江蘇揚州2024年高二年級下冊6月期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

江蘇揚州2024年高二下學(xué)期6月期末考試數(shù)學(xué)試題含答案

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末檢測

高二數(shù)學(xué)

2024.06

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項符合要求)

1.若集合。={刈x|<l},Q={T0,l,2},則PcQ=()

A.{0}B.{-l,0}C.{0,l}D.{-l,0,l}

2.已知一直線經(jīng)過點A(2,3,2),3(—1,0,-1),下列向量中是該直線的方向向量的為()

A.3=(-1,1,1)B,a=(l,-l,l)C.5=(l,l,-1)D.3=(1,1,1)

y丫QIV

3函數(shù)/(x)=2的大致圖象為()

X+1

4.命題“iteR,—爐+ax—1>0”是假命題，則實數(shù)。的取值范圍是().

A.(—8,2]B.(—2,2)C.[-2,2]D.[2,+e)

5.已知是三個不共面的向量，AB=~i-2j+2k,AC=3i-j-k,Ai5=Ai+2j-6k,且

A3,C,。四點共面，則實數(shù)2的值為().

A.lB.2C.3D.4

2\x<0,

6.已知函數(shù)〃x)=1則下列說法正確的是()

x2,x>0,

Aj(x)是R上的增函數(shù)

B./(x)的值域為［0,+力)

C.“x〉：”是“/(x)〉g”的充要條件

D.若關(guān)于x的方程=a恰有一個實根，則。>1

7.五一勞動節(jié)放假5天，小王同學(xué)各花1個上午的時間游覽茱萸灣風(fēng)景區(qū)、雙博館，另外花2個下午的時間

打籃球J個下午的時間踢足球，其余時間復(fù)習(xí)功課，這個五一勞動節(jié)小王同學(xué)的不同安排有（）種.

A.300B.600C.900D.1200

8.若％=1為函數(shù)/（%）=〃（％—"）（%—的極大值點，則實數(shù)。的取值范圍為（）.

A.6Z>1B.6Z<1

（2.。<0或。>1D.Q<a<l

二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

9.下列說法正確的是（）.

A.利用線性回歸方法求出一組數(shù)據(jù)（玉,%）,（%，%），…，（七，%）的線性回歸直線方程y=a+bx,則這組

數(shù)據(jù)確定的點中至少有一個在這條直線上

B.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說明模型的擬合精度越高

C.若隨機變量X服從二項分布,則X的方差為2

D.若隨機事件滿足P（A）〉0,P（3|則事件A與8相互獨立

10.若相，〃為正整數(shù)且〃〉加，則下列等式中正確的是（）.

AC機-Q^n-m

B,Q_i+Q_]=Cn

C.c：=

A：（"機）!

3〃-1

D.C：+2c+4C：+…+2弋

IL棱長為2的菱形ABC。中，ZBAD=60°-將口48。沿3。折起，使頂點A至點M,連接MC,構(gòu)

成三棱錐M-BCD.設(shè)二面角M-BD-C的大小為a,直線ATO和直線BC所成角為夕.在折起的過程

中，下列說法正確的是（）.

A.任取三棱錐M-BCD中的三條棱，它們共面的概率為0.2

B.存在一個位置，使

仁當(dāng)。二—時，三棱錐的外接球的表面積為——

33

兀2兀八5

D.當(dāng)-時，cos/?的最大值為一

_33_8

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)

12.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,b2),若P(X〉l)=0.3,則尸(―1<X<O)=.

13.將某保護(hù)區(qū)分為面積大小相近的多個區(qū)域，用簡單隨機抽樣的方法抽取其中6個區(qū)域，統(tǒng)計這些區(qū)域內(nèi)

的某種水源指標(biāo)不和某植物分布的數(shù)量2,…,6),得到樣本(%.,%),且其相關(guān)系數(shù)r="，記》

16

66

關(guān)于X的線性回歸方程為y=a+bx.經(jīng)計算可知：于=9,XX；=550,X(X-9丫=256,則g=

/=1/=1

14.定義域為R的函數(shù)/(x)滿足/(x+y)+/(%->)=2f(x)/(l—y)"(0)=0,41)=1,且

2024(“_1\

xe(O,2)時，/(x)>0,貝|八3)=,X/Hr=

k=o\27

四、解答題(本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分13分)

已知集合A=<x<2>,B=[x\log2x>1}.

(1)求ADB；

(2)若實數(shù)。>0,集合C={xlx2-3ax+2a2<Q},且“xe是“xeC”的必要條件，求。的取值范

圍.

16.(本小題滿分15分)

已知(2%+1)~”=%++a,%?+t,,+/“無=4+。](x+1)+a(x+1)~+,?,+bln(%+1)?”,且a、=112.

(1)求必與偽的值；

(2)求4+b3+b5-+---1-b2n_x的值.

17.(本小題滿分15分)

已知三棱柱ABC-\BXCX的棱長均為2,/A】AC=60°,^5=76.

(1)證明：平面AACG，平面ABC；

(2)若兩=2及i(OW2W1),且直線AC與平面所成角的正弦值為孚，求點M到直線

4用的距離.

18.(本小題滿分17分)

為了解某挑戰(zhàn)賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別是否有關(guān)系(假設(shè)每個人是否接受挑戰(zhàn)互不影響，且受邀

者男性與女性的比例為3:2),某機構(gòu)進(jìn)行了隨機抽樣調(diào)查，得到如下調(diào)查數(shù)據(jù)(單位：人)：

接受挑戰(zhàn)不接受挑戰(zhàn)合計

男性402060

女性162440

合計5644100

(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為比賽中是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別有關(guān)；

(2)現(xiàn)從這100人中任選1人，A表示“受邀者接受挑戰(zhàn)”，8表示“受邀者是男性“，記

LR(B\A)=,則R=一出1可表示受邀者接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別相關(guān)程度的一項度量指

P(B\A)LR(B\A)

標(biāo)，請利用樣本數(shù)據(jù)求出H的值；

(3)用頻率估計概率，在所有受邀者中按“男性”和“女性”進(jìn)行分層抽樣，隨機抽取5名受邀選手、若再從

這5名選手中隨機抽取2人進(jìn)行訪談，求這2名被訪談的選手中接受挑戰(zhàn)的男性的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)

期望.

2n(ad-bc)~

參考公式：Z-=7-----rw-----------------\77—-其中“=a+0+c+d.

[a+b)^c+d)[a+c)[b+d)

參考數(shù)據(jù):

0.100.050.0250.0100.0050.001

%2.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=x-l皿一axe-'aeR.

(1)當(dāng)。=0時，直線丁=而(左為常數(shù))與曲線/(x)相切，求左的值;

(2)若xe(O,+"),/(x"O恒成立，求。的取值范圍；

(3)若/1(X)有兩個零點%,超，求證：%+%>2.

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期期末檢測高二數(shù)學(xué)

參考答案

2024.06

題

號1234567891011

答ADBCDDBCBDACDABD

案

題號121314

151枝

答案0.2-1,---------

2

15.【答案】⑴由，]<2得x>—1,所以A=(—1,+"),

由log2X>l得x>2,所以3=(2,+8).

所以AU3=(—1,+(3O).

(2)由必一3。％+2a2<0(a>0)得a<x<2a,即C=(a,2a).

因為“xeB”是“xeC”的必要條件，

所以Cq3,即(a,2a)〃(2,+e),

所以a"

16.【答案】(1)由題可知。2=4〉2義4=4或“=4義網(wǎng)也二9=112,

即2〃2_%_28=0,即(2〃+7)(〃-4)=0,

7

所以“=——(舍)或〃=4.

2

所以為=C；X23=448；

s238

因為(2X+1)8=[2(x+l)-l]=%+4(x+l)+Z?2(x+l)+Z?3(x+1)H--FZ?8(X+1),①

所以％=C；x23x(-1)5=-448

②在①式中，令％=0,則1=%+6]+Z?2+Z?3H---bZ?8,②

令x=-2,則3*=%_4+%-&+…+4,③

由②-③得，1-38=2(4+4+&+")

.i-38(1+34)(1—34)

所以4+用+4+…+處T=/=A__^=-3280.

17.【答案】(1)取AC的中點0,連接AO,BO,/AAC=60°，AA=2,AO=I,所以

4。=百，4。,AC,

由題設(shè)可知，口45。為邊長為2的等邊三角形，所以80=有，

由43=^,432=4。？+3。2,所以4。，8。，

又因為A。，AC,ACc8。=O,AQBOu平面ABC,

所以A。，平面ABC,

又因為AOu平面AACG，所以平面AAC。，平面AB。；

(2)以04所在直線為X軸，以08所在直線為y軸，以0A所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

C.

所以4(1,0,0),3(0,后0),。(—1,0,0)6卜2,0,0)，4(0,0,6)，

CA=(2,0,0),BA=(0,-AV3),Cq=(-1,O,V3).

因為CM=ACCi(0</I<1),則”(—％—1,0,=(—2—1,—A/3,,

設(shè)平面ABM的法向量為五=(x,y,z),

n-BA=0,~y+z=°,

則〈___,即〈/、r-

iiBM=0,[(1+X)x+Jr3y-J34z=0.

取y=4+l,z=4+l,x=V3(丸—1),

所以五=(6(九一1),/1+1,沈+1)是平面48加的一個法向量.

設(shè)直線AC與平面A.BM所成角為0,

sm邛。s"訃，［卬3(…旦

1'71|CA||n|273(2-1)2+2(2+1)25

解得X=g,

所以“，

k55)

又因為祝*=［：,0,羋［，及可=麗=(i,—石,0),所以西&A=5=3.

(55J|^|I5

/_.__A2

所以點v到直線4耳的距離△=|MA|2-"4勺4=5

V〔忸閡J

18.【答案】(1)假設(shè)“°：是否接受挑戰(zhàn)與受邀者的性別無關(guān).

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得

22

v2------------n--(-a--d---b-c--)------------=-1-0-0--(-4-0--x--2--4----1-6--x--2-0--)---=-1-6-0--0--k…693

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)56x44x60x40231''

由于/。6.93>6.635,且當(dāng)心成立時，P(/2>6.635)?0.010,所以有99%的把握認(rèn)為是否接受挑

戰(zhàn)與受邀者的性別有關(guān).

P(AB)

⑵岫必4)=空a='=厘=山="二

P(回A)P(AB)P(AB)n(AB)162

P(A)

同理"出")=|M所以氏=需號=313.

(3)由分層抽樣知，隨機抽取的5名受邀選手中，男性有3人，女性有2人.根據(jù)頻率估計

概率知，男性選手接受挑戰(zhàn)的概率為2,不接受挑戰(zhàn)的概率為工.

33

X可能得取值為0』,2,

3名被抽取的男性選手中，恰抽到k人被訪談記為事件Dk(k=0,1,2),則

「k「2-k

P（2）=^^（左=0/，2），

被訪談的2名選手中接受挑戰(zhàn)的男性人數(shù)恰好為m人記為事件Em（m=0,1,2）,

則P(E°|DO)=1,P(EO|Dj=g,P(&=；，P(E/M)=f-

P(EJD2)=C*Xjx|=|,P(E2|=

所以P（X=0）=P（A）.尸（E°|D°）+P（R）.P（E°|2）+P（3）.P（E°|2）

=521xl+^321xl+^3￡lxl=l

c；C3c93

CC；2C；C°4

A28

P(X=I)=P(A)P(EJi)+p(2).p(4lD)=-t-x-+-^x-=

2C3C；915

「202A9

P(x=2)=p(4>P(現(xiàn)。2)=宣丁日

故X的分布列如下：

X012

182

P

31515

E(X)=0x-+lx—+2x—=-.

、1315155

19.【答案】(1)當(dāng)〃=0時,/(x)=x-lnx.

設(shè)切點（尤o,尤0-1叫）），

、、［1}

消上得1---%=%—ln%o,解得x0=e,代入得左=1—

IxoJe

⑵方法一：因為/（%）=%—Inx—axe：所以/二］1一［二（二一。（一十〃%）,???

%e"xe"

］x—1

1。當(dāng)a<0時，設(shè)g（x）=x—lnx,則g<x）=l一―=-——，

XX

所以當(dāng)XW（0,1）時，g'（x）<0,g（x）單調(diào)遞減；當(dāng)xe（l,+oo）時，g〈x）〉0,g（x）單調(diào)遞增.

所以g(x)血n=g⑴=1>0-

又-axe-，〉。，故/（x）20恒成立，所以a<0成立.

2。當(dāng)&20時，e'+冰〉0，所以當(dāng)%￡（0,1）時，/（冗）<0,/（冗）單調(diào)遞減；當(dāng)%￡（1,+。）

時，r（x）>o"（x）單調(diào)遞增.

故，（磯L〃l）=l一40，解得a<e,又Q?0,所以O(shè)WaWe,

e

綜上所述，a的取值范圍為（一叫e].

方法二：因為/（%）=%-111%-。泥—*?0恒成立,

（I困恒成立.

又%>0,所以上式等價于〃（上

X

（「）,則如）=乎(x-l)(x+l-lnx)

記〃⑴=—e"+ITe*ex,

%2

1x—A

設(shè)M(X)=x+l-In%,則/(x)=l——=--.

xx

當(dāng)xw(O,l)時，a'(x)<0,M(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)xe(l,+")時，M'(X)〉0Mx)在上單

調(diào)遞增.所以a（x"M（l）=2〉0.

所以當(dāng)xw（0,l）時，〃'（x）<0,〃（x）在（0,1）上單調(diào)遞減；當(dāng)xe（l,+<x））時，〃（x）〉0,/z（x）在

上單調(diào)遞增.所以"⑴皿=MD=e.

故。的取值范圍為（-”,e].

方法三：因為/（%）=%—血一辦。一％=ln-——〃土20恒成立,

Xe'

又%>0,所以上式等價于。<《Inf恒成立.

XX

=—,貝【J〃（x）=e（：°，

所以當(dāng)xe（0,l）時，人'（無）<0,人（%）在（0,1）上單調(diào)遞減;當(dāng)xc（l,+e）時，〃'（工）〉0,丸（力在（1,+00）

上單調(diào)遞增.所以"（x）?"⑴=e.

X

令％=一，則，￡卜,+"）,則aV恒成立.

X

記°。)=tlnt^t>e),則°'(7)=lnf+122〉0,

所以夕⑺在卜,+力）上單調(diào)遞增，所以夕CU=9卜）=e,所以a<e.

故。的取值范圍為（一叫e].

（3）方法一：因為/'（x）有兩個零點看,乙，不妨設(shè)0<%<%2,

則西—InXj—u-}=々--a—=0，

ee2

e*/M2

即a=——(%1-Inxj)=——(x2-lnx2),即a=(七一Inxje盧t時=(9_]皿2)e*2T

1X—]

令4％)=%—Inx,則/⑴=1―一=----,

xx

所以當(dāng))￡(0,1)時,?x)<0/(尤)單調(diào)遞減;當(dāng)口￡(1,+8)時,{%)>0/(%)單調(diào)遞增.

所以/⑶僦=[1)=1〉°?

令/z(%)=(x21),貝=e"+xe%>0,/z(%)單調(diào)遞增,

即意b

又。=Mx1-1叫)=/z(x2-lnx2),所以Xj-In%1=x2-lnx2,

由《X）的單調(diào)性可知0<%<1<X2.

思路一：構(gòu)造函數(shù)T（x）=/（x）-《2-x）,xe（0,1）.

x-l?2_1__2(1-x)2

則T'(x)=/'(x)+/'(2-x)<0,

x2-xx(2—x)

故T（x）在（0,1）上單調(diào)遞減,

又T⑴=0,所以T（x）〉0,則T（xJ〉0,即《口）>《2—占）,

又《無1）=/（々）,所以《無2）>《2—尤1）,

又馬〉1,2-％〉l,4x）在（1,+“）上單調(diào)遞增，所以％2>2-玉.

故%+%2>2.

2%-1

X-xX+x,即證」—

思路二要證的+%>2,即吟;亡9忘〈丁9—>ln—?

工+1九2

X2

令〃=土￡（?！唬醋C——>Inw.

X2W+l

構(gòu)造函數(shù)9（〃）=2（.G（0,1）.

E、414M-（M+1）2（M-1）2八

則（p'（u）=--------——=——-~A=--——J<0,

（M+1）-UM（M+1）-M（M+1）2

2（w-l）

故0（M）在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減,則9（a）〉°⑴=0,即---------Inw>0.

w+1

故菁+々>2.

思路三：因為■，芯=1,即石―％2=ln五,

1叫-1nx2x2

x\~xi~In%

令〃=—Le（0,l）,貝i卜尤

羽u=—,

%i=----mu,

u—1

即nn《

Inu

x9=------.

、u-1

—c口L—MiInw八

要證石+%2>2,即證----lnw+------>2,

it—1u—1

日"+1[c

即證----Inw>2,即證二----->Inw

u—1w+1?

下同思路一，略.

方法二：因為/（X）有兩個零點石,％2，不妨設(shè)0<不<12,

貝！J西—InXj—a--x2~lnjv—a-—0,

e1e2

即"a3生=日.也二

占百12X2

令《x)=丈，則(尤)=￡

X

所以當(dāng)x<O,l)時，/'(x)<O/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xe(L)時，?x)>O,(x)單調(diào)遞增.

所以*尤)min=(l)=e.

令h(x)=xlnx^x>e),貝!J=Inx+1>O,/z(x)單調(diào)遞增,

(

e，巧、e*e*2x為

又a=h——=h——，所以——=——，即-?=e、2再

石x玉

I再J2

由1(x)的單調(diào)性可知0<石<1<x2.

思路一：構(gòu)造函數(shù)T(x)=《%)-《2-尤)，尤￡(0,1).

e%e2r

貝！JT'(X)=f(x)+f(2-x)=一+---

(2-x)2

C2-xex

=(j)

(2-x)27

evx2-eA-2xer(x-2)

令”4)=三，則/(%)=

43

Xxx

所以當(dāng)xe(O,2)時，M[X)<0,M(X)單調(diào)遞減,

所以當(dāng)xw(O,l)時，0<%<2—元<2,則M(2—X)<M(X),所以T'