2024年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺壓軸題專項(xiàng)突破之四邊形動(dòng)點(diǎn)問題

2024年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺壓軸題專項(xiàng)突破之

四邊形動(dòng)點(diǎn)問題

1.綜合與實(shí)踐:

⑴問題發(fā)現(xiàn)：如圖，在ABC中，AB=AC,AD是外角的平分線，則AD與BC的位

置關(guān)系如何.

⑵問題解決：如圖，在矩形ABCD中，AB=2,BC=8,點(diǎn)E是2C的中點(diǎn)，將沿直

線AE翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)尸處，連結(jié)C/,求cosNECF和線段C/的長.

⑶拓展遷移：如圖，正方形A3CD的邊長為5,E是邊AD上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿CE翻折，

點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為DC,過點(diǎn)。囪乍折痕CE的平行線，分別交正方形A5CD的邊于點(diǎn)/、N(點(diǎn)

M在點(diǎn)N上方)，若2AM=CN,請(qǐng)直接寫出OE的長.

2.在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與相交于0,E為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作射線EF,

使N4￡F=ZABC,E尸交射線AD于尸.

⑴如圖1,G為。。上一點(diǎn)，且G為ACD重心，求"的值;

GD

(2)如圖2,當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到BC中點(diǎn)時(shí)，射線所恰好過oACD的重心G.

①求cos/ABC的值；

②若AB=7,過A作AH_LAE交射線所于H,連接CW,DH,在點(diǎn)E從8運(yùn)動(dòng)到C的過

程中，求折線段am掃過的圖形面積.

3.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=4cm.動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s

的速度沿43邊向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)尸作尸Q工鉆交AC或CB于點(diǎn)。，。為PB中點(diǎn)，以尸2、

PO為鄰邊構(gòu)造矩形PQE。，設(shè)矩形尸。即與二ABC重疊部分圖形的面積為S（cn?）,點(diǎn)尸

的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為《s）.

⑴用含t的代數(shù)式表示PQ的長；

⑵當(dāng)點(diǎn)E落在BC邊上時(shí)，求f的值；

（3）求S關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量/的取值范圍.

4.如圖，在正方形A3CZ）中，尸為8上一動(dòng)點(diǎn)，AB=4,CP=x,（。＜尤＜4）,作C關(guān)于

3尸的對(duì)稱點(diǎn)C',連接BC'、PC'.

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(1)當(dāng)x=l時(shí)，求cos/DPC'；

⑵連接AC交BC'、BP于M、N,^AM=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.

5.已知，矩形ABC。中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線屏分別交AD、2C于

(1)如圖1,連接"、CE.求證四邊形AFCE為菱形，并求"的長；

(2)如圖2,動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△4FB和,CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周.即

點(diǎn)尸自AT■廠-A停止，點(diǎn)。自CfOfEfC停止，在運(yùn)動(dòng)過程中：

①已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)。的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)A、C、P、Q

四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求l的值.

②若點(diǎn)P、。的運(yùn)動(dòng)路程分別為。、b(單位：cm,"wO),已知A、C、尸、。四點(diǎn)為

頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求。與6滿足的數(shù)量關(guān)系式.

6.如圖1,菱形ABCD中，ZB=?,BC=2,E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)、（不與點(diǎn)民C重合），連

接DE,點(diǎn)C關(guān)于直線OE的對(duì)稱點(diǎn)為CL連接AC'并延長交直線DE于點(diǎn)P,尸是AC的中

點(diǎn)，連接DC',￡>F.

⑴填空：DC=,ZAPD=（用含a的代數(shù)式表示）；

⑵如圖2,當(dāng)a=90。，題干中其余條件均不變，連接BP.求證：BP=-J2AF-

（3）（2）的條件下，連接AC.

①若動(dòng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊BC的中點(diǎn)處時(shí)，△ACC'的面積為.

②在動(dòng)點(diǎn)E的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，△ACC面積的最大值為.

7.用四根一樣長的木棍搭成菱形ABCD,點(diǎn)尸是線段。C上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)。和點(diǎn)C

重合），在射線3P上取一點(diǎn)M,連接DM,CM,使NCDM=NCBP.

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【操作探究一】

(1)如圖1,調(diào)整菱形ABCD,使NA=90。，當(dāng)點(diǎn)M在菱形ABC。外時(shí)，在射線3P上取

MC

一點(diǎn)N,使BN=DM,連接CN,則NBA/C=______,—=______；

MN

【操作探究二】

(2)如圖2,調(diào)整菱形ABCD,使NA=120。，當(dāng)點(diǎn)M在菱形A3CD外時(shí)，在射線3P上取

一點(diǎn)N,使BN=DM,連接CN,探索MC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【拓展遷移】

(3)在菱形A3CD中，ZA=120°,AB=3五.若點(diǎn)P在直線8上，點(diǎn)M在射線3P上,

且當(dāng)NCDM=NP5C=45。時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAAOB的兩條直角邊04,02分別在無軸和y軸上，已

知NABO=30。，(24=2.

(1)求線段A8的長；

(2)動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度，沿x軸向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從

點(diǎn)8出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度，沿線段48向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)終點(diǎn)時(shí)點(diǎn)尸

也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f秒.

①當(dāng)△AP。是直角三角形時(shí)，求/的值；

②在平面內(nèi)，是否存在點(diǎn)E,使以點(diǎn)P,Q,A,￡為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)求出

點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

9.如圖，在中，點(diǎn)。是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線設(shè)肱V交N3C4

的角平分線于點(diǎn)E,交ZBCA的外角平分線于點(diǎn)F.

⑴求證：EO=FO；

⑵當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECT是矩形？并證明你的結(jié)論.

(3)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到何處，且ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECT是正方形？并說明理由.

10.如圖，在RtABC中，ZACB=90°,3c=10,CO平分/ACB交斜邊A3于點(diǎn)。，點(diǎn)

P沿折線C4-AD向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).

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pp

ED

備用圖

(1)點(diǎn)尸在C4上運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)CP=_時(shí),CPD與CBD的面積相等；(直接寫出答案)

(2)點(diǎn)尸在折線C4-AD上運(yùn)動(dòng)的過程中，若.CPD是等腰三角形，ZB=60°,求/CPD的

度數(shù)；

⑶若點(diǎn)E是斜邊A3的中點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸在C4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CZ)所在直線上存在另一動(dòng)點(diǎn)

即MP+ME的值最小，則此時(shí)CP=_.(直接寫出答案)

11.如圖，在四邊形ABCD中，ABCD,JBC，CD于點(diǎn)C,AB=18cm,CD=21cm,點(diǎn)

M從點(diǎn)A出發(fā)，以lcm/s的速度向點(diǎn)3運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.

ffil

(1)當(dāng)/=s時(shí)，四邊形8MNC為矩形；

(2)當(dāng)=時(shí)，求f的值；

(3)當(dāng)BC=cm,在點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形能構(gòu)成菱形.

12.在矩形ABCD中，0A=3,AB=6.分別以Q4,OC邊所在的直線為x軸，y軸建立如

圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,將.GWC沿對(duì)角線AC翻折，交A3于點(diǎn)P,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

3

(2)如圖2,已知〃是AB上一點(diǎn)，且OGLCH于點(diǎn)P,求四邊形QM的面積；

(3)如圖3,點(diǎn)。(。,5),點(diǎn)E是上一點(diǎn)，且OE=2BE,M是直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x

軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N,使以。、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，

直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

13.在矩形ABCD中，E是邊8上一點(diǎn).

圖1圖2

⑴如圖1,點(diǎn)。，尸關(guān)于直線AE對(duì)稱.平移線段OE,使點(diǎn)E與點(diǎn)尸重合，設(shè)點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)為G.畫出示意圖，判斷四邊形。麻G的形狀并證明；

(2)如圖2,若DE=kDC(左為常數(shù))，X是矩形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足=若點(diǎn)8在運(yùn)

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動(dòng)的過程中，存在線段長度最小時(shí)，點(diǎn)、D,H恰好關(guān)于直線AE對(duì)稱的情形，請(qǐng)?zhí)骄烤?/p>

形45C。的邊AD與8滿足的數(shù)量關(guān)系.(用含左的式子表示)

14.在Rt^ABC中，/B4c=90。，/B=60。，AB=3,點(diǎn)。為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以C。

為邊作等邊CDE,OE與AC相交于點(diǎn)b，連接AE,將等邊。E繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在8c上，四邊形ABDE是平行四邊形