2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練：隱圓問(wèn)題(學(xué)生版)

隱圓問(wèn)題3種模型

壓軸畫(huà)密押

通用的解題思路：

隱圓一般有如下呈現(xiàn)方式：⑴定點(diǎn)定長(zhǎng)：當(dāng)遇到同一個(gè)端點(diǎn)出發(fā)的等長(zhǎng)線段時(shí)，通常以這個(gè)端點(diǎn)為圓心，等線

段長(zhǎng)為半徑構(gòu)造輔助圓；⑵定弦定角：當(dāng)遇到動(dòng)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)對(duì)定線段所張的角為定值時(shí),通常把張角轉(zhuǎn)化為圓

周角構(gòu)造輔助圓。當(dāng)遇到直角時(shí)，通常以斜邊為直徑構(gòu)造輔助圓。（3）四點(diǎn)共圓：對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂

點(diǎn)共圓。隱圓常與線段最值結(jié)合考查。

壓軸愿預(yù)測(cè)

類型1:定點(diǎn)定長(zhǎng)

（20233f城區(qū)校級(jí)三模）圓的定義:在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)所組成的圖形.

⑴已知：如圖l,0A=OB=OC，請(qǐng)利用圓規(guī)畫(huà)出過(guò)A、B.C三點(diǎn)的圓.若40B=70°,則4cB=

如圖，RtMBC中，4BC=90°,ZBCA=30°,AB=2.

（2）已知，如圖2.點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，將AC沿BA方向平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A、P、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為

點(diǎn)D、E、F,求四邊形BDFC的面積和NBEA的大小.

⑶如圖3,將AC邊沿BC方向平移a個(gè)單位至DF，是否存在這樣的a,使得直線DF上有一點(diǎn)Q,滿足

ZBQA=45°且此時(shí)四邊形BADF的面積最大？若存在，求出四邊形BADF面積的最大值及平移距離a,

若不存在，說(shuō)明理由.

題”（2024口生州模擬）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，“希望小組”的同學(xué)們以三角形為背景，探究圖形變化過(guò)程中的幾何問(wèn)

題，如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=90。,點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)A,B,D三點(diǎn)不共線），AE為

AABD的中線.

【初步嘗試】⑴如圖1,小林同學(xué)發(fā)現(xiàn):延長(zhǎng)AE至點(diǎn)M，使得ME=AE，連接DM.始終存在以下兩個(gè)結(jié)

論，請(qǐng)你在①，②中挑選一個(gè)進(jìn)行證明：

①DM=AC:②功八+zDAB=180°；

【類比探究】（2）如圖2,將AD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AF，連接CF.小斌同學(xué)沿著小林同學(xué)的思考進(jìn)

一步探究后發(fā)現(xiàn)：AE=yCF，請(qǐng)你幫他證明；

【拓展延伸】⑶如圖3,在⑵的條件下，王老師提出新的探究方向：點(diǎn)D在以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的圓

上運(yùn)動(dòng)（AD>AB），直線AE與直線CF相交于點(diǎn)G，連接BG，在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中BG存在最大值.若

AB=4,請(qǐng)直接寫(xiě)出BG的最大值.

圖1圖2圖3

9

3（2022口番禺區(qū)二模）已知拋物線y=ax2+bx-g（a〉0）與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，OA<OB,AB

=4.其頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為-1.

⑴求該拋物線的解析式；

⑵設(shè)點(diǎn)D在拋物線第一象限的圖象上，DE±AC垂足為E,DFDy軸交直線AC于點(diǎn)F,當(dāng)&IEF面積

等于4時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

⑶在⑵的條件下，點(diǎn)M是拋物線上的一點(diǎn)，M點(diǎn)從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到達(dá)點(diǎn)C,FMXFN交直線BD于點(diǎn)N,延

長(zhǎng)MF與線段DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H,點(diǎn)P為N,F,H三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的外心，求點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng).

題目|4(2021BI谷灘區(qū)校級(jí)模擬)⑴學(xué)習(xí)心得:小剛同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到有一些幾何

問(wèn)題，如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易.

例如：如圖1,在MBC中，AB=AC,ZBAC=80。,D是MBC外一點(diǎn)，且AD=AC，求NBDC的度數(shù).

若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助圓。A,則點(diǎn)C、D必在。A上，4AC是。A的圓心角，而zBDC是

圓周角，從而可容易得到NBDC=_40°_.

(2)問(wèn)題解決：

如圖，在四邊形ABCD中，ZBAD=ZBCD=90°,ZBDC=25°,求ZBAC的度數(shù).

⑶問(wèn)題拓展：

拋物線y=_:(x-1)2+3與y軸交于點(diǎn)A，頂點(diǎn)為B，對(duì)稱軸BC與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P在拋物線上，直線

PQDBC交x軸于點(diǎn)Q,連接BQ.

①若含45。角的直線三角板如圖所示放置，其中，一個(gè)頂點(diǎn)與C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一頂點(diǎn)E在

PQ上，求Q的坐標(biāo)；

②若含30。角的直角三角板一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)D在BQ上，另一個(gè)頂點(diǎn)E在PQ上，點(diǎn)D與點(diǎn)

B,點(diǎn)Q不重合，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

類型2：定弦定角

〕題目|5(2022口I塔區(qū)校級(jí)三模)問(wèn)題提出

⑴如圖①，已知MBC為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則MBC的面積為_(kāi)，3_；

問(wèn)題探究

(2)如圖②，在MBC中，已知NBAC=120。,BC=6J3■，求MBC的最大面積；

問(wèn)題解決

⑶如圖③，某校學(xué)生禮堂的平面示意為矩形ABCD，其寬AB=20米，長(zhǎng)BC=24米，為了能夠監(jiān)控到禮

堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面CD上安裝一臺(tái)攝像頭M進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻

面AB區(qū)域，同時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)M出發(fā)的觀測(cè)角4MB=45°,請(qǐng)你通過(guò)所學(xué)知識(shí)進(jìn)

行分析，在墻面CD區(qū)域上是否存在點(diǎn)M滿足要求？若存在，求出MC的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

題*6（2023口霸橋區(qū)校級(jí)模擬）問(wèn)題提出：⑴如圖①，MBC為等腰三角形，zC=120°,AC=BC=8,D

是AB上一點(diǎn)，且CD平分MBC的面積，則線段CD的長(zhǎng)度為.

問(wèn)題探究：⑵如圖②，MBC中，4=120°,AB=10,試分析和判斷AABC的面積是否存在最大值，若存

在，求出這個(gè)最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題解決：（3）如圖③，2023年第九屆絲綢之路國(guó)際電影開(kāi)幕式在西安曲江競(jìng)技中心舉行，主辦方要在會(huì)場(chǎng)

旁規(guī)劃一個(gè)四邊形花圃ABCD，滿足BC=600米，CD=300米，4=60°,ZA=60°,主辦方打算過(guò)BC

的中點(diǎn)M點(diǎn)（入口）修建一條徑直的通道ME（寬度忽略不計(jì)）其中點(diǎn)E（出口）為四邊形ABCD邊上一點(diǎn)，

通道ME把四邊形ABCD分成面積相等并且盡可能大的兩部分，分別規(guī)劃成不同品種的花圃以供影迷休

閑觀賞.問(wèn)是否存在滿足上述條件的通道ME?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)A距出口的距離AE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

國(guó)?7(2023口＜城區(qū)校級(jí)一模)如圖，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是(1,0),(5,0),點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴使4PB=30°的點(diǎn)P有個(gè)；

⑵若點(diǎn)P在y軸上，且4PB=30。,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，4PB是否有最大值？若有，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說(shuō)明此時(shí)4PB最大的理由;

若沒(méi)有，也請(qǐng)說(shuō)明理由.

%

5

4

3

2

1AB、

i；3；54

-4-3-2-10

-1

類型3：四點(diǎn)共圓

-（2022中原區(qū)校級(jí)模擬）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

西姆松定理是一個(gè)平面幾何定理，其表述為：過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)

作三邊或其延長(zhǎng)線的垂線,則三垂足共線（此線常稱為西姆松線）.

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們嘗試證明該定理.

如圖⑴，已知MBC內(nèi)接于。0，點(diǎn)P在上（不與點(diǎn)A,B,C重合），過(guò)點(diǎn)P分別作AB,

BC,AC的垂線，垂足分別為點(diǎn)D,E,F.求證:點(diǎn)D,E,F在同一條直線上.

如下是他們的證明過(guò)程（不完整）：

如圖⑴，連接PB,PC,DE,EF,取PC的中點(diǎn)Q，連接QE.QF,

則EQ=FQ=yPC=PQ=CQ，（依據(jù)1）

:點(diǎn)E,F,P,C四點(diǎn)共圓，

.,.ZFCP+ZFEP=180°.（依據(jù)2）

又「ZACP+ZABP=180°,

/.ZFEP=ZABP.

同上可得點(diǎn)B,D,P,E四點(diǎn)共圓，

□□

任務(wù)：

⑴填空：

①依據(jù)1指的是中點(diǎn)的定義及___________________

②依據(jù)2指的是______.

（2）請(qǐng)將證明過(guò)程補(bǔ)充完整.

⑶善于思考的小虎發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P是時(shí)的中點(diǎn)時(shí)，BD二CF,請(qǐng)你利用圖（2）證明該結(jié)論的正確性.

PP

圖⑴圖⑵

題?9（2021強(qiáng)爾濱模擬）⑴【學(xué)習(xí)心得】

于彤同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使

問(wèn)題變得非常容易.

例如：如圖1,在AABC中，AB=AC,zBAC=90°,D是AABC外一點(diǎn)，且AD=AC，求NBDC的度數(shù).

若以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作輔助OA,則點(diǎn)C、D必在。A上，4AC是。A的圓心角，而與DC是圓

周角，從而可容易得到zBDC=

（2）【問(wèn)題解決】

如圖2,在四邊形ABCD中，/BAD=ZBCD=90",ZBDC=25°,求NBAC的度數(shù).

（3）【問(wèn)題拓展】

如圖3,如圖，E,F是正方形ABCD的邊AD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AE=DF.連接CF交BD于點(diǎn)G,連接