a

M中一定含有的元素.

變式15.(2023?高一課時練習(xí))集合A中的元素是實(shí)數(shù)，且滿足條件①若aeA,則［匚?4,②2eA,求:

1-a

(1)A中至少有幾個元素？

(2)若條件②換成3eA,A中至少含有的元素是什么？

(3)請你設(shè)計(jì)一個屬于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?陜西榆林?高一校考階段練習(xí)）下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（）

A.上課遲到的學(xué)生

B.2022年高考數(shù)學(xué)難題

C.所有有理數(shù)

D.小于x的正整數(shù)

2.（2023?高一課時練習(xí)）由2—a,3組成的一個集合A,若A中元素個數(shù)不是2,則實(shí)數(shù)a的取值可以

是（）

A.-1B.1C.6D.2

3.（2023?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)集合4={（尤,〉）|%->20,依+丁22,%-做（2},則（）

A.當(dāng)”=1時，（1,1）生AB.對任意實(shí)數(shù)。，（1,1）eA

C.當(dāng)a<0時，（1,1）2AD.對任意實(shí)數(shù)。，（1,1）gA

4.（2023?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x^A\-x^A\,則3=（）

A.{1,2}B.{-2,-1}C.{0,3}D.{3}

5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)A是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意。力eA,都有

……叫卻除數(shù)…），則稱A是一個數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的是（）

A.NB.ZC.QD.{xlxwO/wR}

x—2y—3z=0

6.（2023?高一課時練習(xí)）方程組c,八的解集可表示為()

2%—y+3z=0

(x,y,z)|%=；z,y=；z,z￡R

A.B.{(羽y,z)Ix=—；z,y=一；z,z￡R

C.{(x,y,z)\x=3z,y=3z,zGR}D.{(x,y,z)\x=一3z,y=-3z,zGR}

7.（2023?全國?高一專題練習(xí)）已知集合A滿足VicA,--eA,若3EA,則集合A所有元素之和為（

1-x

74

A.0B.1C.-D.-

63

8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知集合4=卜苫",且六ez1,則集合A中的元素個數(shù)為（）

A.2B.3

C.4D.5

二、多選題

9.（2023?河南周口?高一周口恒大中學(xué)?？计谀┫铝姓f法中不正確的是（）

A.。與{0}表示同一個集合

B.集合加={3,4}與"={（3,4）}表示同一個集合

C.方程（x-l）2（x-2）=0的所有解的集合可表示為{1,1,2}

D.集合{x|4<x<5}不能用列舉法表示

10.（2023?廣東佛山?高一佛山市榮山中學(xué)校考期中）已知集合A="xeN，Eez1,則下列屬于集合A的

元素有（）

A.—4B.3C.4D.6

H.（2023?江蘇鹽城?高一江蘇省射陽中學(xué)?？奸_學(xué)考試X多選）給出下列關(guān)系中正確的有（）

A.B.V3GQC.—3eZD.—GeN

12.（2023?云南?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知集合A=，0,a+b,*,4={2,2?,0}若4=瓦則a+6+c的值可能為

（）

323

A.-B.2C.—D.12

22

三、填空題

13.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？既＃┮阎獅%|/-如+〃=0}={1},貝!］加+幾=.

14.（2023?上海楊浦?復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）已知集合4={%,/+i「i}中的最大元素為2,則實(shí)數(shù)x=

xyzxyz

15.（2023?高一課時練習(xí)）已知MV"為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式弧+向+向+閑的值所組成的集合是則河=

16.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）已知集合&={乂加+2x-l=0},若集合A中只有一個元素，則實(shí)數(shù)。的取值

的集合