高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）函數(shù)及其表示

5-H-

第一~P函數(shù)及其表示

1基礎(chǔ)卻織妥打牢強(qiáng)雙基I固本源I得基礎(chǔ)分I掌握程度

［知識(shí)能否憶起］

1.函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的定義：

一般地，設(shè)46是兩個(gè)韭空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系￡使對(duì)于集合力中的任意一個(gè)數(shù)

x,在集合8中都有唯二確定的數(shù)F(x)和它對(duì)應(yīng)；那么就稱/'：/一8為從集合力到集合方的一個(gè)函數(shù)一記

作y=f(x),

(2)函數(shù)的定義域、值域：

在函數(shù)y=F(x),xG力中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y

值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)1x6?叫做函數(shù)的值域—顯然，值域是集合笈的子集.

(3)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相

等的依據(jù).

2.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法.

3.映射的概念

設(shè)48是兩個(gè)非空的集合，如果按照某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系工使對(duì)于集合力中的任意一個(gè)元素X

在集合方中都有唯一確定的元素V與之對(duì)應(yīng)，那么稱對(duì)應(yīng)廣：4一8為集合/到集合8的一個(gè)映射.

4.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的函數(shù)通常叫做分

段函數(shù).分段函數(shù)雖然由幾部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).

［小題能否全取］

1.(教材習(xí)題改編)設(shè)g(x)=2x+3,g(x+2)=_f(x),則/1(X)等于()

A.-2x+1B.2x-1

C.2x-3D.2x+7

解析，：選DF(x)=g(x+2)=2(x+2)+3.=2x+7.

X+1,2<1,

2.(?江西高考)設(shè)函數(shù)/'(x)=<2

則⑶)=()

7-1，

1

-B3

A.5

213

C-3D-T

2(2、13

解析：選DA3)=",AA3))=H2+1=y.

3.已知集合A=[0,8],集合6=[0,4],則下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，不能看作從4到6的映射的是（）

11

ArB

:Xy-8-Xy-4-X

1

C.f：x-^y=-xD.f\x-^y-x

解析：選D按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f:x-y=x,對(duì)A中某些元素（如x=8）,B中不存在元素與之對(duì)應(yīng).

4.已知y=V+5工貝I]f(x)=.

1115

解析：令力=7貝Ux=].所以,(力)=/+1

5x+1

故二大（x#o）.

5x+1

答案：—^(^0)

5.（教材習(xí)題改編）若Ax）=丁+法+0,且/?⑴=0,A3）=0,貝.

1+6+c=0,b=-4,

解析：由已知得得

9+36+。=0,c-3.

即f(x)=V-4x+3.

所以『(-1)=(-I)?-4X(-1)+3=8.

答案.：8

1.函數(shù)與映射的區(qū)別與聯(lián)系

（1）函數(shù)是特殊的映射，其特殊性在于集合力與集合8只能是非空數(shù)集，即函數(shù)是非空數(shù)集/到

非空數(shù)集8的映射.

（2）映射不一定是函數(shù)，從A到6的一個(gè)映射，46若不是數(shù)集，則這個(gè)映射便不是函數(shù)

2.定義域與值域相同的函數(shù)，不一定是相同函數(shù)

如函數(shù)y=x與y=x+1,其定義域與值域完全相同，但不是相同函數(shù)；再如函數(shù)y=sinx與y

=cosx,其定義域與值域完全相同，但不是相同函數(shù).因此判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，關(guān)鍵是看定義域和

對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同.

3.求分段函數(shù)應(yīng)注意的問(wèn)題

在求分段函數(shù)的值f(劉)時(shí)，一定要首先判斷劉屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系

式；分段函數(shù)的值域應(yīng)是其定義域內(nèi)不同子集上各關(guān)系式的取值范圍的并集.

1gl高頻考點(diǎn)要通關(guān)抓考點(diǎn)|學(xué)技法|得拔高分|掌握程度

函數(shù)的基本概念

典題導(dǎo)入

［例1］有以下判斷：

⑴f(x)=---與g(x)={表不同一函數(shù)；

x1<-1,水0

(2)函數(shù)y=Ax)的圖象與直線x=1的交點(diǎn)最多有1個(gè)；

(3)f{x)=x-2x+1與g(?=/一2方+1是同一函數(shù)；

(4)若f(x)=|x-1-x|,則(［1))=0.

其中正確判斷的序號(hào)是_____.

1x1

［自主解答］對(duì)于⑴，由于函數(shù)f(x)=一1的定義域?yàn)閧x|xGR,且x#0},而函數(shù)g(x)=

fl,x河

,小的定義域是R,所以二者不是同一函數(shù)；對(duì)于(2),若x=l不是y=f(x)定義域的值，則直

線矛=1與y=『(x)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，如果才=1是y=f(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線才=1與

y=f(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即y=f(x)的圖象與直線x=l最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于(3),/<x)與g(力的

定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以Hx)和g(t)表示同一函數(shù)；對(duì)于(4),由于破=-|=0,

所以d劇)=『(°)=L

綜上可知，正確的判斷是(2)(3).

［答案］⑵⑶

由題悟法

兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，取決于它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和

對(duì)應(yīng)關(guān)系完全

相同時(shí)，才表示同一函數(shù).另外，函數(shù)的自變量習(xí)慣上用X表示，但也可用其他字母表示，如：Hx)

=2x-1,=21-1,方(4=20-1均表示同一函數(shù).

以題試法

1,試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù).

⑴y=1,y=x；

⑵丁=5-2?y/x+2,y=yjx-4；

⑶尸x,y=行；

(4)y=|x|,y=訴;

解：⑴y=l的定義域?yàn)镽,y=x°的定義域?yàn)椋鹸|xGR,且丘0｝,故它們不是同一函數(shù).

(2)了=正點(diǎn)?，方”的定義域?yàn)椋鹸|x22｝.的定義域?yàn)椋鹸|x>2,或盡-2｝,故它們不

是同一函數(shù).

(3)y=x,y=^P=t,它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，

故它們是同一函數(shù).

(4)y=㈤的定義域?yàn)镽,y=(F)2的定義域?yàn)椋鹸|x20｝，故它們不是同一函數(shù).

求函數(shù)的解析式

典題導(dǎo)入

［例2］(1)已知(x+O=x2+J,求Hx)的解析式；

(2)已知(彳+1)=1g工求f(x)的解析式；

⑶已知/1(￡)是二次函數(shù),且手(0)=0,-1)=_f(x)+￡+1,求廣(￡).

［自主解答］⑴由于(X+；|=X2+5=(X+；|2-2,

所以廣0)=3-2,x22或后-2,

故Ax)的解析式是Mx)=*_2(x22或xW-2).

222

(2)月+1=［得x=7^7，代入得f(力)=IgTTJ.

又x>o,所以力1,

2

故f(x)的解析式是/'(X)=1%二斤(x〉l).

(3)設(shè)f{x)=ax'+bx+c(aWO),

由f(0)=0,知c=0,f{x)=ax+bx,

又由f(x+1)=f(x)+x+l,

得a(x+1)2+b(x?1)=ax+bx+x+1,

即a￡+(2a+t>)x+a+b=ax2+(6+l)x+1,

［2,a+b=b+1,

所以一

［a+6=1,

解得a=b=~.

所以/'(x)=%+gx(xCR).

由題悟法

函數(shù)解析式的求法

(1)配湊法：由.已知條件『(g(x))=6x),可將戶(x)改寫(xiě)成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替代g(x),

便得f(x)的解析式(如例(D)；

(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，可用待定系數(shù)法(如例(3))；

(3)換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍(如例(2))；

(4)方程思想：已知關(guān)于f(x)與0或A-x)的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成

方程組，通過(guò)解方程組求出Mx)(如A級(jí)T6).

以題試法

2.(1)已知『(/，+1)=x+25,求f(x)的解析式；

(2)設(shè)y=f(x)是二次函數(shù)，方程Hx)=0有兩個(gè)相等實(shí)根，且/(x)=2x+2,求f(x)的解析式.

解：⑴法一：設(shè)方=F+1,則(1-1)2(后I)；

代入原式有f(6—(t~l)2+2{t—1)=12-2力+1+22一2=t2-1.

故f(x)=?-1(x21).

法二：?.?*+25=('+2.+i—i=(力+1)2—1,

小「+1)=(F+1)2-1(爪+121),

即f(x)=?-1(X21).

(2)設(shè)_f(x)=ax+6x+c(aWO),

貝IJf'(x)=2ax+6=2x+2,

「?乃=1,6=2,f(x)-x+2JT+c.

又「方程f(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根，

」二4一4c=0,c=l,故F(x)"+2x+1.

分段函數(shù)

典題導(dǎo)入

2二xEOO]

［例3］(?廣州調(diào)研考試)設(shè)函數(shù)f(x)=若f(x)>4,則x的取值范圍是

x；xG[l,+OO

［自主解答］當(dāng)x<l時(shí)，由f(x)>4,得2一94,gpX-2；

當(dāng)x，l時(shí)，由f(x)>4得/>4,所以x>2或x<-2,

由于所以x>2.

綜上可得K-2或x>2.

［答案］(-8,-2)U(2,+8)

?>一題多變

若本例條件不變，試求M-2))的值.

解：-2)=22=4,

f(f(-2))=/(4)=16.

由題悟法

求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，應(yīng)根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應(yīng)的解析式求解，有時(shí)每段交替使用求

值.若給出函數(shù)值

或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗(yàn)所

求自變量值或范圍是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍.

以題試法

3.（?衡水模擬）已知f（x）的圖象如圖,則Ax）的解析式為—

解析：由圖象知每段為線段.

設(shè)廣（￡）二3X+瓦把（0,0）,（I,|卜口（1，|）（2,0）分別代入,

_3（__3

解得j2,2

6=0,[b=3.

「3

產(chǎn)OWxWl,

答案3

3-尹，

用|解題IN練委高響GAOXIAO抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

A級(jí)全員必做題

1,下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）

A.y=X-1與y=qx-12

I----x-1

=與尸后

C.y-41gx與y-21gx

x

D.y=lgx-2與片

答案：D

2.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=」一定義域相同的函數(shù)為（）

1Inx

A.y=B.y=

sinxx

sinx

C.y=xe”D.片丁

解析：選D函數(shù)一的定義域?yàn)閧x|xNO},選項(xiàng)A中由sin學(xué)OnxWA",AEZ,故A不對(duì)；選

項(xiàng)B中x>0,.故B不對(duì)；選項(xiàng)C中xER,故C不對(duì)；選項(xiàng)D中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法

可知定義域?yàn)閧x|x#0}.

3.(?安徽高考)下列函數(shù)中，不滿足f(2x)=2f(x)的是()

A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x|

C.f(x)=x+1D.F(x)=-x

.........................................fO,xNO,

解析：選C對(duì)于選項(xiàng)A,F(2x)=\2x\=2\x\=2f{x);對(duì)于選項(xiàng)B,f{x)=x-|jr|=S

[2x,x<0,

當(dāng)x'O時(shí)，f(2x)=0=2f(x),當(dāng)x<0時(shí)，f(2x)=4x=2?2x=2f(x),恒有/<2x)=2/<x)；對(duì)于選項(xiàng)D,

F(2x)=-2x=2(-x)=2f{x)；對(duì)于選項(xiàng)C,F(2x)=2x+1=2f(x)-1.

、

4?已知f-coxs+1mx+1,,后x>0。,，則七m卜《(日4的值等于()

A.-2B.1

C.2D.3

+3

解析「選D。號(hào)<4)+I=4|)+2=|,4l)4-|)=-

5.現(xiàn)向一個(gè)半徑為R的球形容器內(nèi)勻速注入某種液體，下面圖形中能表示在注入過(guò)程中容器的液面

高度人隨時(shí)間大變化的函數(shù)關(guān)系的是()

解析：選C從球的形狀可知，水的高度開(kāi)始時(shí)增加的速度越來(lái)越慢，當(dāng)超過(guò)半球時(shí)，增加的速度又

越來(lái)越快.

6.若Hx)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒有2_f(x)-F(-x)=3x+1,則f(6=()

A.x-1B,x+1

C.2x+1D.3x+3

解析：選B由題意知2f(x)-/'(-x)=3x+l.①

將①中x換為-x,則有2/(-x)-f(x)=-3x+1.②

①X2+②得3f(x)=3x+3,

即f(x)=x+1.

7.已知『(x)=/+px+q滿足AD=A2)=0,貝f(-1)=.

解析：由HD=f(2)=0,

fr+p+<7=o,\p=-3,

得。2°n所以。

[2+2p+q=0,2.

故f(x)=x?-3x+2.

所以f(T)=(T>+3+2=6.

答案：6

\x+2ax,x22,

8.已知函數(shù)Ax)"。，io若f(f(l))>3a1則a的取值范圍是________.

[2+1,x<2,

解析：由題知,Al)=2+1=3,f(f(l))=f(3)=3+6U若⑴)>3a；貝Ij9+6a>3才,即「一2a

-3<0,解得-14豕3.

答案：(T,3)

9.設(shè)集合〃={x|0W啟2},N={y|0^j<2},那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合〃到集合力的函

數(shù)關(guān)系的是.

解析:由函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x對(duì)應(yīng)著唯一一個(gè)匕據(jù)此排除①3),③中值域?yàn)?0WZ3}

不合題意.

答案：②

x

10.若函數(shù)f{x)=--(a^0),A2)=1,又方程f(x)=X有唯一解，求f(x)的解析式.

O,X十U

2

解：由/⑵=1得=7；=1,gp2a+b=2；

乙dID

由,底)=不得量、=%變形得七七-1)=0,

\—b

解此方程得為=0或入=-，

a

\—b

又因方程有唯一解，故＜二。，

a

解得力=1,代入2@+6=2得0='1,

所以f(x)=17了

tr

11.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與4------/乙從家到公園

的距離都是2km,甲10時(shí)出發(fā)前往乙家.如圖所示，表示甲從家出彳^J發(fā)到達(dá)乙家為

0(102030405060^

止經(jīng)過(guò)的路程y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系.試寫(xiě)出Ax)的函數(shù)解1析式.

解：當(dāng)xW[0,30]時(shí)，設(shè)y=hx+bi,

f1

bi=0,k\=—

由已知得，解得15

30Ai+bi二2,

bi=0.

即尸M

當(dāng)xG(30,40)時(shí)，y=2；

當(dāng)xE[40,60]時(shí)，設(shè)y=jfex+'

40左+&=2,

解得＜"I。1

由已知得?

60左+.=4,

b2=-2.

即尸Ax-2.

C1「」

77^,xE[0,30],

■L0

綜上，Ax)2,xE30.40.

1「

2,xE[40,60].

Viu

12.如圖1是某公共汽車線路收支差額y元與乘客量x的圖象.

.(1)試說(shuō)明圖1上點(diǎn)4點(diǎn)8以及射線上的點(diǎn)的實(shí)際意義；

(2)由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖2、3所示.你能根據(jù)圖

象，說(shuō)明這兩種建議的意義嗎？

(3)此問(wèn)題中直線斜率的實(shí)際意義是什么？

⑷圖1、圖2、圖3中的票價(jià)分別是多少元？

解：(D點(diǎn)/表示無(wú)人乘車時(shí)收支差額為-20元，點(diǎn)6表示有10人乘車時(shí)收支差額為。元，線段47

上的點(diǎn)表示虧損，延長(zhǎng)線上的點(diǎn)表示贏利.

（2）圖2的建議是降低成本，票價(jià)不變，圖3的建議是提高票價(jià).

（3）斜率表示票價(jià).

⑷圖1、2中的票價(jià)是2元.圖3中的票價(jià)是4元.

B級(jí)重點(diǎn)選做題

1.（?北京高考）根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第X件某產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：分鐘）為/"（X）=

C

下水4

（4。為常數(shù)）.已知工人組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)30分鐘，組裝第4件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘,

.4

那么。和/的值分.別是（）

A.75,25B.75,16

C.60,25D.60,16

解析：選D因?yàn)榻M裝第/件產(chǎn)品用時(shí)15分鐘,

c

所以7r15,①

所以必有4<4且.=]=30.②

聯(lián)立①O解得c=60,4=16.

2.（-江西紅色六校聯(lián)考）具有性質(zhì)：七=的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列

函數(shù)：

",0<A<l,

11Qy—1

①y=x-：；②尸x+:③其中滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)是（）

XXi

_x>\.

IX

A.①②B.①@

C.②③D.①

解析：選B對(duì)于①，f（x）=x-：滿足；對(duì)于②，4）=：+x=f（x）,不滿

故C)=