高考數(shù)學總復習（基礎知識+高頻考點+解題訓練）二次函數(shù)與冪函數(shù)

第六節(jié)二次函數(shù)與帚函數(shù)

基礎知艱要打牢強雙基I固本源I得基礎分I掌握程度

1IICHUZHISHIYA

［知識能否憶起］

一、常用鬲函數(shù)的圖象與性質(zhì)

又數(shù)

特征\

231-1

.y-xy-xy-x片叼y-x

VXVrL

V

圖象hx

7T―XTVO%

定義域RRR{x|xN0}{xxWO}

值域R{ppNO}R{y介0}廿二。

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(-8,0］減(-8,0)和

單調(diào)性增增增

(0,+8)增(0,+8)減

公共點(1,1)

二、二次函數(shù)

1.二次函數(shù)的定義

形如f{x}=ax+bx+c(aWO)的函數(shù)叫做二次函數(shù).

2.二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：=+bx+c(aNO)；

(2)頂點式：f{x)=a(x-而2+n(a豐0；

(3)零點式：f(x)=((x—矛J(x—劉)(〃W0).

圖象

①對稱軸：X=-4；②頂點：'_b_4己。-6)

「2夕4a)

特點乙a

定義域xER

4HC-B(4ac-b2~\

值域A,+00叫一8,J

性質(zhì)奇偶性6=0時為偶函數(shù)，6W0時既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)

b'

b~\b

x-8，-用時遞減，虻-孤，「8,-利時遞增，xG

單調(diào)性

-b）時遞減

+8時遞增-....4-OO

_2廳

［小題能否全?。?/p>

1■若Hx）既是鬲函數(shù)又是二次函數(shù)，則f（x）可以是（）

A.f(x)=/-1B.f(x)=5/

C.f(x)=-YD.f(x)=/

解析：選D形如f（x）=x°的函數(shù)是鬲函數(shù)，其中a是常數(shù).

1

-3

2.（教材習題改編）設2則使函數(shù)y=X"的定義域為R且為奇函數(shù)的所有a值為

A.1,3B.-1,1

C,-1,3D.-1,1,3

解析：選A在函數(shù)曠=/;y=x,y=\,中，只有函數(shù)y=x和了=為3的定義域是R,且是奇

函數(shù)，故。=1,3.

3.（教材習題改編）已知函數(shù)/'（x）=af+x+5的圖象在x軸上方，則a的取值范圍是（）

（5>0,|a>0,1

解析：選C由題意知即一0冢0得a通

4.（教材習題改編）已知點梓，3）在褰函數(shù)f（x）的圖象上，則f（x）的表達式為

解析：設鬲函數(shù)的解析式為y=x",貝1］3=手匕得。=-2.故尸尸.

答案：

5.如果函數(shù)『(x)=/+(a+2)x+6(xE［a,6］)的圖象關于直線x=1對稱，則函數(shù)『(x)的最小值為

a+2

-----二1rI—4,

解析：由題意知彳21得〃「

,cIZ?=6.

乃+6=2,,

貝uf(x)=/-2^+6=(X-1)2+525.

答案：5

1.鬲函數(shù)圖象的特點

(1)鬲函數(shù)的圖象一定會經(jīng)過第一象限，一定不會經(jīng)過第四象限，是否經(jīng)過第二、三象限，要看

函數(shù)的奇偶性；

(2)鬲函數(shù)的圖象最多只能經(jīng)過兩個象限內(nèi)；

(3)如果鬲函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點.

2.與二次函數(shù)有關的不等式恒成立問題

fa>0,

(l)a/+fe+c>0,aWO恒成立的充要條件是〃

W-4ac〈0.

fa<0,

(2)a/+bx+c<0,aWO恒成立的充要條件是“/n

b-4ac<0.

L注意］當題目條件中未說明aWO時，就要討論a=O和aWO兩種情況.

后高頻考點要通關抓考點|學技法|得拔高分|掌握程度

騫函數(shù)的圖象與性質(zhì)

典題導入

［例1］已知騫函數(shù)f(x)=(瘍-0-1)尸小在(0,+8)上是增函數(shù)，貝IJ?=.

［自主解答］?.?函數(shù)f(x)=包2-〃-1)/"3是黑函數(shù)，

1=1,解得R=2或o=-1.

當必=2時，-5〃-3=-13,函數(shù)y=xY在(0,+8)上是減函數(shù)；

當加=-1時，-50-3=2,函數(shù)y=x?在(0,+8)上是增函數(shù).

.'.m--1.

［答案］-1

由題悟法

1.鬲函數(shù)y=x"的圖象與性質(zhì)由于a的值不同而比較復雜，一般從兩個方面考查：

(I)。的正負：?！?時，圖象過原點和(1,1),在第一象限的圖象上升；時，圖象不過原點，在

第一象限的圖象下降.

(2)曲線在第一象限的凹凸性：?！?時，曲線下凸；

0〈。<1時，曲線上凸；吐曲線下凸.

2.在比較騫值的大小時，必須結合騫值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù).借助其單調(diào)性進行比較，準確掌

握各個騫函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關鍵.

以題試法

1.(1)如圖給出4個鬲函數(shù)大致的圖象，則圖象與函數(shù)對應正確的是()

A.①y=g,②y=x1(3)y=④尸一

B.①y=x\②尸③y=g,@y=x'

C.①②片總③片弓，(4)y=^1

D.①y=g,②y=g,③y=V④尸x1

解析：選B由圖①知，該圖象對應的函數(shù)為奇函數(shù)且定義域為R,當x>0時，圖象是向下凸的，結

合選項知選B.

(2)(?淄博模擬)若@<0,則下列不等式成立的是()

A.2a>曲>(0.2)aB.(0.2)”〉&>2a

C.曲〉(0.2)">2aD.2a>(0.2)，〉(；)

解析：選B若a〈0,則鬲函數(shù)―在(0,+8)上是減函數(shù)，所以(0.2)咱"〉0.所以(0.2)">眇2a.

求二次函數(shù)一的解析式

典題導入

［例2］已知二次函數(shù)f(x)有兩個零點。和-2,且它有最小值-1.

(1)求F(x)解析式；

(2)若g(x)與F(x)圖象關于原點對稱，求g(x)解析式.

［自主解答］(1)由于f(x)有兩個零點。和-2,

所以可設f(x)=ax(x+2)(aNO),

這時f(x)=ax(x+2)=a(x+I)2-a,

由于f(x)有最小值-1,

fa>0,

所以必有?解得a”

［-a=~1,

因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x+2x.

(2)設點—(x,力是函數(shù)g(x)圖象上任一點，它關于原點對稱的點*(-工-0必在/1(x)圖象上，

所以-.y=(-x)°+2(-x),

即-y=I-2x,

y=-x+2x,

故g(x)=-Y+2x.

由題悟法

求二次函數(shù)的解析式常用待定系數(shù)法.合理選擇解析式的形式，并根據(jù)已知條件正確地列出含有待定

系數(shù)的等式，把問題轉化為方程(組)求解是解決此類問題的基本方法.

以題試法

2.設/(沒是定義在R上的偶函數(shù),當0WW2時,y=x,當x>2時，y=F(x)的圖象是頂點為尸(3,4),

且過點A(2,2)的拋物線的一部分.

⑴求函數(shù)/U)在(-8,-2)上的解析式；

(2)在下面的直角坐標系中直接畫出函數(shù)/'(x)的草圖；

(3)寫出函數(shù)f(x)的值域.

解:⑴設頂點為尸(為4)且過點4(2,2)的拋物線的方程為y=a(x-3尸+4,將⑵2)代入可得@=-2,

則尸-2(x-32+4,

即x>2時，f(x)=-2/+12x-14.

當水-2時，即-x>2.

又/U)為偶函數(shù)，f(x)=F(-x)=-2X(-x)J12x-14,

即f(x)=-27-12x-14.

所以函數(shù)/<x)在(-8,-2)上的解析式為

f{x)=-2x-12x-14.

⑵函數(shù)f(x)的圖象如圖,

(3)由圖象可知,函數(shù)F(x)的值域為(-8,4］.

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

典題導入

［例3］已知函數(shù)/'(x)=V+2ax+3,xC［-4,6］.

⑴當a=-2時,求f(x)的最值；

(2)求實數(shù)a的取值范圍，使y=f(x)在區(qū)間［-4,6］上是單調(diào)函數(shù).

［自主解答］(1)當a=-2時，f(x)=f-4x+3=(x-2)z-l,由于xd［-4,6］.

所以f(x)在［-4,2］上單調(diào)遞減，在［2,6］上單調(diào)遞增，

故f(x)的最小值是『(2)=-1,又/(-4)=35,『(6)=15,故f(x)的最大值是35.

(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對稱軸是了二-a,所以要使f(x)在［-4,6］上是單調(diào)函數(shù)，應有

-aW-4或-a26,即aW-6或a24.

故a的取值范圍為(-8,-6］U［4,+8).

?>一題多變

本例條件不變，求當口=1時，f(W)的單調(diào)區(qū)間.

解：當a=l時，f(x)=/+2^+3,

則=D+21T+3,此時定義域為xC［-6,6］,

/+2x+3,xE0,6],

且f(x)=

x'-2x+3,xE[-6,0],

故/■(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6],

單調(diào)遞戒區(qū)間是[-6,0].

由題悟法

解決二次函數(shù)圖象與性質(zhì)問題時要注意：

(1)拋物線的開口，對稱軸位置，定義區(qū)間三者相互制約.，常見的題型中這三者有兩定一不定，要注

意分類討論.

(2)要注意數(shù)形結合思想的應用，尤其是給定區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的求法.

以題試法

3.(-泰安調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=-f+2ax+1-a在xG[0,1]時有最大值2,則a的值為.

解析:-=-(x-a)2+a2-a+1,

當a>l時，jtx=a；

當OWaWl時，=a-a+\；

當a<0時，=1-a.

fa>l,OWaWl,fa<0,

根據(jù)已知條件°a2-a+1=2或11-a=2,

(a=2

解得a=2或a=-1.

答案：2或-1

二次函數(shù)的綜合問題

*?■

典題導入

［例4］(?衡水月考)已知函數(shù)F(x)=x\g(x)=x-L

⑴若存在xGR使g(x),求實數(shù)b的取值范圍；

⑵設6(x)=f(x)-儂(x)+1-0-而且|在［0,1］上單調(diào)遞增，求實數(shù)0的取值范圍.

［自主解答］(1/xCR,f(x)<的<x)今mxER,

-bx+ZKO=>(-6)°-4Z)>0=>ZKO或Z?>4.

故6的取值范圍為(-8,o)U(4,+8),

(2)6(x)=x-mx+1-m,

A=-4(1-a)=5a-4.

①當4WO,即時，

m

尹0,

n一明辰0.

則必需q

5

00

②當/〉0,即冰-設方程/(X)=0的根為X1,苞(X1〈X2).

若券1,則xWO,

=/22;

F0=1-著W0

若穿0,則至W0,

m_l

產(chǎn)。，2

即產(chǎn)=>-1?辰-管亞.

F0=1-3

綜上所述，0的取值范圍為［-1,0］U［2,+8).

由題悟法

二次函數(shù)與二次方程、二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”，它們之間有著密切的聯(lián)系，而二次函數(shù)又是“三

個二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體.因此，有關“三個二次”的問題，數(shù)形結合，密切聯(lián)

系圖象是探求解題思路的有效方法.

以題試法

4,若二次函數(shù)F(x)=aY+bx+c(aWO)滿足f(x+1)-f{x)=2x,且Z(0)=1.

(1)求Ax)的解析式；

(2)若在區(qū)間［-1,1］上，不等式/"(x)>2x+/恒成立，求實數(shù)力的取值范圍.

解：⑴由『(0)=1,得c=1.即/(x)=ax2+6x+1.

又/'(x+1)-F(x)=2x,

則a(x+1)2+b(x+1)+1-{ax+bx+1)=2x,

即2ax+a+b-2x,

12a=2,1,

所以An解得L1

［乃+6=0,［b=-1.

因此,

(2)〃入)>2丫+勿等價于？一萬+1>2萬+力，即/_3x+l-m>0,要使此不等式在［-1,1］上恒成立，只需

使函數(shù)g(x)-3x+l-勿在［-1,1］上的最小值大于0即可.

:g(x)=Y-3x+1-勿在［T,1］上單調(diào)遞減，

，g(x)m=g(l)=~m-1,

由-〃-1>0得，欣-1.

因此滿足條件的實數(shù)"的取值范圍是(-8,-J).

用?解S3UII練要離嗎—抓速度|抓規(guī)范|拒絕眼高手低|掌握程度

4級全員必做題

1,已知鬲函數(shù)F(x)=/的部分對應值如下表：

1

X1

2

亞

f(外1

2

則不等式/?(|x|)W2的解集是(

A.{x\0〈xW/jB.{x|0WK4}

C.{x|-小WxW艱}D.{x|-4WxW4}

解

選

析D

即/1(㈤=叼,故/1(|x|)W2=>|x|,W2=>|x|W4,故其解集為{x|

—4WxW4}.

2.已知函數(shù)y=ax2+6x+c,如果a〉6〉c且a+6+c=0,則它的圖象可能是(

解析：選Da>b>c,且a+6+c=0,

a>0,氏0.，圖象開口向上與y軸交于負半軸.

3.已知/tx)=g,若0〈以叢1,則下列各式中正確的是()

D?〈"歷

解析：選C因為函數(shù)/'(x)='在(0,+8)上是增函數(shù)，又0〈a〈尾〈：故f(a)<f(6)〈(%d.

4.已知f(x)=V+6x+c且f(-l)=f(3),則()

A.A-3)〈次年)B.￡)〈c〈f(-3)

C.周〈廣(-3)〈cD.c〈g)<f(-3)

解析：選D由已知可得二次函數(shù)圖象關于直線x=1對稱，則r(-3)=f(5),c=f(0)=f(2),二次

函數(shù)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增，故有f(-3)=f(5)〉g|>A2)=f(0)=c.

5.設二次函數(shù)f(x)=ax?-2ax+c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，且/'(R)W『(0),則實數(shù)/的取值范圍是

()

A.(-8,o]B.[2,+8)

C.(-oo,0]U[2,+oo)D.[0,2]

解析：選D二次函數(shù)/'(x)=ax?-2ax+c在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減，則aWO,f(x)=2a(x-l)WO,

xE[0,1],

所以a〉0,即函數(shù)圖象的開口向上，對稱軸是直線x=L

所以r(o)=A2),則當f?Wf(O)時,有0W辰2.

6.若方程/-2%+4=0的兩根滿足一根大于1,一根小于1,則小的取值范圍是()

A.(一8TB.|J+8)

C.(--2)U(2,+8)D.+8)

5

解析：選B設f(x)=/-2〃x+4,則題設條件等價于f⑴<0,即1-2卬+4<0,解得ni>~

7.對于函數(shù)y=x；y=g有下列說法：

①兩個函數(shù)都是鬲函數(shù)；

②兩個函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增；

③它們的圖象關于直線F=x對稱；

④兩個函數(shù)都是偶函數(shù)；

⑤兩個函數(shù)都經(jīng)過點@0).(1,1);

⑥兩個函數(shù)的圖象都是拋物線型.

其中正確的有一

解析：從兩個函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性等性質(zhì)去進-行比較.

答案：①②⑤⑥

8.(?北京西城二模)已知函數(shù)?5)=/+及+1是R上的偶函數(shù)，則實數(shù)6=不等式/(X

-1)<X的解集為.

解析：因為Mx)=V+6x+l是R上的偶函數(shù)，所以6=0,則f(x)=^+l,解不等式(x-l)2+l〈x,

即x~3x+2〈0得l〈x〈2.

答案：0{x|l〈K2}

9.若x?0,y20,且x+2y=l,那么2x+3〃的最小值為.

解析：由x20,y20,x=1-2y20知

令t=2^+3y=3y-4y+2,

則

-

1

o-13

>2

在-上遞感當y=］時，r取到最小值，tain=-

答案：|

13

10.如果褰函數(shù)f(x)=x-5P°+p+5(0EZ)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù).求0的值，并寫

出相應的函數(shù)/<X)的解析式.

解：,.?/■(X)在(0,+8)上是增函數(shù),

/+〃+g>0,即/-20-3<0.

-l<p<3.

又?.?『(X)是偶函數(shù)且PGZ,

-'-P=i,故f(x)=x2.

11.已知二次函數(shù)f(x)的圖象過點2(-1,0)、庾3,0)、(7(1,-8).

(1)求F(x)的解析式；

(2)求/'(x)在xE［0,3］上的最值；

(3)求不等式/U)》0的解集.

解：⑴由題意可設f(x)=a(x+1)(x-3),

將C(l,-8)代入得-8=a(l+l)(l-3),得a=2.

即f(x)=2(x+1)(x-3)=2x-4x-6.

⑵f(x)=2-1)2-8,

當xE［0,3］時，由二次函數(shù)圖象知,

F(X)min=H1)=1-8,f{X)max=/(3)=0.

(3)廣(x)20的解集為{x|%W-1,或x23}.

12.已知函數(shù)f{x)=ax-2ax+2+b(a豐0),若F(x)在區(qū)間⑵3］上有最大值5,最小值2.

(1)求a,6的值；

(2)若從1,g(x)=F(x)-刃?x在⑵4］上單調(diào)求〃的取值范圍.

解：(l)/*(x)=a(x—l)2+2+6-a

當於0時，廣(x)在⑵3］上為增函數(shù),

jf3=5,J9a-6a+2+6=5,J<3=1,

故2=2,［4a-4a+2+Z)=2,=［6=0.

當a<0時，f(x)在［2,3］上為減函數(shù),

(f3=2,(9a-6a+2+b-2,{a--1,

故［f2=5,［拈-4a+2+6=5,［/?=3.

(2),/Z?<1,.,.5=1,b=0,BPf^x)=x-2x+2.

g(x)=殳-2x+2-mx-x-(2+血x+2,

???g(x)在⑵4］上單調(diào),

2+力勿+2

丁..一客或一2-三4..W2或勿26.

B級重點選做題

1

2-

「已知y=f(x)是偶函數(shù)，當X〉O時，f(x)=(x-l)2,若當xG--2時，nWf(x)Ws恒成立,

貝1J/一刀的最小值為()

11

A.~B.~

o乙

3

.C.-D,1

解析：選D當X0時，-x>0,f(x)=f(-x)=(x+1廣

1-

2

XE2--

-

f\X)min=1)=0,f\X)max=/(-2)=1,

〃W0,m-ri^\.

2.(?青島質(zhì)檢)設F(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間［a,加上的兩個函數(shù)，若函數(shù)P=/<x)-g(x)在x

G［a,⑸上有兩個不同的零點，則稱Hx)和g(x)在［a,6］上是“關聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間［a,6］稱為“關聯(lián)區(qū)

間”.若f(x)=f-3x+4與g(x)=2x+0在［0,3］上是“關聯(lián)函數(shù)”，則0的取值范圍為…一

解析：由題意知，y=f(x)-g(x)=系-5才+4-7在［0,3］上有兩個不同的零點.在

同一坐標系下作出函數(shù)/=/與y=Y-5X+4(XE［0,3］)的圖象如圖所示,結合圖象可

知，當xE［2,3］時，y=x、5x+4E［-不-21,故當仁一不-2」時,函數(shù)y=地與

y=x2-5x+4(xE［0,3］)的圖象有兩個交點.

答案：(一|,-2

3.(,濱州模擬)已知函數(shù)f(x)=ax?+bx+c(a〉0,6ER,cER).

x,x>0,

⑴若函數(shù)f(x)的最小值是/1(-I)=0,且c=l,戶(x)=<求尺2)+/(-2)的值；

x,X0,

(2)若a=l,c=0,且"(x)*l在區(qū)間(0,1］上恒成立，試求6的取值范圍.

解：(1)由已知得c=1,a-b+c=0,--^-=-1,

乙a

解得a=l,6=2.則『(工)=(了+1)2.

x+12,x>0,

則尸(x)=

-x+11X0.

故—(2)+X-2)=(2+l)2