函數(shù)項級數(shù)的收斂判別法探究

HELLOBOOK翰博網上書店的設計與實現(xiàn)PAGE1本科生畢業(yè)論文論文題目：函數(shù)項級數(shù)的收斂判別法探究作者：院系：數(shù)學與計算機科學學院專業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學(或計算機科學與技術、信息與計算科學、軟件工程)班級：指導教師：要函數(shù)項級數(shù)在數(shù)學科學本身和工程技術領域都有重要應用.函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)列的一致收斂性問題往往是數(shù)學分析的重點，又是難點，不易理解和掌握。而函數(shù)項級數(shù)的一個基本問題就是研究其一致收斂性，但是一致收斂的判別比較困難，函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間上的一致收斂性與部分和函數(shù)列的一致收斂性是等價的。一種自然的思想是將正項級數(shù)的判別法推廣到函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法上去.目前，正項級數(shù)的D’Alembert判別法、Cauchy判別法、Raabe判別法和它們的極限形式順利地推廣到了函數(shù)項級數(shù)的一致收斂的判別上.此外，還有很多種判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的方法，這些方法視條件而定：1在和函數(shù)或極限函數(shù)可以求出的情況下，可以用定義。2利用余項的一致收斂性：在區(qū)間上一致收斂的充要條件是在上一致收斂于0，即，在上一致收斂于的充要條件是=0.3利用Cauchy準則（函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)列均可用）.4利用函數(shù)項級數(shù)一致收斂的M判別法（Weierstrass判別法）.5利用函數(shù)項級數(shù)一致收斂的Dimchler判別法和Abel判別法.6利用結論：如果函數(shù)列在上收斂于，且每一在上滿足Lipschitz條件，即存在，使得，，n=1,2,……,則在上一致收斂于.7利用結論：如果可微函數(shù)列在上收斂于，且在上一致收斂于.8利用Dini定理（函數(shù)項級數(shù)和函數(shù)列均可用）9利用結論：設冪級數(shù)的收斂半徑，則（i）當或收斂時，在（或）上一致收斂；（ii）當在內一致收斂當且僅當在上一致收斂本文旨在對上述函數(shù)項級數(shù)收斂判別的方法進行全面的總結和探究.關鍵詞：函數(shù)項級數(shù)、一致收斂AbstractSeriesexpressedbyfunctiontermsinthefieldofmathematicsandengineeringscienceitselfhasimportantapplication.Functionseriesandfunctionofuniformconvergenceproblemoftenisthekeypointofmathematicalanalysis,itisdifficult,noteasytounderstandandgrasp.Andfunctionstudiesseriesoneofthebasicproblemisthattheuniformconvergence,buttheuniformconvergencecriterionismoredifficult,intheuniformconvergenceoftheseriesexpressedbyfunctiontermsconsistentwiththepartandfunctionofconvergenceareequivalent.Anaturalthoughtisthecriterion.Atpresent,thePosistiveSeriesD’Alembertcriterion,Cauchycriterion,Raabediscriminantmethodandthelimitsoftheirformhasbeengeneralizedtofunctionsuccessfullyaseriesofuniformconvergencecriterion.Inaddition,thereareanumberofdiscriminantfunctionisaseriesofuniformconvergenceofthemethod,thesemethodsdependingontheconditions:inorlimitfunctioncanbecalculatedandthefunction,canusethedefinition.morethanusingtheuniformconvergence:thenecessaryandsufficientconditionofuniformconvergenceintherangeisontheuniformconvergencetozero,i.e,thenecessaryandsufficientconditionofuniformconvergenceintheis=0.usingCauchycriterion(functionseriesandcolumnareavailable).usingthefunctionoftheMseriesofuniformconvergence(Weierstrassdiscriminantmethod).usingtheseriesofuniformconvergenceofDimchlerdiscriminantmethodandAbeldiscriminantmethod.withtheconclusionthatifafunctionlistedinconvergesto,andeachinsatisfiedtheLipschitzcondition,thatis,make,n=1,2,…,theuniformconvergencein.usingtheconclsion:iftheconvergenceindifferentiablefunctionon,andontheuniformconvergenceinthe.Dinitheorem(functionseriesandcolumnareavailable)9.useconclusion:apowerseriesandcolumnareavailable,andis(i)whenorconvergence,uniformconvergenceon(or);(ii)whenontheuniformconvergenceifandonlyifinuniformconvergenceThispaperaimedtotheconvergentseriesexpressedbyfunctiontermsdiscriminantmethodcarriesonthecomprehensivesummaryandexplorationKeywords:functionseries,uniformconvergence目錄第一章緒論……………11.1引言………………11.2定義:11.2.1函數(shù)項級數(shù)定義11.2.2函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的定義11.3函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判定方法………………31.3.1定理1（柯西一致收斂準則）………………41.3.2定理2（余項判別法）………41.3.3定理3（魏爾斯特拉斯判別法）……………51.3.4定理4（狄利克雷判別法）…51.3.5定理5（阿貝爾判別法）……61.3.6定理6…………7第二章函數(shù)項級數(shù)的收斂判別方法應用8函數(shù)項級數(shù)的收斂判別法應用摘要：函數(shù)項級數(shù)的收斂判別問題是函數(shù)項級數(shù)問題中最基本最重要的問題，在研究函數(shù)項級數(shù)收斂的問題時可借鑒一些數(shù)項級數(shù)的方法，本文對函數(shù)項級數(shù)的收斂判別方法及其應用做了全面細致的闡述關鍵詞：函數(shù)項級數(shù)、收斂判別1引言函數(shù)項級數(shù)作為數(shù)項級數(shù)的推廣,在研究內容上同數(shù)項級數(shù)有許多極其相似的地方,比如它們的收斂性、和的問題，但函數(shù)項級數(shù)還有一點不同于數(shù)項級數(shù),就是關于它的一致收斂性。對比數(shù)項級數(shù)的收斂性和函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性判別法,不難發(fā)現(xiàn),它們在判斷方法上極其相似,特別是在它們判別法的名稱上,比如它們都有Cauchy判別法、Abel判別法等.對于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性,有沒有類似于數(shù)項級數(shù)收斂性判別的其它方法,是一個值得研究的課題.函數(shù)項級數(shù)在一致收斂的條件下，可以討論其和函數(shù)的連續(xù)性、可微性以及可積性.函數(shù)項級數(shù)在一致收斂時，求和和求導、求和和求積分的順序可以交換順序.并且，往往交換順序以后方便我們解決一些函數(shù)項級數(shù)中的基本問題.這個應用非常重要，因此，本文將對函數(shù)項級數(shù)收斂判別的方法進行全面的總結.2定義：2.1函數(shù)項級數(shù)定義2.1.1定義設{u(x)}是定義在數(shù)集E上的一個函數(shù)列，表達式u(x)+u(x)+u(x)稱為定義在E上的函數(shù)項級數(shù)，簡記為或。稱，n=1,2,為函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列。2.2函數(shù)項級數(shù)一致收斂的定義若函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列在數(shù)集上一致收斂于，則稱函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂于或稱在上一致收斂.我們可以看到，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性歸結到其部分和函數(shù)列的一致收斂性的研究上。例1考察級數(shù)的一致收斂性分析：由于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性要歸結到它的和函數(shù)列的一致收斂性上。所以我們首先要求出它的和函數(shù)列，由等比級數(shù)求和公式知當時，，對于任意，由于因此級數(shù)的一致收斂性等價于函數(shù)列對區(qū)間的一致收斂于零。證明:由等比級數(shù)求和公式知當時，對任意，下面證明此函數(shù)列是一致收斂于零的。由于，所以在有界且對于任意給定的，存在，當時，有。于是對所有自然數(shù)，有，而當時，由知，當時于是在地一致收斂于零，因此存在，當時，對所有有這樣當時，對所有，有，因此級數(shù)在上一致收斂。定義1：設，（）都是在數(shù)集D上由定義的函數(shù)，若存在一個在D上由定義的函數(shù)S(x),對任意的，存在自然數(shù)N,使得當n>N時，對一切均有||〈則稱函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂于S(x).3函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判定方法下面將給出一些判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的基本方法：柯西一致收斂準則，維爾斯特拉斯判別法（M判別法），狄利克雷判別法，阿貝爾判別法以及不常用的方法，例如：兩邊夾判別法、比較判別法、單調判別法、一致條件判別法、導數(shù)判別法、點列判別法這幾方面來介紹函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別方法.3.1常用判別方法3.1.1定理1（柯西一致收斂函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂的充要條件：對任意的正數(shù)，總存在某正整數(shù)N,使得當n>N時，對一切x和一切正整數(shù)p,都有||<或||<判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂性除了根據(jù)定義和柯西準則外，有些級數(shù)還可以根據(jù)級數(shù)各項的特征來判定。例如我們在數(shù)學分析的課本中,也介紹了用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法掌握解答級數(shù)的問題,以下介紹級數(shù)收斂性理論中阿貝爾判別法和狄利克雷判別法及魏爾斯特拉斯判別法:設函數(shù)項級數(shù)定義在數(shù)集D上，為收斂的正項級數(shù)，若對一切x,有||，n=1，2則函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂.證明：假設正項級數(shù)收斂，根據(jù)數(shù)項級數(shù)的柯西準則，任給正數(shù)，存在某正整數(shù)，使得當n>N及任何正整數(shù)p,有||=又對一切有||根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則，級數(shù)在上一致收斂3.1.2定理2（(1)在區(qū)間上一致收斂;(2)對于每一個是單調的；(3)在上一致有界，即對一切和正整數(shù)n，存在正數(shù)M,使得則級數(shù)在上一致收斂。證明：由（1），任給存在某正數(shù)N,使得當n>N及任何正整數(shù)P，對一切，有||<又由（2）（3）及阿貝爾引理得:于是根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則就得到定理的結論。3.1.3函數(shù)項級數(shù)在數(shù)集D上一致收斂于的充要條件是:.3.1.4定理4（（1）是部分和函數(shù)(n=1,2在上一致有界（2）對于每一個是單調的（3）在上則級數(shù)在上一致收斂證明：由（1），存在正數(shù)M，對一切x,有.因此當n,p為任意正整數(shù)時，都有：對任何一個x,再由（2）及阿貝爾引理，得到再由（3），任給>0,存在正數(shù)N，當n>N時，對一切x,由所以于是由一致收斂的柯西準則，級數(shù)在上一致收斂.（注意：利用狄利克雷判別函數(shù)級數(shù)一致收斂時，三個條件都應滿足）同樣的，結合數(shù)項級數(shù)比式判別法和根式判別法,可以得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的比式判別法和根式判別法,同時我們還可得到函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的對數(shù)判別法、積分判別法.3.1.5定理5（比式判別法）設為定義在數(shù)集D上的函數(shù)列，且，n=1,2,……,記，存在正整數(shù)N及實數(shù)q,M,使得，，對任意的n>N,成立，則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂.證明:易見(x)==而等比級數(shù)當公比0<q<1時收斂,從而由M判別法知,在D上一致收斂.（極限形式）設(x)為定義在數(shù)集D上正的函數(shù)列,記，若且(x)在D上一致有界,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂.定理6(根式判別法)設(x)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)列,若存在正整數(shù)N,使得，對n>N,x∈D成立,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂.證明:由定理條件,|(x)|≤，對n>N,x∈D成立,而幾何級數(shù)Σ收斂,由優(yōu)級數(shù)判別法知,函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂.（注:當定理6條件成立時,級數(shù)在D上收斂且絕對收斂）（極限形式）設(x)為定義在數(shù)集D上的函數(shù)列,若，對x∈D成立,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂。3.1.7定理7(對數(shù)判別法)設(x)為定義在數(shù)集D上正的函數(shù)列,若存在,則：(1)若對,p(x)>p>1,則函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂;(2)若對,<p<1則函數(shù)項級數(shù)在D上不一致收斂;證明：由定理條件知,對,N,使得對n>N,有<，則當<p<1對成立時,有,而p級數(shù)當p>1時收斂,由優(yōu)級數(shù)判別法知函數(shù)項級數(shù)在D上一致收斂;而當<p<1對成立時,有(x)>,p級數(shù)Σ當p<1時發(fā)散,從而函數(shù)項級數(shù)在D上不一致收斂.定理8（積分判別法）設為區(qū)域上的非負函數(shù)，如果在上關于y為單調減函數(shù)，若含參變量反常積分在數(shù)集D上一致收斂，則在數(shù)集D上一致收斂.證明：由在數(shù)集D上一致收斂，對一個N，當n>N時，對一切自然數(shù)p和一切,有<.由<<,所以在數(shù)集D上一致收斂.定理9（確界判別法）函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間D上一致收斂于S(x)的充要條件：.證明：充分性已知函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間D上一致收斂于S(x).，有：.從而，.必要性已知，即,有.從而，有，即函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間D上一致收斂于S(x).3.2其它判別方法在熟悉以上常規(guī)的判別法以后，在處理一些問題時還會用到其它的判別方法，例如：兩邊夾判別法、比較判別法、單調判別法、一致條件判別法、導數(shù)判別法、點列判別法等,下面將一一介紹.3.2.1兩邊夾判別法對任意自然數(shù)和,都有成立,又與均在點集D上一致收斂于,則也在點集D一致收斂于.3.2.2下面討論在級數(shù)的和函數(shù)單調條件下,加上若干條件,可推出函數(shù)項級數(shù)的Dini定理.(Dini定理)設級數(shù)的每一項在有界閉區(qū)間上連續(xù)且非負,如果它的和函數(shù)也在上連續(xù),那么該級數(shù)在上一致收斂.證用記級數(shù)的部分和,由于0,故對每個給定的,是單調增的數(shù)列.記（）,則是非負的單調減得數(shù)列.我們要證明在上一致趨于0.如果不是這樣,那么存在某個,不論多大,總能在找到這樣的點,使得（）,（）既然是中的一個點列,那么根據(jù)Bolzano-Weierstrass定理,從它中間能挑出一個收斂的子列,設,則,根據(jù)的連續(xù)性,我們有（）.另一方面,對于任意給定的,總能找到充分大的,使.于是,對于任意給定的,就有,特別有.因而由1得,命,就得（）.但2知道,＝（）,這和⑥矛盾,從而證明了級數(shù)在上一致收斂于.注如果把定理中的有界閉區(qū)間換成開區(qū)間或者無窮區(qū)間,結論就可能不成立.例如級數(shù)的每一項在區(qū)間中非負且連續(xù),它的和函數(shù)也在中連續(xù),但該級數(shù)在中并不一致收斂.3.2.3一致條件判別法下面討論滿足一致條件,來探討的一致收斂性,得到函數(shù)項級數(shù)的一致條件判別法：定理設函數(shù)列{}在閉區(qū)間上連續(xù),且存在一點收斂,使得在點收斂；且在閉區(qū)間上滿足一致條件；則